【文档说明】《精准解析》四川省德阳市高中2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试文科数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.121 MB，由小赞的店铺上传

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德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷（文史类）说明：1．本试卷分第1卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2．本试卷满分150分，120分钟完卷．第Ⅰ

卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2N9Pxx=，1,3Q=，则PQ=（）A.QB.{－3，－2，－1，0，1，3}C.PD.{－3，－2，－1，2}【答

案】A【解析】【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.【详解】因2N90,1,2,3Pxx==，又1,3Q=，所以1,3PQQ==.故选：A.2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确

的是（）A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精

度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排（每排人数相同）每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法【答案】C【解析】【分析】按照中位数，平均数和方差的计算方法判断选项A，B的正误，根据残差图的含义判断选项C的正误，区分不同抽样方法的概念判断D的正误.为【详解】对于A，样本数据1、3、5、7、8、9、1

0、12、13、18的中位数为898.52+=，A错误；对于B，每个数据都减去同一个数后，平均数也应为原平均数减去这个数，B错误；对于C，残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则拟合精度高，C正确；对于D，每排任意抽取一人应为简单

随机抽样，D错误；故答案为：C.3.复数5i2−的共轭复数是（）A.2i+B.2i−+C.2i−−D.2i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简5i2−，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】55(i2)2ii25−−==−−−,故5i2−的共

轭复数为2i−+，故选：B4.已知等比数列na的前n项和为nS，且55S=，1030S=，则15S=.A.90B.125C.155D.180【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质，232,,nnnnnSSSSS−−成等比数列，即可求得151

0SS−，再得出答案.【详解】因为等比数列na的前n项和为nS，根据性质所以51051510,,SSSSS−−成等比数列，因为5105,30SS==，所以105151025,255125SSSS−=−==，故1512530155.S=+=故选C【点睛】本题考查了等比数列的性质

，若等比数列na的前n项和为nS，则232,,nnnnnSSSSS−−也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.5.已知x、y满足约束条件212100xyxyxy+++−，则2yx+的最小值为（）A.1B.17C.13−D.15−【答案】D【解析】【分析】由约

束条件作出可行域，数形结合求出2yx+的最小值.【详解】由约束条件作出可行域如图，2yx+表示可行域内的点与点()2,0−连线的斜率，联立方程210xyxy=++=，得交点坐标11(,)33−−，由图得，当过点11,33−−时，斜率最小为15−，所以2yx+的最小值

为15−.故选：D.6.已知OA=a，OB=b点M关于A的对称点为S，点S关于B的对称点为N，那么MN=（）A.22ab−B.22ab+C.22ab−−D.22ab−+【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.【详解】因为点M关于A的对称

点为S，点S关于B的对称点为N，所以A为MS的中点，B为NS的中点，所以2OMOSOA+=，2ONOSOB+=，所以2OMOAOS=−，2ONOBOS=−，所以MNONOM=−=()2OBOS−−()2OAOS−22ba=−.故选：D7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息

，这些石凳是由正方体形石料（如图1）截去8个一样的四面体得到的（如图2），则下列对石凳的两条边AB与CD所在直线的描述中正确的是（）①直线AB与CD是异面直线②直线AB与CD是相交直线③直线AB与CD成60°角④直线AB与CD垂直A.①③B.①④C.

②③D.②④【答案】C【解析】【分析】根据异面直线和异面直线所成角的定义判断即可.【详解】如图所示，延长AB、DC和正方体的一条边，会交于点E，所以直线AB与CD是相交直线，故①错，②对；连接AD，设正方体的边长为1，所以2ADDEAE===，即三角形ADE为等边三角形，所以直线AB与CD成60

角，故③对，④错.故选：C.8.已知某曲线方程为221321xymm−=+−，则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则1,2m+B.若该曲线为圆，则m＝4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则

(),3m−−【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的标准方程结合条件可判断AD，根据圆及椭圆的方程结合曲线方程可判断BC.【详解】对于A，若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则30210mm+−，解得12m，故A正

确；对于B，若该曲线为圆，则3120mm+=−，即23m=−，故B错误；对于C，由3120mm+−，可得2132m−，此时该曲线为椭圆，且焦点在x轴上；由1230mm−+，可得233m−−，此时该曲线为椭圆，且焦点

在y轴上；故C正确；对于D，该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则30210mm+−，解得3m−，故D正确.故选：B.9.函数()()221sin1xxfxx++=+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案

】C【解析】【分析】根据特质排除法和诱导公式可得答案.【详解】()()221sin1xxfxx++=+，因为22ππ1sin()π22()2π12f−++−−=−+22ππ4π14−=+22π4π0π4−

=+，根据图象可知，A和B不正确；因为()()22π1sin(π)(π)π1f−++−−=−+22π2π+1π1−=+0，根据图象可知，D不正确.故选：C10.如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1米的悬柱上放置一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面（视为相切）形成的

曲线称为悬链线（又称最速降线）．建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是()1ee2xxyt−=++，那么两悬柱间的距离大致为（）（可能会用到的数据1.251.35e3.49e3.86，）A.2.5米B.2.6米C.2.8米D.2.9米【答案】B【解析】【分析】根据条件建

立直角坐标系，可得()()1ee22xxyfx−==+−，根据条件结合参考数据可得01.251.35x，进而即得.【详解】因为()()1ee2xxyfxt−==++，()()()1ee2xxfxtfx−−==++，所以函数为偶函数，如图建立直角坐标系，则0

x=时，0y=，所以()1202t+=，即2t=−，所以()()1ee22xxyfx−==+−，由题可设()0,1Ax，()01fx=，又()()1.251.2511.25ee2<12f−=+−，()()1.351.3511.35ee2>12f−=+−，由题可知0x时函数

单调递增，所以01.251.35x，02.522.7x，所以两悬柱间的距离大致为2.6米.故选：B.11.已知奇函数()fx定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线．若(2)(1)0ff−=，则函数()fx在区间(2,2)−内的零点个数至少为（）的A.1B.2C.3D.4【答案】C【

解析】【分析】根据奇函数()fx的定义域为R可得(0)0f=，由(2)(1)0ff−=和奇函数的性质可得(2)(1)0ff、(2)(1)0ff−−，利用零点的存在性定理即可得出结果.【详解】奇函数()fx的定

义域为R，其图象为一条连续不断的曲线，得(0)0f=，由(2)(1)0ff−=得(2)(1)0ff−=，所以(2)(1)0ff，故函数在(12)，之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在(21)−−，之间至少存在一个零点，所以函数在(22)−，之间

至少存在3个零点.故选：C12.已知a、b、c是正实数，且2e2ee0aabbc++−+=，则a、b、c的大小关系不可能为（）A.abc==B.abcC.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.【详解】

因为2e2ee0aabbc++−+=，a、b、c是正实数，所以()()2eeeeeeeeee0aabbcabaabbca+++−+−=−+−=，1,>1,e1eeabc，对于A，若abc==，则eeee0abca−−==，满足题意；对于B，若abc，则0,eee0eabc

a−−，满足题意；对于C，若bca，则0,eee0eabca−−，满足题意；对于D，若bac，则0,eee0eabca−−，不满足题意.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2

2、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13.设函数()()211log2,12,1xxxfxx−+−=，则()0ff=______．【答

案】2【解析】【分析】将0代入函数解析式，根据分段函数的解析式计算结果.【详解】由题，因为2(0)1log22f=+=，所以()()210222fff−===，故答案为：2.14.已知a,b是单位向量，且0ab=，若()1cab=+−，那么当()cab⊥−时，=__

____．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据()()()10abab+−−=以及||||1ab==可求出结果.【详解】因为a,b是单位向量，所以||||1ab==，当()cab⊥−时，()0cab−=，所以()()()

10abab+−−=，所以()()()22(1)120abab−−+−=，所以22||(1)||0ab−−=，所以(1)0−−=，解得12=.故答案为：12.15.已知函数()()sinfxx=+（0，π2）的部分

图象如图所示，则f（x）＝______．【答案】πsin24x+【解析】【分析】由函数图象得函数的最小正周期，求得，再由函数在π8x=时取最大值，求得，得函数解析式.【详解】由函数图象得12πππ488=−−，因为0，所以2=，又由

图象知当π8x=时函数取最大值，所以ππ22π82k+=+，Zk，因为π2，所以π4=，所以π()sin24fxx=+.故答案为：πsin24x+.16.如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设∠BAC＝α，已知正方形S1和正方形S2

分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC，则12SS正方形的周长正方形的周长的取值范围为______．【答案】22,13【解析】【分析】设两个正方形边长分别为a，b，用a，b表示AC建立方程，

将两个三角形的周长比表示为的三角函数，求取值范围.【详解】设两个正方形1S，2S边长分别为a，b，则在RtACD中，有tantanaACaa=++，在RtABC中，有sincosbbAC=+，所以tantansincosabbaa++=+，1S的周长与2S的周长比为1

14sincossincos141sincostan1tanab++==+++，设πsincos2sin()4t=+=+，因为π0,2，所以(π2sin()1,24t=+，则22sincos22111sincos112t

ttttt+===−++++，因为1ytt=+在(1,2上单调递增，所以1322,2tt+，sincos222,111sincos3tt+=++，所以周长比为22,13

.故答案为：22,13.【点睛】注意到()2sincos12sincos+=+的关系，换元用sincost=+表示sincos，注意换元后新未知数的取值范围.17.已知等差

数列na的首项为1，公差d≠0，前n项和为nS，且2nnSS为常数．（1）求数列na的通项公式；（2）若12nnnba−=，求数列nb前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）12323nnnTn+=−+【解析】【分析】（1）根据条件知1224SSSS=

，据此求出d；（2）运用错位相减法求和.【小问1详解】的由题意知：1224SSSS=，即112121234aaaaaaaaa+=++++，12246ddd+=++，化简得：()20,0,2dddd−==，()12121nann=+−=−；经检验，222144n

nSnSn==成立.【小问2详解】由（1）知：()1212nnbn−=−，()2311325272212nnTn−=+++++−…①，()23422325272212nnTn=+++++−…②

，①-②得：()231122222222212nnnTn−−=+++++−−()11212221212nnn−−=+−−−12323nnn+=−+−，12323nnnTn+=−+；综上，()12121nann=+−=−，

12323nnnTn+=−+.18.在△ABC中，边a、b、c对应角分别为A、B、C，且cos13sinbBaA+=．（1）求角B的大小；（2）从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存

在且唯一，求AC边上的高．条件①：3cos3A=，b＝1；条件②：b＝2，23c=；条件③：a＝3，c＝2．注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，

然后整理计算可得答案；（2）若选择条件①：由三角形的三角一边可得△ABC唯一确定，再利用正弦定理计算求答案；若选择条件②：根据正弦定理计算得sin1C，得到△ABC不存在；若选择条件③：由三角形的两边及其夹角确定可得△ABC存在且唯一，再利用正弦定理计算求答案.

【小问1详解】由正弦定理边化角得sincos1sin3sinBBAA+=，3sincos1BB=+，得π1sin62B−=，ππ5π0π,666BB−−，66ππB−=，π3B=【小问2详解】若

选择条件①：3cos3A=，b＝1，π3B=，π02A，6sin3A=，则△ABC中,,ABC均唯一确定，又1b=，则△ABC存在且唯一，由正弦定理12πsinsinsin3sin3acbACB====22622sin3333aA===，AC边

上的高为()226133232sinsin3323293aCaAB=+=+=+；若选择条件②：b＝2，23c=，π3B=由正弦定理sinsincbCB=得sin2333sin1222cBC

b===，△ABC不存在；若选择条件③：a＝3，c＝2，π3B=，由a＝3，c＝2，π3B=可得△ABC存在且唯一，由余弦定理22212cos9423272bacacB=+−=+−=，则7b=，由正弦定理sinsincbCB=得sin233sin277cBCb===

，AC边上的高为3321sin377aC==；19.买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1

月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份／月12345678月销售量／百个45678101113月利润／千元4.14.64.95.76.78.08.49.6（1）求出月利润y（千元）关于月销售量x（百个）的回归方程（精确到0.01）；（2）2022年“一诊”考试结束后，某班数学

老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各3个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，求3个盲盒中装有“五年高考三年模拟”玩偶的个数至少为2个的概率．参考公式：回归方程yabx=+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：()()(

)1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$．参考数据：821580iix==，81459.5iiixy==．【答案】（1）1.380.64yx=+（2）12【解析】【分析】（1）将表格数据代入公式，计算回归方

程；（2）列举从6个盲盒中抽取3个的所有结果，由所有基本事件个数和“五年高考三年模拟”玩偶个数至少为2个的基本事件个数，求得概率.【小问1详解】由题，()14567810111388x=+++++++=，()14.14.64.95.76.78.08.49.

66.58y=+++++++=，所以818459.5886.543.5iiixyxy=−=−=，8222185808868iixx=−=−=，43.50.6468b=，6.50.6481.38a=−=，所以回归方程为1.380.64yx=+.【小问2详解】记装有“五年高考三年模

拟”玩偶的3个盲盒为1a，2a，3a，记装有“教材全解”玩偶的3个盲盒为1b，2b，3b，从中选出3个，共有：()123,,aaa，()121,,aab，()122,,aab，()123,,aab，()311,,aab，()312,,aab，()133,,aab

，()112,,abb，()113,,abb，()123,,abb，()321,,aab，()322,,aab，()233,,aab，()212,,abb，()213,,abb，()223,,abb，()312,,abb，()3

13,,abb，()323,,abb，()123,,bbb共20个基本事件，其中，“五年高考三年模拟”玩偶个数至少为2个的基本事件有10个，故所求事件发生的概率101202P==.20.已知函数()()()32111032fxxaxaxa=+−−．（1）求函数f（x）的极值；（2

）当a＞1时，记f（x）在区间[－1,2]的最大值为M，最小值为m．已知12,33Mm+．设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，求()122331fxxxxxx++的取值范围．【答案】（1）极大值为321162aa+，极小值为1162a−−；

（2）4025,3−−.【解析】【分析】（1）求导，根据单调性得到当xa=−时取得极大值，1x=时取得极小值，然后代入求极值即可；（2）根据()fx在1,2−上的单调性得到M，m，然后列不等式得到a的范围，令(

)0fx=，结合韦达定理得到313xxa=−，20x=，最后根据a的范围求()3fa−的范围即可.【小问1详解】()()()()211fxxaxaxxa=+−−=−+，令()0fx¢>，解得xa−或1x，令()0

fx，解得1ax−，所以()fx在(),a−−，()1,+上单调递增，在(),1a−上单调递减，当xa=−时取得极大值，()3322321111132262ffaaaaaaa=−=−+−+=+极大值，当1x=时取得极小值，()1111113

2262ffaaa==+−−=−−极小值，所以()fx的极大值为321162aa+，极小值为1162a−−.【小问2详解】因为1a，所以()fx在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162mfa==−−，因为()35

21263fa−=−，()222233fa=−，所以()35126Mfa=−=−，111352362263aa−−+−，解得4533a，设123xxx，令()()2111032fxxxax

a=+−−=，所以20x=，313xxa=−，()()3212233193322fxxxxxxfaaa++=−=−−，329322yaa=−−在45,33上单调递减，当329340

25,223aa−−−−，所以()122331fxxxxxx++取值范围为4025,3−−.21.已知函数()e1xxfx=−，()0,x+．（1）判断函数()fx的单调性；（2

）证明：()11e1xfx+．【答案】（1）()fx在(0,)+上单调递减，理由见解析；的（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，构造函数()()e(0)11xxuxx−−=利用导数判断函数的单调性，从而判断原函数导数的正负，进而

即得；（2）将不等式转化为1ee111xxx−+，然后构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而证明不等式.【小问1详解】函数在给定区间内单调递减，理由如下：因为函数()e1xxfx=−，()0,x+，所以()()()()21e1e10xxxxfx−−−=，设()

()e(0)11xxuxx−−=，则()e0xuxx=−，所以()ux在区间(0,)+上单调递减，故()(0)0uxu=，即()0fx，所以函数()fx在区间(0,)+上单调递减；【小问2详解】()11

1e1e1e11xxxxfx++−，()0,x+，先证()0,x+时，e11xx−，即e10xx−−，设()()e1,0,xgxxx=−−+，则0()e1e10xgx=−−=，所以()gx在区间(0,)+上单调递增，所以()(0)0gxg=，即()1fx

；再证()0,x+时，()1e1xfx+，即()1e10xxx−++，设()()1e()10xxhxxx−++=，则e0(1)xxhx=+，所以()hx在(0,)+上单调递增，所以()(0)0hxh=，所以()1e1xfx+；综上，()11e1xfx

+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；

二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.请考生在22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22

.在平面直角坐标系中，曲线C1的方程为()()22131xy−+−=，曲线C2的参数方程为233xtyt==（t为参数），直线l过原点O且与曲线C1交于A、B两点，点P在曲线C2上且OP⊥AB．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C1的极坐标方程并

证明OAOB为常数；（2）若直线l平分曲线C1，求△PAB的面积．【答案】（1）22cos23sin30−−+=，证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）写出1C的极坐标方程，设直线l的极坐标方

程为=，代入1C的方程，利用韦达定理证明OAOB为定值；（2）直线l平分曲线1C得直线l的方程，因为OPAB⊥，得直线OP的方程，求得点P的坐标，计算三角形面积.小问1详解】1C的一般方程为2222330xyxy+−−+=，由cosx

=，siny=，得1C的极坐标方程为22cos23sin30−−+=，证明：设直线l的极坐标方程为=，点()1,A，()2,B，【将=代入22cos23sin30−−+=，得1，2

为方程22(cos3sin)30−++=的两个根，123OAOB==.【小问2详解】因为直线l平分曲线1C，所以直线l过点()1,3，直线l的方程为3yx=，因为OPAB⊥，所以直线OP为33yx=−，曲线2C的普通方程为2yx=，与直线OP的方程联立，得(3,3)P−，点P到直

线l的距离3332331d+==+，圆1C的直径2AB=，所以PAB的面积1232SABd==.23.已知函数()fxx=．（1）画出()1()5yfxfx=−−+的图象，并根据图象写出不等式()()154fxfx−−+−的解集；（2）

若()()()1520fxfxkfx−−+++恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）图象见解析，不等式解集为()0,+；（2）)2,+.【解析】【分析】（1）分类讨论得到()()6,51524,516,1xyfxf

xxxx−=−−+=−−−−，然后画图，根据图象解不等式即可；（2）分5x−、52x−−、2x=−、2<<1x−和1x五种情况求解即可.【小问1详解】当5x−时，()()15156yfxfxxx=−−+=−++=，当51x−时，()()()151524yfxfx

xxx=−−+=−−+=−−，当1x时，()()()15156yfxfxxx=−−+=−−+=−，所以()()6,51524,516,1xyfxfxxxx−=−−+=−−−−，图象如下所示，不等式()()154fxfx−−+−的解集为()0,+.【小问2详解】当5x

−时，()()()()152620fxfxkfxkx−−+++=−+，整理得62kx+恒成立，所以0k；当52x−−时，()()()()1522420fxfxkfxxkx−−+++=−−−+，整理得2k−；当2x=−时，()()()1520fxfxkfx−−+++=，成

立，所以Rk；当2<<1x−时，()()()()1522420fxfxkfxxkx−−+++=−−++，整理得2k；当1x时，()()()()152620fxfxkfxkx−−+++=−++，整理得62kx+恒成立，即max62kx+，所以2k，

综上可得，k的取值范围为)2,+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com