【文档说明】四川省绵阳市东辰学校2023-2024学年高一上学期入学测试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，2.178 MB，由小赞的店铺上传

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数学试卷（时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全国财政安排农村义务教育经费1840亿元，全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段5200万名学生的学杂费，为3730万名贫困家庭学生免费提供教科书，对78

0万名寄宿学生补助了生活费．在这组数据中，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为（）A.111.8410B.75.210C.73.7310D.67.810【答案】B【解析】【分析】根据科学

记数法的定义即可求解．【详解】5200000075.210=，选故：B．2.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假

定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（）A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟【答案】C【解析】【分析】先求出他改乘出租车赶往考场的速度和到考场的时间，再求出步行到达考场的时间，进而即可求出答案．【详解】他改乘出租车赶往考场

的速度是1112248−=，所以到考场所用的时间是111011648+−=(分钟)，考生10分钟走了总路程的14，所以考生的步行速度为1110440=，所以考生步行到达考场的时间是114040=(分钟)，401624−=(分钟)，所以他到达考场所花的时间比

一直步行提前了24分钟，故选：C．3.由小到大排列一组数据1x，2x，3x，4x，5x，其中每个数据都小于1−，则对于样本1，1x，2x−，3x，4x−，5x的中位数是（）A.312x+B.212xx−C.512x+D.342xx+【答案】C【解析】【分析】根

据中位数计算即可求解.【详解】由于小到大排列一组数据1x，2x，3x，4x，5x，其中每个数据都小于1−，所以123451xxxxx−，则123451xxxxx−−−−−，将1，1x，2x−，3x，4x−，5x

从小到大排列为1x，3x，5x，1，4x−，2x−，故中位数为512x+.故选：C4.已知反比例函数(0)kykx=的图象上有两点()11,Axy，()22,Bxy，且12xx，则12yy−的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定【答案】D【解析】【分析】当0k＜

时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，分类讨论12,xx的符号即可求解．【详解】因为反比例函数(0)kykx=，所以在各自象限内y随x的增大而增大，因为12xx，的所以有三

种情况，120xx，120xx，120xx，当120xx时，120yy，120yy−，当120xx时，120yy，120yy−，当120xx时，120yy，120yy−，所以12xx时，12yy−的值不确定，故选：D．5.一个正方体的表面涂满了颜

色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有(1,2,3)ii=个面涂有颜色的小立方块的个数为ix，则1x，2x，3x之间的关系为（）A.1231xxx−+=B.1231xxx+−=C.1232xxx+−=D.1232xxx−+

=【答案】D【解析】【分析】根据图示：每个面最中间的正方形所在的小立方体只有一个面被涂色，每条棱的中间段所在的小立方体有两个面被涂色，每个顶点所在的小立方体有三个面被涂色，即可得出ix，进而求解．【详解】根据图示：每个面最中

间的正方形所在的小立方体只有一个面被涂色，即16x=；每条棱的中间段所在的小立方体有两个面被涂色，即212x=；每个顶点所在的小立方体有三个面被涂色，即38x=，所以12361282xxx−+=−+=，故选：D．6.如图，在函数3yx=−+的图象上取点P，作PAx⊥轴于A，作PBy⊥轴于点B

，O为原点，且矩形OAPB的面积为2，则符合条件的P点共有（）个.A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】设点P的坐标为(),xy，由图象得2xy=，代入3yx=−+，根据一元二次方程的判别式，

即可判断【详解】设点P的坐标为(),xy，由图象得2xy=，当2xy=时，代入3yx=−+得：2320xx−+=，解得：121,2xx==.当2xy=−时，代入3yx=−+得：2320xx−−=，因为0，所以方程有两个不等的根.所以符合条件的点P有4个.故

选：D7.如图，有一矩形纸片ABCD，10AB=，6AD=，将纸片向右折叠，使𝐴𝐷边落在𝐴𝐵边上，折痕为AE，再将AED△以𝐷𝐸为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CEF△的面积为（）A.10B.8C.6D.4【答案】B【解析】【

分析】根据给定的图形，利用折叠的性质求出,CECF即可求出CEF△的面积.【详解】依题意，第一次折叠后，ADEV是等腰直角三角形，四边形BCED是矩形，有45A=，6BCDEAD===，104CEBDAD==−=；第

二次折叠后，ABF△是等腰直角三角形，642BFABADBD==−=−=，因此4CFBCBF=−=，所以CEF△的面积1144822SCECF===.故选：B8.已知二次函数()20yaxbxca=++的图象如图所示，给出以下结论：①0abc++；②<0abc−+；

③20ba+；④0abc．其中所有正确结论的序号是（）A.①②③B.②③C.①④D.③④【答案】B【解析】【分析】根据图象即可判断①②，根据二次函数图象得出,,abc的符号，结合二次函数对称轴公式即可判断③④．【详解】由题意得，当

1,0xyabc==++，故①错误；当1,0xyabc=−=−+，故②正确；又012ba−，0a，所以2ba−，即20ab+，故③正确；由图象可知，a0,b0,c0，所以0abc，故④错误，故选：B．9.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每

场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】计算共有

6场比赛，考虑A胜B，B胜C，C胜A，且,,ABC胜D的情况排除6分，再判断7分满足条件，得到答案.【详解】一共有246C=场比赛，考虑情况：A胜B，B胜C，C胜A，且,,ABC胜D，则,,ABC均6分，故6分不能保证出线.若得7分，则保证对其他3队不败，最多有一队也是7分，至少

排名第二，保证出线.故选：C.10.已知一个三角形的三边长分别为aab、、，另一个三角形的三边长分别为abb、、，其中ab.若两个三角形的最小内角相等，则ab的值等于（）A.512+B.312+C.322+D.512−【答案】A【解析】【分析】将,,aab的三角形分成两个等腰三角形，边长为,,b

bab−的三角形与边长为,,aab的三角形相似，可得aabbb−=，计算可求得152ab+=.【详解】三角形内，小边对小角，所以边长为,,aab的三角形最小的内角为顶角，边长为,,bba的三角形最小的内角为底角，由题意，这两个角相等．如图，将,,aab的三角形分成两个等腰三角形，即,a

ABACbBCBD====，故题干中,,bba对应为ADB的边长，即bAD=，所以abCD−=，显然~ABCBCD，即BCCDbabABBCab−==所以1baab=−，令atb=，所以11tt=−，所以210tt−−=，解得152t+=或152t−=（舍去），所以15

2ab+=故选：A.二、填空题（每小题4分，共32分）11.有五张不通明的卡片为3，16，π，227，2，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为______.【答案

】2##0.45【解析】【分析】根据无理数的定义及概率公式即可求解．【详解】由题可知，无理数有π和2，共2张，故从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为25，故答案为：2512.函数2yx=的图象如图所示，在

同一直角坐标系内，如果将直线1yx=−+沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数2yx=的图象的交点共有______个.【答案】2【解析】【分析】作出函数图象，数形结合即可求解.【详解】在同一坐标系中，作出函数2yx=和1yx=−+的图象，如下：将1yx=−+沿y轴向上平移2个单位后的

图象如图，.根据图象可知：所得直线与函数2yx=的图象的交点共有2个，分别为()1,2和(2,1).故答案为：213.有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦

+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重.那么，两个轻球的编号是______.【答案】④⑤【解析】【分析】根据前两次称量可知轻球分别在③，④中或⑤，⑥中，结合第三次称量即可求解.【详解】根据第一次①+②比③+④重，可知轻球应

该在③，④中，根据第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，可知轻球应该在⑤，⑥中，根据第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，可知①，③，⑤与②，④，⑧要么均为重量相同的6个球中之一，要么①，③，⑤与②，④，⑧中各有1个轻球，若①，③，⑤与②，④，⑧要么均为重量相同的6个球中之一，这与第一次称相矛

盾，故①，③，⑤与②，④，⑧中各有1个轻球，结合轻球分别在③，④中或⑤，⑥中，故轻球应该是④⑤，故答案为：④⑤14.如图，在矩形ABCD中，8cmAB=，16cmBC=，动点P从点A出发，以1cm/秒的速度向终点B移动，动点Q从点B出发以2cm/秒的速度向终点C移动，则移动到第__

____秒时，可使PBQ的面积最大.【答案】4【解析】【分析】根据题意，列出函数关系，即可由二次函数性质求解最值.【详解】设移动x秒时，面积最大，此时8BPx=−，()2,08BQxx=，所以()()221182841622PBQSPBBQxxxxx=−==-+=--+，故当4x=

时，面积最大，故答案为：415.如图所示，点E为正方形ABCD的边CD上的一点，F为边BC的延长线上一点，且CFCE=．若正方形ABCD的边长为2，且CEx=，DEF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系

式为____________．【答案】()2102yxxx=−+【解析】【分析】由正方形性质及三角形面积公式即可求解．【详解】因为CFCE=，所以CFx=，因为四边形ABCD是正方形，且边长为2，所以90BCDDCF==

，2DECDCEx=−=−，所以()21112222yDECFxxxx==−=−+，的故答案为：()2102yxxx=−+．16.若关于x的分式方程1133axx−=++在实数范围内无解，则实数a=________．【答

案】1【解析】【分析】按照一般步骤解方程，用含a的代数式表示x，由方程无解，得最简公分母为0，代入即可求解a．【详解】分式方程去分母得，()13xa−+=，解得2xa=−−，因为方程1133axx−=++在实数范围内无解，

所以30x+=，即3x=−，所以23−−=−a，解得1a=，故答案为：1．17.平面上两点,AB的距离为ab+（,0ab且为定值），又点,AB到某直线的距离分别为,ab，则这样的直线共有______条．【答案】3【解析】【分析】分别以,AB为圆心，,ab为半径作圆，则两圆外切，由题意得

直线与两圆相切，求解公切线的条数即可.【详解】如图，分别以,AB为圆心，,ab为半径作圆，因为ABab=+，所以A和B外切，又因为点,AB到某直线的距离分别为,ab，所以该直线为A和B的公切线，所以这样的直线有3条，如图所示，故答案为：318.对自然数,,abc，定义新运算*，

使其满足(*)**()abcabc=，(*)(*)*()abacabc=+．则2*4=______________．【答案】16【解析】【分析】根据定义新运算*的第二种运算方法，把2*4逐步转化为()2*1相乘的形式，再根据第一种运算方法求出()2*1，

然后代入进行计算即可求解．【详解】2*42*(31)(2*3)(2*1)=+=[2*(21)](2*1)=+(2*2)(2*1)(2*1)=[2*(11)](2*1)(2*1)=+(2*1)(2*1)(2*1)(2*1)=，因为(2*1)*12*

(11)2*1==，所以2*12=，所以2*4222216==，故答案为：16．三、解答题（共88分）19.（1）计算：1091()(3.14)sin30cos45221−−−+−−；（2）已知2230a

a+−=，求222142442aaaaaaaa−−−−++++的值.【答案】（1）13212；（2）33【解析】【分析】（1）根据根式的计算以及特殊角的三角函数值即可求解，（2）先化简，再整体代入求解.【详解】（1）原式()()121

12122921212+=−+−−+2212134=−++−13212=.（2）原式()()2212242aaaaaaa−−+=−+−+()()()22212(2)4aaaaaaaa

−+−−+=+−()2224242aaaaaaa−−++=−+()12aa=+212aa=+2230aa+−=，223aa+=原式31=33=.20.如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且ABAE=.（1）求证：ABCEAD；（2）若A

E平分DAB，24EAC=，求AED的度数.【答案】（1）证明见解析（2）84o【解析】【分析】（1）通过证明ADBC=、ABAE=、BDAE=来证得ABCEAD.（2）先证得ABE为等

边三角形，然后结合（1）求得AED.【小问1详解】ABCD是平行四边形，//ADBC，ADBC=，DAEAEB=，ABAE=，.AEBB=，BDAE=，ABCEAD.【小问2详解】DAEBAE=，DAEAEB=，BAEAEBB==，ABE为等边三角

形，60BAE=，24EBC=，84BAC=，由（1）知ABCEAD，84AEDBAC==.21.把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的

机会均相等.（1）若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？（2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为m，第二次所得的数为n.把mn、作为点A的横、纵坐标，那么点(),Amn在函数31yx=−的图象上的概率又是多少？【答案】（1）13（2）118【解析】【分析】（1）由古典概型的概率公式即

可求解，（2）利用列表法列举所有基本事件，即可由概率公式求解.【小问1详解】依题意可知：随意掷一次正方体骰子，面朝上的数可能出现的结果有1、2、3、4、5、6共6种，而且它们出现的可能性相等.满足数字大于4（记为事件A）的有2种.所以()13PA=.【小问2详解】依

题意列表分析如下：第二次n第一次m1234561（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）2（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）3（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,

5）（3,6）4（4,1）（42）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）5（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）6（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）由表可以看出，可能出现的结果有36种，而且它们出现的可能性相等，所得

点A（记为事件A）的有（1,2）和（2,5）两种情况，所以在函数31yx=−的图象上的概率为()213618PA==.22.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2，E为BC的中点，以O

E为直径的O交x轴于D点，过点D作DFAE⊥于F．（1）求,OAOC的长；（2）求证：DF为O的切线；（3）小明在解答本题时，发现AOE△是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使AOP也是等腰三角形，且点P一定在O外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．【答案

】（1）3,5OCOA==（2）证明见解析（3）不同意，理由见解析【解析】,【分析】（1）设OCx=，则2OAx=+，根据矩形面积列出方程求解即可；（2）连接OD，证明()OCEABESAS≌，进而得出//ODAE，结合DFAE⊥即可证明；（3）分两种情况进行分析：①AOA

P=；②OAOP=，求出两种情况下使AOP为等腰三角形时点P的坐标，判断它与圆的位置关系，由此解答．【小问1详解】在矩形OABC中，设OCx=，则2OAx=+，依题意得()215xx+=，解得：13x=，25x=−（不合题意，舍去

），所以3OC=，5OA=．【小问2详解】连接OD，如图所示，在矩形OABC中，OCAB=，590,2OCBABCCEBE====，在OCE△和ABE中，因为COABOCBABCCEBE===，所以()OCE

ABESAS≌，所以EAEO=，所以EOAEAO=，又因为OOOD=，所以OODODO=，所以ODOEAO=，所以//ODAE，因为DFAE⊥，所以DFOD⊥，因为点D在O上，OD为O的半径，所以DF为O切线．【小问3详解】

不同意，理由如下：①当OAAP=时，以点A为圆心，以AO为半径画弧交直线BC于1P和4P两点，过1P点作1PHOA⊥于点H，13PHOC==，因为15APOA==，所以4AH=，所以1OH=，则点1(1,3)P；同理可得：4(9,3)P；②当OAOP=时，以点O为圆心，以AO为

半径画弧交直线BC于2P和3P两点，同上可求得23(4,3),(4,3)PP−，因为53,42E,半径614，所以221533761134244OP=−+−=，在O内，2225315761434

244OP=−+−=，在O外，2235335361434244OP=++−=，在O外，2245399761934244OP=−+−=，在O外，因此，在直线B

C上，除了E点外，既存在O内的点1P，又存在O外的点2P、3P、4P，它们分别使AOP为等腰三角形．23.如图，已知P为AOB的边OA上一点，以P为顶点的MPN的两边分别交射线OB于,MN两点

，且MPNAOB==（为锐角）．当MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（MPN保持不变）时，,MN两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OMx=，

(0)ONyyx=，POM的面积为S．若3sin2=，2OP=．（1）当MPN旋转30（即30OPM=）时，求点N移动的距离；（2）求证：OPNPMN；（3）写出y与x之间的关系式；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．【答案

】（1）2（2）证明见解析（3）42yx=−（4）32Sx=，03S【解析】【分析】（1）当PM旋转到PM时，点N移动到点N，点N移动的距离NNONON=−，根据图形计算即可；（2）已知两三角形两角对应相

等，即可证相似；（3）可由（2）问的三角形相似即可得到y与x之间的函数关系式；（4）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．【小问1详解】3sin2=且为锐角，60=，即60BOAMPN==，初始状态时，PON△为等边三角形，2ONOP=

=，当PM旋转到PM时，点N移到点N，30,60OPMBOAMPN===，30MNP=，90MPN=，在RtOPN中，2224ONPO===，422NNONON=−=−=，点N移动的距离是2．【小问2详解】证明：在OPN和PMN中，∵60,PO

NMPNONPPNM===，OPNPMN．【小问3详解】由（2）得OPNPMN，所以2PNONMN=，MNONOMyx=−=−，22()PNONMNyyxyxy==−=−，过P点作PDOB⊥，垂足为D，在RtOPD中，1cos6

021,sin6032ODOPPDPO=====，1DNONODy=−=−，在RtPND中，222222(3)(1)24PNPDDNyyy=+=+−=−+，2224yxyyy−=−+，即42yx=−．【小问4详解】在OPM中，OM边上的高PD为3，1133222

SOMPDxx===，0y，20x−，即2x，又0x>，x的取值范围为02x，S是x的正比例函数且比例系数302k=，3022S，即03S．24.已知关于x的方程2(2)210mxx−++=①．（1）若方程①有实数根，求实数m的取值范

围？（2）若()1,0A、()2,0B，方程①所对应的函数2(2)21ymxx=−++的图象与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围？【答案】（1）3m（2）314m−【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，2m=时为一元一次方程；2m时为一元二次方程，由0

列出不等式求解即可；（2）分类讨论，当2m=时，得出一次函数21yx=+与线段AB无交点；当2m，为二次函数，根据题意列出不等式组，求解即可．【小问1详解】若方程为一元一次方程，则20m−=，即2m=，则210x+

=，解得12x=−，符合题意；若方程为一元二次方程，则20m−，关于x的方程2(2)210mxx−++=有实数根，∴22424(2)0bacm−=−−，解得：3m，3m且2m，综上所述，3m．【小问2详解】设方程①所对应的函数记为221())(2ymxxxf−==++，ⅰ)当20m−

=，即2m=时，221())(2ymxxxf−==++即为21yx=+，令0y=，得12x=−，即此时函数21yx=+的图象与线段AB没有交点；ⅱ)当20m−，即2m，函数为二次函数，依题意有，若二次函数与x轴有2个交点，则Δ0(1)(2)0ff，即3(1)(43)0mmm

+−，解得314m−；若二次函数与x轴只有1个交点，则44(2)0,3mm=−−==，令2()(2)210fxmxx=−++=，解得1x=−，此时二次函数与线段AB无交点；综上所述，实数m的取值范围是：314m−．25.已知抛物线2222yxmxmm=−+−−+.（1）判断

抛物线的顶点与直线:2Lyx=−+的位置关系；（2）设该抛物线与x轴交于MN、两点，当4OMON=，且OMON时，求出这条抛物线的解析式；（3）直线L交x轴于点A，（2）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B.那么在对称轴

上是否存在点P，使P与直线L和x轴同时相切.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的顶点在直线L上（2）264yxx=−−−（3）存在，()3,525−−和()3,525−−−【解析】【分析】（1）利用配方可得顶点式，即可求解顶点坐标求解，（2）根据韦达定理可

得224mm+−=，即可根据二次方程的根求解，（3）根据1122,CPQCPQ均为等腰直角三角形，即可求解.【小问1详解】由抛物线2222(2,2)ymxmmxmmx=−+−−+=−−−+得顶点坐标为(),2mm−+，显

然满足2yx=−+，抛物线的顶点在直线L上.【小问2详解】设()1,0Mx，()2,0Nx，且12xx.由4OMON=，OMON，得124xx=.2122xxmm=+−，224mm+−=当224mm+−=时，12m=，23m

=−，当224mm+−=−时，Δ0，此方程无解()221Δ(2)4248480mmmmm=−+−=−+=−+2m∴.故取3m=−.则抛物线的解析式为264yxx=−−−.【小问3详解】抛物线264yxx=−−−的对称轴为3x=−，顶点()3,5

−.依题意，45CABACB==，若点P在x轴的上方，设()13,(0)Paa−，则点1P到直线L的距离11PQ为a（如图），11CPQ是等腰直角三角形.25aa+=,525a=−.()13,525P−−.若点P在x轴的下方，设()23,(0)P

bb−−，则点2P到直线L的距离22PQ为b（如图），同理可得22CPQ为等腰直角三角形，52bb+=，525b=+.()23,525P−−−.满足条件的点有两个，即()3,525−−和()3,525−−−.