【文档说明】浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.673 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期浙江七彩阳光联盟期中联考高二年级数学学科一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列na的前n项和为2nSn=，则789aaa++等于（）A.32B.45

C.51D.56【答案】B【解析】【分析】直接利用2nSn=，将所求结果转化成96SS−，即可求出结果.【详解】因为数列na的前n项和为2nSn=，则22789969645aaaSS++=−=−=,故选：B.2.如果直线1l：10xty++=与直线

2l：1640txy+−=平行，那么实数t的值为（）A.4B.4−C.4或4−D.1或4−【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为直线1l：10xty++=与直线2l：1640txy+−=平行，所

以()2116141tt=−，解得4t=.故选：A3.若曲线()esinxfxxm=++在0x=处的切线方程为210xny−+=，则（）A.1m=，1n=−B.1m=−，1n=C.0m=，1n=−D.0m=，1n=

【答案】D【解析】【分析】由导数的几何意义可求得n的值，可得出切线方程，将切点坐标代入切线方程，可得出()0f的值，再结合函数解析式可求得m的值.【详解】因为()esinxfxxm=++，则()ecosxfxx=

+，则()020ecos02fn==+=，可得1n=，所以，曲线()esinxfxxm=++在0x=处的切线方程为210xy−+=，将切点()()0,0f的坐标代入切线方程可得()01f−=，解得()01f=，又因为()011fm=+=，解得0m=，因此，0m=，1n

=.故选：D.4.等差数列na的公差不为0，其前n和nS满足10nSS，则12313aaaa++的取值范围为（）A.89,910B.910,1011C.89,910D.910,1011

【答案】C【解析】【分析】由题意得出10S是{}nS的最大值，从而有10,0ad，且100a，110a，由此得出1da的范围，推导出结论．【详解】等差数列na的公差d不为0，其前n和nS满足10nSS，因此10S是{}nS的最大值，显然10,0a

d，从而101100aa，即1190100adad++，11910aad−−，111910da−−，123111111()(2)133aaaaadaddaaa++++++==+89

[,]910．故选：C．5.若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（）A.22B.3

4C.36D.32【答案】A【解析】【分析】由题设条件易证PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空直角坐标系，求直线PA的方向向量与平面PCE的法向量，用向量法

求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【详解】由ADDE⊥，ABBF⊥，可得PAPE⊥，PAPF⊥，2222222EFCECFDEBFPEPF=+=+=+，则PEPF⊥，PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空直

角坐标系，可得()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,22aaPEFAa，设(),,Cxyz，由2ACa=，2aCEFC==，有()22222222222222424xyzaaaa

xyzaaxyz++−=+−+=−++=，解得333axayaz===−，即得,,333aaaC−，所以可得,0,02aPE=，,,333aaaPC=−，设平

面PCE的一个法向量(,,)nxyz=，033302axayaznPCaxnPE=+−===，令1y=，则0,1xz==，所以平面PCE的一个法向量为(0,1,1)n=，又()0,0,PAa=，设PA与

平面PCE所成角为，所以2sincos,22PAnaPAnaPAn====.故选：A6.已知函数()2lnfxxtx=−存在两个零点，则实数t的取值范围为（）A.e,2+B.()e,+C.()

2e,+D.()3e,+【答案】C【解析】【分析】将问题转化为ln2xxt=有两个不同的实数根，构造函数()lnxgxx，=利用导数求解单调性即可求解最值.【详解】()2lnfxxtx=−存在两个

零点，则()2ln0fxxtx=−=有两个不同的实数根，当0=t时，只有一个零点，不符合题意，故0t，即ln2xxt=有两个不同的实数根，记()()2ln1lnxxgxgxxx，−==，当ex时，()

0gx，此时()gx单调递减，当0ex时，()0gx，此时()gx单调递增，故当ex=时，()gx取极大值也是最大值()1eeg=，又当01x时，()0gx，如图为()gx的图象要使()ln2x

gxxt==有两个不同的实数根，则210et<<，所以2et>，故选：C7.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点为1F，2F，过2F的直线l分别交双曲线C的左、右两支于A、B.若112::3:2:1BFAFBF

=，则双曲线C的渐近线方程为（）A.364yx=B.263yx=C.233yx=D.334yx=【答案】B【解析】【分析】由211::1:2:3BFAFBF=，设2BFk=，12AFk=，13BFk=,根据双曲线的定义可得12122,4,3,AFaAFaBFaBFa====，利用

余弦定理列出方程，结合222cab=+求出ba，从而可求出渐近线方程.【详解】因为211::1:2:3BFAFBF=，设2BFk=，12AFk=，13BFk=,其中0k，由双曲线的定义可知，12212,2BFBFaAFAFa−=−=，即232,22kkaAFka−=−=，得2,4

kaAFk==，所以12122,4,3,AFaAFaBFaBFa====，而122FFc=，在12AFF△中，由余弦定理得2222222212121222124164204cos21616AFAFFFaacacFAFA

FAFaa+−+−−===，在1AFB△中，由余弦定理得2222221112214991cos2123AFABBFaaaFAFAFABa+−+−===，所以2222041163aca−=，得22311ca=，又222cab=+，所

以2238ba=，得263ba=，双曲线的渐近线方程为263yx=.故选：B．8.已知1ea−=，242ln2eb−=，10ln10c=，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小为（）A.bacB.cbaC.abcD.cab【答案】C【解析】【分析

】通过变形得到lneea=，22eln2e2b=，ln1010c=，再构造函数ln()xfxx=，利用其单调即可得出结果.【详解】因为1eeelna−==，22222eln42ln2lneln22eee22b−−===，又由10ln10c=，得到ln1010c=，令l

n()xfxx=，则21ln()xfxx−=，所以，当(0,e)x时，()0fx，当()x,e+时，()0fx，即ln()xfxx=在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+)上单调递减，又因

为2ee102，所以2e(e)()(10)2fff，即abc，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()2exfxx=，

Rx.下列结论正确的是（）A.函数()fx不存最大值，也不存在最小值B.函数()fx存在极大值和极小值C.函数()fx有且只有1个零点D.函数()fx的极小值就是()fx的最小值【答案】BCD【解析】【分析】利用导数研究函数()fx的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念

依次判断选项即可.【详解】2()e,Rxfxxx=，则()(2)exfxxx=+，令()020fxx−，令()02fxx−或0x，所以函数()fx在(2,0)−上单调递减，在(,2)−

−和(0,)+上单调递增，且(0)0f=，2()e0xfxx=，如图，所以min()(0)0fxf==，函数在2x=−处取得极大值，在0x=处取得极小值，极小值(0)f即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选：BCD.10.已知

nS是数列na的前n项和，84S17S=．下列结论正确的是（）A.若na是等差数列，则12448SS=B.若na是等比数列，则124273SS=C.若na是等比数列，则公比一定为2D.若n

a是等比数列，则公比是2或－2【答案】AB【解析】【分析】由等差数列、与等比数列的前n项和的定义与性质求解．【详解】84S17S=，则88416()SSS=−，在若{}na是等差数列，则484128,

,SSSSS−−成等差数列，因此12884442()31SSSSSS−=−−=，所以12448SS=，A正确；若{}na成等比数列，当1q=−时，840SS==，满足84S17S=，此时也满足124273SS=，但CD显然错误，当1q−时，0nS

，则484128,,SSSSS−−成等比数列，28412844()256SSSSSS−−==，所以1244425617273SSSS=+=，B正确．故选：AB．11.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M为1DD的中点，动点N在平面ABCD

内的轨迹为曲线Γ.下列结论正确的有（）A.当1MNBN⊥时，Γ是一个点B.当动点N到直线1DD，1BB的距离之和为22时，Γ是椭圆C.当直线MN与平面ABCD所成的角为60时，Γ是圆D.当直线MN与平面11ADDA所成

的角为60时，Γ是双曲线【答案】ACD【解析】【分析】对于选项ACD，通过建立空间直接坐标系，利用向量法逐一对选项ACD进行分析判断即可得出结果；对于选项B，利用正方体中的线面关系，动点N到直线1DD，1BB的距离转化成,DNBN的长，利用几何关系即可得出结果.【详解】如图建立空间直角坐标，因为

正方形的棱长为2，则有11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2),(0,0,2)DABCBD，又M为1DD的中点，所以(0,0,1)M，设(,,0)Nxy，选项A，因为(,,1)MNxy=−，1(2,2,2)BNxy=−−−，又1MNB

N⊥，所以1(2)(2)20MNBNxxyy=−+−+=，即222220xyxy+−−+=，也即22(1)(1)0xy−+−=，所以1xy==，此时，曲线Γ为点(1,1,0)N，故选项A正确；选项B，连接,DNBN，易知动

点N到直线1DD，1BB的距离即为线段,DNBN的长，而又易知22BD=，当点N不在线段BD上时，有22DNBNBD+=，所以当动点N到直线1DD，1BB的距离之和为22时，点N在线段BD上，此时曲线Γ为线段BD，故选项B错误；选项C，易知平面ABCD的一个法向量为(0,

0,1)n=，(,,1)MNxy=−，所以当直线MN与平面ABCD所成的角为60时，有2213sin60cos,21MNnMNnMNnxy====++，化简得2213xy+=，此时曲线Γ为2213xy+=，故选项C正确；选项D，易知平面11ADDA的一个法向量为(0,1,0)n=，(,,

1)MNxy=−，所以当直线MN与平面11ADDA所成的角为60时，有223sin60cos,21yMNnMNnMNnxy====++，化简得2213yx−=，此时曲线Γ为2213yx−=，故选项D正确；故选：ACD.12.已知抛

物线C：24yx=的焦点为F，()11,Axy，()22,Bxy是抛物线C上的两个不同的动点，点A关于x轴的对称点为A，抛物线C的准线交x轴于点P.下列结论正确的是（）A.若直线AB过点F，则121=xx，且124yy=−B.若直线A

B过点F，则P，A，B三点共线C.若直线AB过点P，则121=xx，且124yy=D.若直线AB过点P，则AFBF+的最小值为4【答案】ABC【解析】【分析】设直线AB的方程为1xky=+，与抛物线方程联立利用韦达定理可判断A；结合A分21x=、21x讨论，利用韦达定

理、斜率公式可判断B；设直线AB的方程为1xty=−，与抛物线方程联立利用韦达定理可判断C；由,AB在x轴的同侧，由122+=++AFBFxx利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，若直线AB过点()1,0F，设直线AB的方程为1xky=+，与抛物线方程联立

214xkyyx=+=可得2440yky−−=，易得0，所以124yy=−，则221212116yyxx==，故A正确；对于B，若直线AB过点()1,0F，由A知124yy=−，则221212116yyxx

==，()1,0P−，当21x=时，22y=，不妨设()1,2B，则()1,2A−，()1,2A，所以此时A与B重合，所以,,PAB三点共线；当21x时，()22220,01=+BPykyxx，()()()()()2222222221222222212222

224444111411======−−+−+−+−+++−−BAyyxyyyykxyxyxxxxxyxxxx，所以=BPBAkk，且B为线段、BPBA的共同起点，所以,,PAB三点共线，故B正确；对于C，若直线AB过点P，设直线AB的方程

为1xty=−，与抛物线方程联立214xkyyx=−=可得2440yky−+=，则216160k=−，解得1k−或1k，所以124yy=，则221212116yyxx==，故C正确；对于D，若直线AB过点P，则,AB在x

轴的同侧，即12xx，则121211224+=++++=AFBFxxxx，而12xx，等号不成立，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应的横

线上.13.徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行

路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为_____________里.（取81.12.14=）【答案】5700【解析】【分析】根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】有题意可知：第八匹马、第七匹马、…..

.,第一批马构成首项为500，公比为1.1的等比数列，所以这8匹马的最长日行路程之和为()8500111500114==570011101....?´-，故答案为：570014.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，4AP=，AP与AB，AD

的夹角都是60°，若M是PC的中点，则直线MB与AP所成角的余弦值为_____________.【答案】23417##23417【解析】【分析】记,,ABaADbAPc===，由题意可得0,6abacbc===，易得()1

2BMabc=−++，再由数量积的运算性质求出cos,BMAP，即可求解【详解】记,,ABaADbAPc===，因为3,4ABADPA===，所以||||3,||4abc===.又因为,60ABADPABPAD⊥==，所以0,34cos60

6abacbc====.易得()12BMabc=−++，所以()2222211||()244BMabcabcabacbc=−++=+++−−+，()222134103672642=+++−+=所以342BM=，又()18,2BMAPa

bcc−=++=23417cos,BMAPBMAPBMAP==故答案为：2341715.已知椭圆1C：()222210xymnmn+=和双曲线2C：()222210,0xystst−=的焦点相同，1F，

2F分别为左、右焦点，M是椭圆1C和双曲线2C在第一象限的交点.已知12120FMF=，双曲线2C的离心率为2，则椭圆1C的离心率为_____________.【答案】255##255【解析】【分析】根据焦点三角形结合椭圆和双曲线的定义可得两

类曲线离心率之间的关系，从而可求椭圆的离心率.【详解】设半焦距为c，由椭圆的定义和双曲线的定义可得121222MFMFmMFMFs+=−=，故12MFmsMFms=+=−，由余弦定理可得()()(

)()2222cos1204msmsmsmsc++−−+−=，整理得到22234msc+=，所以222234mscc+=，因为双曲线2C的离心率为2，故2cs=，故221344mc+=，所以2254mc=，故255cm=，故答案为：255.16.若函数()1lnexx

xfxx++=极值点为0x，则()0fx的值为______.【答案】1【解析】【分析】求出导函数，令导函数等于0，判断函数的极值点，进而求出极值即可.【详解】因()1lnexxxfxx++=，所以()

()()21lnexxxxfxx−++=，由0x知210exxx+−，令()ln,0hxxxx=+，则1()10hxx=+，故函数l(n)hxxx=+在(0,)+上单调递增，又1110eeh=−

，()ee10h=+，设000()ln0hxxx=+=，则01eex，所以当00xx时，()0hx，从而()0fx¢>，当0xx时，()0hx，从而()0fx，所以函数()1lnexxxfxx++=在0

(0,)x上单调递增，在0(,)x+上单调递减，故函数()1lnexxxfxx++=有极大值点0x，所以()00000000ln01ln1ln1eexxxxxxxfxx+++++===.为故答案为：1四、解答题：本题共

6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知21naxx+的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为1−.（1）求n和a的值；（2）求22112nxaxxx−+

的展开式中的常数项.【答案】（1）72na==−（2）448【解析】【分析】（1）根据结论得到方程组2128(1)1nna=+=−，解出即可；（2）首先对原式整理为()()72221211222nxaxxxxxxx−−−+=−

−+，写出()7212xx−−+展开式的通项，再求出其常数项即可得到答案.【小问1详解】∵由条件可得2128(1)1nna=+=−，∴解得72na==−.【小问2详解】()()72221211222nxaxxxxxxx−−−+=−−+

.∵()7212xx−−+展开式的通项为：()()()7721143177C2C2kkkkkkkTxxx−−−−+=−=−.∴①当1431k−=−即5k=时，()25172C2168xx−−=；②当1432k−=即4k=时，()32427C2280xx−−−=；∴所求的常数项为1

68280448+=.18.盒子中有2个不同的白球和3个不同的黑球.（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？（2）随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，共有多少种不同的摸球结果？（3）将这些

小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【答案】（1）12（2）10（3）150【解析】【分析】（1）先将3个不同的黑球进行排序，然后将2个

不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，结合插空法可求得结果；（2）对摸出的黑球的个数进行分类讨论，结合组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果；（3）先将这5个小球分为3组，确定每组球的个数，然后再将这三组小球分配给三个不同的盒子，利用分步乘法计数原理可得结果.【小问1详解】解：将

2个不同的白球和3个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，只需先将3个不同的黑球进行排序，然后将2个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为3232AA12=种.【小问2详解】解：

随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，则黑球得个数可以是1或2或3，由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为1221332323CCCCC36110++=++=种.小问3详解】解：先将这5个小球分为3组，则这三组小球的个数分别

为3、1、1或2、2、1，再将这三组小球分配给三个盒子，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为2233535322CC103CA106150A2+=+=种.19.已知等差数列na满足212aa=，且1a，32a−，4a成等比数列.（1）求na的通项公式；【（

2）设na，nb的前n项和分别为nS，nT.若na的公差为整数，且()111nnnnSbS+−=−，求2nT.【答案】（1）25nan=或2nan=（2）2221nnTn=−+【解析】【分析】（1）根据题意，利用等差数列的通项公式和等比中项的应用求出1da、，即可求出na；（2

）根据题意，由（1）可得2nan=，根据等差数列前n项求和公式计算可得()1nSnn=+，则()11111nnbnn=−+++，利用裂项相消求和法计算即可求解.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，∵2112aaad==+，∴1ad=，∵1a，32

a−，4a成等比，∴()21432aaa=−，即()()2111322aadad+=+−，得()22432dd=−，解得25d=或2d=，∴当125da==时，25nan=；当12da==时，2nan=；∴25nan=或2nan=.【小问2详解】因为等差数列{}na的公差为整数，由（1）得

2nan=，所以()()2212nnnSnn+==+，则()()112nSnn+=++，∴()()()()()()()12121111111111nnnnnnnbnnnnnnn++−+=−=−−=−+++++

.∴21234212nnnTbbbbbb−=++++++11111111111111111112233445212221nnnn=−+++++−+++++−−+++++−+1111

1111111111111112233445212221nnnn=−−−+++−−−+++−−−−+++−+11111113352121nn=−+−+−−+−+11121n=−++221nn=−+.20.如图，三棱柱111ABCABC-的体积为

32，侧面11ACCA是矩形，CACB⊥，122ABAAAC===，且已知二面角1AACB−−是钝角.（1）求1AB的长度；（2）求二面角111ABCA−−的大小.【答案】（1）14（2）4【解析】【分析】（1）在平面11CCBB中作1

CH垂直BC延长线于H，利用线面垂直的判定得AC⊥平面1BCC，AC⊥平面11CCBB，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，最后证明出1CH⊥平面ABC，再利用椎体体积公式求出11CH=，最后利用余弦定理和勾股定理即可得到答案.（

2）以C为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面11ABC和平面111ABC的法向量，利用二面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】侧面11ACCA是矩形，则1CCAC⊥，又∵ACCB⊥且1CBCCC=，1,CBCC平面1BCC，∴AC⊥平面1BCC，

∵11//ACAC，∴11AC⊥平面1BCC，1CB平面1BCC，的∴111ACCB⊥，∴221111ABACCB=+.∵可知二面角1CACB−−的平面角1CCB是钝角，∴在平面11CCBB中作1CH垂直BC的延长线于H而1CH平面11CCBB，1CHAC

⊥，ACBC⊥Q，且BCACC=，,BCAC平面ABC，∴1CH⊥平面ABC，CACB⊥，22ABAC==，则1AC=，3BC=，131322ABCS==，∴111113322ABCABCABCVSCHC

H−===，∴11CH=，∴1RtCCH中，11sin2CCH=，∴130CCH=，∴1150BCC=.∵1BCC中，3CB=，12CC=，∴由余弦定理可求得22111132cos34232132CBCBCCCBCCBC

C=+−=+−−=，∴22111111314ABACCB=+=+=.【小问2详解】以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系.∵()0

,0,0C，()1,0,0A，()0,3,0B，()10,3,1C−，∴111(1,3,1)(0,3,0)ACCBCB=−−==，设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则111030ACmxyzCBmy=−−+===，则0y=，令

1x=，则1z=，∴可得平面11ABC的法向量为()1,0,1m=.又可知平面111ABC的法向量为()0,0,1n=.设所求角为θ，∵可知所求二面角为锐角，∴2coscos,2mnmnmn===，0,2，∴二面角111ABCA−−为4.21.已知双曲线()2222

:10,0xyCabab−=的离心率为5，点()2,2P在双曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）若点A、B在双曲线C的左、右两支上，直线PA、PB均与圆()222:03Oxyrr+=相切，记直线PA、PB的斜率分别为1k、2k，ABP的面积

为S.①12kk是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.②已知圆O的面积为8π5，求S.【答案】（1）221312xy−=（2）①是，且121kk=；②704175.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线C的方程；

（2）①设点P且斜率存在的直线l的方程为()22ykx−=−，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径可得出关于k的二次方程，利用韦达定理可得出12kk的值；②根据圆的面积公式可得出2r的值，解出1k、2k的值，可得出直线PA、

PB的方程，将这两条直线的方程与双曲线的方程联立，求出点A、B的横坐标，可求得PA、PB，以及sinAPB的值，利用三角形的面积公式可求得APB△的面积.【小问1详解】解：由题意可得222225441cacabab==+−=，解得32315abc===，所以

，双曲线C的方程为221312xy−=.【小问2详解】解：设过点P且斜率存在的直线l的方程为()22ykx−=−，当直线l与圆O相切时，有2221krk−=+，转化整理为()()2224840rkkr−++−=.（※）①因为1k、2k是方程（※）的两个根，所以，2122414

rkkr−==−为定值；②因为圆O的面积为28ππ5r=，所以，285r=，代入方程（※），可得231030kk−+=，解得113k=，23k=.所以，直线PA、PB的方程分别为()1223yx−=−和

()232yx−=−，联立221433412yxxy=+−=可得23581240xx−−=，()2184351240=−+，所以，124235APAxxx==−，可得6235Ax=−，联立

2234412yxxy=−−=可得2524280xx−+=，2242445285765600=−=−，所以，2814255BPBBxxxx===.所以，214411035PAPAkxx=+−=，2241105PBPBkxx=+−=.设PA、

PB切圆O于M、N，则21055sin522rMPOOP===，所以，225cos1sin5MPOMPO=−=，所以，4sinsin22sincos5MPNMPOMPOMPO===，则()4sinsinπsin5APBMPNMPN=−==，所以，114444704si

n1010223555175SPAPBAPB===.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()()222ln3e125x

fxxxax−=−++−，()()2ln31gxaxxax=+−+，Ra.（1）当2a=时，求函数()gx的单调性；（2）若不等式()()fxgx对任意的()0,x+恒成立，求a的取值范围.【答案

】（1）()gx在定义域()0,+内单调递减（2）3,2e−+【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再次求导，判断导数的正负，即可判断函数的单调性；另解：根据切线不等式，判断导数正负，可判断函数单调性.（2）将()()fxgx变形为()()2ln23el

n2ln3exxxaxxxxx−−−−−−=对任意的()0,x+恒成立，令()lnthxxx==−，继而化为23e2tat−−对任意的)1,t+恒成立，从而转化为函数最值问题，求得答案.【小问1详解】2a=时，()22l

n1gxxxx=+−，定义域为()0,+,∵()2ln22gxxx=+−，令()()2ln22,0uxgxxxx=+−=，∴()()21xuxx−=，当01x时，()0ux，当1x时，()0ux，∴()gx在()0,1上递增，在()1,+上

递减，∴()()10gxg=，仅在1x=时取等号，∴()gx定义域()0,+内单调递减.另解：()()'2ln222ln1gxxxxx=+−=+−,∵ln1−xx（切线不等式），∴ln10xx+−∴()0gx恒成立，∴()gx在定义域()0,+内

单调递减.【小问2详解】将()()fxgx整理、转化为：()()22ln2ln3e3eln2ln3eexxxxxaxxxxx−−−−−−−==对任意的()0,x+恒成立，（※）设()lnthxxx==−，()0,x+,∵()1

xhxx−=，当01x时，()0hx，当1x时，()0hx，∴()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，在∴()()11thxh==≥,∴（※）转化为223etatt−−，即23e2t

at−−对任意的)1,t+恒成立.设()2ettt−=，其中)1,t+，则()23at−≤.∵()()22e10tttt−−=对任意的)1,t+恒成立，∴()t在)1,t+时单调递增,∴()()mi

n11et==，∴()min323eat−=,∴32ea+.∴所求a的范围范围为3,2e−+.【点睛】关键点睛：解答不等式()()fxgx对任意的()0,x+恒成立时，关键一步在于变形，即(

)()22ln2ln3e3eln2ln3eexxxxxaxxxxx−−−−−−−==，从而可构造函数，将问题转化为函数最值问题解决.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com