【文档说明】浙江省丽水市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 Word版含解析.docx，共(21)页，1.791 MB，由小赞的店铺上传

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丽水市2022学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷（2023.01）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知过点()1,Aa，

()2,3B−的直线的倾斜角为60°，则实数a的值为（）A.23−B.23C.3D.3−【答案】A【解析】【分析】根据斜率的定义求解．【详解】由题意，得()3tan60312a−−==−，解得23a=−.故选：A.2.已知等差数列na的前n项和为

nS，57a=，1022a=，则10S=（）A.65B.75C.80D.85【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式可求出结果.【详解】设公差为d，依题意得1147922adad+=+=，解得153ad=−=，所以101109103852Sa=+=.故

选：D3.在平行六面体1111ABCDABCD−中，AC，BD相交于O，M为1OC的中点，设ABa=，ADb=，1AAc=，则CM=（）A.111442abc+−B.111442abc−+C.111442abc−−+

D.311442abc−+−【答案】C【解析】【分析】由空间向量的线性运算结合图形计算即可.【详解】如图所示，()1111111112242442CMCOCCCBCDCCabc=+=++=−−+，故选：C4.若圆221:4Cxy+=与圆2222:20Cx

ymxmm+−+−=外切，则实数m=（）A.－1B.1C.1或4D.4【答案】D【解析】【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由条件化简得()222:,0Cxmymm−+=，即两圆圆心为()()120,0,,0CCm，设其半径分别为12,rr

，122,rrm==，所以有121224CCmrrmm==+=+=.故选：D5.已知直线a，b与平面，，下列四个命题中正确的是（）A.若a，b，la⊥，lb⊥，则l⊥B.若a⊥，b⊥，⊥，则

ab⊥C.若//a，//b，//，则//abD.若直线a上存在两点到平面的距离相等，则//a【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；线面垂直的性质定理可判断B；线面平行的性质定理可判断C；线面关系可判断D

.【详解】对于A，若a，b，la⊥，lb⊥，且ab、相交才有l⊥，故A错误；对于B，若a⊥，b⊥，⊥，则ab⊥，故B正确；对于C，若//a，//b，//，则//ab，或a与b异面，或a、b相交，故C错误；对于D，若直线a上存在两点到平面的

距离相等，则//a，或a与相交，故D错误.故选：B.6.已知圆柱12OO的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆2O、圆1O上的点，若2AB=，则异面直线1OB，2OA所成的角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】B【解析】【分析】做平行线，将所求的异面直线夹角转化为

同一平面内的直线夹角，构造三角形即可求解.【详解】如上图，过点A做平面1O的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，122OOO⊥平面，1212//,ADOOADOO=，所以四边形12ADOO是平行四边形，12//ODOA，2OA与1OB的所成的角就是1DOB或其补角；由题

意可知AB=2，AD=1，在RtABD中，223DBABAD=−=，在等腰1ODB中，由余弦定理222111111131cos2?22ODOBDBDOBODOB+−+−===−，123DOB=，由于异面直线的夹角范围是0,2，故取1DOB的补角，故选：B.7.设1

3a=，112lnsincos66b=+，1ln22c=，则（）A.cbaB.cabC.abcD.acb【答案】B【解析】【分析】构造函数()sinxxxf−=，()()ln1gxxx=−+，利用导数分析这两个函数在()0,+上的单调性

，可得出a、b的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出c、a的大小关系，即可得出结论.【详解】因为2111112lnsincoslnsincosln1sin66663b=+=+=+，令()sinxxxf−=，则()cos10xx

f=−在π0,2上恒成立，所以，函数()fx在π0,2上单调递增，则()()sin00fxxxf=−=，即sinxx，因为1π0,32，则11sin33，所以，11ln1sinln133++，令()()ln1

gxxx=−+，则()1111xgxxx=−=++，当()0,x+时，()0gx，所以，()gx在()0,+上单调递增，故当0x时，()()()ln100gxxxg=−+=，即()ln1xx+，所以，11l

n133+，故ab，又因为61ln2ln2ln82c===，6231lnelne3==，28e，ca，故cab，故选：B.8.在四面体PABC中，PAPB⊥，ABC是边长为2的等边三角形，若二面角PABC--的大小为120，则四面体PABC的外接球的

表面积为（）A.13π9B.26π9C.52π9D.104π9【答案】C【解析】【分析】先根据题意，作出四面体PABC的外接球的球心大致位置，再根据二面角的定义求得ODG，从而在RtODG中求得||OD，结合勾股定

理即可求得外接球的半径，由此得解.【详解】设正ABC的重心为G，则G是正ABC的外接圆的圆心，取AB的中点D，因为PAPB⊥，所以D是PAB的外接圆的圆心，过D作DO⊥平面PAB，过G作GO⊥平面ABC，DOGOO=，如图，则O为四面体PABC的外

接球的球心，又二面角PABC--的大小为120，则1209030ODG=−=，又在正ABC中，1133||||23323DGCD===，则在RtODG中，||2||cos303DGOD==，设四面体PABC的外接球的半径为R，则22222213||||139RADD

O=+=+=，所以四面体PABC的外接球的表面积为252π4π9R=.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.下列求导数的运算正确的是（）A.3

22113xxxx−=+B.1(ln2)2=C.()e(1)exxxx=+D.sincos33xx=【答案】AC【解析】【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则，逐一对各个选项分析判断即可得出

结果.【详解】选项A，根据基本初等函数及导数的求导法则知，322113xxxx−=+，选项A正确；选项B，因为ln2常数，所以(ln2)0=，选项B错误；选项C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，()eee(1)exxxxxxx=+=+，选项C正确；选项D，根据复合函数的求导法

则知，1sincos333xx=，选项D错误.故选：AC.10.设正项等比数列na的前n项和为nS，前n项积为nT，公比为q，已知154aa=，245aa+=，则下列结论正确的是（）A.12q=B.若na为递增数列，则112nnSa++=C.32a

=D.若na为递减数列，当且仅当3n=时，nT取得最大值【答案】BC【解析】【分析】结合题意，利用等比数列的性质逐项进行求解即可.【详解】因为数列na为等比数列，所以15244aaaa==，又因为245aa+=，所以2414aa==或2

441aa==，当2414aa==时，则2424aqa==，解得2q=或2q=−（舍去），是则322aaq==，当2441aa==时，则24214aqa==，解得12q=或12q=−（舍去），则322aaq==，综上，故选项A错误，C正确；若na为递增数列，则2q=，11

2a=，11211222nnnnaaq−−−===，即112nna+−=，21122122122nnnS−−−==−−，故112nnSa++=，故选项B正确；若na为递减数列，则12q=，18a=，24a=，32a=，41a=，512a

=，故当且仅当3n=或4n=时，nT取得最大值，故选项D错误；故选：BC.11.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P，Q分别是棱BC，1CC的中点，点M满足BMtBA=，[0,1]t，下列结论正确的是

（）A.若1t=，则11//AB平面MPQB.若1t=，则过点M，P，Q的截面面积是92C.若12t=，则点1A到平面MPQ的距离是36D.若12t=，则AB与平面MPQ所成角的正切值为22【答案】BD【解析】【分析】1t=时有M与A重合，对于A

选项，可以利用反证法判定；对于B选项，根据平面的性质计算即可；12t=时，M为AB中点，对于CD选项，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量处理即可.【详解】如图所示，1t=时有M与A重合，对于A选项，延长PQ

交BB1于L，连接AL，易得平面1AB平面MPQ=AL，若11//AB平面MPQ，则11ABAL∥，显然11∥ABAB，且B、L不重合，矛盾，故A错误；对于B项，连接AD1、D1Q，易知平面APQD1即该截面，显然该截面为等腰梯形，易得111252PQADDQAP====，，()2129

2225222S=+−=，故B正确；如图所示，12t=时，M为AB中点，以D为中心建立空间直角坐标系，则()()()()()()12101200212,0,22,0,02,2,0MPQAAB,,、,,、,,、、、，()()()()11,1,0,2,1,10,1,2,0,1,0M

PMQMAMB=−=−=−=,，设平面MPQ法向量为(),,nxyz=，则00200nMPxyxyznMQ=−+=−++==，令1x=，则1yz==，故()1,1,1n=对于C项，设点1A到平

面MPQ的距离为d，则133MAndn==，即C错误；对于D项，设AB与平面MPQ所成角为，则3sincos,3nMBnMBnMB===，所以62cos,tan32==，即D正确.故选：BD的12.已知抛物线

2:4Cyx=，点(1,0)A−，(0,)Bm(0)m，过点B的直线与抛物线C交于P，Q两点，AP，AQ分别交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，则（）A.焦点坐标为(2,0)B.向量OP与OM的数量积为5

C.直线MN的斜率为mD.若直线PQ过焦点F，则OF平分PAQ【答案】BCD【解析】【分析】由抛物线方程即可判定A项；设直线AP方程与抛物线联立利用韦达定理计算数量积即可判定B项；设直线PQ方程及P、Q坐标，用来表示直线AP、AQ，并与抛物线联立求得M、N坐标，即可判定C项

；设直线PQ方程及P、Q坐标，与抛物线联立结合韦达定理求得AP、AQ斜率关系即可判定D项.【详解】对于A项，由抛物线标准方程可得焦点()1,0F，即A错误；对于B项，可设直线AP方程为：1xty=−，设223113

,,44yyPyMy、，与抛物线联立241yxxty==−可得132134440,,4yytytyyy+=−+==∴222231311313,,54416yyyyOPOMyyyy==+=，故B正确；对于C项

，可设直线QP方程为：xkykm=−，设222231241234,,,,4444yyyyPyQyMyNy、、、，∴34223434444MNyykyyyy−==+−，直线QP方程与抛物线方程联立24yxxkykm==−，化简可得12

2124440,4yykykykmyykm+=−+==，又由上可知134yy=，同理有244yy=，∴341244,yyyy==，123412124444yymyyyyyy===+++，故C正确；对于D项

，由上设直线QP方程为：xkykm=−，221212,,44yyPyQy、，联立抛物线有121244yykyykm+==，若PQ过焦点F，则有1km=−，即124yy=−

结合上244yy=，及()01,2,3,4iyi=可知14yy=−，此时14221401144APAQAPANyykkkkyy+=+=+=++，即直线AP、QA关于横轴对称，OF平分PAQ，故D正确.故选：BCD三、填空题（本大题

共6小题，每小题5分，共30分）13.已知点(0,1,0)A，(232)B,,，向量12ACAB=−，则点C的坐标为______．【答案】()1,0,1−−【解析】【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】设(),,Cabc，则()()()()1,1,,2,

2,21,1,1,1,2ACabcABABabc=−=−=−−−=−，即1,0,1abc=−==−，故()1,0,1C−−.故答案为：()1,0,1−−14.在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A，点P在圆22:9Oxy+=上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是______．【答案】

()22924xy−+=【解析】【分析】由几何性质计算即可.【详解】如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为APO△的一条中位线，()2,0D，即有DQ∥OP，且1322PODQ==，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，所以Q的轨迹方程为()22924x

y−+=.故答案为：()22924xy−+=.15.若曲线lnyxax=+在1x=处的切线经过点(2,0)P，则实数=a______．【答案】12−##-0.5【解析】【分析】根据导数的几何意义得到切线斜率，然后利用点斜式写出切线方程，最后将点P代入切斜方程求

解即可.【详解】由题意得1yax=+，所以曲线lnyxax=+在1x=处的切线的斜率为1a+，切点为()1,a，则切线方程为()()11yaax−=+−，将点()2,0P代入切线方程中可得：1aa−=+，解得12a=

−.故答案为：12−.16.一个圆锥母线与底面所成的角为30，体积为8π，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为______．【答案】8【解析】【分析】设圆锥的顶点为S，底面圆心为O，过圆锥顶点S的平面截圆锥所得截面为

SAB，根据30SAO=，圆锥体积为8π，求出23=OA，再用OE表示截面面积，根据二次函数知识可求出结果.【详解】设圆锥的顶点为S，底面圆心为O，过圆锥顶点S的平面截圆锥所得截面为SAB，E为AB的中点，则OE⊥AB，30SAO=，33SOOA=，则圆锥的体积为2231133πππ3339O

ASOOAOAOA==，由题意得33π8π9OA=，解得23=OA，32323SO==，2222212ABOAOEOE=−=−，2224SESOOEOE=+=+，所以2211212422SABSABSEOEO

E==−+!()()22124OEOE=−+()22464OE=−−+，因为023OEOA=，2012OE，所以当24OE=，2OE=时，SABS△取得最大值为8.故答案为：8.17.某牧场今年年初牛的存栏数为120

0，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起，第n年年初的存栏数为nc，则10c=______．（81.12.14，91.12.36，101.12.59）【答案】1472【解析】【分析】根据条件建立等

量关系，构造新数列求通项即可.详解】由题意可得1100110nncc++=+％，所以()1100110nncc++=+％，即()()()1110001.11000120010001.11000Nnnnncccn−+−=−

=−+，故102002.3610001472c=+=.故答案为：1472.18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为F，点P，Q在椭圆C上，O为坐标原点，且4PFFQ=，OPOF=，则椭圆的离心率是______．【答案】135【解

析】【分析】根据题意，由条件可得PFF为直角三角形，再结合椭圆的定义列出方程，由离心率的计算公式即可得到结果.【详解】设椭圆的左焦点为F，设FQm=，因为OPOF=，所以PFF为直角三角形且90FPF=，因为4PFFQ=，所

以4PFm=，因为2PFPFa+=，2QFQFa+=，所以2QFam=−，24PFam=−，【所以()()()2222452ammam−+=−，解得310ma=，所以45PFa=，65PFa=，所以()22246255aac

+=，所以135ca=，即椭圆的离心率是135.故答案为：135.四、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.已知函数()()33Rfxxxaa=−+．（1）求函数

()fx的单调递减区间；（2）若函数()fx有三个零点，求a的取值范围．【答案】（1）()1,1−（2）()2,2−【解析】【分析】（1）对函数直接求导，根据导数正负与原函数单调性关系直接求解即可；（2）根据（1）中单调性得到函数极大

值与极小值，通过变化趋势列出不等式组求解即可.【小问1详解】函数()()33Rfxxxaa=−+的导数()2333(1)(1)fxxxx=−=+−，当1,1xx−时，()0fx¢>；当11x−＜＜时，()0fx.所以()

fx的单调递减区间为()1,1−.【小问2详解】由（1）得：当=1x−时，()fx取得极大值()12fa−=+；当1x=时，()fx取得极小值()12fa=−.由三次函数性质知：当x→−时，()fx→−；当x→+时，()fx→+.所以若()fx有三个零点，

则2020aa−+＜＞，解得22a−.所以a的取值范围为()2,2−.20.已知圆C经过点(1,2)A和(5,2)B−，且圆C关于直线20xy+=对称．（1）求圆C的方程；（2）过点(3,1)D−作直线l与圆C相切，求直线l的方程．【答案】

（1）22(1)(2)16xy−++=；（2）3x=−和724450xy−+=.【解析】【分析】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与20xy+=的交点，计算圆心再求半径，由圆的标准方程表示即可；（2）分类

讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.【小问1详解】∵(1,2)A，(5,2)B−，故AB的中点坐标为()3,0，22151ABk−−==−−，∴AB的垂直平分线为：()10331yxyx−=−−=−

−，由320yxxy=−+=解得圆心(1,2)C−，半径4rCACB===故圆C的方程为22(1)(2)16xy−++=；小问2详解】若直线l的斜率存在，方程可设为()13ykx−=+，即310kxyk−++=

圆心(1,2)C−到直线l的距离为223141kkdrk+++===+，解得724k=，所求的一条切线为724450xy−+=；当直线l的斜率不存在时，圆心(1,2)C−到3x=−的距离为4，即3x=−与圆相切，

所以直线l的方程为3x=−和724450xy−+=．【21.设正项数列na的前n项和为nS，()2*241nnnaaSn+=−N．（1）求数列na的通项公式；（2）若13nnb−=，求数列nnab的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）1133n

nnT−+=−【解析】【分析】（1）根据1(2)nnnaSSn−=−推出12nnaa−−=，再由等差数列的通项公式可求出结果；（2）根据错位相减法可求出结果.【小问1详解】当1n=时，2111124141aaS

a+=−=−，得11a=，当2n时，2111241nnnaaS−−−+=−，则221112241414nnnnnnnaaaaSSa−−−+−−=−−+=，化简得()()()1112nnnnnnaaaaaa

−−−+−=+，又0na，所以10nnaa−+，12nnaa−−=．所以数列na是首项为1，公差为2的等差数列，所以21nan=−；【小问2详解】因为21nan=−，13nnb−=，所以1213nnnanb−−=，所以0121135213333nn

nT−−=++++，12311352133333nnnT−=++++，所以231111112112333333nnnnnTT−−−=+++++−，所以1111332211213313nnnnT−

−−=+−−，整理得1133nnnT−+=−.22.如图，在四边形ABCD中（如图1），90BACBCD==，ABAC=，BCCD=，E，F分别是边BD，CD上的点，将ABC沿BC翻折，将DEF沿

EF翻折，使得点D与点A重合（记为点P），且平面PBC⊥平面BCFE（如图2）（1）求证：CFPB⊥；（2）求二面角PEFB−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得FC⊥平面PBC，从而可得CFPB⊥.（2）根据题意，取BC中点O，

连接PO，以C为原点，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，然后由空间向量的坐标运算即可得到结果.【小问1详解】证明：∵平面PBC平面BCFEBC=，平面PBC⊥平面BCFE，又∵FC平面BCFE，且FCBC⊥∴

FC⊥平面PBC，且PB平面PBC，∴FCPB⊥【小问2详解】取BC中点O，连接PO，∵PBPC=，∴POBC⊥∵平面PBC平面BCFEBC=，平面PBC⊥平面BCFE，PO平面PBC∴PO⊥平面BCFE以C为原点，CB，CF所在直线

分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC=，则(1,0,1)P，(0,0,0)C，(0,2,0)D，设(0,,0)(02)Ftt，由FPFD=得2112tt++=−，解得12t=，所以10,,02

F，设(,2,0)Emm−，由EPED=得2222(1)(2)1()mmmm−+−+=+−，解得1m=，∴(1,1,0)E，则1(1,,0)2EF=−−，(0,1,1)EP=−，平面BEF的一个法向量(0,0,1)m

=，设平面PEF的一个法向量(,,)nxyz=，100200nEFxynEPyz=−−==−+=，令2y=，得(1,2,2)n=−，设二面角PEFB−−的平面角为，易知为锐角，则2coscos3mnmnmn===，∴二

面角PEFB−−的余弦值为23．23.已知双曲线22:13yMx−=，在双曲线M右支上存在不同于点(2,3)A的两点P，Q，记直线,,APAQPQ的斜率分别为12,,kkk，且1k，k，2k成等差数列．（1）求k的取

值范围；（2）若OPQ△的面积为6（O为坐标原点），求直线PQ的方程．【答案】（1）2k−或2k（2）66yx=−或66yx=−+【解析】【分析】（1）设()11,Pxy，()22,Qxy，直线:PQykxm=+，代入双曲线方程，根据0，120xx+

，120xx得222330kmkmk+，根据122kkk=+以及斜率公式推出124xx+=，262kmk−=，代入的223mk+可求出结果；（2）利用弦长公式求出||PQ，利用点到直线距离公式求出

点O到直线PQ的距离，再利用三角形面积列式求出,km可得直线PQ的方程.【小问1详解】设()11,Pxy，()22,Qxy，直线:PQykxm=+，由2213ykxmyx=+−=，消去y得()2223230kxkmxm−−−−=,依题意可得()()2

2222122212230Δ44330203303kkmkmkmxxkmxxk−=+−++=−+=−−，得222330kmkmk+，又1k，k，2k成等差数列

，所以12121233222yykkkxx−−=+=+−−12123322kxmkxmxx+−+−=+−−1212(2)23(2)2322kxkmkxkmxx−++−−++−=+−−12112(23)()22kkmxx=++−+−−，所以1211(23)()02

2kmxx+−+=−−，因为,PQ不同于A，即(2,3)A不在直线:PQykxm=+上，所以32km+，即230km+−，所以1211022xx+=−−，即1212220(2)(2)xxxx−+−=−−，即124xx+=，所以2243kmk=−，即262kmk−=，代

入223mk+，得222623kkk−+，得22224(3)(3)kkk−−，因为23k，所以224(3)kk−，即24k，所以2k−或2k.【小问2详解】221212||1()4PQkxxxx=++−2222224(3)133km

mkkk+=+−−−222223133kmkk+=+−−，点O到直线PQ的距离21mdk=+，222221||2313231OPQmkSmkkk+=+−−+!6=，所以222||32(3)mmkk+−=−，两边平方得2

2222(3)2(3)mmkk+−=−，由2243kmk=−得2222(3)4kmk−=，代入22222(3)2(3)mmkk+−=−，得22222(3)24kmmmk+−=，因为20m，所以22232kmk+−=，将262kmk−=代入得2222

6232kkkk−+−=，整理得42542720kk−+=，所以22(512)(6)0kk−−=，解得26k=或2125k=，由（1）知，24k，所以26k=,6k=,当6k=时，62666m−==−，直线PQ的

方程为66yx=−，当6k=−时，62666m−==−，直线PQ的方程为66yx=−+，综上所述：直线PQ方程为66yx=−或66yx=−+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com