【文档说明】江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试数学（文）试题含答案.doc，共(10)页，1.392 MB，由小赞的店铺上传

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2021年临川一中高三模拟考试试题文科数学一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B＝{x|2cosx≥}，则A∩B＝（）A．

[﹣1，]B．[﹣，1]C．[﹣1，2]D．[﹣，]2．已知复数z满足（z+i）i＝1﹣i，则||＝（）A．B．C．D．3．如图，已知等边△ABC的外接圆是等边△EFG的内切圆，向△EFG内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分(△ABC)的概率是（）A．B．C．D

．4．在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基

本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(NV称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为)(0VNNR−．已知新冠病毒在某地的基本传染数R0＝5，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫

苗的接种率至少为（）A．50%B．60%C．70%D．80%5．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∈R，x2＜0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜06．化简020202025.7cos5.7sin75.7tan15.7tan+−+＝（）A．33B．

332C．3D．27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.我国著名数学家华罗庚先生

曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数f(x)＝(x＋1x)ln|1x|的图象大

致为（）ABCD9.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的1.5S=（单位：升），则器中米k应为（）A．2升B．3升C．4升D．

6升10．已知A，B，C在球O的球面上，120BAC=，2AC=，1AB=，直线OA与截面ABC所成的角为60，则球O的表面积为（）A．43B．163C．563D．112311．函数y＝xxx12++与y＝3sin2x

+1的图象有n个交点，其坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn），则)(1iniiyx+=＝（）A．4B．8C．12D．1612．已知双曲线C：12222=−byax＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，A（0，a2）

，a＝),1(ab−，P为C右支上一点，当|PA|+|PF1|取得最小值时，aPA=则C的离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cos＜，＞＝______14．已知△ABC中角

A，B，C所对的边为a，b，c，AB＝3，AC＝3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC＝π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，,3221=SS，则BC＝．15．已知函数,4ln)2()(2xxxkkxf−++=，k∈[1，+∞），曲线y＝f（

x）上总存在两点M（x1，y1），N（x2，y2），使曲线y＝f（x）在M，N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为．16．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线交抛物线C于A，B两点，过点F作x轴垂线在x轴的上方与抛物线C交于点M，记直线M

A，MB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2＝．二、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。17.

（12分）已知数列na的前n项和为nS，且()*21nnSan−=N.(1)求数列na的通项公式；(2)设1nnnnabSS+=，数列nb的前n项和nT，且nTm对任意*nN恒成立，求m的取值范围.18．如图，BE，CD为圆柱的母线

，ABC是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点.（1）证明：平面AEM⊥平面BCDE；（2）设BC=BE，圆柱的体积为83，求四棱锥A-BCDE的体积.19．（12分）2021年4月20日，博鳌亚洲论坛2021年年会开幕式在海南博鳌举行，国家主席习近平以视频方式发表题为《同舟共济克时

艰，命运与共创未来》的主旨演讲，某校政治老师为了解同学们对此事的关注情况，在一个班级进行了调查，发现在全班40人中，对此事关注的同学有24人，该班在上学期期末考试中政治成绩（满分100分）的茎叶图如下：（1）求对

此事不关注者的政治期末考试成绩的中位数与平均数；（2）若成绩不低于60分记为“及格”，从对此事不关注者中随机抽取1人，求该同学及格的概率；（3）若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量，请补充下列的22列联表，并判断能否在犯错概率

不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系？优秀不优秀合计关注24不关注16合计40附：()()()()()22nadbckabcdacbd−=++++，其中nabcd=++

+．()20Pkk0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知离心率e＝，焦点在x轴上的椭圆与直线x+2y＝2相交于P，Q两

点，O为坐标原点，若OP⊥OQ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不经过右焦点F的直线l：y＝kx+m（k＞0，m＜0）与椭圆C相交于A，B两点，且与圆O：x2+y2＝1相切，试探究△ABF的周长是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由．21．已知

函数2()(1)xfxxe−=+，3()12cos2xgxaxxx=+++，当[0x，1]时，（Ⅰ）若函数()gx在0x=处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）求证：11()1xfxx−+剟；（Ⅲ）若()()fxgx…恒成立，求实数a

的取值范围．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。22．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为12312xtyt=−=+(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的

极坐标方程为13sin()44kkkk−++=.（1）当1k=时，求1C和2C的直角坐标方程；（2）当2k=时，1C与2C交于A，B两点，设P的直角坐标为(0，1)，求11||||PAPB+的值.23．已知函数()|31||33|fxxx=−++.（1）

求不等式()10fx的解集；（2）正数,ab满足2ab+=，证明：()fxab+.2021年临川一中高三模拟考试试题文科数学答案一、选择题DBCDDBBDDDAC二填空题13.55−14.615.),24(+16.41.解：∵

＝，当k＝0时，，∴．故选：D．2.解：因为（z+i）i＝1﹣i，所以，所以．故选：B．3．解：由题可知△EFG内切圆的切点分别为A，B，C，∴EA＝EC，FA＝FB，GC＝GB．又△EFG是等边三角形，∴△ACE，△ABF，△BCG，△

ABC是4个全等的等边三角形，∴所求的概率P＝＝．故选：C．4.解：为了使1个感染者新的传染人数不超过1，即≤1，∴，∴，∴1﹣，∴，即，故选：D．5．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0

”的否定是∃x∈R，x2＜0．故选：D．6．原式＝＝．故选：B．7．解：在△ABC中，bcosA﹣c＜0，则sinBcosA﹣sinC＜0，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＞sinBcosA，则有sinAcosB＞0，因为sinA＞0，所以cosB＞

0，故角B为锐角，当B为锐角时，△ABC不一定是锐角三角形，当△ABC为锐角三角形时，B为锐角，故“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．9.D程序运行变量值变化如

下：1,nSk==，满足4n，2n=，22kkSk=−=；满足4n，3n=，2233kkkS=−=；满足4n，4n=，3344kkkS=−=；不满足4n，输出4kS=，∴1.54k=，6k=．故选：D．10．D设ABC的外心为1O2222cosB

CABACABACBAC=+−2212212cos1207=+−=，7BC=，则1272sin1203BCOA==.设球的半径为R，由题意可知1OO⊥平面ABC，又直线OA与截面ABC所成的角为60，所以160OAO=，在1R

tAOOV中，所以12723ROAOA===，所以球O的表面积为2281124433SR===.故选：D11．解：∵y＝＝x++1，y＝3sin+1，∴两个函数对称中心均为（0，1）；画图可知共有四个交点，且关于（0，1）对称，故（xi+y

i）＝4，故选：A．12．解：记t＝|PA|+|PF1|＝|PA|+|PF2|+2a≥|AF2|+2a，当A，P，F2三点共线时，t有最小值，此时，所以．设焦距为2c，则F2（c，0），所以．又，所以，化简得e4﹣e2﹣2＝0，解得e2＝2（舍负），所以双曲线C的离心率（舍负），故选

：C．13．解：根据题意，＝（1，﹣2），则||＝，若|+|＝2，则（+）2＝2+2+2•＝6+2cos＜，＞＝4，变形可得cos＜，＞＝﹣．14．解：法一：设∠BAD＝θ，则∠BAC＝π﹣θ，则．因为，所以AD＝2．在△ABD中，由正弦定理得，在△ABC中，由正弦定理得，两式相比得．设CD

＝x，则BD＝2x，BC＝3x，在△ABC中，由余弦定理得，所以①．在△ABD中，由余弦定理得，所以②，联立①②得x＝2，所以BC＝6．法二：因为∠BAD+∠BAC＝π，把△ABD沿AB翻折到△ABD′，使C，A，

D′三点共线，则AB平分∠CBD′．因为，所以．因为，所以AD′＝2，设BC＝3x，则BD′＝2x，设∠BAD′＝θ，则∠BAC＝π﹣θ．在△ABC中，由余弦定理得，所以①，在△ABD′中，由余弦定理得，所以②，联立①②得x＝2，所以BC＝6．故答案

为：6．15．解：易知f′（x）＝（k+）•﹣﹣1，由题意可得f′（x1）＝f′（x2），即（k+）•﹣﹣1＝（k+）•﹣﹣1，因为x1≠x2，化简可得4（+）＝k+，即4（x1+x2）＝（k+）x1x2，而x1x2＜（）2，所以4（x1+x2）＜（k+）（）2，则x1+x2＞，当k≥1时

，由基本不等式可得≤＝4，当且仅当k＝＞1时，取等号，所以x1+x2＞4，所以x1+x2的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．16．解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F为（，0），可得直线AB的方程为x＝y+，由，消去x可得y2﹣2py﹣p2

＝0，∴y1+y2＝2p，y1y2＝﹣p2，∵点M的坐标为（，p），∴k1＝＝，同理k2＝，∴k1+k2＝+＝2﹣p（+）＝2﹣＝2﹣＝4.17.（1）(1)因为()*21nnSan=−N，①所以()11212nnSan−−=−，

②由①式-②式得()1222nnnaaan−=−，即()122nnaan−=，又当1n=时，1121aa=−，解得11a=，所以na是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nna−=.(2)122112nnnS

−==−−，()()11112111221212121nnnnnnnnnabSS−+++===−−−−−，12231111111111112212121212121221nnnnT++=−+−++−=−−

−−−−−−112111022121nnnnTT+++−=−−−，所以nT单调递增，且12nT→，所以12m.18．又BE为圆柱的母线，BE⊥平面ABC.BEAM⊥，BCBEB=QI，AM⊥平面BCDE.又AM平面AEM，平面

AEM⊥平面BCDE．（2）由题可设BCBEt==，由ABC是底面圆的内接正三角形易得32AMt=，底面圆的半径33rt=．231833VrBEt===圆柱．23t=由（1）可知，AM⊥平面

BCDE．2111233ABCDEVBCBEAMtAM−===．19．（1）对此事不关注的16名同学，成绩从低到高依次为46，52，53，56，63，63，64，66，68，72，74，76，78，

78，84，92中位数为6668672+=；平均数为()14652535663636466687274767878849267.812516+++++++++++++++=；（2）因为对此事不关注的16个人中共有12人及格，所以所求概率

123164P==，（3）政治成绩优秀政治成绩不优秀合计对此事关注者101424对此事不关注者21416合计122840()224010142143.8893.84112282416k−=

所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系．20．解：（1）因为e＝，设椭圆的标准方程为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组，消去x可得，2y2﹣2y+1﹣

b2＝0，所以，因为OP⊥OQ，所以，故，解得b＝1，故椭圆C的方程为；（2）是定值，理由如下：因为直线l：y＝kx+m（k＞0，m＜0）与圆x2+y2＝1相切，所以，即m2＝1+k2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y可得，（4k2+

1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以△＝16（4k2﹣m2+1）＝48k2＞0，所以，故＝＝，又m2＝1+k2，所以，因为k＞0，m＜0，所以0＜x1＜2，0＜x2＜2，因为＝，同理可得，所以，所以，故△ABF的周长是定值4．21．解：(23)()

2(cossin)2Igxaxxxx=++−，函数()gx在0x=处的切线与x轴平行，则(0)20ga=+=,得2a=−．()II证明：①当[0x，1]时，2(1)1(1)(1)xxxxexxexe−−+−+−

厖，令()(1)(1)xxhxxexe−=+−−，则()()xxhxxee−=−．当[0x，1]时，()0hx…，()hx在[0，1]上是增函数，()(0)0hxh=…，即()1fxx−…．②当[0x，1]时，1()11xfxexx++剠，令()1xuxex=−−，则()1xux

e=−．当[0x，1]时，()0ux…，()ux在[0，1)单调递增，()(0)0uxu=…，1()1fxx+„，综上可知：11()1xfxx−+剟；（Ⅲ）解：设231()()()(1)(12cos)2

xGxfxgxxeaxxxx−=−=+−+++231112cos(12cos)22xxaxxxxxax−−−−−=−+++…．令2()2cos2xHxx=+，则()2sinHxxx=−，令()2sinKxxx=−，则()12cosKxx=−．当[

0x，1]时，()0Kx，可得()Hx是[0，1)上的减函数，()(0)0HxH=„，故()Hx在[0，1)单调递减，()(0)2HxH=„．1()3aHxa+++„．当3a−„时，()()fxgx…在[0，1)上恒成立．下面证明当3a−时，()(

)fxgx…在[0，1)上不恒成立．23111()()(12cos)(2cos)1212xfxgxaxxxxxaxxx−−+++=−+++++„．令211()2cos()121xvxaxaHxxx=+++=++++，则21()

()(1)vxHxx−=++．当[0x，1]时，()0vx„，故()vx在[0，1]上是减函数，()(12cos1vxa++，3]a+．当3a−时，30a+．存在0(0,1)x，使得0()

0vx，此时，00()()fxgx．即()()fxgx…在[0，1)不恒成立．综上实数a的取值范围是(−，3]−．22.（1）由曲线1C的参数方程为12312xtyt=−=+(t为参数)，消去参数，可得310xy+−=，即曲线1:310Cxy+−=，当1k=

时，曲线C2为3sin()44+=，可得223(cossin)422+=，因为cos,sinxy==，可得3232422xy+=，即曲线C2的直角坐标方程33420xy+−=.（2）当2k=时，曲线C2为2213

sin()42++=，可得2223cos4+=，又由cos,sinxy==，可得2C的直角坐标方程为2244xy+=，将1C的参数方程代入整理得2743120,Δ0tt+−=，设,AB对应的参数分别为12,

tt，可得12124312,,77tttt+=−=−所以121212121111127ttttPAPBtttt+−+=+==()212124261237tttt+−==.23．解得2x−≤，所以2x−≤；当113x−时，()1333410fxxx

=−++=，x；当13x时，()31336210fxxxx=−++=+，解得43x，所以43x.综上，不等式()10fx的解集为4(,2][,)3−−+.（2）证明：因为,ab为正数，则(

)fxab+等价于()2fxabab++对任意的xR恒成立.又因为()|31||33|4fxxx=−++，且2ab+=，所以只需证1ab，因为12abab+=，当且仅当1ab==时等号成立.所以()fxab+成立

.