【文档说明】云南省德宏州2020届高三上学期期末考试教学质量检测数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(24)页，2.286 MB，由小赞的店铺上传

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德宏州2020届高三年级秋季学期期末教学质量检测理科数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号

、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试

卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合13Axx=，27100Bxxx=−+，则AB=（）A.1,5B.

)1,5C.(2,5D.)2,3【答案】B【解析】【分析】解不等式得集合25Bxx=，再利用集合并集运算即可得到答案.【详解】27100(2)(5)025Bxxxxxxxx=−+=−−=又13Ax

x=所以15ABxx=故选：B.2.若i为虚数单位，,abR，且2aibii+=+，则复数abi−的模等于（）A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】【分析】首先根据复数相等得到1a=−，2b=，再求abi−的模即可.【详解】因为()21aibiibi

+=+=−+，所以1a=−，2b=.所以()()2212125abii−=−−=−+−=.故选：C3.我国古代著名的数学著作中，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、

《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”.某校数学兴趣小组为了解本校学生对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》阅读的情况，随机调查了100名学生，阅读情况统计如下表，书籍《周髀算经》《九章算术》《周髀算经》且《九章算术》《周髀算经》或《九章算术》阅读人数

70？6090则该100名学生中阅读过《九章算术》的人数为（）A.60B.70C.80D.90【答案】C【解析】【分析】根据统计表分析可得结果.【详解】根据统计表可知，只阅读过《周髀算经》没阅读过《九章算术》的人数为706010−=

人，所以只阅读过《九章算术》没阅读过《周髀算经》的人数为907020−=人，所以阅读过《九章算术》的人数为602080+=人.故选：C【点睛】关键点点睛：理解并运用统计表给出的信息是解题关键.4.已知2sin23+=，则cos2=（）A.1

9B.19−C.459D.459−【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式得2cos3=,再利用二倍角公式化简cos2，然后代值求解即可.【详解】2sin23+=Q，利用诱导公式可得2cos3=，22281cos22c

os1211399=−=−=−=−，故选：B.5.()()5121xx−+展开式3x的系数为（）A.-10B.10C.-30D.30【答案】A【解析】【分析】先求得()51x+的通项公式，然后再由()()()()555121121xxxxx−+=

+−+求解.【详解】()51x+的通项公式为15rrrTxC+=，因为()()()()555121121xxxxx−+=+−+。所以含3x的项为：32325512xxxCC−，()323355210xxCC

=−=−，()()5121xx−+展开式3x的系数为-10，故选：A6.如下图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，E是平面11ADDA的中心，M、N、F分别是11BC、1CC、AB的中点，则下列说法正确的是（）A.12MNEF=，且MN与EF平行B.12MNEF，且MN

与EF平行C.12MNEF=，且MN与EF异面D.12MNEF，且MN与EF异面【答案】D【解析】【分析】设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，利用正方体性质可求得2MN=，3EF=，知12MNEF，再利用三角形中位线性质知1//MNBC，从而//MNED，又EF与ED相交，可知

MN与EF异面，即可选出答案.【详解】设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则22112MNMCCN=+=作E点在平面ABCD的投影点G，即EG⊥平面ABCD，连接,EGGF，在直角EGF△中，1EG=，222GFAGAF=+=，则2222123EFEGGF=+=+=，所以

12MNEF，故排除A、C连接DE，由E是平面11ADDA的中心，得112DEAD=又MN、分别是11BC、1CC的中点，所以1//MNBC又11//ADBC，所以//MNED，又EFEDE=，所以MN与EF异面

故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查正方体中的线面关系，线线平行的关系，及判断异面直线，解题的关键是熟记正方体的性质，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.7.执行如图所示的程序框图，若输入x，y的值分别是288

，123，则输出的结果是（）A.42B.39C.13D.3【答案】D【解析】【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的值，当0r=时，满足条件，输出x的值.【详解】执行程序框图，由288123242=L，知123,42xy==由12342239=

L，知42,39xy==由423913=L，知39,3xy==由393130=L，知3,0xy==，即0r=，输出3x=，结束循环故选：D.8.设ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2coscosco

scBbAaB+=−，则∠B=（）A.6B.3C.56D.23【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得.【详解】由正弦定理可得：2sinCcosBsinBcosAsinAcos

B+=−()2sinsinCcosBABsinC=−+=−，1223cosBB=−=.故选：D【点睛】此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.9.将函数()3sin2cos2fxxx=+的图象向左平移12个单位后得到函数()ygx=的图象，则

下列说法正确的是（）A.()ygx=的图象的一条对称轴为12x=−B.()ygx=在0,12上单调递增C.()ygx=在06,上的最大值为1D.()ygx=的一个零点为23【答案】B【解析】【分析】对选项A，1212g−=，即可判断A

错误；对选项B，求出()gx的单调区间即可判断B正确；对选项C，求出()gx在06,的最大值即可判断C错误；对选项D，根据2303g=−，即可判断D错误.【详解】()3sin2cos22sin26fxxxx=+=+，()2sin

22sin21263gxxx=++=+.对选项A，因为2sin2sin1212636g−=−+==，故A错误；对选项B，因为222232kxk−+++

，kZ.解得51212kxk−++，kZ.当0k=时，函数()gx的增区间为5,1212−，所以()ygx=在0,12上单调递增，故B正确；对选项C，因为06x，所以22333x+，所以3sin2123x+，(

)32gx，()max2gx=，故错误；对选项D，24522303333gsinsin=+==−，故D错误.故选：B10.设1F，2F分别为双曲线22134xy−=的左，右焦点，点P为双曲线上的一点.若12120FPF=

，则点P到x轴的距离为（）A.2121B.22121C.42121D.21【答案】C【解析】【分析】如图，设1=PFm，2=PFn，由双曲线定义知=23mn−，平方得：22212mnmn+−=，在12FPF△中利用余弦定理可得：2228mnmn++=，即可得到163mn=，再利

用等面积法即可求得PD【详解】由题意，双曲线22134xy−=中，2223,4,7abc===如图，设1=PFm，2=PFn，由双曲线定义知=223mna−=两边平方得：22212mnmn+−=在12F

PF△中，由余弦定理可得：2222cos120428mnmnc+−==o，即2228mnmn++=两式相减得：316mn=，即163mn=利用等面积法可知：11sin120222mncPD=o，即1632732PD

=解得42121PD=故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F，2F分别为椭圆22221xyab+=的左，右焦点，点P为椭圆上的一点，且12FPF=，则椭圆焦点三角形

面积122tan2FPFSb=（2）设1F，2F分别为双曲线22221xyab−=的左，右焦点，点P为双曲线上的一点，且12FPF=，则双曲线焦点三角形面积122tan2FPFbS=V11.函数()fx是

定义在R上的奇函数，对任意两个正数()1212,,xxxx，都有()()1212fxfxxx，记()2250.2af=，()1bf=，513log3log5cf=−，则,,abc大小关系为（）

A.cbaB.bcaC.abcD.acb【答案】C【解析】【分析】构造函数()()fxgxx=，则函数()gx单调递减，且a=()20.2g，b=()1g，c=()3log5g，通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】构造函数()()fxgxx=，则函数()g

x单调递减，()2250.2af=()()2220.20.20.2fg==，()1bf=()()111fg==，51335clogflog=−()()333log5log5log5fg==，230.21log5，ab

c.故选C.【点睛】本题主要考查函数的单调性及其应用，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.对于正数k，定义函数：()()()(),,fxfxkgxkfxk=.若对函数()ln22fxxx=

−+，有()()gxfx=恒成立，则（）A.k的最大值为1ln2+B.k的最小值为1ln2+C.k的最大值为ln2D.k的最小值为ln2【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数()fx的最大值，由函数()gx的定义结合()()gxfx=恒成立可知()fxk

，由此可得出k的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k，定义函数：()()()(),,fxfxkgxkfxk=，且()()gxfx=恒成立，则()fxk.函数()ln22fxxx=−+的定义域为()0,+，且()111xfxxx−=−=.当01x

时，()0fx，此时，函数()fx单调递增；当1x时，()0fx，此时，函数()fx单调递减.所以，()()max11ln2fxf==+，1ln2k+.因此，k的最小值为1ln2+.故选：B.【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，

本题将问题转为不等式()kfx恒成立，从而将问题转化为求函数()fx的最大值.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2

0分.13.已知()2,1a=r，()1,2b=−r，则2ab−=_______________.【答案】5【解析】【分析】由向量坐标运算先写出向量2ab−rr的坐标，再求模即可.【详解】()()2,1,1,2ab==−rrQ,()22,4b=−r,2(

4,3)ab−=−rr2224+(3)5ab−=−=rr故答案为：5.14.已知抛物线C：()220xpyp=的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作l的垂线交l于点E，且60PFE=，4PF=，则抛物线C的方程为：______________.【答案】2

4xy=【解析】【分析】如图作PEl⊥，60PFE=，由抛物线定义知PFE△是等边三角形，再过焦点F作FMPE⊥，知M为PE的中点，所以2PMME==，即焦点到准线的距离是2p=，即可求得抛物线方程.【详解】抛物线C：()220xpyp=，焦点(0,)2p

F，准线:2ply=−如图，PEl⊥，60PFE=，4PF=，由抛物线定义知4PFPE==，故PFE△是等边三角形，过焦点F作FMPE⊥，交PE于M，则M为PE的中点，所以2PMME==，即焦点到准线的距离是2p=故答案为：24xy=【点睛】关键点睛：

本题考查球抛物线的方程，解题的关键是要熟悉抛物线的定义，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，即可知PFPE=，再利用60PFE=知PFE△是等边三角形，再利用等边三角形性质求解，考查学生的逻辑推导能力，属于中档题.15.设点P在曲线2()2lnfxxx=−上，Q在直线32yx=−上，

则PQ的最小值=________.【答案】1010【解析】【分析】当曲线在点P处的切线与直线32yx=−平行时，PQ最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离，先根据导数的几何意义求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式进行求值.【详解】函

数2()2lnfxxx=−的定义域为(0,)+，求导得1()4fxxx=−，当曲线在点P处的切线与直线32yx=−平行时，PQ最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.设(,)Pmn，由导数的几何意义，可得143mm−=，解得11,4mm==−（舍去），故切点为(1,2)P

，点P到直线32yx=−的距离22322110101031d−−===+所以PQ的最小值为1010故答案为：1010【点睛】结论点睛：本题考查利用导数的几何意义研究曲线上某点的切线方程，需要注意：（1）

已知切点()00(,)Axfx求斜率k，即求该点处的导数值：()0kfx=；（2）已知斜率k，求切点()00(,)Axfx，即解方程()1fxk=；（3）已知过某点()11(,)Mxfx(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点()00(,)Axfx，利用k＝

1210()()fxfxxx−−求解.16.如下图所示，三棱锥PABC−外接球的半径为1，且PA过球心，PAB△围绕棱PA旋转60后恰好与PAC△重合.若3PB=，则三棱锥PABC−的体积为_____________.【答案】38【解析】【分析】作B

HPA⊥于H，可证得PA⊥平面BCH，得60BHC=，得等边三角形BCH，利用PA是球的直径，得PBAB⊥，然后计算出BH，再应用棱锥体积公式计算体积．【详解】∵PAB△围绕棱PA旋转60后恰好与PAC△重合，∴

PABPAC△△，作BHPA⊥于H，连接CH，则,CHPACHBH⊥=，60BHC=，∴BCBHCH==．又PA过球心，∴PBAB⊥，而2,3PAPB==，∴1AB=，同理1AC=，31322PBABBHPA===，223333344216BCHSBH===

△，由BHPA⊥，CHPA⊥，CHBHH=，得PA⊥平面BCH，∴11333233168PABCBCHVSPA−===△．故答案为：38．【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作BHPA⊥于H，利用旋转重合，得PA⊥平面BCH，这样只要计算出

BCH的面积，即可得体积，这样作图可以得出60BHC=，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60，即为60CAB=．旋转60是旋转形成的二面角为60．应用作出二面角的平面

角．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.2018年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.为了解这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两

次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同，某高校一个社团在2018年末随机调查了100位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到部分数据如下表：不相同相同合计男50女15合计100已知

在100名学生中随机抽取1人认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的概率为0.75.（1）完成上表；（2）根据如上的22列联表，有没有97.5%的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关？附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=+

+++（nabcd=+++）.()20PKk0.500.400.250.150.100.050.0250.0100k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246635【答案】（1）表格见解析；（2）有97.5%的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别

有关.【解析】【分析】（1）由0.75的概率计算出认为不相同的总人数，则可完成列联表；（2）计算2K后比较可得结论．【详解】解：（1）不相同相同合计男501060女251540合计7525100（2）()()()()()22nadbcKabc

dacbd−=++++2100(50152510)5.5565.02475256040−=.所以有97.5%的把握认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关.18.设数列na的前n项和

为nS，且22nnSna+=−.（1）证明数列1na+是等比数列，并求出数列na的通项公式；（2）若数列nb中，12b=，12nnbb+=−，求数列nnab+的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析；121nna+=−；（2）nT2224nn+=+−.【

解析】【分析】（1）当2n时，由22nnSna+=−，可得11(1)22nnSna−−+−=−，两式相减，可化为()1121nnaa++=+，结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由题知数列nb是等差数列，则

2nbn=，再利用分组求和法求数列nnab+的前n项和nT.【详解】（1）证明：当1n=时，13a=，当2n时，22nnSna+=−①11(1)22nnSna−−+−=−②由①－②得：121nnaa−+=，1221nnaa−+=

+，即1121nnaa−+=+，故数列1na+是以2为公比，首项为114a+=的等比数列，112nna++=，得121nna+=−.（2）由题得：12nnbb+-=，故nb是以2为公差，2为首项的等差数列，2nbn=.()231(242)222nnTnn+=++

+++++−()412(1)22212nnnnn−−=++−−2224nn+=+−.【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11nnnbaa+=（数列na为等差数

列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法.19.如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中2AB=；将其沿BE折起，使得22AC=，如图②所示.（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上是否

存在一点P，使得二面角PECB−−的余弦值为155？若存在，求出AP的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在P点满足题意要求，1AP=.【解析】【分析】（1）取BE的中点O，连接AO、OC，利用等腰三角形三线合一可得出

AOBE⊥，利用勾股定理可得出AOOC⊥，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点O为坐标原点，OB、OA所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设()01APtACt=，利用空间向量法可得

出关于t的方程，求出t的值，即可得出结论.【详解】（1）取BE的中点O，连接AO、OC，ABE为正三角形且2AB=，AOBE⊥，且3AO=，因为四边形BCDE为正方形，且2BEAB==，225OCOBBC=+=，22PC=，222POOCP

C+=，则AOOC⊥，又BEOCO=，AO⊥平面BCDE.AOQ平面ABE，平面ABE⊥平面BCDE；（2）AO⊥Q平面BCDE，且四边形BCDE是正方形，以点O为坐标原点，OB、OA所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系Oxyz−，则()003A,,、()1,0,0B、()1,2,

0C、()1,2,0D−、()1,0,0E−，OA⊥平面BCDE，所以，面BCE的一个法向量为()0,0,1m=，P在线段AB上，设()(),0,301APtABttt==−，()()1,0,31EPEAAPtt=+=+−，()2,2,0EC=，设平面PEC的法向量

为(),,nxyz=，由00nEPnEC==，得()()1310220txtzxy++−=+=，令()31xt=−，则()31yt=−，1zt=+，()()()31,31,1nttt=−−+，设二面角PCEB−−的平面角为，二面角P

CEB−−的余弦值为155，()()22115coscos,5611mntmnmntt+===−++，整理得22520tt−+=，01t，解得12t=，112APAB==，综上，存在P点满足题意要求，此时1AP=.【点睛】体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根

据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．20.已知函数321()23fxxxax=−+

+，21()42gxx=−.（1）若函数()fx在()0,+上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（2）设()()()Gxfxgx=−.若02a，()Gx在1,3上的最小值为13−，求()Gx在1,3上取得最大值时，对应的x值.【答案】（1）12a−；（2）最大值点

为3116+.3116x+=.【解析】【分析】（1）根据()fx在()0,+上存在单调递增区间，由()2220fxxxa=−++在()0,+上有解求解.（2）由()0Gx=得11182ax−+=

，21182ax++=，根据02a，易得10x，213x，则()Gx在1,3上的最大值点为2x，最小值为()1G或()3G，然后由()()143143GGa−=−+，分14403a−+，14403a−+确定最小值进而求得a即

可【详解】（1）∵()fx在()0,+上存在单调递增区间，∴()2220fxxxa=−++在()0,+上有解，即()max0fx在()0,+上成立，而()fx的最大值为()112fa=+，∴120a+，解得：12a−.（2）3211()()()

2432Gxfxgxxxax=−=−+++，∴()22Gxxxa=−++，由()0Gx=得：11182ax−+=，21182ax++=，则()Gx在()1,x−，()2,x+上单调递减，在()12,xx上单调递增，又∵当02a时，10x，213x，

∴()Gx在1,3上的最大值点为2x，最小值为()1G或()3G，而()()143143GGa−=−+，1当14403a−+，即706a时，()113623Ga=−=−，得136a=，此时，最大

值点23116x+=；2当14403a−+，即726a时，()2511263Ga=+=−，得94a=−（舍）.综上()Gx在1,3上的最大值点为3116+.【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x

)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．21.在平面直角坐标系中，已知()11,0F−，直线l：4x=−，点P为平面内的动点，过点P做直线l的垂线，垂足为点M，且()()11

220PFPMPFPM−+=，点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设()21,0F，过2F且与x轴不重合的直线n与曲线C相交于不同的两点A，B.则1FAB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这

个最大值及此时直线n的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143xy+=；（2）直线n的方程为1x=，1FAB的内切圆的面积最大值为916.【解析】【分析】（1）设点(),Pxy，根据()()11220

PFPMPFPM−+=得到模长关系，由此得到关于,xy的等式即为轨迹方程；（2）利用内切圆的半径分析出1FAB的面积最大时，对应的内切圆半径最大从而内切圆面积最大，再根弦长公式以及点到直线的距离表示出1FABS，并利用导数计算出1FABS的最大值，从而内切圆半径最大值可求，则1FAB的内

切圆的面积最大值可求.【详解】解：（1）设动点(),Pxy，则()4,My−，由()11,0F−，则()11,PFxy=−−−，()4,0PMx=−−，∵()()11220PFPMPFPM−+=，∴2214PFPM=，∴2224(1

)4(4)xyx++=+，化简得：22143xy+=.∴所求曲线C的方程为22143xy+=.（2）设()11,Axy，()22,Bxy，不妨令10y，20y，设1FAB的内切圆半径为R，则1FAB的周长为48a=，(

)111142FABSABFBFARR=++=△，由此可知，当1FAB的面积最大时，1FAB的内切圆面积最大，可设直线n的方程为1xmy=+，联立221143xmyxy=++=，得：()2234690mymy++

−=，∴122122634934myymyym−+=+−=+，则1212122112123?4FABmSFFyym+=−=+△，令21mt+=，则()2211mtt=−，∴1212121313FABtSttt==++△，令()()131ftttt

=+，则()213ftt=−，当1t时，()0ft恒成立，则()13fttt=+在)1,+上单调递增，∴()()14ftf=，即()ft的最小值为4.∴13FABS△，即当1t=时，1FABS的面积最大为3，此时，1FAB的内切圆的最大半径为34R=，所以，1FAB的内

切圆的面积取得最大值为2916SR==.故直线n的方程为1x=，1FAB的内切圆的面积最大值为916.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的思路：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12底高，表示出三角形的面积；（2）根据

直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212ABxx−或1212EFyy−；（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12abcR++（R为内切圆半径）.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号

.选修4－4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，圆1C的圆心坐标为()1,1且过原点，椭圆E的参数方程为2cossinxy==（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为()06=.（1）

求圆1C的极坐标方程和曲线2C的普通方程；（2）若曲线2C与圆1C相交于异于原点的点P，M是椭圆E上的动点，求OPM面积的最大值.【答案】（1）2sin2cos=+；()300xyx−=；（2）7(31)4+.【解析】【分析】（1）求

出圆1C的普通方程，再利用普通方程与极坐标方程之间的转化关系可得出圆1C的极坐标方程，根据极坐标方程与普通方程之间的转换关系可求得曲线2C的普通方程；（2）求出OP的值，设点()2cos,sinM，求出点M到直线OP的最大距离，由三角形的面积公式可求得OPM面积的最大值.【详解】（1）依题意

：圆1C的半径()()2210102r=−+−=，所以，圆1C的标准方程为：()()22112xy−+−=，得22220xyxy+−−=，由222xy+=，cosx=，siny=，得1C的极坐标方程为2sin2co

s=+，由()06=，得2C的普通方程为()300xyx−=；（2）由（1）知1C的极坐标方程为2sin2cos=+，2C的普通方程为()300xyx−=，将()06=代入2sin2cos

=+得31=+，31OP==+.设()2cos,sinM，则M到2C的距离()()222cos3sin7sin213d−+==+−（其中23tan3=−）,72d，当()sin

1+=时，等号成立，()()()maxmax731117312224OPMSOPd+==+=.【点睛】在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．选修4－5：不等式选讲2

3.已知函数()()10fxxmxm=−−−的最大值为2.（1）求m的值；（2）若a，b，c均为正数，且abcm++=.求证：2223abc++.【答案】（1）3m=；（2）证明见解析.【解析】【分析】

（1）根据题意，利用绝对值三角不等式，求得函数最大值为1m−，计算即可求解；（2）由（1）知3abc++=，再利用“1”的代换，利用不等式求得最值，即可得结论.【详解】（1）由()()111xmxxmxm−−−−−−=−，得函数()fx的最大值为12m−=，解得1m=−

或3m=，又0m，3m=.（2）由（1）知：3abc++=，由()()22222222111()3abcabc++++++=，得2223abc++，当且仅当1abc===时，等号成立，2223abc++.【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：“1”的代换：适用于已知两项

的和为定值，求两项积的最小值：二维不等式：()()22222()abcdacbd+++，当且仅当adbc=时，等号成立；一般不等式：222111nnniiiiiiiabab===，

当且仅当1212nnaaabbb===L时，等号成立.