【文档说明】河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(30)页，1.566 MB，由小赞的店铺上传

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六校联盟高二年级期中联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择

题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第

一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a的一个方向向量是()1,0,1m=，平面的一个法向量是()3,1,3n=−，则直线a与平面所

成的角为（）A.0B.45C.60D.902.过圆22:260Cxyxy+−−=的圆心且与直线124xy+=垂直的直线的方程是（）A.210xy−−=B.270xy+−=C.250xy−+=D.50xy+

−=3.已知直线方程为sin30cos3050xy+−=，则该直线的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.1504.已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=的右焦点为F，直线21

0yx=−过点F，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E的方程为221520xy−=B.双曲线E的离心率为62C.双曲线E的实轴长为5D.双曲线E的顶点坐标为()5,05.加斯帕尔蒙日是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：

椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210xyabab+=时，蒙日圆方程为2222xyab+=+.已知长方形G的四边均与椭圆22:143xyM+=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M的离心率为1

2B.若G为正方形，则G的边长为25C.椭圆M的蒙日圆方程为227xy+=D.长方形G的面积的最大值为146.已知椭圆C:2212516xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，点M在椭圆C上，则12MFF△的内切圆半径的取值范围为（）A.(0,3B.(0,1C.40,3D.30,2

7.定义：设123,,aaa是空间的一个基底，若向量123pxayaza=++，则称实数组(),,xyz为向量p在基底123,,aaa下的坐标.已知,,abc是空间的单位正交基底，()2,,2abbbc−−是空间的另一个基底.若向量p在基底()

2,,2abbbc−−下的坐标为()1,2,1−，则向量p在基底,,abc下的模长为（）A.3B.6C.9D.68.下列命题中，是假命题的是（）①若直线220xay+−=与直线()120axay−++=平行，则a的值为32或0；②若,AB为双曲线2219yx

−=上两点，则()1,1可以是线段AB的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,PxyPxy的直线都可以用方程()()()()121121yyxxxxyy−−=−−表示；④向量()()1,2,,1,2,1ab=−=−−的夹角为钝角时，实数的取值范围是5−.A.①④B.

③④C.①②④D.②④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是假命题的是（）A.若,,abc为空间的一个基底，则,2,abbcaca++++不能构成空间的另一个基

底B.若非零向量a与平面内一个非零向量平行，则a所在直线与平面也平行C.若平面,的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3nn==，则//D.已知v为直线l的方向向量，1n为平面的法向量，则1//vnl⊥10.若点M是圆22

:(2)1Cxy−+=上任意一点，则点M到直线30kxy+−=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.511.已知椭圆22:1925xyC+=的两个焦点分别为12,FF，O为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F的直线与椭圆C交于,AB两点，则2ABF△的周长

为12B.椭圆C上存在点P，使得120PFPF=C.若P为椭圆C上一点，且1PF与2PF的夹角为60，则12PFF△的面积为33D.若P为椭圆C上一点，Q为圆221xy+=上一点，则点,PQ之间的最大距离是912.如图，在

四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC=，PAD为正三角形，O为AD的中点，且平面PAD⊥平面,ABCDM是线段PC上的一点，则以下说法正确的是（）AOMPD⊥B.OMBC⊥C.若点M为线段PC中点，则直

线//OM平面PABD.若13PMPC=，则直线AM与平面PAB所成角的余弦值为31010三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz中，()()0,1,2,2,1,1AMAN==，则点M到直线AN的距

离为__________.14.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线与圆22680xyx+−+=相切，则双曲线的离心率为__________.15.如图，已知一个二面角的平面角为120，它的棱上有两个点A、B，线段AC、B

D分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，2AC=，22BD=，32CD=，则线段AB的长为__________.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF上任意一点到A村的距离比到B村的距离远4km，B村在A村的正东方向6km处，C村在A村的北偏东60方向63km处，为了救援灾民，

救援队在曲线EF上的M处收到了一批救灾药品，现要向BC､两村转运药品，那么从M处到B、C两村的路程之和的最小值为__________km.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2

,0,2,0AB−，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍.（1）求点M的轨迹方程；（2）如果把2倍改成(0)kk倍，求点M的轨迹.18.已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=上的任意一点到两个焦点

的距离之和为26，且离心率为63，过点()1,1P的直线与椭圆C交于,AB两点，且满足0PAPB+=，若M为直线AB上任意一点，O为坐.的标原点，求OM的最小值.19.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，

E是1CC的中点.（1）求证：BD⊥平面1AAE；（2）求点B到平面1ABE的距离；（3）求平面1ABE和底面1111DCBA夹角的正弦值.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直

角坐标系中，ABC满足ACBC=，顶点(1,0)A−、(1,2)B，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)Mxyrr++=相切.（1）求ABC的“欧拉线”方程；（2）若圆M与圆22()2xya+−=有公共

点，求a的范围；（3）若点(),xy在ABC的“欧拉线”上，求2222222(2)xyxyxy+−−++−+的最小值.21.已知圆P与直线2x=相切，圆心P在直线0xy+=上，且直线20xy−−=被圆P截

得的弦长为22.（1）求圆P的方程；（2）若直线:4lykx=−与圆P交于不同两点,CD，且30PCD=，求直线l的斜率；（3）若点Q是直线1:40lxy−−=上的动点，过Q作圆P的两条切线,QMQN，切点分别为,MN，

求四边形PMQN面积的最小值.22.已知点A在曲线22:186xyC+=上，O为坐标原点，若点B满足2OAOB=，记动点B轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；的的（2）设Γ右焦点为F，过点F且斜率不为0的直线l交椭圆Γ于,PQ两点

，若MF与x轴垂直，且M是MF与Γ在第一象限的交点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为12,kk，当120kk+=时，求MPQ的面积.六校联盟高二年级期中联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0

.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效

.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a的一个方向向量是()1,0,1m=，平面的一个法向量是()3,1,3n=−，则直线

a与平面所成的角为（）A.0B.45C.60D.90【答案】A【解析】【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得.【详解】已知直线a的方向向量是()1,0,1m=，平面的一个法向量是()3,1,3n=−，设直线a与平面所成角为，则π0,2，所以·0

sincos,02?19mnmnmn====，所以0=，故直线a与平面所成角为0.故选：A.的2.过圆22:260Cxyxy+−−=的圆心且与直线124xy+=垂直的直线的方程是（）A.210xy−−=B.270xy+−=C.250xy−+=D.50xy+−=【答案】C【

解析】【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程【详解】因为圆22:260Cxyxy+−−=，即()()221310xy−+−=，所以圆心为()1,3，又直线124xy+=的斜率为2−，所以所求直线的斜率为12，∴所求直线的方程为()1312yx−=−，即250xy−+=.故

选：C3.已知直线方程为sin30cos3050xy+−=，则该直线的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】先求出直线的斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线sin30cos3050xy+−=的斜率sin303cos303k

=−=−，所以该直线的倾斜角为150.故选：D.4.已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=的右焦点为F，直线210yx=−过点F，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E的方程为221520xy

−=B.双曲线E的离心率为62C.双曲线E的实轴长为5D.双曲线E的顶点坐标为()5,0【答案】A【解析】【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.【详解】由直线210yx=−过点F，得()5,0F，5c=，所以

2225ab+=，又直线210yx=−与双曲线只有一个公共点，当直线210yx=−与双曲线渐近线平行时，2ba=，可得525ab==，双曲线方程为221520xy−=，当直线与双曲线渐近线不平行时，联立直线与双曲线22221210xyabyx−==−，得()222

22224401000baxaxaba−++−=，()()()222222240441000abaaba=−−−=，即2241000ab−++=，又2225ab+=，则25750a+=，无解，所以双曲线方程

为221520xy−=，A选项正确；离心率555cea===，B选项错误；顶点坐标为()5,0，D选项错误；实轴长为225a=，C选项错误；故选：A.5.加斯帕尔蒙日是1819世纪法国著名的几何学家，他在研究

圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210xyabab+=时，蒙日圆方程为2222xyab+=+

.已知长方形G的四边均与椭圆22:143xyM+=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M的离心率为12B.若G为正方形，则G的边长为25C.椭圆M的蒙日圆方程为227xy+=D.长方形G的面积的最大值为14【答案】B【解析

】【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形G的对角线长和基本不等式可求得BD错误.【详解】对于A，由椭圆M方程知：2a=，3b=，则221cab=−=，椭圆M的离心率12cea==，A正确

；对于BC，由A知：椭圆M对应的蒙日圆方程为：227xy+=，正方形G是圆227xy+=的内接正方形，正方形G对角线长为圆的直径27，正方形G的边长为()227142=，B错误，C正确；对于D，设长方形G的长和宽分别为,mn，长

方形G的对角线长为圆的直径27，2228mn+=，长方形G的面积22142mnSmn+==（当且仅当14mn==时取等号），即长方形G的面积的最大值为14，D正确.故选：B.6.已知椭圆C:2212516xy+=的左、右焦点分别为1F，2F，点M

在椭圆C上，则12MFF△的内切圆半径的取值范围为（）A.(0,3B.(0,1C.40,3D.30,2【答案】D【解析】【分析】寻找12MFF△的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据12MFF△面积的取值范围可以得到12MFF△的内切圆半

径的取值范围.【详解】设12MFF△的内切圆半径为r，椭圆方程为22221xyab+=，则5a=，4b=，2229cab=−=，即3c=，又()()1212121122822=++=+=△MFFSPFPFFFracrr，所以1218=△

MFFrS，由于1212110641222==△MFFSbFF，所以302r.故选：D7.定义：设123,,aaa是空间的一个基底，若向量123pxayaza=++，则称实数组(),,xyz为向量p在基底

123,,aaa下的坐标.已知,,abc是空间的单位正交基底，()2,,2abbbc−−是空间的另一个基底.若向量p在基底()2,,2abbbc−−下的坐标为()1,2,1−，则向量p在基底,,abc下的模长为（）A.3B.6C.9D.6【答案】A【解析】【分

析】根据基底的定义结合题意直接求解即可【详解】由题意得向量p在基底()2,,2abbbc−−下的坐标为：()1,2,1−，则()22222pabbbcabc=−−+−=−−，所以向量p在,,abc下的坐标为：()2

,2,1−−，所以模长为222213++=，故A项正确.故选：A.8.下列命题中，是假命题的是（）①若直线220xay+−=与直线()120axay−++=平行，则a的值为32或0；②若,AB为双曲线2219yx−=上两点，则()1,1可以是线段AB的中点；③经过任意两个不同的点()(

)111222,,,PxyPxy的直线都可以用方程()()()()121121yyxxxxyy−−=−−表示；④向量()()1,2,,1,2,1ab=−=−−的夹角为钝角时，实数的取值范围是5−.A.①④B.③④C.①②④D.②④【答案】C【解析】【分析】0a=时，两直线重合，①错误

，利用点差法计算直线方程，与双曲线无交点，②错误，考虑12xx=和12xx两种情况得到③正确，1=时不成立，④错误，得到答案.【详解】对①：当0a=时，直线220xay+−=与直线()120axay−++=重合，错误；对②：若成立，设(

)11,Axy，()22,Bxy，直线斜率存在设为k，则221119yx−=，222219yx−=，相减得到()()()()1212121209yyyyxxxx+−+−−=，即2209k−=，解得9k=，直线AB：98yx=−，229819yxyx=−

−=，整理得到272144730xx−+=，无解，错误；对③：当12xx=时，直线方程为1xx=；当12xx时，直线方程为()211121yyyyxxxx−−=−−，两种情况可以合并为：()()()()121121yyxxxxyy−−=−−，正确；对④：当1=时

，()()1,2,1,1,2,1ab=−=−−，ab=−，夹角为π，错误；故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分.9.下列命题中是假命题的是（）A.若,,abc为空间的一个基底，则,2,abbcaca++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a与平面内一个非零向量平行，则a所在直线与平面也平行C.若平面,的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3nn==，则//D

.已知v为直线l的方向向量，1n为平面的法向量，则1//vnl⊥【答案】BCD【解析】【分析】由()()2abbcaca+=++−+可判断选项A；利用空间位置关系的向量证明判断B，C，D.【详解】选项A.设()()2abxbcayca

+=++++,即()()()1210xyaxbxyc−−+−−+=由,,abc为空间的一个基底，即,,abc不共面，则101200xxyxy−=−−=+=，解得1,1xy==−即()()2abbcaca+=++−+，所以,2,abbcaca++

++共面，即不能构成空间另一个基底，故选项A正确.选项B.若非零向量a与平面平行，则所在直线可能与平面平行，也可能在平面内，选项B不正确；选项C.显然向量()()120,1,3,1,0,3nn==不共线，因此平面,不平行，选项C不正确；选项D.由

1vn⊥，得直线l与平面平行，也可能直线l在平面内，选项D不正确；故选：BCD10.若点M是圆22:(2)1Cxy−+=上任意一点，则点M到直线30kxy+−=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.5【答案】ABC【解析】的【分析】根据圆上动点到过定点直线的距离

最大为：圆心到定点的距离加上半径；当直线与圆相交时有最小距离0，从而可判断求解.【详解】由题意得：圆心()2,0C，半径：1r=，直线30kxy+−=过定点：()0,3P，当圆心与定点P的连线垂直直线时，M到直线有最大的距离且为：22231113CPr+

=++=+，当直线与圆相交时有最小距离0，故M到直线的距离范围为：0113d+，故选项ABC符合题意，D项不符合题意.故选：ABC.11.已知椭圆22:1925xyC+=的两个焦点分别为12,FF，O为坐标

原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F的直线与椭圆C交于,AB两点，则2ABF△的周长为12B.椭圆C上存在点P，使得120PFPF=C.若P为椭圆C上一点，且1PF与2PF的夹角为60，则12PFF△的面积为33D.若P为椭圆C上一点，Q为圆221xy+=上

一点，则点,PQ之间的最大距离是9【答案】BC【解析】【分析】根据2ABF△的周长为4a即可判断A；设(),,5,5Pxyx−，根据120PFPF=求出P点的坐标即可判断B；根据椭圆的定义结合余弦定理求出12PFPF即可判断C；求出OP的最大值，再根据max

max1PQOP=+即可判断D.【详解】设椭圆C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则22225,9,16abc===，所以5,3,4abc===，对于A，过1F的直线与椭圆C交于,AB两点，则2ABF△的周长为420a=，故A错误；对于B，可取()()120,4,

0,4FF−，设(),,5,5Pxyy−，则221925xy+=，所以229925xy=−，则()()12,4,,4PFxyPFxy=−−−=−−，所以222221291616916702525PFPFxy

yyy=+−=−+−=−=，解得575,54y=−，所以椭圆C上存在点P，使得120PFPF=，故B正确；对于C，由题意可得1212210,28PFPFaFFc+====，在12PFF△中，由余弦定理得2

221212122cos60FFPFPFPFPF=+−，即()21212126431003PFPFPFPFPFPF=+−=−，所以1212PFPF=，所以12PFF△的面积为121sin60332PFPF=，故C正确；对于D，设(),,5,5Pxyx−，则2

21925xy+=，所以229925xy=−，则22222916992525OPxyyyy=+=−+=+，因为5,5y−，所以20,25y，所以21693,525OPy=+，所以maxmax16PQOP=+=，故D错误.故选：BC.12.如图，在四棱锥P

ABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC=，PAD为正三角形，O为AD的中点，且平面PAD⊥平面,ABCDM是线段PC上的一点，则以下说法正确的是（）A.OMPD⊥B.OMBC⊥C.若点M为线段PC的中点，则直线//O

M平面PABD.若13PMPC=，则直线AM与平面PAB所成角的余弦值为31010【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB，由线面平行的判定定理即可判断C，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.【

详解】连接OC，因为底面ABCD是边长为2的菱形，60ADC=，又PAD为正三角形，O为AD的中点，所以ADPO⊥，ADCO⊥，又POCOO=，,POCO平面POC，所以AD⊥平面POC，又OM平面POC，所以ADOM⊥，又//ADBC，所以OMBC⊥，故

B正确；当点M为线段PC的中点时，取BP的中点N，连接,MNAN，则//MNBC，且12MNBC=，又O为AD的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，所以//AOBC，且12AOBC=，所以//MNAO，且MNAO=，所以四

边形AOMN为平行四边形，所以//OMAN，又OM平面PAB，AN平面PAB，所以//OM平面PAB，故C正确；因为平面PAD⊥平面ABCD，PAD为正三角形，O为AD中点，所以POAD⊥，平面PAD平面ABCDAD=，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，且OC平面

ABCD，所以POOC⊥，又ODOC⊥，ODOPO=，,ODOP平面OPD，所以OC⊥平面OPD，又PD平面OPD，所以OCPD⊥，显然PD与平面OPC不垂直，故当点M运动到点C位置时，才有OMPD⊥，故A

错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,2,3,0,0,3,0,0,0,3OABCP，又13PMPC=，所以3230,,33M，则3231,,33AM=−，

()1,3,0AB=，()1,0,3AP=−，设平面PAB的法向量为(),,nxyz=，则3030nABxynAPxz=+==−+=，令3x=，则1,1yz=−=，所以()3,1,1n=−，设直线AM与平面PAB的

夹角为，则23103sincos,10853nAMnAMnAM====，则2310cos1sin10=−=，所以直线AM与平面PAB所成角的余弦值为31010，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz中，()()0,1,2,2,1,1AMAN==，则点M到直线AN的距离为__________.【答案】112【解析】【分析】先求出AM在AN上的投影向量的模长，然后利用勾股定理求解即可

【详解】AM在AN上的投影向量的模长32ANAMdAN==.则点M到直线AN的距离为222311522AMd−=−=故答案为：11214.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线与圆22680xyx+−+=相切，则双曲线的离心率为

__________.【答案】324【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到3cb=，即可求出离心率.【详解】圆22680xyx+−+=即()2231xy−+=，圆心为()

3,0，半径1r=，双曲线22221(0,0)xyabab−=的渐近线方程为byxa=，依题意2231bdab==+，即3cb=，又222cab=+，所以22ab=，所以离心率332422cbeab===.故答案为：3

2415.如图，已知一个二面角的平面角为120，它的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，2AC=，22BD=，32CD=，则线段AB的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A作//AFBD

，且22AFBD==，在ACF△利用余弦定理可得14CF=，再在CDF中利用勾股定理求解.【详解】过点A作//AFBD，且22AFBD==，则四边形ABDF平行四边形，DFAB=，又BDAB⊥，AFAB⊥，ACAB⊥，CAF即

为二面角的平面角，即120CAF=，在ACF△中，()()2222212cos2222222142CFCAAFCAAFCAF=+−=+−−=，即14CF=，又ACAFA=，AC，AF平面ACF，AB⊥平面ACF，CFQ平面ACF,ABCF⊥，FDCF⊥，在CD

F中，()()2222232144DFCDCF=−=−=，即2ABDF==，故答案为：2.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF上任意一点到A村的距离比到B村的距离远4km，B村在A村的正东方向6km处，C村在A村的北偏东60

方向63km处，为了救援灾民，救援队在曲线EF上的M处收到了一批救灾药品，现要向BC､两村转运药品，那么从M处到B、C两村的路程之和的最小值为__________km.【答案】634−【解析】为【分析】根据题意建立直角坐标系

，结合双曲线定义可知曲线EF的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到4MBMCAC+−，由此得解.【详解】如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，由题意得46MAMB−=，根据双曲线定义

知，轨迹为双曲线的右支，故24,2,26,3,5aaccb=====，所以曲线EF的轨迹方程为221(0)45xyx−=，因为63AC=，所以24634MBMCMCMAaAC+=+−−=−，当且仅

当,,AMC共线时，等号成立，所以从M处到B、C两村的路程之和的最小值为()634−km.故答案为：634−.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,

0AB−，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍.（1）求点M的轨迹方程；（2）如果把2倍改成(0)kk倍，求点M的轨迹.【答案】（1）22(6)32xy−+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设点M的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可；（2）设点M的坐标，利用两

点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况.小问1详解】设点M的坐标为(),xy，由2MAMB=，得2222(2)2(2)xyxy++=−+，化简得221240xxy−++=，即22(6)32xy−+=.【小问2

详解】设点M的坐标为(),xy，由MAkMB=，得2222(2)(2)xykxy++=−+，化简得()()()()2222221411410kxkxkyk−+++−+−=，当1k=时，方程为0x=，可知点M的轨迹是线段AB的垂直

平分线；当0k且1k时，方程可化()()2222222211611kkxykk+++=−−，点M的轨迹是以()2221,01kk+−为圆心，半径为241kk−的圆.1

8.已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=上的任意一点到两个焦点的距离之和为26，且离心率为63，过点()1,1P的直线与椭圆C交于,AB两点，且满足0PAPB+=，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，求OM的最小值.【答案】2105.【解析】【分析】

先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由题意得6226,3caa==，解得226,2,2acbac===−=，所以椭圆方程为22162yx+=，【为因为221121623+=

，所以()1,1P在椭圆内，所以直线AB与椭圆总有两个交点，因为0PAPB+=，所以点P为线段AB的中点，设()()1122,,,AxyBxy，则12122,2xxyy+=+=，22112222162162yxyx+=

+=，所以22222121062yyxx−−+=，所以()()()()2121212130yyyyxxxx+−++−=，所以()()2121260yyxx−+−=，即()()212130yyxx−+−=，所以21213yyxx−=−−，所以直线AB为()131yx−=−−，即340xy+−=

，因为M为直线AB上任意一点，所以OM的最小值为点O到直线AB的距离22004210531d+−==+.19.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E是1CC的中点.（1）求证：BD⊥平

面1AAE；（2）求点B到平面1ABE的距离；（3）求平面1ABE和底面1111DCBA夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再由线面垂直的判定定

理得证；（2）利用向量法求点面距离；（3）利用向量法求两个平面的夹角.【小问1详解】以点1D为坐标原点，11111,,DADCDD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()11111,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0

,1,1,1,1,0,1,1ABCDABC，()10,0,1,0,1,2DE，故()()111,1,0,0,0,1,1,1,2DBAAAE===−−，所以10,0DBAADBAE=

=，所以1,BDAABDAE⊥⊥，又1AAAEA=，1,AAAE平面1AAE，因此BD⊥平面1AAE.【小问2详解】平面1ABE的法向量为()123,,mxxx=，()1110,1,1,1,0,2BABE=−=−，则1231130,10,2mBAxxmBExx=−+=

=−+=取11x=，可得()1,2,2m=，又()10,0,1BB=，则点B到平面1ABE的距离为123BBmdm==.【小问3详解】设平面1ABE和底面1111DCBA夹角为，因为平面1111DCBA的一个法

向量为()0,0,1n=，所以2cos,3mnmnmn==，故23cos5sin1,mn=−=，所以平面1ABE和底面1111DCBA夹角的正弦值为53.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定

理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC满足ACBC=，顶点(1,0)A−、(1,2)B，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)Mxy

rr++=相切.（1）求ABC的“欧拉线”方程；（2）若圆M与圆22()2xya+−=有公共点，求a的范围；（3）若点(),xy在ABC的“欧拉线”上，求2222222(2)xyxyxy+−−++−+的最小值.【答案】（1）10xy+−=（2）7,7a

−（3）2【解析】【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线

对称求出对称点即可得结果.【小问1详解】因为ACBC=，所以ABC是等腰三角形，由三线合一得：ABC的外心、重心、垂心均在边AB的垂直平分线上，设ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，由()()1,01,2

AB−､可得：AB的中点1102,22D−+，即()()200,1,111ABDk−==−−，所以1lk=−，故l的方程为10xy+−=.【小问2详解】因为l与圆222:(5)Mxyr++=相切，故6

3211r==+，圆22()2xya+−=的圆心坐标为()0,a，半径12r=，则要想圆M与圆22()2xya+−=有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故2222542a+，所以7,7a−.【

小问3详解】因为22222222222(2)(1)(1)(2)xyxyxyxyxy+−−++−+=−+−+−+，所以该式子是表示点(),xy到点()1,1、点()2,0的距离之和，又10xy+−=，所以上述式子表示直线10xy+−=上的点(),xy到点()1,1E、点()2,0F的距离之和的最

小值.设点()1,1E关于直线10xy+−=的对称点为(),Gst，则有11,11110,22tsst−=−+++−=解得00st==，即()0,0G.所以2FG=，所以直线10xy+−=上的点(),xy到点()1,1E、点()2,0F的距离之和的最

小值为2FG=.21.已知圆P与直线2x=相切，圆心P在直线0xy+=上，且直线20xy−−=被圆P截得的弦长为22.（1）求圆P的方程；（2）若直线:4lykx=−与圆P交于不同的两点,CD，且30PCD=，求直线l的斜率；（3）

若点Q是直线1:40lxy−−=上的动点，过Q作圆P的两条切线,QMQN，切点分别为,MN，求四边形PMQN面积的最小值.【答案】（1）224xy+=（2）15（3）4【解析】【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为(),Paa−，结合圆与直线2x=相切得到

半径，再利用弦长公式求解即可；（2）由（1）可知点P即为原点，根据条件得到原点O到直线l的距离，利用点到直线距离公式求解即可；（3）根据当1PQl⊥时，PQ最小，此时四边形PMQN的面积最小进行求解.【详解】（1）设圆P的圆心为(),Paa−，半径为r，因为圆P与直

线2x=相切，所以2ra=−.又直线20xy−−=被圆P截得的弦长为22，所以2222222aar+−=−，解得0,2,ar==即圆心坐标为()0,0,2r=，所以圆P方程为224xy+=.（2）依题意，P即为坐标原点,2OOCOD==，且30OCD=，则点()0,0O

到CD的距离为1，于是2411k=+，解得15k=，所以直线l的斜率为15.（3）由切线长定理可得QMQN=，又因为PMPN=，所以PMQPNQ，所以四边形PMQN的面积22PMQSSPMMQMQ===，因为222||||||||4MQQPPMQP=−=−，当1QPl⊥时，QP

取最小值，且min004||222QP−−==，所以四边形PMQN的面积的最小值为22(22)44S=−=.22.已知点A在曲线22:186xyC+=上，O为坐标原点，若点B满足2OAOB=，记动点B的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F，过点F且斜率不为

0的直线l交椭圆Γ于,PQ两点，若MF与x轴垂直，且M是MF与Γ在第一象限的交点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为12,kk，当120kk+=时，求MPQ的面积.【答案】（1）22143xy+=（2）958【解析】【分析】（1）设()(),,,AABxyAxy，根

据2OAOB=，把B点的坐标用A点的坐标表示，再代入曲线22:186xyC+=即可得解；（2）设直线l的方程为()()()112210,1,,1,xmymPmyyQmyy=+++，联立方程，利用韦达定理求出的1212,yyyy+，再结

合120kk+=可求出m，即可得直线l的方程，进而可求出三角形的面积.【小问1详解】设()(),,,AABxyAxy，因为点A在曲线22:186xyC+=上，所以22186AAxy+=，因为2OAOB=，所以22A

Axxyy==，代入22186AAxy+=可得22(2)(2)186xy+=，即22143xy+=，即Γ的方程为22143xy+=；【小问2详解】由（1）知，Γ的右焦点为()1,0F，令1x=，则21143y+=，解得32y=，所以3

1,2M，据题意设直线l的方程为()()()112210,1,,1,xmymPmyyQmyy=+++，则121212112233232322,22yyyykkmymymymy−−−−====，于是由120kk+

=得12122323022yymymy−−+=，化简得()()121243*yyyy=+，由221,34120xmyxy=++−=，消去x整理，得()2234690mymy++−=，()()222Δ(6)363414410mmm=++=+，由根与系数的关系得1212

2269,3434myyyymm+=−=−++，代入()*式得：2218363434mmm−=−++，解得2m=，所以直线l的方程为210xy−−=，方法一：()2121239Δ14421720,,416yyyy=+=+

=−=−，所以()22121293615124516164PQyyyy+=+−=+=，点M到直线l的距离2312135251(2)d−−==+−，所以1115359522458MPQSPQd===.方法二：由题意可知1324MP

QMPFMQFPQPQSSSMFxxxx=+=−=−，210xy−−=代入2234120xy+−=消去y，得242110xx−−=，所以()2111Δ(2)44111800,,024PQPQxxxx=−−−=+==−，所以()233

3144954444448MPQPQPQPQSxxxxxx=−=+−=+=.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动

点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00,xy所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、

y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号

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