【文档说明】北京市第三十五中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，874.725 KB，由小赞的店铺上传

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北京市第三十五中学2023-2024学年第一学期期中测试高一数学Ⅰ卷一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确．．．．答案填在答题卡相应的题号处．．．．．．．．．．．．

．）1.设集合0,1,2,3M=，集合2,3N=，则MN=（）A.0,1,2,3B.2，3C.0D.2,3【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】由题意知

集合0,1,2,3M=，集合2,3N=，则MN=2,3，故选：D2.已知命题p：xR，1x，那么命题p的否定是（）A.xR，1xB.Rx，1xC.xR，1xD.xR，1x

【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式求解即可.【详解】解：命题p：xR，1x的否定是：xR，1x.故选：C3.设,,abcR，ab，则下列不等式中一定正确的是（）A.2abB.22acbcC.a

cbc−−D.11ab【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，举出反例逐一判断即可.【详解】解：对于A，当2,3ab=−=−时，24ab=−，故A错误；对于B，当0c=时，22acbc=，故B错误；对于C，因为ab，所以

acbc−−，故C正确；对于D，当1,1ab==−时，1111ab=−=，故D错误.故选：C.4.下列函数中，在()0,+上单调递增的是（）A.1yx=B.22yxx=−C.1yx=−D.1yx=−【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性的判定方法，

逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数1yx=在()0,+上单调递减，所以A不符合题意；对于B中，函数22yxx=−在(0,1]上单调递减，(1,)+单调递增，所以B符合题意；对于C中，函数1yx=

−在()0,+上单调递减，所以C不符合题意；对于D中，0x时函数11yxx=−=−在()0,+上单调递减，所以D符合题意.故选：D.5.不等式230axbx++的解集是()1,3，则ab+的值是（）A.3−B.3C.5−D.5【

答案】A【解析】【分析】根据给定条件可得1，3是方程230axbx++=的二根，再借助韦达定理计算即得.【详解】因不等式230axbx++的解集是()1,3，则1，3是方程230axbx++=的二根，于得13ba−=

+且313a=，解得1a=，4b=−，3ab+=−，所以ab+的值是3−.故选：A6.若函数()fx是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（）A.()()1(2)3fff−B.()()()312fff−C.()()()213fff−D.()()()321

fff−是【答案】A【解析】【分析】由(1)(1)ff−=，结合单调性得出()()1(2)3fff−.【详解】因为函数()fx是偶函数，所以(1)(1)ff−=又()fx在区间[0,3]上单调递减，且123所以(1)(2)(3)fff，即()()1

(2)3fff−故选：A7.函数()6fxxx=−在以下哪个区间内一定存在零点（）A.()1,0−B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】D【解析】【分析】直接根据零点的存在性定理判断即可.【详解】函数

()6fxxx=−定义域为()0,+，排除A；又()()661150,22012ff=−==−，()()661330,440342ff=−=−=−，()()340ff，根据零点存在性定理可得函数(

)6fxxx=−在()3,4内一定存在零点故选：D8.已知a、bR，则“222ab+”是“11ab−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得

出结论.【详解】若222ab+，由基本不等式可得2222abab+，则1ab，11ab−，所以，“222ab+”“11ab−”；若11ab−，可取2a=，0b=，但2242ab+=，所以，“222ab+”“11ab−

”.因此，“222ab+”是“11ab−”的充分不必要条件，故选：A.9.已知函数()fx是定义在()(),00,−+U上的奇函数，当()0,+时，()fx的图象如图所示，那么满足不等式35()44fxx+的x的取值范围是（）A.((,20,1

−−B.)(2,00,1−C.((,30,1−−D.)(3,00,1−【答案】C【解析】【分析】将解不等式35()44fxx+转化为()fx与()3544gxx=+的图像比较，进而观察两个函数

图象的特征，从而求出不等式的解集．【详解】因为函数()fx是定义在()(),00,−+U上的奇函数，所以()fx的图像关于原点对称，由此画出函数()fx在()(),00,−+U上的图象，在同一坐标系内画出()3544gxx=+的图象，因为()12f=，()31f=，所以()()331

ff−=−=−，又()3511244g=+=，()()3533144g−=−+=−，所以()fx的图象与()gx的图象交于()1,2和()3,1−−两点，如图，所以结合图像可知，35()44fxx

+的解集为((,30,1−−.故选：C.10.黎曼函数()Rx是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．()Rx在0,1的定义为：当qxp=（pq，且p、q为互质的正整数）时，()1Rxp=

：当0x=或1x=或x为()0,1内的无理数时，()0Rx=，下列说法错误的是（）（注：p、q为互质的正整数（pq），即qp为已约分的最简真分数）（）A.当0,1x时，()()()RRxRx=B.若,0,1ab，则()()

()RabRaRbC.当0,1x时，()Rx的图象关于直线12x=对称D.存在大于1的实数m，使方程()1mRxx=+（0,1x）有实根【答案】D【解析】【分析】A选项，0x=或1x=或x为()0,1内的无理数时，()()()RRxRx=，当x为()

0,1内的有理数时，也满足()()()RRxRx=；B选项，分别考虑,ab分别为0，1，()0,1内的有理数或无理数时，讨论得到()()()RabRaRb；C选项，考虑0x=，1或()0,1内的无理数，()()1

0RxRx=−=，x为()0,1内的有理数，也满足()()1RxRx=−，故C正确；D选项，求出()Rx的值域，从而得到方程无根.【详解】A选项，当0x=或1x=或x为()0,1内的无理数时，()0Rx=，故()()()00

RRxR==，此时()()()RRxRx=；当qxp=（pq且p、q为互质的正整数）时，()1Rxp=（2p且p为正整数），则()()11pRRRpx==，此时()()()RRxRx=，当0,1x时，()()()RRxRx=，

A正确；B选项，若0a=或0b=，此时0ab=，()0Rab=，又()()0RaRb=，故满足()()()RabRaRb=；若1a=或1b=，不妨设1a=，此时abb=，()()0RabRb

=，又()()0RaRb=，故满足()()()RabRaRb；若,ab为()0,1内的无理数时，ab为()0,1内的无理数或qabp=（pq且p、q为互质的正整数），此时()0Rab，又()()0RaRb=，故()(

)()RabRaRb；若,ab中一个为()0,1内的无理数，另一个为qp（pq且p、q为互质的正整数），此时ab为()0,1内的无理数，故()0Rab=，又()()0RaRb=，故()()()RabRaRb=；若,ab均为qp（pq且p、q为互质的正整数），设1212,qqa

bpp==，12121211qqabpppp=，故()()()RabRaRb，B正确；C选项，0x=，1或()0,1内的无理数，则()0Rx=，()10Rx−=，()()1RxRx=−，若x为()0,1内的有理数，设qxp=（pq且p、q为互质的正整数），则()(

)11RxRxp=−=，综上，当0,1x时，()Rx的图象关于直线12x=对称，C正确；D选项，()Rx的值域为11110,,,,,234p，其中p为大于等于2的正整数，若1m，因为

0,1x，所以112mx+，此时方程()1mRxx=+（0,1x）无实根，D错误.故选：D二．填空题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题卡相应的题号处．．．．．．．．．．．．．．．．．）11.函数()41fxx=+的定义域为______.【答案】1,4−+

【解析】【分析】根据开偶数次方，根号里的数大于等于零即可得解.【详解】解：由()41fxx=+，得410x+，解得14x−，所以函数的定义域为1,4−+.故答案为：1,4−+.12.已知正数,ab满足321ab+=，则ab的最大值是______．【答案】

124【解析】【分析】依题意由基本不等式即可求得当11,64ab==时，ab取得最大值124.【详解】根据题意，利用基本不等式可得132232abab=+，即可得124ab，当且仅当1322ab==，即11,64ab==时，等号成立；因此ab的最大值是124.故答案为：1

2413.不等式1312x−的解集为___________.【答案】15{|33xx且1}x【解析】【分析】转化1331212xx−−，且1x，即23(1)2x−−，且1x，求解即可【详解】由题意，1331212xx−−，且1x

23(1)2x−−，且1x解得：1533x且1x故不等式的解集为15{|33xx且1}x故答案为：15{|33xx且1}x14.能够说明“若a，b，m均为正数，则bmbama+

+”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.【答案】1，1（答案不唯一）【解析】【分析】若bmbama++是假命题，可推出ab„，故只需列举出满足条件ab„的两个正整数即可．【详解】若bmbama++是假命题，则bmbama++

，又a，b，m都是正数，()()abmbam++„，ambm„，ab„，故当1ab==时，bmbama++是假命题，故答案为：1，1（答案不唯一）．15.已知函数()2,,0xxtfxxxt=（0t）．①当1t=时()fx的值域为__________；②若()fx

在区间()0,+上单调递增，则t的取值范围是__________．【答案】①.()0,+②.)1,+【解析】【分析】当1t=时，分别求出两段函数的值域，取并集即可；若()fx在区间()0,+上单调递

增，则有20ttt，解之即可得解.【详解】解：当1t=时，若1x，则())21,fxx=+，若01x，则()()0,1fxx=，所以当1t=时()fx的值域为()0,+；由函数2,,0xxtxxt（0t），可得函数()fx在()0,t上递增，

在(),t+上递增，因为()fx在区间()0,+上单调递增，所以20ttt，解得1t，所以若()fx在区间()0,+上单调递增，则t的取值范围是)1,+.故答案为：()0,+；)1,+.1

6.设函数()1fxax=−+，()2gxx=，且函数()fx，()gx定义域均为)2,+，记：①()()0fxgx+；②()()0fxgx−；③()()0fxgx；④()()0fxgx．（1）若()fx，()gx满足条件

④，则a的取值范围为______．；（2）若()fx，()gx恰满足条件①、条件②、条件③、条件④的一个，则a的取值范围为______．【答案】①.0a②.502a【解析】【分析】（1）()fx，()gx满足条件④，即210axx−+在)2,+上恒

成立，分类讨论a的取值，即可得答案.（2）分别求出条件①、条件②、条件③、条件④成立的参数a的范围，再结合()fx，()gx恰满足其中的一个，分类讨论，即可求得答案.【详解】（1）由题意知()fx，()gx满足条件④，即210axx−+在)2,+上恒成立，即210a

xx−在)2,+上恒成立,由于24x，故10ax-<在)2,+上恒成立，当0a=时，10−恒成立，符合题意；当a<0时，10ax-<在)2,+上恒成立，符合题意；当0a时，1yax=−在)2,+上单调递增，10ax-<在)2,+上不会

恒成立，不符合题意；故综合以上得0a；（2）当①()()0fxgx+成立时，即210xax−+在)2,+上恒成立，即1axx+在)2,+上恒成立，由于1yxx=+在)2,+上单调递增，故115222xx

++=，故52a；当②()()0fxgx−成立时，即210xax−−+在)2,+上恒成立，即210xax+−在)2,+上恒成立，由于21yxax=+−在,2a−+上单调递增，故210xax+−在)2,+上不会恒成立，即此时a

；当③()()0fxgx成立时，即2(1)0axx−+在)2,+上恒成立，同（1）可得0a；由（1）知④()()0fxgx成立时，0a；当()fx，()gx恰满足条件①时，则52a，Ra，0a同时成立，即502a；当()fx，()gx恰满

足条件②时，a；由于条件③、条件④成立时，二者都等价于0a，故()fx，()gx不会恰满足其中一个，综合以上可知502a；故答案为：0a；502a【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确题意，将问题转化为不等式恒成立问题解

决，即分别求出四个条件成立时的参数的取值范围，再结合要求求解即可.Ⅱ卷三．解答题（共6个小题，共80分．请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）17.已知集合301

xAxx−=+，4Bxx=（1）求集合A；（2）已知U=R，求AB，()UABð．【答案】（1）3Axx=或1x−（2）34ABxx=或1x−，()4UABxx=ð【解析】【分析】（1）根据分式不等式

的解法即可得解；（2）根据交集，并集和补集的定义即可得解.【小问1详解】由301xx−+得()()310xx−+，解得3x或1x−，所以3Axx=或1x−；【小问2详解】34ABxx=或1x−；13UAxx=−ð，所

以()4UABxx=ð.18.已知函数()4fxxx=+（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义证明函数()yfx=在区间)2,+上是单调递增函数．【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）具体见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义进行即可证明

；（2）根据单调性的定义即可证明.【小问1详解】函数为奇函数.函数定义域为|0xx，()()4fxxfxx−=−−=−，即函数为奇函数.【小问2详解】设12,xx是[2,)+上任意两个取值，且12xx，所以()()()()1212121212

12121244441xxfxfxxxxxxxxxxxxx−−=+−+=−−=−−，因为122xx，所以()12121240,40,1xxxxxx−，则12410xx−，于()()()()12120fxfxfxfx−，即函数在区间[2,)+上

单调递增.19.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且当0x时，()22fxxx=+；（1）已知函数()fx的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数()fx的单调递增区间；（2）求函数()fx

的解析式；（3）若关于x的方程()fxt=有2个不相等的实数根，求实数t的取值范围．（只需写出结论）【答案】（1）图象见解析，单调递增区间为()()1,0,1,−+（2）()222,02,0xxxfxxxx+=−（3）()0,1t+−【解析】的是【分析】（

1）根据偶函数图象的特征作图即可，结合函数图象写出单调增区间即可；（2）令0x，则0x−，再根据函数为偶函数结合已知区间的函数解析式即可得解；（3）关于x的方程()fxt=有2个不相等的实数根，即函数()yfx=的图象与函

数yt=的图象由两个不同的交点，结合函数图象即可得解.【小问1详解】如图所示：单调递增区间为()()1,0,1,−+；【小问2详解】因为函数()fx是定义在R上的偶函数，所以()()fxfx−=，令0x，则0x−，故()()22fxxxfx−=−=，所以当0x时，()22fxx

x=−，所以()222,02,0xxxfxxxx+=−；【小问3详解】因为关于x方程()fxt=有2个不相等的实数根，所以函数()yfx=的图象与函数yt=的图象由两个不同的交点，结合（1）中的图象可知，()0,1t+−.20.

已知函数()()2212fxaxax=−++，Ra．（1）当0a=时，求函数()fx的零点；的（2）当1a=时，若1,3x时，关于x的方程()fxm=有解，求实数m的取值范围；（3）当0a时，求关于x的不等式()0fx的解集．【答案】（1）2（2）1,24m

−（3）答案见解析【解析】【分析】（1）令()0fx=求出x的值即可；（2）求出函数()fx在1,3x上的值域即可；（3）从a分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解.【小问1详解】当0a=时，()2fxx=−+，令()20fxx=−+=，得2x=，所以函数()fx

的零点为2；【小问2详解】当1a=时，()22313224fxxxx=−+=−−，当1,3x时，()()()minmax31,3224fxffxf==−==，所以函数()fx在1,3x上的值域为1,24−，因

为1,3x时，关于x的方程()fxm=有解，所以1,24m−；【小问3详解】()()()()221212axaxaxfxx=−++=−−，方程()()120axx−−=的根为121,2xxa==，当12a=，即12a=时，不等式()

0fx的解集为2xx，当12a，即102a时，不等式()0fx的解集为12xxxa或，当12a，即12a时，不等式()0fx的解集为12xxxa或，综上所述，当12a=，不等式()0fx的解集为2xx；当102a

时，不等式()0fx的解集为12xxxa或；当12a时，不等式()0fx的解集为12xxxa或.21.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池

板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是()(

020100kCxxkx=+，为常数).记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释(0)C的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？【答案】（1）；（2）当x为55平方米

时,F取得最小值为57.5万元．【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意知，将其代入()(020100kCxxkx=+，为常数）即可求出参数，即可求出F关于x的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后

讨论函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：（1）(0)C的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费.由(0)24100kC==,得2400k=所以24001800150.50.5,020100

5Fxxxxx=+=+++（2）因为18000.5(5)0.25218000.50.2559.755Fxx=++−−=+当且仅当18000.5(5)5xx=++,即55x=时取等号所以当x为55平方米时,F取得最小值为57.5万元．（2）导数解法：218000.5(5

)Fx++−=，令0F=得55x=当55x时，0F，当55x时，0F．所以当x为55平方米时,F取得最小值为57.5万元．考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．22.设k是正整数，集合A至少有两个元素，且*NA

.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有xyk−，则称A具有性质()Pk.（1）试判断集合1,2,3,4B=和1,4,7,10C=是否具有性质()2P？并说明理由；（2）若集合1212,,,1,2,,20Aaaa=，求证：A不可能具有性质()3P；

（3）若集合1,2,,2023A，且同时具有性质()4P和()7P，求集合A中元素个数的最大值.【答案】（1）集合B不具有性质()2P，集合C具有性质()2P，理由见解析；（2）证明见解析；（3）920.【解析】【分析】（1）根据定义判断,BC是否

具有性质()2P即可；（2）将1,2,,20分为11个子集，结合抽屉原理证明结论，（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A，由此可得集合A中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满

足要求的集合A.【小问1详解】因为1,2,3,4B=，又1N,2N,3N,4N，但422−=，所以集合B不具有性质()2P，因为1,4,7,10C=，又1N,4N,7N,10N，但413,716,1019,743,1046,1073−=−=−=−=−=−=，

所以集合C具有性质()2P，【小问2详解】将集合1,2,,20中的元素分为如下11个集合，1,4,2,5,3,6,7,10,8,11.9,12,13,16,14,17,1

5,18,1920，，所以从集合1,2,,20中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A不可能具有性质()3P；【小

问3详解】先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1,2,3,11例.构造抽屉{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}，{5}，{6}，{7}.①5,6,7同时选，因为具有性质(4)P和(7)P，所以选5则不选1,9；选6则不选2,10

；选7则不选3,11；则只剩4,8.故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.②5,6,7选2个，若只选5,6，则1,2,9,10,7不可选，又{4,11}只能选一个元素，3,8可以选，故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.若选5,7，则只能

从2,4,8,10中选，但4,8不能同时选，故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.若选6,7，则2,3,10,11,5不可选，又{1,8}只能选一个元素，4,9可以选，故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5

个.为③5,6,7中只选1个，又四个集合{1,8}，{2,9}，{3,10}，{4,11}每个集合至多选1个元素，故1,2,3,11中属于集合A的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5

个，如取1,4,6,7,9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有1845920=个.给出如

下选取方法：从1,2,3,11中选取1,4,6,7,9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1,4,6,7,9；12,15,17,18,20；23,26,28,29,31；

；2014,2017,2019,2020,2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用

类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.