【文档说明】江西省五校2022-2023学年高一直升班下学期联考数学试题 含解析.docx，共(27)页，2.488 MB，由小赞的店铺上传

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江西省五校2022-2023学年下学期高一直升班联考数学试卷丰城九中高安二中瑞金一中宜丰中学樟树中学命题人：高安二中卢跃进审题人：高安二中王长森一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数i1iz=+（其中i为虚数单位），则z的共轭复数虚部为（）A.1i2B.1i2−C.12D.12−【答案】D【解析】【分析】根据复数的概念，共轭复

数的定义与运算法则即可求解.【详解】依题意，因为()()()()i1ii1ii1i1i1i1i222z−−====+++−，所以1i22z=−，其虚部为12−．故选：D.2.已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,5

5P−，则πtan(π)cos2−−+＝（）A.3215B.1115C.815−D.2915−【答案】A【解析】【分析】通过三角函数定义得出角的三角函数值，利用诱导公式化简表

达式后求出数值.【详解】角终边与单位圆交于点34,55P−，则3cos5=−，4sin5=，4tan3=−.πtan(π)cos2−−+4432tansin3515=−+=+=.故选：A.3.已知向量()2,1,2

a=−，()1,2,3b=，则向量b在向量a上的投影向量为（）A.422,,333−−B.212,,333−−C.424,,333−D.212,,333−【答案】C【解析】【分析】向量b在向量a上的投影为aba，投影向量为abea，

其中e为与a同向的单位向量，分别计算abea，，代入即可.【详解】因为()2,1,2a=−，()1,2,3b=，所以6ab=.向量b在向量a上的投影为623aba==设e为与a同向的单位向量，则()12,1,23aea==−向量b在向

量a上的投影向量为()24242,1,2,,3333abea=−=−故选：C4.已知两点()1,2A−，()2,1B，直线l过点()0,1P−且与线段AB有交点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A.π3π,44B.ππ30,,42

π4C.π3π0,,π44D.πππ3,,422π4【答案】C【解析】【分析】作出图形，求出,PAPB的斜率，数形结合可求得直线l的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.【详

解】如图所示，直线PA的斜率21110PAk−+==−−，直线PB的斜率11120PBk+==−．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率1,1k−，因此直线l的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44

．故选：C5.已知函数()()sinfxAx=+（其中0A，0，π02）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()fx在ππ,46−上单调递增B.()fx图象的对称轴

方程为ππ12xk=+，ZkC.()fx图象的一个对称中心为π,03D.当函数()fx取得最大值时，π2π12xk=+，Zk【答案】C【解析】【分析】法一：根据图象求出函数,,A，可得函数解析式，结合

正弦函数的单调性即可判断A；求出函数的对称轴方程即可判断B；求出函数的对称中心可判断C；求出函数取得最大值时对应的x的值，可判断D.法二：根据函数图象求得函数解析式中的参数，可得函数解析式，采用特殊值法或

者代入验证的方法一一判断各选项，即可判断出答案.【详解】法一：设函数()fx的最小正周期为T,由题图可知2A=，7ππ31264T−−=，即3π344T=，所以πT=，所以2π2T==，所以()()2sin2fxx=+．因为7π7π2sin221212f=

+=−，所以7ππ22π122k+=−+，Zk，即5π2π3k=−+，Zk，又因为π02，所以π3=，所以()π2sin23fxx=+．令πππ2π22π232kxk−++

+，Zk，得5ππππ1212kxk−++，Zk，当0k=时，5ππππ1212kxk−++即为5ππ1212x−，而5ππ1212π4−−，但ππ,46−不是5ππ[,]1212−的子集，所以函数(

)fx在ππ,46−上不是单调递增的，故A不正确；令ππ2π32xk+=+，Zk，得ππ122kx=+，Zk，所以函数()fx图象的对称轴方程为ππ122kx=+，Zk，故B不正确；令π2π3x

k+=，Zk，得ππ62kx=−+，Zk，令1k=，则π3x=，所以函数()fx图象的一个对称中心为π,03，故C正确；当ππ22π32xk+=+，Zk，即ππ12xk=+，Zk时，函数取得最大值，

故D不正确．故选：C．法二：设函数()fx的最小正周期为T．由题图可知，2A=，7ππ31264T−−=，即3π344T=，所以πT=，所以2π2T==，所以()()2sin2fxx=+．因为7π7π

2sin221212f=+=−，所以7ππ22π122k+=−+，Zk，所以5π2π3k=−+，Zk，又因为π02，所以π3=，所以()π2sin23fxx=+．令πππ,1246x=−，因为

πππ2sin21263f=+=，即函数()fx在ππ,46−上有最大值且不是在端点处取到，故A不正确；由题图可知，直线7π12x=是函数()fx图象的一条对称轴，但不满足ππ12xk=+，Zk，故B不正确；当π3x=时，π2ππ2

sin()0333f=+=，故()fx图象的一个对称中心为π,03，C正确；当ππ12x=+时，ππππ2sin2π212123f+=++=，此时函数()f

x取得最大值，但不满足π2π12xk=+，Zk，故D不正确．故选：C．6.已知圆()()22:681Cxy−+−=和两点()0,Am−，()()0,0Bmm.若圆C上存在点P，使得90APB=，则m的最大值为（）A.12B.11C.10D.9【答案】B【解析】【分析】将问题转化为以AB

为直径的圆O与圆C有公共点的问题来列不等式，解不等式求得m点的取值范围，由此求得m点的最大值.【详解】解：以AB为直径的圆O的方程为222xym+=，圆心为原点，半径为1rm=.圆221)68):((Cxy−+−=的圆心为()6,8，半径为21r=.要使圆C上存在点P，使得90

APB=，则圆O与圆C有公共点，所以1212rrOCrr−+，即221681mm−++，所以1101100mmm−+，解得911m，所以m的最大值为11.故选：B.7.我国古代《九章算术》将底面为矩

形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为2和22的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为（）A.16πB.18πC.20πD.25π【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出图形，设该

刍童外接球的球心为O，半径为R，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解.【详解】设该刍童外接球的球心为O，半径为R，上底面中心为1O，下底面中心为2O，则由题意，121OO=，22AO=，111AO=，1OAOA

R==．如图，当O在12OO的延长线上时，设2OOh=，则在2AOO中，224Rh=+①，在11AOO中，()2211Rh=++②，联立①②得1h=，25R=，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O在线段12OO上时，设1OOh=，则有221Rh=+，()2

214Rh=−+，解得2h=，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故选：C.8.已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的两个焦点，过1F的直线与椭圆C交于,MN两点，21112,MFMFaMFNFNF−=+=，则椭圆C的离心率为（）A.25B.

105C.155D.64【答案】B【解析】【分析】由已知条件和椭圆定义，将212||,||,||,||MNMFMFNF用a表示，在2MNF中求出2cosNMF，在12MFF△用余弦定理，建立,ac等量关系，即可求解.【详解】由椭圆的定义可得212,MFMFa+=结合

21MFMFa−=可得2131,,22MFaMFa==由112MFNFNF+=可得1212aNFNF+=，由椭圆的定义可得212,NFNFa+=所以2153,,44NFaNFa==在2MNF中，2222222229|||||

|34cos152||||54aMNMFNFNMFMNMFa+−===，在12MFF△中，22221212122||4||||2||||cosFFcMFMFMFMFNMF==+−，22221313384()()2222255caaaaa=+−=，22210,55cea==

.故选：B【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合222bac=-转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或

a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列说法中正确

的是（）A.直线20xy++=在y轴上的截距是2−B.直线310xy++=的倾斜角是60C.直线()20mxymm−++=R恒过定点()1,2-D.过点()1,2且在x.轴､y轴上的截距相等的直线方程为30xy+−=【答案】AC【解析】【分析】对于

A，令0x=，求出y，即可判断；对于B，求出直线的斜率，进而可得倾斜角，即可判断；对于C，直线方程可化为()120xmy+−+=，再令10x+=即可判断；对于D，分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判

断.【详解】对于A，令0x=，则=2y−，所以直线20xy++=在y轴上的截距是2−，故A正确；对于B，直线310xy++=的斜率为33−，所以其倾斜角为150，故B错误；对于C，直线()20mxymm−++=R化为()120xmy+−+=，令

1020xy+=−+=，得12xy=−=，所以直线()20mxymm−++=R恒过定点()1,2-，故C正确；对于D，当直线过原点时，直线方程为2yx=，当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=，将()1,2代入解得3a=，此时直线方程为30xy+−=，所以过点()1,2且在x

.轴､y轴上的截距相等的直线方程为30xy+−=或2yx=，故D错误.故选：AC.10.下列说法中正确的是（）A.非零向量a和b满足abab==−，则a与ab+的夹角为60B.向量()12,3e=−，213

,24e=−不能作为平面内所有向量的一组基底C.若//ab，则a在b方向上的投影向量的模为aD.若()1,2a=，()1,1b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+【答案】BC【解析】【分析】利用数量积

的运算律可得212aba=，再求出ab+，最后根据夹角公式计算即可判断A，由124ee=即可判断B，根据投影的定义判断C，根据()0aab+且a与ab+不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.【详解】对于A：由ab

ab==−，()2222222abaabbabbaba=−=−−+=−+，所以22222abaabb==−+，即212aba=，所以()22222223ababaabbaabba+=+=++=++=，所以()22332cos,23aaabaabaaba++===+，所以a与ab+的

夹角为30，故A错误；对于B：由()12,3e=−，213,24e=−，所以124ee=，则1e与2e共线，不能作为平面向量基底，故B正确；对于C：//abrr，则,0ab=或,πab=，则a在b

方向上的投影向量的模为cos,aaba=，故C正确；对于D：由()1,2a=r，()1,1b=，则()1,2ab+=++，若a与ab+的夹角为锐角，则()0aab+且a与ab+不能同向，即()()142530212aab+=++

+=+++，解得53−且0，故D正确；故选：BC．11.如图，在扇形OPQ中，半径1OP=，圆心角π6POQ=，C是扇形弧PQ上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记POC=．则下列说法正确的是（）的A.弧PQ的长为π6B.扇形OPQ的面积为π6C.当1sin3=时，矩形

ABCD的面积为2239−D.矩形ABCD的面积的最大值为232−【答案】ACD【解析】【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得,ABBC的长，即可求出矩形ABCD的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.【详解】由题意知，在扇

形OPQ中，半径1OP=，圆心角π6POQ=，故弧PQ的长为ππ166=，A正确；扇形OPQ的面积为1ππ12612=，B错误；在RtOBC△中，coscos,sinsinOBOCBCOC====，在RtOAD△中

，333sin,cos3sinOAADBCABOBOA====−=−,则ABCD的面积(cos3sin)sinSABBC==−133π3sin2cos2sin(2)23222=+−=+−，当

1sin3=时，又π06，故22cos3=，则2427sin22sincos,cos212sin99===−=，则πππ421734273sin2sin2coscos2sin333929218++=+=+=，则π34232

2733sin(2)823291S+==−=−+−，即矩形ABCD的面积为2239−，C正确；由C的分析可知矩形ABCD的面积π3sin(23)2S=+−，当πsin(2)13+=，即π12=时，矩形ABCD的面积取最大值232−，D正确

，故选：ACD【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边,ABBC的长，从而表示出矩形ABCD的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误.12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于

特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:||||Cxyxy+=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（）A.曲线C围成的图形的面积是2π+B.曲线C围成的图形的周长是2

2πC.曲线C上的任意两点间的距离不超过2D.若(,)Pmn是曲线C上任意一点，则|3412|mn+−的最小值是17522−【答案】ABD【解析】【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断.【详解】对于曲线22:||||

Cxyxy+=+上任一点(),Pmn，则22||||mnmn+=+，点(),Pmn关于y轴对称的点为()1,Pmn−，则()2222||||||||mnmnmnmn−+=+=+=−+，即点()1,Pmn−在曲线C上，故曲线C关于y轴对称；点(),Pmn

关于x轴对称的点为()2,Pmn−，则()2222||||||||mnmnmnmn+−=+=+=+−，即点()2,Pmn−在曲线C上，故曲线C关于x轴对称；点(),Pmn关于原点对称的点为()3,Pmn−−，则()()222

2||||||||mnmnmnmn−+−=+=+=−+−，即点()3,Pmn−−在曲线C上，故曲线C关于原点对称；综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称.对于方程22||||xyxyxy+=+=+，令0y=，则2||xx=，解得0x=或1x=，即曲线C与x轴的交点坐标为()()()1,0,0,

0,1,0AOC−，同理可得：曲线C与y轴的交点坐标为()()()0,1,0,0,0,1BOD−，当0,0xy时，则22||||xyxyxy+=+=+，整理得22111222xy−+−=，且90AOB=，故曲线C在第一象限内为以111,22

O为圆心，半径22r=的半圆，由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点，对A：曲线C围成的图形的面积2112411π2π222S=+=+，A正确；对B：曲线C围成的图形的周长是1242π22π22L=

=，B正确；对C：联立方程22111222xyyx−+−==，解得00xy==或11xy==，即曲线C与直线yx=在第一象限内的交点坐标为()1,1M，由对称可知曲线C与直

线yx=在第三象限内的交点坐标为()1,1N−−，则()()221111222MN=+++=，C错误；对D：由图结合对称性可知：当(,)Pmn在第一象限时，点(,)Pmn到直线:34120lxy+−=的距离22|3412||3412|534mnmnd+−+−==+相对较

小，∵111,22O到直线:34120lxy+−=的距离111|3412|1722510d+−==，则点(,)Pmn到直线:34120lxy+−=的距离1172102ddr−=−，∴|3412|517522mnd+−=−故|3412|mn+−的最小值是

17522−，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：（1）通过方程研究曲线的对称性时，往往通过点的对称证明曲线的对称性；（2）研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．三、填空题（本大题

共4个小题，每小题5分，共20分．）13.在空间直角坐标系中，记点()1,2,1M−关于x轴的对称点为(),1,1,2PN−关于平面yOz的对称点为Q，则PQ=___________.【答案】6【解析】【分析】利用对称性求对称点坐标，应用空间两点距离公式求PQ.【详解】依题意，

()1,2,1M−关于x轴的对称点为()1,2,1,P−()1,1,2N−关于yOz平面的对称点为()1,1,2,Q−−所以222(11)(21)(12)6PQ=++−++−=.故答案为：614.直线1:10lxy+−=关于直线2:330lxy−−=的对称直线方程为__________．【答案

】710xy−−=【解析】【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在1:10lxy+−=任取一点，求得其关于直线2:330lxy−−=的对称点，即可求得答案.【详解】联立1:10lxy+−=和直线2:330lxy−−=，求得它们的交点为0(1)A，,在直线1:10lxy+−=

取点(0,1)B，设其关于2:330lxy−−=对称点为(,)Cab，则113133022baab−=−+−−=，解得121(,)55C，故直线1:10lxy+−=关于直线2:330lxy−−=的对称的直线为AC,其斜率为11512715=−，直线方程

为1(1)7yx=−，即710xy−−=，故答案为：710xy−−=15.在ABC中，G满足0GAGBGC++=，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若(0)AMmABm=，(0)ANnACn=，则3m+n的最小值为_______.【答案】4233+【解析】【分析

】根据题意可知G为三角形的重心，利用三点共线可得11313mn+=，再由均值不等式即可求最值.【详解】取BC中点D，连接GD，如图，由0GAGBGC++=可得20GAGD→→+=，即2GAGD→→=−，所以,.AGD三点共线且2AGGD=，即G为ABC的重心，所以2211113323AGADA

BACAMANmn→→→→→→==+=+，的因为,,MGN三点共线，所以11313mn+=，又1143(3)=+3333nmmnmnmnmn+=+++，0,0mn，所以4423

32333nmmnmn+++=，当且仅当3nmmn=，即3313,93mn++==时，等号成立，故答案为：4233+16.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，114，ABAA==，E为1DD中点，P为正

四棱柱表面上一点，且11CPBE⊥，则点P轨迹的长为_____.【答案】52+##25+【解析】【分析】过1C做与直线1BE垂直的平面，则点P的轨迹的长即为平面与正四棱柱的交线长.【详解】如图，连接11BD，11AC，由题可知，1111A

CBD⊥，1ED⊥平面1111DCBA.因11AC平面1111DCBA，则111EDAC⊥.又11BD平面11EBD，1ED平11EBD，1111∩EDBDD=，则11AC⊥平面11EBD.又1BE平面11EBD，则111CABE⊥；如图，过E做11DC平行线，

交1CC于F，则F为1CC中点.连接1，EFBF，过1C做1BF垂线，交1BB于G.由题可得，11DC⊥平面11BCCB，又11EFDC∥，则EF⊥平面11BCCB.因1CG平面11BCCB，则1CGEF⊥.又1BF平面1BFE，FE平面1

BFE，1∩FEBFF=，则1CG⊥平面1BFE.因1BE平面1BFE，则11CGBE⊥；的因1CG平面11CGA，11CA平面11CGA，1111∩CACGC=，则1BE⊥平面11CGA.连接1AG，则点P轨迹为平面11CGA与四棱柱的交线，即11ACG△.注意到11111

11111BCGGCFGCFBFCBCGBFC+=+=，1111CBGFCB=，则1111CBFFCB，故1111111122CBFCBGBGCB===.则点P的轨迹的长为11111212524AGCGAC++=

++=+.故答案为：52+.【点睛】关键点点睛：本题为立体几何中的轨迹问题，难度较大.本题关键为做出轨迹，即过定点做空间直线的垂面，因直接做出平面难度较大，故转化为做空间直线所在平面的垂线.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤．）17.已知直线l经过点(2,1)P−，且与直线x＋y＝0垂直.（1）求直线l方程；（2）若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为2，求直线m的方程.【答案】（1）30xy−+=（2）50xy−+=或10xy−+=.【解析

】【分析】(1)根据直线垂直的性质设出直线l的方程为0xyn−+=，将点(2,1)P−代入即可求解；（2）设直线m的方程为0xyt−+=，利用点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】的设直线l的方程为0xyn−+=，因为直线l经过点(2,1)P−，所以210n−−+=，解得：3

n=，所以直线l的方程为30xy−+=.【小问2详解】结合（1）设直线m的方程为0xyt−+=，因为点(2,1)P−到直线m的距离为2，由点到直线的距离公式可得：2122td−−+==，解得：5t=或1t=，直线m的方程为：50xy−+=或10xy−+=.故答案为：50xy−+=或10x

y−+=.18.已知椭圆()222210xyabab+=焦点为()()122,0,2,0FF−，且过点()2,3Q−，椭圆第一象限上的一点P到两焦点12,FF的距离之差为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）求12PFF△外接圆的标准方程．【答案】（1）2211612xy+=（2）

2232524xy+−=【解析】【分析】（1）由条件列关于,,abc的方程，解方程求,,abc，由此可得椭圆方程；（2）由条件结合椭圆定义求12,PFPF，根据勾股定理证明212PFFF⊥，由此确定外接圆的圆心

和半径，由此确定圆的方程.【小问1详解】椭圆()222210xyabab+=过点()2,3Q−，且焦点为()12,0F−，()22,0F，则222222491cabcab=+==−，解得：216a=，21

2b=，所以椭圆方程为：2211612xy+=．【小问2详解】由121228PFPFPFPF−=+=，得：15PF=，23PF=，又214FF=，212PFFF⊥，所以点P的坐标为()2,3，故外接圆圆心是1PF的中点，圆心的坐标为30,2，半径11522rPF==，所以

12PFF△外接圆的标准方程为：2232524xy+−=．19.已知函数()π4sincos33fxxx=++（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）将函数()fx图像向右移动π6个单位，再将所得图像上各点的横坐标

缩短到原来的(01)aa倍得到()ygx=的图像，若()ygx=在区间1,1−上至少有4个最大值，求a的取值范围．【答案】（1）5πππ,π1212kk−++，Zk（2）40,7π

【解析】【分析】（1）化简()fx的解析式，利用整体代入法求得函数()fx的单调递增区间.（2）根据三角函数图像变换的知识求得()gx，根据对称性以及最值列不等式，由此求得a的取值范围.【小问1详解】函数()13434332

2πsincossincossinfxxxxxx=++=−+1cos213πsin22332sin2cos22sin22223xxxxx−=−+=+=+．令πππ2π22π232kxk−+++

，Zk，解得5ππππ1212kxk−++，Zk，所以单调递增区间为5πππ,π1212kk−++，Zk【小问2详解】将函数()fx的图像向右移动π6个单位，可得2sin2yx=的图像；再

将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的()01aa倍，得到()22sinxygxa==的图像．如果()ygx=在区间1,1−上至少有4个最大值，则()ygx=在区间0,1上至少有2个最大值，在1,0−上至

少有2个最大值，当1,1x−时，222,xaaa−，252272aa−−，407πa，故实数a的范围为40,7π．20.如图，直四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形，18AA=，4AB=，60BAD=，,,EMN

分别是11,,BCBBAD的中点.（1）证明：//MN平面1CDE；（2）求三棱锥1NCDE−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）83【解析】【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得四边形MNDE为平行四边形，根据线面平行的判定可证得结论；（2）

结合平行关系和体积桥可知所求为1DCMEV−，由线面垂直的判定可证得DE为三棱锥1DCME−的高，结合棱锥体积公式可求得结果.【小问1详解】连接1,MEBC，,ME分别为1,BBBC中点，ME为1BBC的中位线，1//MEBC且112ME

BC=，又N为1AD中点，11//ADBC，11ADBC=，1//NDBC，112NDBC=，//MEND，MEND=，四边形MNDE为平行四边形，//MNDE，又MN平面1CDE，DE平面1CDE，//MN平面1CDE.【小问2详

解】由（1）得：//MN平面1CDE，111NCDEMCDEDCMEVVV−−−==，连接1,CMME，在矩形11BCCB中，1111113248812CMEBCCBBEMCBMCCESSSSS=−−−=−−−=；四边形ABCD为菱形，60BAD=，E为BC的中点，DEBC⊥，1DECC⊥

，1BCCCC=，1,BCCC平面11BCCB，DE⊥平面11BCCB，则DE为三棱锥1DCEM−的高，224223DE=−=，111112238333DCMECMEVSDE−===，三棱锥1NCDE−的体积为83

.21.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题.①2sinsin2sincos0ACBC−−=；②23SABCB=（其中S为ABC的面积）；③22223sin3abacBc+=−.注：如果选择多个条件分别

解答，按第一个解答计分.（1）若4b=，3ac=，求+ac的值；（2）若ABC为锐角三角形，求222acb+的取值范围.【答案】（1）5ac+=.（2）5,23.【解析】【分析】对于①:由()sinsinABC=+代入经三角恒等变换得3B=；对于②:由面积公式与数量积公式得3

B=；对于③:使用余弦定理2222cosbacacB=+−代入化简得3B=.在(1)中，使用余弦定理及其变形求得+ac的值；在(2)中，使用正弦定理将边化为角，用23AC=−将A转化为C的三角函数，使用三角恒等变换化为一般式42sin2336yC

=+−求范围.【小问1详解】选择①:2sinsin2sincos0ACBC−−=，在ABC中，()ABC=−+，所以()sinsinABC=+，所以2sin()sin2sincos0BCCBC+−−=，整理得2sincos2cossinsin2sincos0BCBCCBC+−−=，

即2cossinsinBCC=，因为0C，sin0C，故1cos2B=，而()0,B，从而3B=；选择②:23SABCB=，则sin3cosacBcaB=，所以tan3B=，又()0,B，则3B=；选择③:22223si

n3abacBc+=−，由余弦定理2222cosbacacB=+−，得23sin2cos3BB=，所以tan3B=，又()0,B，则3B=；若4b=，3ac=，由余弦定理2222cosbacacB=+−，得2222162

cos()3()93acacacacac=+−=+−=+−，所以5ac+=.【小问2详解】由ABC为锐角三角形及3B=，得20,32AC=−且0,2C，所以,62C，由正弦定理sinsinsinabcABC==，得()

22222222sinsin4sinsinsin3acACACbB++==+224222sinsin1cos21cos23333CCCC=−+=−−+−231422sin2cos2sin2322336CCC=+−=+−

，因为,62C，52666C−，1sin2126C−，所以542sin223336C+−，即222acb+的取值范围是5,23.22.已知圆C：()2221xy−+=，点P是直线:0lxy+=上一动

点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.（1）若P的坐标为()1,1P−，求过点P的切线方程；（2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；（3）直线0xym−+=与圆C交于E，F两点，求OEOF的取值范围（O为坐标原点）.【答案】（1）1y=或3410xy+−

=（2）是，31(,)22−（3）[2,522)+【解析】【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程（2）设P（t，﹣t），，可得PC为直径得方程222)20(xytxtyt+−+++=，可求得直

线AB得方程为(2)320txtyt+−+﹣＝，即可得定点.(3)由220(2)1xymxy−+=−+=可得22(2)()1xxm−++＝，进而可得：OE•OF=212121)2xxyym+++(=，可求得其范围.【小问1详解】设切线方程为1(1)ykx−=+，

即10kxyk−++=圆心坐标为(2,0)，半径1r=根据圆的切线的定义可知：22111kkdk++==+，即()22311kk+=+解得：0k=或34k=−代回方程可求得切线方程为：1y=或3410xy+−=1y=或3410xy+−=小问2详解】∵圆22(2)1Cxy+：﹣＝∴圆心

C（2，0），半径r＝1设P（t，﹣t），由题意知A，B在以PC为直径的圆上，又C（2，0）∴()(2)()(0)0xtxyty−−++−=，即222)20(xytxtyt+−+++=又圆C：22(2)1xy−+=

，即22430xyx+−+=故直线AB的方程为(2)320txtyt+−+﹣＝，即23(2)0xtxy−−−−＝由23020xxy−=−−=，解得32x=，12y=−即直线AB恒过定点31(,)22−.【小问3

详解】由220(2)1xymxy−+=−+=，得22(2)()1xxm−++＝∴()2222430xmxm+−++＝设E（x1，y1），F（x2，y2），∴122xxm+−＝，21232mxx+=22(24)42(3)0mm

+−=−∴2222m−−−+＜，【222212121212()2313)()((2)222myyxmxmxxmxxmmmmmm+++=+++=++=++=﹣OE•OF=222212123132231)2222mxxyymmmmm++=+++++++＝(∵2222

m−−−+＜∴2(1)22522)[m+++，∴OE•OF的取值范围为[2522)+，.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com