【文档说明】《精准解析》四川省德阳市高中2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试理科数学试题（解析版）.docx，共(24)页，1.184 MB，由小赞的店铺上传

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德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷（理工农医类）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共

12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2N9Pxx=，1,3Q=，则PQ=（）A.QB.{－3，－2，－1，0，1，3}C.PD.{－3，－2，－1，2}【答案】A【解析】【分析】化简集合，然后

根据交集的定义运算即得.【详解】因为2N90,1,2,3Pxx==，又1,3Q=，所以1,3PQQ==.故选：A.2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（）A.样本数据9、3、5

、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中

观众观后感时，从15排（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法【答案】C【解析】【分析】按照中位数，平均数和方差的计算方法判断选项A，B的正误，根据残差图的含义判断选项C的正误，区分不同抽样方法的概念判断D的正误.【详解】对于A，样本数据1

、3、5、7、8、9、10、12、13、18的中位数为898.52+=，A错误；对于B，每个数据都减去同一个数后，平均数也应为原平均数减去这个数，B错误；对于C，残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则拟合精度高，C正确

；对于D，每排任意抽取一人应为简单随机抽样，D错误；故答案为：C.3.复数5i2−共轭复数是（）A.2i+B.2i−+C.2i−−D.2i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简5i2−，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】55(i2)2ii25−−==

−−−,故5i2−的共轭复数为2i−+，故选：B4.已知等比数列na的前n项和为nS，且55S=，1030S=，则15S=.A.90B.125C.155D.180【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质，232,,nn

nnnSSSSS−−成等比数列，即可求得1510SS−，再得出答案.【详解】因为等比数列na的前n项和为nS，根据性质所以51051510,,SSSSS−−成等比数列，因为5105,30SS==，所以105

151025,255125SSSS−=−==，故1512530155.S=+=故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列na的前n项和为nS，则232,,nnnnnSSSSS−−也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.5.已知x、y满足约束条件212100xyxyxy+

++−，则2yx+的最小值为（）A.1B.17C.13−D.15−的【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出2yx+的最小值.【详解】由约束条件作出可行域如图，2yx+表示可行域内的

点与点()2,0−连线的斜率，联立方程210xyxy=++=，得交点坐标11(,)33−−，由图得，当过点11,33−−时，斜率最小为15−，所以2yx+的最小值为15−.故选：D.6.已知,,OAaOBb==点M关于A的对称点为S,点S关于B的对称点为N,那么

MN=（）A.22ab−B.22ab+C.22ab−−D.22ab−+【答案】D【解析】【分析】根据题意分析,,,,ABMNS之间的关系,将MN转化为AB,进而转化为ab，即可.【详解】解:由题知A是MS的中点,B是SN的中点,故2MNAB=()2OBO

A=−22ab=−+.故选：D7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料（如图1）截去8个一样的四面体得到的（如图2），则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是（）①直线AB与CD是异面直线②直线AB与CD是相交直线③直线AB

与CD成60°角④直线AB与CD垂直A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C【解析】【分析】根据异面直线和异面直线所成角的定义判断即可.【详解】如图所示，延长AB、DC和正方体的一条边，会交于点E，所以直线AB与CD是相交直线，故①错，②对

；连接AD，设正方体的边长为1，所以2ADDEAE===，即三角形ADE为等边三角形，所以直线AB与CD成60角，故③对，④错.故选：C.8.已知某曲线方程为221321xymm−=+−，则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线

，且焦点在x轴上，则1,2m+B.若该曲线为圆，则m＝4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则(),3m−−【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的标准方程结合条件可判断AD，

根据圆及椭圆的方程结合曲线方程可判断BC.【详解】对于A，若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则30210mm+−，解得12m，故A正确；对于B，若该曲线为圆，则3120mm+=−，即23m=−，故B错误；对于C，由3120mm+−，可得2132m−，此时该曲线为椭圆，且

焦点在x轴上；由1230mm−+，可得233m−−，此时该曲线为椭圆，且焦点在y轴上；故C正确；对于D，该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则30210mm+−，解得3m−，故D正确.故选：B.9.函数()()lnπlncosfxxxx=−+的大致图像为

（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出定义域，由解析式得到()()πfxfx−=−，判断出图像关于π,02对称.排除C、D；再利用特殊点π2f，π3f的正负排除B，即可得到正确答案.【详解】要使函数

()()lnπlncosfxxxx=−+有意义，只需π00xx−，解得：0<<πx，即函数的定义域为()0,π.因为()()()()()()()()πlnππlnπcosπlnlnπcosfxxxxxxxfx−=−−+−−=+−−=−，所以(

)fx的图像关于π,02对称.排除C、D；令()()lnπlncos0fxxxx=−+=，解得：22123ππ4πππ40.359,,2.782222xxx−−+−===.所以1ππ32x.又()10fx=，ππππlnπlncos03333f

=−+，ππππlnπlncos02222f=−+=.对照选项A、B的图像，选A.故选：A10.如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1米的悬柱上放置一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面（视为相切）形成的曲线称为悬

链线（又称最速降线）．建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是()1ee2xxyt−=++，那么两悬柱间的距离大致为（）（可能会用到的数据1.251.35e3.49e3.86，）A.2.5米B.2.6米C.2.8米D.2.9米【答案】B【解析

】【分析】根据条件建立直角坐标系，可得()()1ee22xxyfx−==+−，根据条件结合参考数据可得01.251.35x，进而即得.【详解】因为()()1ee2xxyfxt−==++，()()()1ee2xxfxtfx−−==++，所以函数为偶函数，如图建立直角坐标系，则

0x=时，0y=，所以()1202t+=，即2t=−，所以()()1ee22xxyfx−==+−，由题可设()0,1Ax，()01fx=，又()()1.251.2511.25ee2<12f−=+−，()()1.351.3511.35ee2>12f−=+−，由题可知0x时函数单调递增

，所以01.251.35x，02.522.7x，所以两悬柱间的距离大致为2.6米.故选：B.11.已知函数()23420231,R,2342023xxxxfxxx=+−+−++则()fx在R上的零点个数为（）A

.0B.1C.2D.2023【答案】B【解析】【分析】先求导,分=1x−和1x−两种情况进行讨论()fx的正负,进而判断()fx单调性,再判断()()0,1ff−正负,即可判断零点个数.【详解】解:由题知()23420231,R,2342023x

xxxfxxx=+−+−++所以()232020202120221fxxxxxxx−++−+=−+,当=1x−时,()120230f=−当1x−时,()232020202220212230111

xfxxxxxxxx+−+−=−+++=+,当1x−时，202310,10xx++，2023101xx++；当1x−时，202310,10xx++，2023101xx++；故()2023101xfxx+=+，综上，()fx在R上单调递增,因为()()11111,02342

12003ff==−−−−−−,故函数()fxR上有1个零点.故选:B12.已知a、b、c是正实数，且2e2ee0aabbc++−+=，则a、b、c的大小关系不可能为（）A.abc==B.abc

C.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.【详解】因为2e2ee0aabbc++−+=，a、b、c是正实数，所以()()2eeeeeeeeee0aabbcabaabbca

+++−+−=−+−=，1,>1,e1eeabc，对于A，若abc==，则eeee0abca−−==，满足题意；对于B，若abc，则0,eee0eabca−−，满足题意；对于C，若bca

，则0,eee0eabca−−，满足题意；对于D，若bac，则0,eee0eabca−−，不满足题意.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：共

4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式()*2Nnxnx+的展开式中最后三项的二项式系数和为79,则n=______.【答案】12【解析】【分析】根据后三项二项式系数和为79,建立等式,解出

即可.【详解】解:由题知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,所以21CCC79nnnnnn−−++=,在即()()!!1792!2!1!1!nnnn++=−−,化简可得:()11792nnn−++=,解得:13n=−(舍)

或12n=.故答案为:1214.已知,ab是单位向量,且0ab=,若()1cab=+−,那么当()cab⊥−时,=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意求出,ab模,根据()cab⊥−,可得向量

数量积为0,将c代入化简求值即可.【详解】解:由题知1ab==,(),cab⊥−()0,cab−=将()1cab=+−代入可得:()()()10abab+−−=,即()()22110aabbab

−+−−−=,将1ab==,0ab=代入上式可得:()10−−=,即12=.故答案为:1215.已知函数()()πsin0,2fxx=+的部分图象如图所示，则f（x）=______.【答案】sin24x+【解析】【分析】根据对称轴π

8x=和过点π2,42，求出,的值，再根据ππ448π044TT−−求的范围，确定的具体值.【详解】根据图像可得函数()fx的对称轴为π8x=，并且经过点π2,42所以()ππ2πZ82π2sin42kk+=+

+=，所以216Zkk=+，，用因为πππ448π2044TTT−−又因为2πππ2π042sin22424T==+==，，故答案为：sin24x+

16.如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设∠BAC＝α，已知正方形S1和正方形S2分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC，则12SS正方形的周长正方形的周长的取值范围为______．【答案】22,13【解析】【分析】设

两个正方形边长分别为a，b，用a，b表示AC建立方程，将两个三角形的周长比表示为的三角函数，求取值范围.【详解】设两个正方形1S，2S边长分别为a，b，则在RtACD中，有tantanaACaa=++，在RtABC中，有sinc

osbbAC=+，所以tantansincosabbaa++=+，1S的周长与2S的周长比为114sincossincos141sincostan1tanab++==+++，设πsinc

os2sin()4t=+=+，因为π0,2，所以(π2sin()1,24t=+，则22sincos22111sincos112tttttt+===−++++，因为1ytt=+在(1,2

上单调递增，所以1322,2tt+，sincos222,111sincos3tt+=++，所以周长比为22,13.故答案为：22,13.【点睛】注意到()2sincos12sincos+=+的关系，换元用sincos

t=+表示sincos，注意换元后新未知数的取值范围.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列na的首项为1，公差d≠0，前n项和为nS，且2nnSS为常数．（1）求数列na通项公式；（2）若12nnnba−=，求数列nb的前n项和nT．【

答案】（1）21nan=−（2）12323nnnTn+=−+【解析】的【分析】（1）根据条件知1224SSSS=，据此求出d；（2）运用错位相减法求和.【小问1详解】由题意知：1224SSSS=，即112121234

aaaaaaaaa+=++++，12246ddd+=++，化简得：()20,0,2dddd−==，()12121nann=+−=−；经检验，222144nnSnSn==成立.【小问2详解】由（1）知：()1212nnbn

−=−，()2311325272212nnTn−=+++++−…①，()23422325272212nnTn=+++++−…②，①-②得：()231122222222212nnnTn−−=+++++−−()11212221212nnn−

−=+−−−12323nnn+=−+−，12323nnnTn+=−+；综上，()12121nann=+−=−，12323nnnTn+=−+.18.在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、B、C，且cos13s

inbBaA+=．（1）求角B的大小；（2）从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高．条件①：3cos3A=，b＝1；条件②：b＝2，23c=；条件③：a＝3，c＝2．注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分．【答案】

（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后整理计算可得答案；（2）若选择条件①：由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答案；若选择条件②：根据正弦定理计算得sin1C，得到△ABC不存在；若

选择条件③：由三角形的两边及其夹角确定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.【小问1详解】由正弦定理边化角得sincos1sin3sinBBAA+=，3sincos1BB=+，得π1sin62B−=，ππ5π0π,666BB−−，66ππB−

=，π3B=【小问2详解】若选择条件①：3cos3A=，b＝1，π3B=，π02A，6sin3A=，则△ABC中,,ABC均唯一确定，又1b=，则△ABC存在且唯一，由正弦定理12πsinsinsin3sin3acbACB==

==22622sin3333aA===，AC边上的高为()226133232sinsin3323293aCaAB=+=+=+；若选择条件②：b＝2，23c=，π3B=由正弦定理sinsincb

CB=得sin2333sin1222cBCb===，△ABC不存在；若选择条件③：a＝3，c＝2，π3B=，由a＝3，c＝2，π3B=可得△ABC存在且唯一，由余弦定理22212cos9423272bacacB=+

−=+−=，则7b=，由正弦定理sinsincbCB=得sin233sin277cBCb===，AC边上的高为3321sin377aC==；19.买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师

单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份／月12345678月销售量／百个45678101113月利润／千

元4.14.64.95.76.78.08.49.6（1）求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程（精确到0.01）；（2）2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶

的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：回归方程ˆˆˆyabx=+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：()()()11222

11ˆ.ˆˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxnxxx====−−−===−−−，参考数据：82811580459.5.iiiiixxy====，【答案】（1）0.641.38y

x=+；（2）分布列见解析，()32E=.【解析】【分析】（1）将表格数据代入公式，计算回归方程；（2）由题可得的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式结合组合数公式求概率，进而可得分布列及期望.小问1详解】

由题可知，()14567810111388x=+++++++=，()14.14.64.95.76.78.08.49.66.58y=+++++++=，所以818459.5886.543.5iiixyxy=−=−=，82221858

08868iixx=−=−=，43.50.6468b=，6.50.6481.38a=−=，故月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程为0.641.38yx=+；【小问2详解】由题可知的所有可能取值

为0，1，2、3，则()3438C40C56P===，()244338CC241C56P===，()124438CC242C56P===，()3438C43C56P===，故的分布列为：0123P45624562456456所以的数学

期望()42424430123565656562E=+++=．20.已知函数()()()32111032fxxaxaxa=+−−．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞1时，记f（x）在区间[－1,2]的最大值为M，最小

值为m．已知12,33Mm+．设f（x）的【三个零点为x1，x2，x3，求()122331fxxxxxx++的取值范围．【答案】（1）极大值为321162aa+，极小值为1162a−−；（2）4025,3−−

.【解析】【分析】（1）求导，根据单调性得到当xa=−时取得极大值，1x=时取得极小值，然后代入求极值即可；（2）根据()fx在1,2−上的单调性得到M，m，然后列不等式得到a的范围，令()0fx=，结合韦达定理得到313xxa=−，20x=，最后根据a的范围求(

)3fa−的范围即可.【小问1详解】()()()()211fxxaxaxxa=+−−=−+，令()0fx¢>，解得xa−或1x，令()0fx，解得1ax−，所以()fx在(),a−−，()1,+上单调递增，在(),1a−上单调递减，当xa=−时

取得极大值，()3322321111132262ffaaaaaaa=−=−+−+=+极大值，当1x=时取得极小值，()11111132262ffaaa==+−−=−−极小值，所以()fx的极大值为321162aa+，极小值为1

162a−−.【小问2详解】因为1a，所以()fx在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162mfa==−−，因为()3521263fa−=−，()222233fa=−，所以()35126Mfa=−=−，1113

52362263aa−−+−，解得4533a，设123xxx，令()()2111032fxxxaxa=+−−=，所以20x=，313xxa=−，()()3212233193322fxxxxxxf

aaa++=−=−−，329322yaa=−−在45,33上单调递减，当32934025,223aa−−−−，所以()122331fxxxxxx++的取值范围为4025,3−−.21.已知函数()()esi

n1xfxgxtx==+，，设()()()hxfxgx=−.（1）若()hx在ππ,22−上单调递增,求实数t的取值范围;（2）求证:()0,t+;对)R,0,xa+,使得(

)xhxa=总成立.【答案】（1）π4,2e−−（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先写出()hx解析式,根据()hx在ππ,22−上单调递增,即()0hx在ππ,22−上恒成立,全分离,设新函数,求导求单调性求最值即可;(2)因为0a,即

只需0x时,()0hx,0x时,()0hx成立即可,取12t=,分0x时,求导可知()hx在()0,+上单增,即()()00hxh=得证,0x时,由(1)结论,()hx在ππ,22−

上单调递增,即π,02x−时,()()00hxh=,对()hx求导后分析π,2x−−的正负,分析范围即可证明.【小问1详解】解:由题可知()()()esin1xhxfxxxtg=−=−−，

因为()hx在ππ,22−上单调递增,所以()ecos0xhxtx=−在ππ,22−上恒成立,因为ππ,22x−时,cos0x,故只要ecosxtxππ,22−上恒成

立,令()ecosxFxx=,ππ,22x−,因为()()2esincocossxxxxFx+=,ππ,22x−,在令()()2sincosce0osxxxFxx=+,即sincos0xx+,解得ππ,42x

−,故()Fx在ππ,42−上单增,在ππ,24−−上单减,所以()π4minπ2e4FxF−=−=,即实数t的取值范围为π4,2e−−;【小问2详解】由题意,因为0a,所以只要

找出()0,t+,使得0x时,()0hx;0x时,()0hx即可,当0x=时,显然成立;现证()10,2t=+,满足题意,即证当12t=时,若0x时,()0hx成立,若0x时,()0hx也成立,当12t=时,若0x,则()

1esin12xhxx=−−,所以()1ecos2xhxx=−,因为0x,故1e1cos2xx,即()1ecos02xhxx=−恒成立,所以()hx在()0,+上单增,故()()00hxh=,即0x时,()0hx成立

;当12t=时,若0x,()1esin12xhxx=−−,由(1)知当π4,2et−−时,=esin1xytx−−在ππ,22−上单调递增,因为πe64等价于π4e22,即等价于π412e2−,所以()1sin12xhxex=−−在π,02−

上单调递增,故当π,02x−时,()()00hxh=,因为当π,2x−−时,π2eex−,且11sin122x+,因为πe4等价于π21e2−,所以π211eesin122xx−+,即当π,2x−

−时,也有()0hx．综上,()0,t+,对Rx,)0,a+,使得()xhxa=总成立．【点睛】思路点睛:该题考查导数的综合应用,属于难题,关于存在性问题的思路如下:(1)分析题意

,找到关键信息;(2)将关键信息转化为数学语言;(3)存在问题取特殊值,取特殊值时参考第一问结论,并且好算的数;(4)根据问题进行分情况讨论.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上

将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系中，曲线C1的方程为()()22131xy−+−=，曲线C2的参数方程为233xtyt==（t为参数），直线l过原点O且与曲线C1交于A、B两点，点P在曲线C

2上且OP⊥AB．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C1的极坐标方程并证明OAOB为常数；（2）若直线l平分曲线C1，求△PAB的面积．【答案】（1）22cos23sin30−−+=，证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）写出1C的极坐

标方程，设直线l的极坐标方程为=，代入1C的方程，利用韦达定理证明OAOB为定值；（2）直线l平分曲线1C得直线l的方程，因为OPAB⊥，得直线OP的方程，求得点P的坐标，计算三角形面积.【小问1

详解】1C的一般方程为2222330xyxy+−−+=，由cosx=，siny=，得1C的极坐标方程为22cos23sin30−−+=，证明：设直线l的极坐标方程为=，点()1,A

，()2,B，将=代入22cos23sin30−−+=，得1，2为方程22(cos3sin)30−++=的两个根，123OAOB==.【小问2详解】因为直线l平分曲线1C，所以直线l过点()1,3，直线l的方

程为3yx=，因为OPAB⊥，所以直线OP为33yx=−，曲线2C的普通方程为2yx=，与直线OP的方程联立，得(3,3)P−，点P到直线l的距离3332331d+==+，圆1C的直径2AB=，所以PAB的面积1232SABd==.23.已知函

数()fxx=．（1）画出()1()5yfxfx=−−+的图象，并根据图象写出不等式()()154fxfx−−+−的解集；（2）若()()()1520fxfxkfx−−+++恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）图象见解析，不等

式解集为()0,+；（2）)2,+.【解析】【分析】（1）分类讨论得到()()6,51524,516,1xyfxfxxxx−=−−+=−−−−，然后画图，根据图象解不等式即可；（2）分5x−、52

x−−、2x=−、2<<1x−和1x五种情况求解即可.【小问1详解】当5x−时，()()15156yfxfxxx=−−+=−++=，当51x−时，()()()151524yfxfxxxx=−−+=−−+=−−，当1

x时，()()()15156yfxfxxx=−−+=−−+=−，所以()()6,51524,516,1xyfxfxxxx−=−−+=−−−−，图象如下所示，不等式()()154fxfx−−+−的解集为()0,+.【小问2详解】

当5x−时，()()()()152620fxfxkfxkx−−+++=−+，整理得62kx+恒成立，所以0k；当52x−−时，()()()()1522420fxfxkfxxkx−−+++=−−−+

，整理得2k−；当2x=−时，()()()1520fxfxkfx−−+++=，成立，所以Rk；当2<<1x−时，()()()()1522420fxfxkfxxkx−−+++=−−++，整理得2k；当1x时，()()()()152620fxf

xkfxkx−−+++=−++，整理得62kx+恒成立，即max62kx+，所以2k，综上可得，k的取值范围为)2,+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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