【文档说明】江西省景德镇市浮梁县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学（3、4班）试题含答案.doc，共(20)页，1.474 MB，由小赞的店铺上传

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浮梁一中2020-2021学年度下学期期中考试高一（3,4）班数学试卷考试时间：120分钟；满分:150分第I卷（选择题）一、选择题.本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b

，c，已知352cos6acA===，，，则b等于（）A．2B．3C．2D．32．在ABC中，a，b是A，BÐ所对的边，已知acosBbcosA=，则ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等

腰三角形或直角三角形3．如图，ABC中，,ABaACb==，DC＝3BD，AE＝2EC，则DE等于（）A．1334ab−+B．53124ab−C．3143ab+D．35412ab−+(第3题图)(第6题图)(第

9题图)4．已知cos()6x+＝35，x∈(0，π)，则sinx的值为（）A．43310−−B．43310−C．12D．325．在ABC中，4AB=，6AC=，3ACAM=，CNNB=，3ANBM=−，则ABAC=（）A．32B．3C．6D．156．已知函数

y=f(x)的部分图象如图所示，则其解析式可能是（）A．()sin2fxxx=B．()||sin2fxxx=C．()cos2fxxx=D．()||cos2fxxx=7．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，下列条件使得ABC无法唯一确定的是（）A．3,15,25

aBC===B．3,4,40abC===C．3,4,40abA===D．3,4,40abB===8.已知函数()()2sin2cos1fxxx=+−+是偶函数,则sincos的值为()A．25B．25−C．25D．09.如图,在平面四边

形ABCD中,,,120,ABBCADCDBADABAD⊥⊥==,若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为（）A．2116B．32C．2516D．310.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环

形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为1S，扇形OAB的面积为2S,当1S与2S的比值为512−时，扇面的形状较为美观，则此时弧CD与弧AB的长度之比为（）A．514+B．512−C．3

5−D．52−11.已知函数()cos(0,0)6fxAxA=+，若()fx在区间[0,2]上有且仅有4个零点和1个最大值点，则的取值范围是（）A．523,312B．1123,1212C．513,36D．2313

,12612．已知把函数()π3sincos34fxxx=+−的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()gx的图象，若()()1214gxgx=，若1x，

2π,πx−，则12xx−的最大值为（）A．πB．3π4C．3π2D．2π第II卷（非选择题）二、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在ABC中，4,AB=5AC=，6BC=，则AC边上的高等于________.14．把4cos3yx=+图象向左平移(0)

个单位，所得函数为偶函数，则的最小值是_____．15.设向量(,3),(1,2),(1,1)ambc===−，若()abc−⊥，则实数m=_______．16．方程sin2cos30xx+=在区间

0,2上的所有根之和为___________.三、解答题(共70分)17．(本题10分)求下列各式的值．（1）tan405sin450cos750−+；（2）7sintan2cos02−++.1

8．(本题12分)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,abcS为ABC的面积，若23cos0SbcA−=．（1）求cosA；（2）若3a=，求ABC周长的范围．19．(本题12分)设函数2()2sincos2cos4fxxxx=−+．（1）若1,,252=

fa，求cos23−．（2）在锐角ABC中，BÐ为锐角，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若02Bf=，3a=，1c=．求b．20．(本题12分)已知向量,ab满足2,1,2ababab==+=−.（1）求a在b上的投影；（2）求a与2ab−rr

夹角的余弦值.21．(本题12分)设函数()2sin2cos1468xfxx=−−+．（1）求()fx的最小正周期；（2）若函数()ygx=与()yfx=的图象关于直线1x=对称，求当40,3x时，()ygx=的最大值．22．(本题12分)函数()co

s()fxAx=+（其中0A，0，||2）的部分图象如图所示，先把函数()fx的图象上的各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位，得到函数()gx的图象.（

1）求函数()gx图象的对称中心.（2）当,88x−时，求()gx的值域.（3）当,88x−时，方程()()2()230gxmgxm+−+−=有解，求实数m的取值范围.参考答案1．B【分析】根

据余弦定理可求得结果.【详解】由2222cosabcbcA=+−得2544bb=+−36，即223103bb−−=，解得3b=或33b=−（舍）.故选：B2．B【分析】由正弦定理得sinsinAcosBBcosA=，化简得in0()sAB−=

,即得解.【详解】由正弦定理得sinsinAcosBBcosA=，所以sinsin0AcosBcosAB−=，所以in0()sAB−=,因为,(0,)AB,所以0,ABAB−==.所以三角形是等腰三

角形.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【分析】根据扇形的面积公式，求得两扇形的半径比，结合弧长公式，即可求解.【详解】设扇形OCD的半径为x，半圆半径为r，AOB=，则2

1222111=,=222rrxSS−，所以22212115122==122rxSrS−−，可得22(35)2rx−=，解得355122xr−−==，则弧CD与弧AB的长度之比为512xxrr−==.故选：B.4．A【分析】设6xt+=，则,266t+

，将问题转化为cos(0)yAtA=在,266t+上有且仅有4个零点和1个最大值点，结合函数cos(0)yAtA=的图像性质可得答案.【详解】设6xt+=，由[0,2]xÎ，则,266t+()f

x在区间[0,2]上有且仅有4个零点和1个最大值点，即cos(0)yAtA=在,266t+上有且仅有4个零点和1个最大值点，如图，所以72426+，解得523312故选：A5．A【分析】连接BD,取AD中点为O

，设(01)DEtDCt=，从而可得AEBE()()ADDEBDDE=++，利用向量数量积的定义得出AEBE=233322tt−+(01)t，配方即可求解.【详解】连接BD,取AD中点为O,可知ABD△为等腰三角形，而,AB

BCADCD⊥⊥，所以BCD△为等边三角形，3BD=，设(01)DEtDCt=AEBE()()ADDEBDDE=++2()ADBDDEADBDDE=+++232BDDEDE=++=233322tt−+(01)t

所以当14t=时，上式取最小值2116，故选：A.6．D【分析】利用平面向量的加法、减法和平面向量基本定理求解.【详解】3143DEDCCEBCAC=+=+−，()3143ACABAC=−−，35412AB

AC=−+，35412ab=−+，故选：D7．B【分析】先算出4sin()65x+=，然后利用sinsinsincoscossin666666xxxx=+−=+−+即可算出答案【详解】由(0,)x，所以7666

x+，，又3cos()65x+=，得4sin()65x+=，所以sinsinsincoscossin666666xxxx=+−=+−+4331433525210−=−=故

选：B．8．B【分析】根据题意可得13BMAMABACAB=−=−，1()2ANACAB=+，代入数量积公式，结合条件，即可求得答案.【详解】如图所示，因为3ACAM=，所以13BMAMABACAB=−=

−.又因为CNNB=，所以1()2ANACAB=+，所以1113223ANBMACABACAB=+−=−，即221113623ACABABAC−−=−，又222236,16ACACABAB====，所以3ABAC=uuuruuur.故选：B.

9．B【分析】利用函数()0f=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项．【详解】由图象知()0f=，经验证只有AB满足，C中()cos2f==，D中()f=，排除CD，A中函数满足()sin

(2)sin2()fxxxxxfx−=−−==为偶函数，B中函数满足()sin(2)sin2()fxxxxxfx−=−−=−=−为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选B．故选：B．【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的

左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域；(2)从图象的变化趋势观察函数的单调性；(3)从图象的对称性观察函数的奇偶性；(4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.10．C【分析】对于A：用正弦定理判断；对于B：先由余弦定理，再用正弦定理可以求出角A、B，进行

判断；对于C：由正弦定理4sin40sin=3B，根据大边对大角，这样的角B有2个，进行判断；.对于D：由正弦定理计算3sin40sin=4A，由大边对大角，这样的角A有1个，进行判断.【详解】对于A：∵3,15,25aBC===，∴A=140°，由正弦定理得：sin

sinsinabcABC==，∴33sinsin15,sin=sin25sinsin140sinsin140aabBcCAA===∴ABC唯一确定；故A正确.对于B：∵3,4,40abC===，由余弦定理，可得：222cos40=2524c

os40cabab=+−−由正弦定理：sinsinsinabcABC==，有：342524cos40sinsinsin40AB−==可以求出角A、B，∴ABC唯一确定；故B正确.对于C：∵3,4,40abA

===由正弦定理：sinsinsinabcABC==，有：34sin40sinB=，∴4sin40sin=3B，∵3,4,ab==∴ab∴40AB=,这样的角B有2个，所以ABC不唯一，故C错误.对于

D：∵3,4,40abB===由正弦定理：sinsinsinabcABC==，有：34sinsin40A=，∴3sin40sin=4A，∵3,4,ab==∴ab∴40AB=,这样的角A有唯一一个，∴角C唯一，所以ABC唯一，故D正确.故选：C【点睛】判断三角形解的

个数的方法：（1）画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数：①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。（2）公式法：运用正弦定理进行判断：①a＝

bsinA，则有一个解；②b＞a＞bsinA，则两个解；③a≥b，则无解。11．A【解析】根据偶函数不存在奇次项，所以sin2cos=，所以tan2=，所以222sincostan22sincossincostan1415====+++，故

选A.12．C【分析】先化简函数()fx，然后根据图像的变换得函数()gx的解析式，通过判断得1x，2x同时令()gx取得最大值或最小值时，()()1214gxgx=，再结合函数()gx的图像，即可求得1

2xx−的最大值.【详解】()π3ππ3sincossincoscossincos34334fxxxxxx=+−=+−1sincos2xx=233cos24x+−131cos231πsin2sin2422423xxx+

=+−=+．将图象向右平移至π3个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()gx，可得()1πsin423gxx=−，所以()max12gx=，()min12gx=−，∴1x，2x同时令()gx取得最大值或

最小值时，()()1214gxgx=．当1x，2π,πx−时，ππ4π433x−−−π4π3−，根据函数的图象可知12xx−的最大值为3个周期的长度，即3π2故选：C.【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式

或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为sin()yAx=+的形式.13．372【分析】先根据余弦定理求cosC，即得sinC，再根据直角三角形求AC边上的高.【详解】2222225643cos22564A

CBCABCACBC+−+−===7(0,)sin4CC=QAC边上的高为737||sin642BCC==,故答案为：372【点睛】本题考查余弦定理、同角三角函数平方关系，考查基本分析求解能力，属基础题.14．23【分析】先

求出平移后的函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性列式可解得结果.【详解】把4cos3yx=+图象向左平移(0)个单位，所得函数为4cos()3yx=++，因为函数4cos()3yx=++为偶函数，所以43k+=，kZ，即43k=−，kZ，因为0，

所以的最小值为23.故答案为：2315．2【分析】先计算(1,1)abm−=−,再结合向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由向量的坐标运算得：(1,1)abm−=−，因为()abc−⊥，所以()0abc−=，即：()()111120mm−+−=−=，解得2m=.故答案为：2

【点睛】方法点睛：已知()()1122,,,axybxy==，若ab⊥rr，则12120abxxyy=+=16．6【分析】利用二倍角公式展开方程，即cos0x=，或15sin4x+=，或15sin4x−=，再结合图象的对称性，得出结论．【详解】方程sin2cos30xx+=，即sin2cos3

xx=−，3222sincos4cos3coscos(4cos3)cos(44cos1)cos(xxxxxxxxx=−+=−+=−−=24sin1)x−，即2sincoscos(xxx=24sin1)x−，即cos

0x=，或24sin2sin10xx−−=，即cos0x=，或15sin4x+=，或15sin4x−=．在区间[0，2]上，由cos0x=，可得2x=，或32x=．利用正弦函数的图象的对称性，由15sin4x+=，可得它的两个根之和为22=；由15sin

4x−=，可得它的两个根之和为3232=．故在区间[0，2]上的所有根之和为33622+++=，故答案为：6．17．（1）32；（2）3.【分析】（1）利用诱导公式化简可得结果；（2）利用诱导公式化简可得结果.【详解】（1）

()()()tan405sin450cos750tan45360sin90360cos302360−+=+−+++33tan45sin90cos301122=−+=−+=；（2）77sintan2cos0sin4tan02cos0sin02123

222−++=−+++=++=+=.18．（1）1cos2A=；（2）(23,33]．【分析】（1）根据面积公式可得tan3A=，进而可得解；（2）根据正弦定理可得周长为232sinsin3BB+

+−，进而利用三角函数恒等变换化简，结合范围可得解.【详解】（1）sin2bcAS=sin3cos0bcAbcA−=sin3cosAA=tan33AA==，，所以1cos=2A（2）根据正弦定理可得32sinsinsin32bcaBCA====设

周长为C．3Cabcbc=++=++232sinsin3BB=++−3332cossin22BB=++323sin6B=++250,,3666BB+1sin

,162B+(23,33]C19．（1）724350−；（2）1b=.【分析】利用二倍角公式及降幂公式进行化简，（1）1,,252=fa，求得sin与cos，再运用和差公式

以及二倍角公式求值；（2）由02Bf=，求得B，再运用余弦定理求值.【详解】（1）2()2sincos2cossin2cos(2)12sin2142fxxxxxxx=−+=−+−=−,由1,,252=fa

，得3sin5=，4cos5=−，故24sin22sincos25==−，27cos212sin25=−=，7243cos2cos2cossin2sin33350−−=+=；（2）由（1）得()2sin21fxx=−，且02Bf=

，得2sin10B−=，1sin2B=，又ABC为锐角三角形，6B=，在ABC由余弦定理可知()222232cos3123112bacacB=+−=+−=，故1b=.【点睛】解三角形的基

本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最

值.20．（1）12−；（2）104.【分析】（1）对等式2abab+=−两边同时平方，根据平面向量的数量积运算公式，结合已知平面向量的模，可以求出ab的值，最后根据平面向量数量积的几何意义，结合平面向量夹角公式进行求解即可；（2）利用平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行

求解即可.【详解】（1）2222222(2)()442ababababaabbaabb+=−+=−++=−+2163,2abbab=−=−，设a和b的夹角为，a在b上的投影为：1cos2abab==−；（2）设a与2ab−rr夹角为，()222224110cos4

2424244aabaabaabaaabb−−+====++−−+.【点睛】本题考查了平面向量数量积的几何意义，考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量数量积运算性质，考查了数学运算能力.21．（1）函数的最小正周

期为8T=；（2）函数()gx的最大值为32.【分析】（1）由已知中函数2()sin()2cos1468xxfx=−−+，利用倍角公式，和差角公式，可得函数的解析式化为正弦型函数，进而求出()fx的最小正周

期；（2）由（1）中所得函数()fx的解析式，由()ygx=与()yfx=的图象关于1x=对称，根据函数图象对称变换法则可得()ygx=的解析式，从而求出函数的最值；【详解】解：（1）()sincoscossincos46464fxxxx=

−−33sincos3sin()242443xxx=−=−故()fx的最小正周期284T==（2）在()ygx=的图象上任取一点(x，())gx，它关于1x=的对称点为(2x−，())gx．由题设条件()ygx=与()yfx=的图象

关于1x=对称，点(2x−，())gx在()yfx=的图象上，从而()(2)3sin[(2)]3sin[]43243gxfxxx=−=−−=−−53sin()3sin()4646xx=−+=+因为40,3x，所以556

67,46x+，所以511sin,4622x+−，所以()33,22gx−，故()max32gx=22．（1）(),1124kk−+Z；（2）30

,2；（3）3322,10.【分析】（1）观察图象，由函数最值求出A，由周期求出，再将7,112−代入得出，即可求出函数()fx的解析式，进而得出函数()gx的解析式以及对称中心；（2）由x的范围结合余弦函数的性

质可得()gx的值域；（3）将已知方程参变分离，利用对勾函数的性质求出值域，可得实数m的取值范围．【详解】（1）根据图象可知1A=，174123T=−，∴T=，∴22T==，()()cos2fxxφ=+，将7,11

2−代入得，7cos16+=−，即726k+=+，解得26k=−，kZ，∵2，∴0k=，6=−，∴()cos26fxx=−.函数()fx的图象上的各

点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得cos46yx=−，曲线再向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位得()5cos416gxx=++令54,62xkkZ+=+，解得124kx=−+∴

此函数图象的对称中心为(),1124kk−+Z.（2）当,88x−时，54514,cos41,63362xx++−，()53cos410,62gxx=++，即()gx的值域为30,2

.（3）()()()2230gxmgxm+−+−=()()()2231gxgxmgx++=+()()()2231gxgxmgx++=+，令()1sgx=+，由（2）知51,2s，2223322,10s

msss+==+，因此m的取值范围为3322,10.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图象的应用，考查余弦函数的性质，考查有解问题的应用，解决本题的关键点是将已知方程化简，参变分离，利用对勾函数的性质求出对应函数的值域，进而得出参数的取值范围，考查学生

计算能力，属于中档题．