【文档说明】福建省北京师范大学泉州附属中学2020-2021学年高一下学期中考试仿真测数学试题一 （解析）.docx，共(26)页，1.021 MB，由小赞的店铺上传

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高一下期中考试仿真测试题一（解析）1．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若PAPB⊥，PBPC⊥，PAPC⊥，且2PAPBPC===，则球O的体积为（）A．48πB．43C．12πD．323【答案】B

【分析】由题知球O为以2为棱长的正方体的外接球.【详解】PAPB⊥，PBPC⊥，PAPC⊥，且2PAPBPC===球O可看作以2为棱长的正方体的外接球，设半径为R,222222223R\=++=，即3R=，球O的体积()34343

3Vpp=?.故选：B.【点睛】本题考查外接球体积的计算，解题的关键是求出半径，属于基础题.2．在ABC中，4AB=，2AC=，点O满足BOOC=，则BCAO的值为()A．6−B．6C．8−D．8【答案】A【详解】解：A

BC中，4AB=，2AC=，点O满足BOOC=，故O为BC的中点，2211()()()22AOBCABACACABACAB=+−=−221(24)62=−=−，故选：A.3．已知复数123,2zaizi=−=+（i为虚数单位），若

12zz是纯虚数，则实数a=（）A．32−B．32C．3−D．3【答案】A【分析】利用12zz是纯虚数，实部为0，即可得a的值.【详解】()()()1232236aiiaziza=−+=++−，若12zz是纯虚数

，则230a+=，解得：32a=−.故选：A【点睛】本题主要考查了纯虚数的定义，属于基础题.4．已知||1a=，||2b=，且a与b的夹角为6，则|3|(ab−=)A．7B．22C．10D．19【答案】A【分析

】解：||1a=，||2b=，且a与b的夹角为6，31232ab==，2222|3|2331233327abaabb−=−+=−+=，故|3|7ab−=，故选：A．5.△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对应的分别为a，b，c，且(𝑎+𝑏)(sin𝐴−sin𝐵)=

(𝑐−𝑏)sin𝐶，若𝑎=2，则△𝐴𝐵𝐶的面积的最大值是()A.1B.√3C.2D.2√3【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于

基础题．由已知利用正弦定理可得𝑎2=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐，由余弦定理可得cos𝐴=12，结合范围𝐴∈(0,𝜋)，可求A的值；再利用余弦定理，基本不等式可求𝑏𝑐≤4，当且仅当𝑏=𝑐=2时，取等号，利用三角

形的面积公式即可求解．【解答】解：由正弦定理以及(𝑎+𝑏)(sin𝐴−sin𝐵)=(𝑐−𝑏)sin𝐶得：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=(𝑐−𝑏)𝑐，整理得𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐，则cos𝐴=

12，𝐴∈(0,𝜋)，求得，因为𝑎=2，所以由余弦定理得4=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐，因为𝑏2+𝑐2≥2𝑏𝑐，所以4+𝑏𝑐≥2𝑏𝑐，解得𝑏𝑐≤4，当且且仅当𝑏=𝑐时取等号，所以，即面积的最大值为√3．故选B．6.已知正方

体1111ABCDABCD−的棱长为1，O是底面ABCD的中心，则异面直线1OD与11AC所成的角为A．090B．060C．045D．030【答案】A【分析】通过平移AC将问题变为1OD与AC所成角；根据等腰三

角形三线合一可知1ODAC⊥，从而得到所成角为90.【详解】原题如下图所示：11//ACAC异面直线1OD与11AC所成角即为1OD与AC所成角连接1AD，1DC11ADDC=且O为AC中点1ODAC⊥

异面直线1OD与11AC所成角为90【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移利用相交直线所成角来求解，属于基础题.7．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2sincos0BAC+=，则cosB的最小值为()A．2B

．3C．32D．33【答案】C【详解】解：sin2sincos0BAC+=，由正弦定理及余弦定理得：222202abcbaab+−+=，可得：22220abc+−=，又22222333cos24442acbacacBacacca+−+===+…，当且仅当3

44acca=，即3ca=时取等号，即cosB的最小值为32．故选：C．8.如图，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧棱𝐴𝐴1垂直于底面𝐴1𝐵1𝐶1，底面三角形𝐴1𝐵1𝐶1是正三角形，E是BC的中点.由以下论断：①𝐶𝐶1与𝐵1𝐸是异面

直线；平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1；③𝐴𝐸与𝐵1𝐶1为异面直线，且；④𝐴1𝐶1//平面𝐴𝐵1𝐸．则这些论断正确的序号是()A.③B.③④C.②③D.②③④【答案】A【解析】【分析】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理

，定义对所面对的问题进行证明得出结论，考查空间想象能力以及推理谁的能力，属于中档题．由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项．【解答】解：①不正确，因为𝐶𝐶1与𝐵1𝐸在同一个侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1中，故不是

异面直线；②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，所以∠𝐶𝐴𝐵=60°，故不可能存在𝐴𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1；③正确，因为AE，𝐵1𝐶1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它

们是异面直线；又𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐶//𝐵1𝐶1，所以𝐴𝐸⊥𝐵1𝐶1，故③正确；④不正确，因为𝐴1𝐶1所在的平面𝐵𝐴1𝐶1与平面𝐴𝐵1𝐸相交，且𝐴1𝐶1与交线不可能平行，故A1𝐶1//平面

𝐴𝐵1𝐸不正确．故选A.9．设1z，2z，3z为复数，10z．下列命题中正确的是()A．若23||||zz=，则23zz=B．若1213zzzz=，则23zz=C．若23zz=，则1213||||zzzz=D．若212

1||zzz=，则12zz=【答案】BC【详解】解：由复数的形式可知，选项A错误；当1213zzzz=时，有1213123()0zzzzzzz−=−=，又10z，所以23zz=，故选项B正确；当23

zz=时，则23zz=，所以2212131212131312121313||||()()()()0zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz−=−=−=，故选项C正确；当2121||zzz=时，则212111||zzzzz==

，可得1211121()0zzzzzzz−=−=，所以12zz=，故选项D错误．故选：BC．10.已知三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的面积为

4√3.则正确的结论是()A.若11BC的中点为E，则1AC//平面1ABEB.若三棱柱111ABCABC−的体积为43，则1A到平面11BCCB的距离为3C.若ABC是边长为2的等边三角形，则1AC与平面11AABB所成的角为6D.若AB=AC=BC，则球O体积的最小值为323【

答案】AD【解析】【分析】本题考查直线与平面的平行，直线与平面所成的角，点到平面的距离，锥体的体积公式，球体的体积公式，多面体的外接球等知识点.属于中档题．A中取BC的中点F，连接AF，𝐶1𝐹，BE，𝐴1𝐵，𝐴1𝐸，𝐸𝐹.先利用三棱柱的结构特征和平面与平

面平行的判定定理证得平面𝐴1𝐵𝐸//平面𝐴𝐶1𝐹，在运用平面与平面平行的性质定理即可证得𝐴𝐶1//平面𝐴1𝐵𝐸．B中根据割补思想四棱锥𝐴1−𝐵𝐶𝐶1𝐵1的体积占三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴

1𝐵1𝐶1体积的23，结合题设侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的面积为4√3即可求得𝐴1到平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的距离．C中根据是边长为2的等边三角形结合题设可得三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1为正三棱柱.取𝐴1𝐵1的中点N，连结𝐴𝑁,�

�1𝑁，根据平面与平面垂直的性质定理可证得，从而有∠𝐶1𝐴𝑁为直线𝐶1𝐴与平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵所成的角，通过计算即可确定𝐴𝐶1与平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵所成的角．D中由𝐴𝐵=𝐴�

�=𝐵𝐶，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱和底面垂直可得三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1为正三棱柱，设M，N分别是△𝐴𝐵𝐶，△𝐴1𝐵1𝐶1的中心，连接MN，则球心O为MN的中点.设三棱柱底

面边长为a，高为h，则𝑎ℎ=4√3，通过计算可得外接球的半径𝑅⩾2从而确定球O体积的最小值．【解答】解：A，取BC的中点F，连接AF，𝐶1𝐹，BE，𝐴1𝐵，𝐴1𝐸，EF．∵三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1∴𝐶1𝐸//𝐵

𝐹且𝐶1𝐸=𝐵𝐹，四边形𝐶1𝐸𝐵𝐹为平行四边形，故BE//𝐶1𝐹，同理𝐴𝐹//𝐴1𝐸又∵𝐵𝐸⋂𝐶1𝐹，𝐴𝐹⋂𝐴1E.∴平面𝐴1𝐵𝐸//平面𝐴𝐶1𝐹，∵𝐴𝐶1⊂平面�

�𝐶1𝐹，∴𝐴𝐶1//平面𝐴1𝐵𝐸，故A正确;B，若三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积为4√3，如图二示四棱锥𝐴1−𝐵𝐶𝐶1𝐵1的体积为8√33．∵三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱和底面垂直三棱柱的各侧面

均垂直与上下底面．即有平面𝐴1𝐵1𝐶1⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1=𝐵1𝐶1，设𝐴1到直线𝐵1𝐶1的距离为m，由平面与平面垂直的性质定理知：𝐴1到平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的距离为m又∵𝐵𝐶𝐶1𝐵1的面积为4√3．∴𝑉𝐴1−𝐵𝐶𝐶1𝐵1=13𝑠ℎ=1

3×4√3×𝑚=8√33解得𝑚=2∴𝐴1到平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1的距离为2，故B错误;C，若是边长为2的等边三角形，则三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1为正三棱柱．∴平面𝐴1𝐵1𝐶1⊥平面

𝐴𝐴1𝐵1𝐵=𝐴1𝐵1=𝐵1𝐶1取𝐴1𝐵1的中点N，连结𝐴𝑁,𝐶1𝑁.则𝐶1𝑁⊥𝐴1𝐵1，又，．故∠𝐶1𝐴𝑁为直线𝐶1𝐴与平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵所成的角在三角形𝐴1𝐵1𝐶1中易得：𝐶1𝑁=√𝐶1𝐴12−𝐴1𝑁2=√3，在面积为4√

3矩形𝐵𝐶𝐶1𝐵1中，𝐴𝐴1·𝐴1𝐶1=2𝐴𝐴1=4√3,∴𝐴𝐴1=2√3，𝐴𝐶1=√𝐴𝐴12+𝐴1𝐶12=4，在直角三角形𝐶1𝑁𝐴中sin∠𝐶1𝐴𝑁=𝐶1𝑁𝐴𝐶

1=√34．故C错误;D，若𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐶，三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱和底面垂直可得三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1为正三棱柱，设M，N分别是△𝐴𝐵𝐶，△𝐴1𝐵1𝐶1的中心，连接MN，则球心O为MN的中点．设三棱柱底面边长为

a，高为h，则𝑎ℎ=4√3，∵𝐵1𝑁=23𝐵1𝐷=√33𝑎，𝑂𝑁=ℎ2，∴外接球的半径R满足：𝑅=𝑂𝐵1=√𝐵1𝑁2+𝑂𝑁2=√𝑎23+ℎ24=√𝑎23+12𝑎2⩾√2√4=2当且仅当𝑎23=12𝑎2,�

�=√6时取等号．故球O的体积𝑉=4𝜋𝑅33≥32𝜋3，所以D正确．故选AD．11．ABC中，D为边AC上的一点，且满足12ADDC=，若P为边BD上的一点，且满足(0,0)APmABnACmn=+，则下列结论正确的是()A．21mn+=B．mn的最大值为112C．4

1mn+的最小值为642+D．229mn+的最小值为12【答案】BD【详解】解：因为12ADDC=，所以13ADAC=，所以3APmABnACmABn=+=+AD，因为B、P、D三点共线，所以31mn+=，故A错误；

则2313()24mnmn+=„，则112mn„，即mn最大值为112，当且仅当3mn=，即12m=，16n=时取等号，故B正确；414112()(3)7437nmmnmnmnmn+=++=+++…，当且仅当12nmmn

=时取等号，所以41mn+的最小值为437+，故C错误；222119(3)61616122mnmnmnmn+=+−=−−=…，当且仅当12m=，16n=时取等号，所以229mn+的最小值为12，故D

正确．故选：BD．12.如图，点P在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的面对角线𝐵𝐶1上运动，则正确的结论是()A.三棱锥𝐴−𝐷1𝑃𝐶的体积不变B.𝐴1𝑃//平面𝐴𝐶𝐷1C.𝐷𝑃⊥𝐵𝐶1D.平面𝑃𝐷𝐵1⊥平面𝐴𝐶𝐷1【答案】ABD【分析】本

题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：对于A，由题意知𝐴𝐷1//𝐵𝐶1，又𝐴𝐷1⊂平面𝐴𝐷1𝐶，𝐵𝐶1⊄平面𝐴𝐷1�

�，从而𝐵𝐶1//平面𝐴𝐷1𝐶，故BC1上任意一点到平面𝐴𝐷1𝐶的距离均相等，所以以P为顶点，平面𝐴𝐷1𝐶为底面，则三棱锥𝐴−𝐷1𝑃𝐶的体积不变，故A正确；对于B，连接𝐴1𝐵，𝐴1𝐶1，易知𝐴1𝐶1//𝐴𝐶，又𝐴1𝐶1⊄平面𝐴𝐷1𝐶，𝐴

𝐶⊂平面𝐴𝐷1𝐶，故A1𝐶1//平面𝐴𝐷1𝐶，由A选项证明过程可知：𝐵𝐶1//平面𝐴𝐷1𝐶，又𝐴1𝐶1∩𝐵𝐶1=𝐶1，且𝐴1𝐶1、𝐵𝐶1⊂平面𝐵𝐴1𝐶1，所以平面𝐵𝐴1𝐶

1//平面𝐴𝐶𝐷1，又𝐴1𝑃⊂平面𝐵𝐴1𝐶1，故𝐴1𝑃//平面𝐴𝐶𝐷1，故B正确；对于C，由于𝐷𝐶⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，又𝐵𝐶1⊂平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，所以𝐷𝐶⊥𝐵𝐶1，若𝐷𝑃⊥𝐵𝐶1，又𝐷𝑃∩𝐷𝐶=𝐷，DP、𝐷𝐶

⊂平面DPC，则𝐵𝐶1⊥平面DCP，又𝑃𝐶⊂平面DCP，故BC1⊥𝑃𝐶，则P为𝐵𝐶1中点，与P为动点矛盾，故C错误；对于D，连接𝐷𝐵1，BD，易知𝐵𝐵1⊥平面ABCD，𝐴𝐶⊂平面ABCD，故AC⊥𝐵𝐵1，又正方形ABCD中𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，且𝐵𝐷∩�

�𝐵1=𝐵，BD、𝐵𝐵1⊂平面𝐵𝐷𝐵1，故AC⊥平面𝐵𝐷𝐵1，又𝐵1𝐷⊂平面𝐵𝐷𝐵1，故DB1⊥𝐴𝐶，同理可得𝐷𝐵1⊥𝐴𝐷1，又𝐴𝐶∩𝐴𝐷1=𝐴，AC、𝐴𝐷1⊂平面𝐴𝐶𝐷1，可得

𝐷𝐵1⊥平面𝐴𝐶𝐷1，又𝐷𝐵1⊂平面𝑃𝐷𝐵1，故平面𝑃𝐷𝐵1⊥平面𝐴𝐶𝐷1，故D正确．故选ABD．13．i是虚数单位，复数8||23ii+=−．【答案】5解：复数22228|8|8165||523|23|132(3)iiii+++==

==−−+−，故答案为：5．14．已如向量,,abc，满足||1,||2,||3,01abc===，若0bc=，则(1)abc−−−的最大值为________；【答案】4【详解】设()1nbc→→→=+−，则()1abca

n→→→→→−−−=−，所以1anann→→→→→−+=+，()()()2222221121nbcbcbc→→→→→→→=+−=+−+−()()2224911318901=+−=−+，由二次函数性质可得，236913n，即：61331

3n→所以14anann→→→→→−+=+所以()1abcan→→→→→−−−=−的最大值为4.故答案为：4.15．在ABC中，(2)0ABACBC+=，1sin3C=，则22sinsinAB−的值为．【答案】127【详解】解：在ABC中，(2)0ABACBC+=，故

2coscos()cosbcAacBacB=−−=，由余弦定理可知：222222222bcaacbbabcac+−+−=，即22233abc−=，由正弦定理可知：2223sin3sinsinABC−=，由题知1sin3C=，221sinsin27AB

−=．故答案为：127．16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且2MN=，P为MN的中点，APABAD=+uuuruuuruuur，则11+的最大值是______．【答案】2743+【分析】建立直角坐标系，，设()2,2Ma

，()2,2Nb，然后根据2MN=得()()22111ab−+−=，再设1cosa=+，1sinb=+，,2−−，根据APABAD=+uuuruuuruuur，表示出,，进而表示出11+，换元之后利用基本不等式

求解最值.【详解】以A为坐标原点，以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设()2,2Ma，()2,2Nb，则()1,1Pba++．由2MN=可得()()22111ab−+−=，所以可设1cos

a=+，1sinb=+，,2−−．因为(1,1),(2,0),(0,2)APbaABAD=++==uuuruuuruuur，由APABAD=+uuuruuuruuur可得12b+=，12a+=，所以(

)()82sincos112222112sin2cos42sincossincosba+++=+=+=+++++++．设sincost+=，2,1t−−，则211164

44477742744444ttttttt++===++−+++−++，即当74t=−时，11+取最大值，最大值为2743+．故答案为：2743+.17．已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C所对的边，且满足()()1sinsinsinsin2aA

BCBcb−=+−，若P为边AB上靠近B的三等分点，13CP=，求：（1）求cosC的值；（2）求2ba+的最大值.【答案】（1）14；（2）2105.【分析】（1）根据()()1sinsinsinsin2aABCBcb−=+−，利用正

弦定理化简得到2222ababc+−=，再利用余弦定理求解；（2）根据1233CPCACB=+，两边平方整理得到()2213baab+=+，再利用基本不等式求解.【详解】（1）因为()()1sinsinsinsin2aABCBcb−

=+−，由正弦定理得()()12aabcbcb−=+−，即2222ababc+−=，所以由余弦定理得得2221cos24abcCab+−==.（2）由题意得1233CPCACB=+，两边平方得22114121

2999334baab=++，整理得2241baab++=，即()2213baab+=+，而()()2233233222228baabbaba+==+，于是()()2232128baba+++，所以()2825b

a+，即21025ba+，当且仅当1025ba==取等号.所以求2ba+的最大值是210518．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，22sincos2caBCab−−=．（1）求A；（2）若34bc=，且BC边上的高为2

3，求ABC的面积．【答案】（1）π/6(2)73【解析】解：（1）因为22sincos2caBCab−−=，所以222sin2cosabBcaabC=−+，由余弦定理得，2222coscababC=+−，所以

22sinabBb=，即2sinaBb=，由正弦定理得，sinsinabAB=，所以2sinsinsinABB=，因为sin0B，故1sin2A=，由A为锐角，6A=，（2）由题意得，1123sin224bc

SabcA===，所以43bca=，因为34bc=，所以216ca=，223316cba==，由余弦定理得，2222316193cos2224383bcaaaaaAbca+−+−−====，解得7a

=，所以373Sa==．19．在三角形ABC中，2,1,2ABACACD===，D是线段BC上一点，且12BDDC=，F为线段AB上一点．（1）若ADxAByAC=+，求xy−的值；（2）求CFFA的取值

范围；【答案】（1）13，（2）13,16−【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到2133ADABAC=+，从而可求出,xy的值，进而可求得xy−的值；（2）根据题意先求出,33CABBC==

，设AFx=，再由平面向量数量积运算，即可求得结果【详解】解：（1）因为12BDDC=，所以1()2ADABACAD−=−，得2133ADABAC=+，因为ADxAByAC=+，所以21,33xy==，所以13xy−=，（2）因为在三角形ABC中，2,1,2ABACACD===，所以

,33CABBC==，所以()CFFACAAFFACAFAAFFA=+=+，AFx=，由题意得[0,2]x，所以2cosCFFACAFAAFFACAFACABAF=+=−，221112416xxx=−=−−+，因为[0,2]x，所以21113,41616x

−−+−，所以CFFA的取值范围为13,16−20．已知函数()sincos(0)fxxmx=−的最大值为2，且()fx的最小正周期为．（Ⅰ）若[0x，]2，求()fx的最小值和最大值；（Ⅱ）设ABC的内角A、B、C的对应边分

别为a、b、c，D为AC的中点，若am=，372BD=，()02Bf=，求ABC的面积ABCS．【答案】（1）2；-3（2）33解：()()sincos1sin()Ifxxmxmx=−=++，(tan)

m=−，由题意得，12m+=，即3m=，则3=−，因为T=，所以2=，()2sin(2)3fxx=−，因为[0x，]2，所以2[33x−−，2]3，所以3sin(2)[32x−−，1]，故函数的最大值2，最小

值3−．()II由()I得，3a=，由()2sin()023BfB=−=，得3B=，由B为三角形内角得3B=，因为D为AC的中点，3a=，372BD=，所以1()2BDBABC=+，所以2222237111111||||coscos4442442BDBABC

BABCBacacB==++=++，所以23280cc+−=，解得4c=或7c=−（舍)，故ABC的面积113sin3433222ABCSacB===．21.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为

地面，CD，CE为路灯灯杆，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐷𝐶𝐸=2𝜋3，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠𝑀𝐸𝑁=𝜋3.已知𝐶𝐷=4𝑚,𝐶𝐸=2𝑚．(1)当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值．【分析】本题主要考查了解直角三

角形的应用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果；(2)利用余弦定理和正弦定理

的应用及相关的运算的应用求出结果．【答案】(1)路灯在路面的照明宽度为7√32m；(2)照明宽度MN的最小值为10√33m．【解析】解：(1)当𝑀,𝐷重合时，由余弦定理知，𝑀𝐸=𝐷𝐸=√𝐶𝐷2+𝐶𝐸2−2𝐶𝐷⋅

𝐶𝐸⋅cos∠𝐷𝐶𝐸=2√7，所以cos∠𝐶𝐷𝐸=𝐶𝐷2+𝐷𝐸2−𝐶𝐸22𝐶𝐷⋅𝐷𝐸=5√714，因为∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐸𝑀𝑁=𝜋2，所以sin∠𝐸𝑀𝑁=cos∠𝐶𝐷𝐸=5

√714，因为cos∠𝐸𝑀𝑁>0，所以cos∠𝐸𝑀𝑁=√1−sin2∠𝐸𝑀𝑁=√2114，因为∠𝑀𝐸𝑁=𝜋3，所以sin∠𝐸𝑁𝑀=sin(2𝜋3−∠𝐸𝑀𝑁)=sin2𝜋3cos∠𝐸𝑀𝑁−cos2𝜋3sin∠𝐸𝑀𝑁=

2√77，∴在△𝐸𝑀𝑁中，由正弦定理可知，𝑀𝑁sin∠𝑀𝐸𝑁=𝐸𝑀sin∠𝐸𝑁𝑀，解得𝑀𝑁=7√32；(2)易知E到地面的距离ℎ=4+2sin(2𝜋3−𝜋2)=5m，由三角形面积公式可知，𝑆△�

�𝑀𝑁=12⋅𝑀𝑁⋅5=12𝐸𝑀⋅𝐸𝑁⋅sin𝜋3，所以10√3𝑀𝑁=𝐸𝑀⋅𝐸𝑁，又由余弦定理可知，𝑀𝑁2=𝐸𝑀2+𝐸𝑁2−2𝐸𝑀⋅𝐸𝑁⋅cos𝜋3≥𝐸𝑀⋅𝐸𝑁，当且仅

当𝐸𝑀=𝐸𝑁时，等号成立，所以𝑀𝑁2≥10√3𝑀𝑁，解得𝑀𝑁≥10√33．22．如图，在直三棱柱111ABCABC−中，底面ABC为等腰直角三角形，1ABBCCC==，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF=.（1）求证：11AFCE⊥；（2）当三棱锥1BBE

F−的体积取得最大值时，求直线1AF与平面1BEF所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）46565.【分析】（1）设2AB=，AEBFx==，过点C作//CPAB，使CPAB=，连接BP，过P作//PQBF，且使PQBF=，先证明四边形为11AC

QF为平行四边形，通过勾股定理得11CQCE⊥，进而得结果；（2）如图建立空间直角坐标系，根据锥体体积公式以及二次函数性质得E，F分别是棱AB，BC的中点时合乎题意，通过向量法即可得到线面角的正切值.【详解】不妨设2AB=，

AEBFx==.（1）如图，过点C作//CPAB，使CPAB=，连接BP，过P作//PQBF，且使PQBF=，连接1CQ，FQ.则四边形BPQF，ACPB为平行四边形，故11//////BPQFACAC，且11BPQFACAC===，故四边形为11ACQF为

平行四边形，则11CQAF∥.又222211228CQAFxx==++=+，2222122(2)124CExxx=++−=−+，222(4)(2)2042EQxxxx=−++=−+，所以22211CQCEEQ+=，即11CQCE⊥，则11AFCE⊥.（2）以B为

坐标原点，BC，BA，1BB所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(,0,0)Fx，1(0,0,2)B，(0,2,0)Ex−，1(0,2,2)A.因为111233BBEFBEFBEFVSBBS−==，所以当BEFS取最大值时，三棱锥1BBEF

−的体积取得最大值.因为21111(2)(1)2222BEFSxxx=−=−−△，所以当1x=，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥1BBEF−的体积取得最大值，此时(0,1,0)E，(1,0,0)F.

则1(1,2,2)AF=−−，1(0,1,2)BE=−，(1,1,0)EF=−.设平面1BEF的法向量为(,,)mabc=，由10,0,mBEmEF==得200bcab−=−=，，取2a=，得2b=，1c=，则(

2,2,1)m=.设直线1AF与平面1BEF所成角为，则1114sincos,9mAFmAFmAF===，所以465tan65=.故直线1AF与平面1BEF所成角的正切值为46565.