【文档说明】浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.673 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-8ec3667fd4280cc2973e0ad53405a5d1.html

以下为本文档部分文字说明：

2022学年第二学期浙江七彩阳光联盟期中联考高二年级数学学科一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列na的前n项和为2nSn=，则789aaa++等于（）A.32B.45C.51D.56【答案】B【解析】【分析】直接

利用2nSn=，将所求结果转化成96SS−，即可求出结果.【详解】因为数列na的前n项和为2nSn=，则22789969645aaaSS++=−=−=,故选：B.2.如果直线1l：10xty++=与直线2l：1640txy+−=平行，那么实数t的

值为（）A.4B.4−C.4或4−D.1或4−【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为直线1l：10xty++=与直线2l：1640txy+−=平行

，所以()2116141tt=−，解得4t=.故选：A3.若曲线()esinxfxxm=++在0x=处的切线方程为210xny−+=，则（）A.1m=，1n=−B.1m=−，1n=C.0m=，1n=−D.0m=，1n=【答案】D【解析】【分

析】由导数的几何意义可求得n的值，可得出切线方程，将切点坐标代入切线方程，可得出()0f的值，再结合函数解析式可求得m的值.【详解】因为()esinxfxxm=++，则()ecosxfxx=+，则()020ecos

02fn==+=，可得1n=，所以，曲线()esinxfxxm=++在0x=处的切线方程为210xy−+=，将切点()()0,0f的坐标代入切线方程可得()01f−=，解得()01f=，又因为()011fm=+=，解得0m=，因此，0m=，1n=.故选：D.4.等差数列na的公差不为

0，其前n和nS满足10nSS，则12313aaaa++的取值范围为（）A.89,910B.910,1011C.89,910D.910,1011【答案】C【解析】【分析】由题意得出10S是{}nS的最大值，从而有10,

0ad，且100a，110a，由此得出1da的范围，推导出结论．【详解】等差数列na的公差d不为0，其前n和nS满足10nSS，因此10S是{}nS的最大值，显然10,0ad，从而101100aa，即1190100adad++

，11910aad−−，111910da−−，123111111()(2)133aaaaadaddaaa++++++==+89[,]910．故选：C．5.若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为

CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（）A.22B.34C.36D.32【答案】A【解析】【分析】由题设条件易证PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标原点，PE，PF，PA分别为坐

标轴建立如图所示的空直角坐标系，求直线PA的方向向量与平面PCE的法向量，用向量法求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【详解】由ADDE⊥，ABBF⊥，可得PAPE⊥，PAPF⊥，2222222EFCECFDEBFPEPF=+=+=+，则PEPF⊥，PA，PF，PE三线两两垂直，以P为坐标

原点，PE，PF，PA分别为坐标轴建立如图所示的空直角坐标系，可得()()0,0,0,,0,0,0,,0,0,0,22aaPEFAa，设(),,Cxyz，由2ACa=，2aCEFC==，有()22222222222222424xyzaaaaxyzaaxyz++−=

+−+=−++=，解得333axayaz===−，即得,,333aaaC−，所以可得,0,02aPE=，,,333aaaPC=−，设平面PC

E的一个法向量(,,)nxyz=，033302axayaznPCaxnPE=+−===，令1y=，则0,1xz==，所以平面PCE的一个法向量为(0,1,1)n=，又()0,0,PAa=，设PA与平面P

CE所成角为，所以2sincos,22PAnaPAnaPAn====.故选：A6.已知函数()2lnfxxtx=−存在两个零点，则实数t的取值范围为（）A.e,2+B.()e,+C.()2e,+D.()3

e,+【答案】C【解析】【分析】将问题转化为ln2xxt=有两个不同的实数根，构造函数()lnxgxx，=利用导数求解单调性即可求解最值.【详解】()2lnfxxtx=−存在两个零点，则()2ln0fxxtx=−=有两个不同的实数根，

当0=t时，只有一个零点，不符合题意，故0t，即ln2xxt=有两个不同的实数根，记()()2ln1lnxxgxgxxx，−==，当ex时，()0gx，此时()gx单调递减，当0ex时，()0gx，此

时()gx单调递增，故当ex=时，()gx取极大值也是最大值()1eeg=，又当01x时，()0gx，如图为()gx的图象要使()ln2xgxxt==有两个不同的实数根，则210et<<，所以2et

>，故选：C7.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点为1F，2F，过2F的直线l分别交双曲线C的左、右两支于A、B.若112::3:2:1BFAFBF=，则双曲线C的渐近线方程为（）A.

364yx=B.263yx=C.233yx=D.334yx=【答案】B【解析】【分析】由211::1:2:3BFAFBF=，设2BFk=，12AFk=，13BFk=,根据双曲线的定义可得12122,4,3,AFaAFaBFaBFa====

，利用余弦定理列出方程，结合222cab=+求出ba，从而可求出渐近线方程.【详解】因为211::1:2:3BFAFBF=，设2BFk=，12AFk=，13BFk=,其中0k，由双曲线的定义可知，12212,2BFBFaAF

AFa−=−=，即232,22kkaAFka−=−=，得2,4kaAFk==，所以12122,4,3,AFaAFaBFaBFa====，而122FFc=，在12AFF△中，由余弦定理得2222222212

121222124164204cos21616AFAFFFaacacFAFAFAFaa+−+−−===，在1AFB△中，由余弦定理得2222221112214991cos2123AFABBFaaaFAFAFABa+−+−===，所以2222041163aca

−=，得22311ca=，又222cab=+，所以2238ba=，得263ba=，双曲线的渐近线方程为263yx=.故选：B．8.已知1ea−=，242ln2eb−=，10ln10c=，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小为（）A.bacB.cbaC.

abcD.cab【答案】C【解析】【分析】通过变形得到lneea=，22eln2e2b=，ln1010c=，再构造函数ln()xfxx=，利用其单调即可得出结果.【详解】因为1eeelna−==

，22222eln42ln2lneln22eee22b−−===，又由10ln10c=，得到ln1010c=，令ln()xfxx=，则21ln()xfxx−=，所以，当(0,e)x时，()0fx，当()x,e+时，()0fx，即l

n()xfxx=在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+)上单调递减，又因为2ee102，所以2e(e)()(10)2fff，即abc，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()2exfxx=，Rx.下列结论正确的是（）A.函数()fx不存最大值，也不存在最小值B.函数()fx存在极大值和极小值C.函数()fx有且只有1个零点D.函数()fx的极小值就是()fx的最小值

【答案】BCD【解析】【分析】利用导数研究函数()fx的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可.【详解】2()e,Rxfxxx=，则()(2)exfxxx=+，令()020fxx

−，令()02fxx−或0x，所以函数()fx在(2,0)−上单调递减，在(,2)−−和(0,)+上单调递增，且(0)0f=，2()e0xfxx=，如图，所以min()(0)0fxf==，函数在2x=−处取得极大

值，在0x=处取得极小值，极小值(0)f即为最小值，且函数有且只有一个零点0.故选：BCD.10.已知nS是数列na的前n项和，84S17S=．下列结论正确的是（）A.若na是等差数列，则12448SS=B.若n

a是等比数列，则124273SS=C.若na是等比数列，则公比一定为2D.若na是等比数列，则公比是2或－2【答案】AB【解析】【分析】由等差数列、与等比数列的前n项和的定义与性质求解．【详解】84S17S=，则8

8416()SSS=−，在若{}na是等差数列，则484128,,SSSSS−−成等差数列，因此12884442()31SSSSSS−=−−=，所以12448SS=，A正确；若{}na成等比数列，当1q=−时，840SS

==，满足84S17S=，此时也满足124273SS=，但CD显然错误，当1q−时，0nS，则484128,,SSSSS−−成等比数列，28412844()256SSSSSS−−==，所以1244425617273SSSS=+=，B

正确．故选：AB．11.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M为1DD的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ.下列结论正确的有（）A.当1MNBN⊥时，Γ是一个点B.当动点N到直线1DD，1BB的距离之和为2

2时，Γ是椭圆C.当直线MN与平面ABCD所成的角为60时，Γ是圆D.当直线MN与平面11ADDA所成的角为60时，Γ是双曲线【答案】ACD【解析】【分析】对于选项ACD，通过建立空间直接坐标系，利用向量法逐一对选项ACD进行分析判断即可得出结果；对于选项

B，利用正方体中的线面关系，动点N到直线1DD，1BB的距离转化成,DNBN的长，利用几何关系即可得出结果.【详解】如图建立空间直角坐标，因为正方形的棱长为2，则有11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,2),(0

,0,2)DABCBD，又M为1DD的中点，所以(0,0,1)M，设(,,0)Nxy，选项A，因为(,,1)MNxy=−，1(2,2,2)BNxy=−−−，又1MNBN⊥，所以1(2)(2)20MNBNxxyy=−+−+=，即222220xyxy+−−+=，也即22(1)(1)0xy−+−

=，所以1xy==，此时，曲线Γ为点(1,1,0)N，故选项A正确；选项B，连接,DNBN，易知动点N到直线1DD，1BB的距离即为线段,DNBN的长，而又易知22BD=，当点N不在线段BD上时，有22DNBNBD+=，所以当动点N到直线1DD，1BB的距离之和为22

时，点N在线段BD上，此时曲线Γ为线段BD，故选项B错误；选项C，易知平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n=，(,,1)MNxy=−，所以当直线MN与平面ABCD所成的角为60时，有2213sin60cos,21MNnMNnMNnxy====++，化简得2213xy+=，此时

曲线Γ为2213xy+=，故选项C正确；选项D，易知平面11ADDA的一个法向量为(0,1,0)n=，(,,1)MNxy=−，所以当直线MN与平面11ADDA所成的角为60时，有223sin60cos,21yMNnMNnMNnxy

====++，化简得2213yx−=，此时曲线Γ为2213yx−=，故选项D正确；故选：ACD.12.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，()11,Axy，()22,Bxy是抛物线C上的两个不同的动点，点A关于x轴的对称点为A，抛物线C的准

线交x轴于点P.下列结论正确的是（）A.若直线AB过点F，则121=xx，且124yy=−B.若直线AB过点F，则P，A，B三点共线C.若直线AB过点P，则121=xx，且124yy=D.若直线AB过点P，则AFBF+的最小值为4【答案】ABC【解析】【分析】设直线AB的方

程为1xky=+，与抛物线方程联立利用韦达定理可判断A；结合A分21x=、21x讨论，利用韦达定理、斜率公式可判断B；设直线AB的方程为1xty=−，与抛物线方程联立利用韦达定理可判断C；由,AB在x轴的同侧，由122+=++AFBFxx利用基本不等式可判断D.【

详解】对于A，若直线AB过点()1,0F，设直线AB的方程为1xky=+，与抛物线方程联立214xkyyx=+=可得2440yky−−=，易得0，所以124yy=−，则221212116yyxx==，故A正确；对于B，若直线AB过点()1,0F，由A知124yy=

−，则221212116yyxx==，()1,0P−，当21x=时，22y=，不妨设()1,2B，则()1,2A−，()1,2A，所以此时A与B重合，所以,,PAB三点共线；当21x时，()22220,01=+BPykyxx，()()()()()22222222212

22222212222224444111411======−−+−+−+−+++−−BAyyxyyyykxyxyxxxxxyxxxx，所以=BPBAkk，且B为线段、BPBA的共同起点，所以,,PAB三点共线，故B正确；对于C，若直线AB过

点P，设直线AB的方程为1xty=−，与抛物线方程联立214xkyyx=−=可得2440yky−+=，则216160k=−，解得1k−或1k，所以124yy=，则221212116yyxx==，故C正确；对于D，若直线AB过

点P，则,AB在x轴的同侧，即12xx，则121211224+=++++=AFBFxxxx，而12xx，等号不成立，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应的横线上.13.徐悲

鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.

1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为_____________里.（取81.12.14=）【答案】5700【解析】【分析】根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】有题意可知：第八匹马、第七匹马、…...,第一批马构成首项为500，公比为1.1的等比数列，

所以这8匹马的最长日行路程之和为()8500111500114==570011101....?´-，故答案为：570014.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，4AP=，AP与AB，AD的夹角都是60°，若M是PC的中点，则直线MB与AP所成角的

余弦值为_____________.【答案】23417##23417【解析】【分析】记,,ABaADbAPc===，由题意可得0,6abacbc===，易得()12BMabc=−++，再由数量积的运

算性质求出cos,BMAP，即可求解【详解】记,,ABaADbAPc===，因为3,4ABADPA===，所以||||3,||4abc===.又因为,60ABADPABPAD⊥==，所以0,34cos606abacbc===

=.易得()12BMabc=−++，所以()2222211||()244BMabcabcabacbc=−++=+++−−+，()222134103672642=+++−+=所以342BM=，又()18,2BMAPabcc−=++=23417cos,BMAP

BMAPBMAP==故答案为：2341715.已知椭圆1C：()222210xymnmn+=和双曲线2C：()222210,0xystst−=的焦点相同，1F，2F分别为左、右焦点，M是椭圆1C和双曲线2C

在第一象限的交点.已知12120FMF=，双曲线2C的离心率为2，则椭圆1C的离心率为_____________.【答案】255##255【解析】【分析】根据焦点三角形结合椭圆和双曲线的定义可得两类曲线离心率之间的关系，从而可求椭

圆的离心率.【详解】设半焦距为c，由椭圆的定义和双曲线的定义可得121222MFMFmMFMFs+=−=，故12MFmsMFms=+=−，由余弦定理可得()()()()2222cos1204msmsmsmsc++−−+−=，整理得到22234msc+=，所以222234m

scc+=，因为双曲线2C的离心率为2，故2cs=，故221344mc+=，所以2254mc=，故255cm=，故答案为：255.16.若函数()1lnexxxfxx++=极值点为0x，则()0fx的值为______.【答案】1【解析】【分析】求出导函数，令导函数等于0，判断函

数的极值点，进而求出极值即可.【详解】因()1lnexxxfxx++=，所以()()()21lnexxxxfxx−++=，由0x知210exxx+−，令()ln,0hxxxx=+，则1()10hxx=+，故

函数l(n)hxxx=+在(0,)+上单调递增，又1110eeh=−，()ee10h=+，设000()ln0hxxx=+=，则01eex，所以当00xx时，()0hx，从而()0fx¢>，当0xx时，()0hx，从而()0fx

，所以函数()1lnexxxfxx++=在0(0,)x上单调递增，在0(,)x+上单调递减，故函数()1lnexxxfxx++=有极大值点0x，所以()00000000ln01ln1ln1eexxxxxxxfxx+++++===.为故答案为：1四、解答题：本题共6小

题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知21naxx+的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为1−.（1）求n和a的值；（2）求22112nxaxxx

−+的展开式中的常数项.【答案】（1）72na==−（2）448【解析】【分析】（1）根据结论得到方程组2128(1)1nna=+=−，解出即可；（2）首先对原式整理为()()72221211222nxaxxxxxxx−−−+=−−+，写出(

)7212xx−−+展开式的通项，再求出其常数项即可得到答案.【小问1详解】∵由条件可得2128(1)1nna=+=−，∴解得72na==−.【小问2详解】()()72221211222nxaxxxxxxx−−−+=−−+.

∵()7212xx−−+展开式的通项为：()()()7721143177C2C2kkkkkkkTxxx−−−−+=−=−.∴①当1431k−=−即5k=时，()25172C2168xx−−=；②当1432k−=即4k=时，()32427C2280xx−−−=；∴所求的常数项为16828

0448+=.18.盒子中有2个不同的白球和3个不同的黑球.（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？（2）随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，共有多少种不同的摸球结果？（3）将这些小球分别放入另外

三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？（注：要写出算式，结果用数字表示）【答案】（1）12（2）10（3）150【解析】【分析】（1）先将3个不同的黑球进行排序，然后将2个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，结合插空法可求得结

果；（2）对摸出的黑球的个数进行分类讨论，结合组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果；（3）先将这5个小球分为3组，确定每组球的个数，然后再将这三组小球分配给三个不同的盒子，利用分步乘法计数原理可得结果.【小问1详解】解：将2个不同的白球和3个不同的黑球排成一排，使得黑球互不

相邻，白球也不相邻，只需先将3个不同的黑球进行排序，然后将2个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为3232AA12=种.【小问2详解】解：随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中

至少有1个黑球，则黑球得个数可以是1或2或3，由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为1221332323CCCCC36110++=++=种.小问3详解】解：先将这5个小球分为3组，则这三组小球的个数分别为3、1、1或2、2、1，再将这三组小球分配给三个盒子，由分步乘法计数原理可知

，不同的放法种数为2233535322CC103CA106150A2+=+=种.19.已知等差数列na满足212aa=，且1a，32a−，4a成等比数列.（1）求na的通项公

式；【（2）设na，nb的前n项和分别为nS，nT.若na的公差为整数，且()111nnnnSbS+−=−，求2nT.【答案】（1）25nan=或2nan=（2）2221nnTn=−+【解析】【分析】（1）根据题意，利用

等差数列的通项公式和等比中项的应用求出1da、，即可求出na；（2）根据题意，由（1）可得2nan=，根据等差数列前n项求和公式计算可得()1nSnn=+，则()11111nnbnn=−+++，利用裂项相消求和法计算即可求解.【小问1详解】设等差数列na的公差

为d，∵2112aaad==+，∴1ad=，∵1a，32a−，4a成等比，∴()21432aaa=−，即()()2111322aadad+=+−，得()22432dd=−，解得25d=或2d=，∴当125da==时，25nan=；当12da==时，2nan=；∴2

5nan=或2nan=.【小问2详解】因为等差数列{}na的公差为整数，由（1）得2nan=，所以()()2212nnnSnn+==+，则()()112nSnn+=++，∴()()()()()()()12121111111111nnnnnnnbnnnnnnn++−+=

−=−−=−+++++.∴21234212nnnTbbbbbb−=++++++11111111111111111112233445212221nnnn=−+++++−+

++++−−+++++−+11111111111111111112233445212221nnnn=−−−+++−−−+++−−−−+++−+11111113352121nn=−+−+−−+−+1112

1n=−++221nn=−+.20.如图，三棱柱111ABCABC-的体积为32，侧面11ACCA是矩形，CACB⊥，122ABAAAC===，且已知二面角1AACB−−是钝角.（1）求1AB的长度；（2）求二面角111ABCA−−的大小.【答案】（1）14（2）4【解析】【分析】（1）在

平面11CCBB中作1CH垂直BC延长线于H，利用线面垂直的判定得AC⊥平面1BCC，AC⊥平面11CCBB，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，最后证明出1CH⊥平面ABC，再利用椎体体积公式求出11CH=，最后利用余弦定理和勾股定理即可得到答案.（2）以C为坐标原点建立合适的空间直角坐

标系，求出平面11ABC和平面111ABC的法向量，利用二面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】侧面11ACCA是矩形，则1CCAC⊥，又∵ACCB⊥且1CBCCC=，1,CBCC平面1BCC，∴AC⊥平

面1BCC，∵11//ACAC，∴11AC⊥平面1BCC，1CB平面1BCC，的∴111ACCB⊥，∴221111ABACCB=+.∵可知二面角1CACB−−的平面角1CCB是钝角，∴在平面11CCBB中作1CH垂直BC的延长线

于H而1CH平面11CCBB，1CHAC⊥，ACBC⊥Q，且BCACC=，,BCAC平面ABC，∴1CH⊥平面ABC，CACB⊥，22ABAC==，则1AC=，3BC=，131322ABCS==，∴1111133

22ABCABCABCVSCHCH−===，∴11CH=，∴1RtCCH中，11sin2CCH=，∴130CCH=，∴1150BCC=.∵1BCC中，3CB=，12CC=，∴由余弦定理可求得22111132cos34232

132CBCBCCCBCCBCC=+−=+−−=，∴22111111314ABACCB=+=+=.【小问2详解】以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系.∵()0,0,0C，()1,0,

0A，()0,3,0B，()10,3,1C−，∴111(1,3,1)(0,3,0)ACCBCB=−−==，设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则111030ACmxyzCBmy=−−+===，则0y=，令1x=，则1z=，∴可得平

面11ABC的法向量为()1,0,1m=.又可知平面111ABC的法向量为()0,0,1n=.设所求角为θ，∵可知所求二面角为锐角，∴2coscos,2mnmnmn===，0,2，∴二面角111ABCA−−为4.21.已知双曲线()2222:

10,0xyCabab−=的离心率为5，点()2,2P在双曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）若点A、B在双曲线C的左、右两支上，直线PA、PB均与圆()222:03Oxyrr+=相切，记直线PA、PB的斜率分别为1k、2k，ABP的面积为

S.①12kk是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.②已知圆O的面积为8π5，求S.【答案】（1）221312xy−=（2）①是，且121kk=；②704175.【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线C的方程

；（2）①设点P且斜率存在的直线l的方程为()22ykx−=−，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径可得出关于k的二次方程，利用韦达定理可得出12kk的值；②根据圆的面积公式可得出2r的值，解出1k、2k的值，可得出直线PA、PB的方程，将这两条直线的方程与双曲线的方程联立，求出点A、B的横坐标，可

求得PA、PB，以及sinAPB的值，利用三角形的面积公式可求得APB△的面积.【小问1详解】解：由题意可得222225441cacabab==+−=，解得32315abc===，所以，双曲线C的方程为221

312xy−=.【小问2详解】解：设过点P且斜率存在的直线l的方程为()22ykx−=−，当直线l与圆O相切时，有2221krk−=+，转化整理为()()2224840rkkr−++−=.（※）①因为1k、

2k是方程（※）的两个根，所以，2122414rkkr−==−为定值；②因为圆O的面积为28ππ5r=，所以，285r=，代入方程（※），可得231030kk−+=，解得113k=，23k=.所以，直线PA、PB的方程

分别为()1223yx−=−和()232yx−=−，联立221433412yxxy=+−=可得23581240xx−−=，()2184351240=−+，所以，124235APAxxx==−，可得

6235Ax=−，联立2234412yxxy=−−=可得2524280xx−+=，2242445285765600=−=−，所以，2814255BPBBxxxx===.所以，214411035PA

PAkxx=+−=，2241105PBPBkxx=+−=.设PA、PB切圆O于M、N，则21055sin522rMPOOP===，所以，225cos1sin5MPOMPO=−=，所以，4sinsin22sincos5MPNMPOMPOMPO===，则()4sins

inπsin5APBMPNMPN=−==，所以，114444704sin1010223555175SPAPBAPB===.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而

得到定值．22.已知函数()()222ln3e125xfxxxax−=−++−，()()2ln31gxaxxax=+−+，Ra.（1）当2a=时，求函数()gx的单调性；（2）若不等式()()fxgx

对任意的()0,x+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）()gx在定义域()0,+内单调递减（2）3,2e−+【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再次求导，判断导数的正负，即可判断函数的单调性；另解：根据切线不等式，判断导数正负，可判断函数单调性.（2）将()()f

xgx变形为()()2ln23eln2ln3exxxaxxxxx−−−−−−=对任意的()0,x+恒成立，令()lnthxxx==−，继而化为23e2tat−−对任意的)1,t+恒成立，从而转化为函数最值问

题，求得答案.【小问1详解】2a=时，()22ln1gxxxx=+−，定义域为()0,+,∵()2ln22gxxx=+−，令()()2ln22,0uxgxxxx=+−=，∴()()21xuxx−=，当01x时，()0ux，当1x时，()0ux，∴()gx在()

0,1上递增，在()1,+上递减，∴()()10gxg=，仅在1x=时取等号，∴()gx定义域()0,+内单调递减.另解：()()'2ln222ln1gxxxxx=+−=+−,∵ln1−xx（切线不等式

），∴ln10xx+−∴()0gx恒成立，∴()gx在定义域()0,+内单调递减.【小问2详解】将()()fxgx整理、转化为：()()22ln2ln3e3eln2ln3eexxxxxaxxxxx−−−−−−−==对任意的()0,x+恒成立，（※）设()lnth

xxx==−，()0,x+,∵()1xhxx−=，当01x时，()0hx，当1x时，()0hx，∴()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，在∴()()11thxh==

≥,∴（※）转化为223etatt−−，即23e2tat−−对任意的)1,t+恒成立.设()2ettt−=，其中)1,t+，则()23at−≤.∵()()22e10tttt−−=对任意的)1,t+恒成立，∴()t在)1,t+时单调递增,

∴()()min11et==，∴()min323eat−=,∴32ea+.∴所求a的范围范围为3,2e−+.【点睛】关键点睛：解答不等式()()fxgx对任意的()0,x+恒成立时，关键一步在于变形，即()()22ln2ln3e3eln2ln3eexxxxxaxxx

xx−−−−−−−==，从而可构造函数，将问题转化为函数最值问题解决.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com