【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第49讲 直线与椭圆的位置关系(达标检测) Word版含解析.docx,共(22)页,474.515 KB,由小赞的店铺上传
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第49讲直线与椭圆的位置关系(达标检测)[A组]—应知应会1.(2020春•宣城期末)若椭圆的右焦点为F,且与直线交于P,Q两点,则△PQF的周长为()A.B.C.6D.8【分析】求出左焦点坐标,利用直线经过椭圆的左焦点,结合椭圆的定义求三角形的周长即可.【解答】解:∵直线l过椭圆C的左焦点F'(
﹣2,0),直线经过左焦点F',∴△PQF的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF'|+|PF|+|QF'|+|QF|=,故选:B.2.(2020•福州三模)已知椭圆(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过C的右
焦点,则C的方程为()A.B.C.D.【分析】由题意画出图形,分别设出M、N的坐标,利用中点坐标公式求得B的坐标,再由列式求得a值,利用隐含条件求得b,则椭圆方程可求.【解答】解:如图,设M(x0,y0),则N(﹣x0,﹣y0),∵
A(a,0),且线段AM的中点为B,∴B(,),由B,F,N三点共线,得,依题意,F(1,0),∴,,即.又y0≠0,解得a=3,∴b2=32﹣12=8.可得C的方程为.故选:C.3.(2020•吉林模拟)已知椭圆的右焦点F2(1,0),为椭圆
上一点,过左顶点A作直线l⊥x轴,Q为直线l上一点,AP⊥F2Q,则直线PQ在x轴上的截距为()A.2B.3C.4D.5【分析】由已知列关于a,b的方程组,求得a,b的值,得到A,F2的坐标,求得直线F2Q的方程,进一步求解Q的坐标,得到PQ的方程,则答案可求.【解答】解:由
题意,得,解得,∴A(﹣2,0),F2(1,0),∴直线AP的斜率.又AP⊥F2Q,∴,即,∴直线F2Q的方程y=﹣2(x﹣1),联立,得交点Q(﹣2,6),∴P、Q两点连线的斜率kPQ=.∴PQ的直线方程为y﹣=﹣(x
﹣1),令y=0,得x=2.故直线PQ在x轴上的截距为2,故选:A.4.(2020•让胡路区校级三模)已知椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,下顶点为A,直线AF2与椭圆C的另一个交点为B.若△BF1A为等腰三角形,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【分析
】画出图形,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,利用△AOF2∽△BMF2,求出B的坐标,点B在椭圆C上,转化求解椭圆的离心率即可.【解答】解:如图,因为△BF1A为等腰三角形,且|AF1|=|AF2|=a,所以|AB|=|BF1|,又|AB
|+|BF1|+|AF1|=4a,所以,所以|AF2|=2|F2B|.过点B作BM⊥x轴,垂足为M,则△AOF2∽△BMF2,由A(0,﹣b),F2(c,0),得.因为点B在椭圆C上,所以,所以,即离心率,故选
:B.5.(2020春•河源期末)已知离心率为的椭圆+y2=1(m>1)的左、右顶点分别为A,B,点P为该椭圆上一点,且P在第一象限,直线AP与直线x=4交于点C,直线BP与直线x=4交于点D,若|CD|=,则直线AP的斜率为()A.或B.C.或D.或【分
析】由椭圆离心率求出m值,直线AP,BP与直线x=4联立将C点与D点的用k的坐标表示出来,最后求出k的值.【解答】解:由,得m=9.设p(x0,y0),则.设kPA=k(0<k<),则,直线AP的方程为y=k(x+3),则C的坐标(4,7k).直线BP的方程为y=,则D坐
标(4,).所以|CD|=7k+,解得k=(舍去)或.故选:B.6.(2020春•安徽期末)已知点F为椭圆的左焦点,直线y=kx(k>0)与C相交于M、N两点(其中M在第一象限),若MN=2c,|FM|=2|FN|,则椭圆C的离心率是()A.B.C.D.【分析】画出图形,设椭圆右焦点为F'
,说明四边形MFNF'为矩形,设|FN|=t,推出,然后求解椭圆的离心率.【解答】解:如图,设椭圆右焦点为F',由|MN|=2c,可知|MN|=|FF'|=2c,所以∠FMF′=90°,则四边形MFNF'为矩形,且|FN|
=|MF'|,因为|FM|=2|FN|,设|FN|=t,则.因为|MF|+|MF'|=2a,MF2+MF′2=4c2,解得3t=2a,,所以椭圆C的离心率为.故选:D.7.(2020春•新余期末)已知椭圆+=1的左,右焦点分别是F1,F2,若椭圆上存在一点M,使(+)=0(O为坐标原点),且||=
t||,则实数t的值为()A.2B.2C.D.1【分析】由向量的加减运算和数量积的性质,可得||=||=c,即有△MF1F2为直角三角形,且∠F1MF2=90°,由勾股定理和椭圆的定义,解方程即可得到所求值.【解
答】解:(+)=0,则(+)•()=0,所以=0,所以||=||=c,即有△MF1F2为直角三角形,且∠F1MF2=90°,可得椭圆+=1的a=4,b=2,c==2,设|MF2|=m,由椭圆的定义可得|MF1|=2a﹣m=8﹣m,且||=t||,所以(8﹣m)2+
m2=4c2=32,解得m=4,由mt=8﹣m,解得t=1,故选:D.8.(2020•运城模拟)如图,已知F1、F2分别是椭圆C:的左、右焦点,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点N,线段F1N的中点为M,线段F1N的垂直
平分线MP与l2的交点P(第一象限)在椭圆上,若O为坐标原点,则的取值范围为()A.B.C.D.(0,1)【分析】结合图形说明|F1M|=|MN|.设点P(x0,y0)(x0>0,y0>0).由两点间的距离公式,以及焦半径公式转化求解的表达式,然后求解取值范围.【解答】解:如图所示,点P在y轴右边
,因为PM为F1N的垂直平分线,所以|F1M|=|MN|.由中位线定理可得.设点P(x0,y0)(x0>0,y0>0).由两点间的距离公式,得=,同理可得|PF2|=a﹣ex0,所以|F2N|=|PF1|﹣|PF2|=2ex0,故|OM|
=ex0,因为a=8,,所以,故,所以.因为x0∈(0,8),所以.故的取值范围为(0,1).故选:D.9.(多选)(2020春•黄冈期末)已知F1、F2是椭圆C:的左、右焦点,M、N是左、右顶点,e为椭圆C的离心率,过右焦点F2的直线
l与椭圆交于A,B两点,已知=0,3,|AF1|=2|AF2|,设直线AB的斜率为k,直线AM和直线AN的斜率分别为k1,k2,直线BM和之间BN的斜率分别为k3,k4,则下列结论一定正确的是()A.e=B.k=C.k
1•k2=﹣D.k3•k4=【分析】过点F2作F1B的平行线,交AF1于点E,设|F2A|=2t,|F1A|=4t,可得AB|=5t,由椭圆定义可得a=3t.|BF1|=|BF2|=3t,在△EF1F2中,由勾股定理可得:c,b即可判断AB的正误,设A(
x,y),则=,即可判断CD正误.【解答】解:∵=0,∴AF1⊥BF1,过点F2作F1B的平行线,交AF1于点E,∴AF1⊥EF2.设|F2A|=2t,|F1A|=4t,又3,∴|AB|=5t,∵AF1⊥BF1,
∴|F1B|=3t,∴12t=4a,∴a=3t.∴|BF1|=|BF2|=3t=a,∴B(0,b),在△EF1F2中,EF1==,EF2==,F1F2=2c,∵EF12+EF22=F1F22,∴,b==,∴椭圆离心率e=,故
A正确,k=,故B错,设A(x,y),易得M(﹣a,0),N(a,0),则=,故C正确,同理,故D错.故选:AC.10.(多选)(2020•海南模拟)设椭圆的右焦点为F,直线与椭圆交于A,B两点,则()A.|AF|+|BF|为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6,12]C
.当时,△ABF为直角三角形D.当m=1时,△ABF的面积为【分析】利用椭圆的性质以及定义,直线与椭圆的位置关系,向量的数量积以及三角形的面积,分析判断选项的正误即可.【解答】解:设椭圆的左焦点为F',则|AF'|=|BF|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|为定值6,A正确;△
ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|,因为|AF|+|BF|为定值6,易知|AB|的范围是(0,6),所以△ABF的周长的范围是(6,12),B错误;将与椭圆方程联立,可解得,,又易知,所以,所以△ABF为直角三角形,C正确;将y=1与椭圆方程联立,解得,,所以,D正确.故选:A
CD.11.(2020•乐山模拟)已知椭圆C:+=1({a>b>0})的左焦点为F,A、B分别为C的右顶点和上顶点,直线FB与直线x=a的交点为M,若,且△AFM的面积为,则椭圆的标准方程为.【分析】由,且OB∥AM(O为坐标原点),可得,可得
a,c的关系,及面积的值可得a,b的值,进而求出椭圆的方程.【解答】解:由,且OB∥AM(O为坐标原点),得,所以a=2c,|AM|=3b,,又因为,解得c=1,所以a=2,,故椭圆的标准方程为.故答案为:+=1.12.(2020春
•海淀区校级期末)椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点(P在x轴上方),|PF1|=|PQ|.若PQ⊥PF1,则椭圆的离心率e=.【分析】设|PF2|的值,由椭圆的定义可得|PF1|的值,再由|PF1|=|PQ|,可得
|QF2|,|QF1|的值,由若PQ⊥PF1,在两个三角形中由勾股定理可得a,c的关系,进而求出椭圆的离心率.【解答】解:设|PF2|=m,则|PF1|=2a﹣m,因为|PF1|=|PQ|,所以|QF2|=2a﹣m﹣m=2a﹣2m,由椭圆的定义可得
|QF1|=2a﹣(2a﹣2m)=2m,因为PQ⊥PF1,在△PF1Q中,|QF1|2=2|PF1|2,即4m2=2(2a﹣m)2①,可得m=a,在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即4c2=(2a﹣m)2+m2②,由①﹣②×2可得4m2﹣8c2=﹣2m2
,即m2=c2,可得m=c,③,所以a=c,所以=﹣故答案为:﹣.13.(2020•柯城区校级模拟)设F1,F2是椭圆的左、右焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,若AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,则椭圆的离心率为.【分析】设|AF2|的值
,由比例关系求出|AB|的值,再由椭圆的代入可得|AF1|,|BF1|,|BF2|的值,又有AB⊥AF2,在两个直角三角形中由勾股定理可得a,c的关系,进而求出椭圆的离心率.【解答】解:设|AF2|=4m,因为|AB|:|AF2|=3:4,所以|AB|=3m,由题意的定义可得|AF1|=
2a﹣4m,所以|BF1|=3m﹣(2a﹣4m)=7m﹣2a,进而可得|BF2|=2a﹣(7m﹣2a)=4a﹣7m,因为AB⊥AF2,在△AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2,即(2c)2=(2a﹣4m
)2+(4m)2,整理可得c2=(a﹣2m)2+4m2①在△ABF2中,|BF2|2=|AB|2+|AF2|2,即(4a﹣7m)2=(3m)2+(4m)2,整理可得:2a2﹣7am+3m2=0,解得a=(舍)或a=3m即m=,将m=代入①可得c2=(a﹣)2+4()2=整理可得=,所以椭圆离心
率为故答案为:.14.(2020•河南模拟)已知F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,AB是椭圆C过F的弦,AB的垂直平分线交x轴于点P.若,且P为OF的中点,则椭圆C的离心率为.【分析】由题意可得P的坐标,由题意设直线AB的方
程与椭圆联立求出两根之和及两根之积,进而求出线段AB的中点的坐标,求出线段AB的中垂线的构成,令y=0求出P的坐标,可得参数的关系,再由,可得A,B的纵坐标之间的关系,代入两根之和及两根之积中可得参数的关系,两式联立求出参数的值及a,c的关系,进而求出椭圆的离心率.【解答】解:由题意可得直线AB
的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为x=my﹣c,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为P为OF的中点,所以P(﹣,0),因为,所以(﹣c﹣x1,﹣y1)=2(x2+c,y2),所以可得y1=﹣2y2,联立直线AB与椭圆的方程,整理可得:(a2+m2b2)y2﹣2b
2mcy+b2c2﹣a2b2=0,所以y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)﹣2c=﹣,所以A,B的中点坐标(﹣,),所以线段AB的中垂线方程为:y﹣=﹣m(x+),令y=0,可得x=,由题意可得﹣=,可得a2(1+m2)=(2+m2)c2,①由,可得:9m2c2=(1+m2)a2
②,由①②可得:9m2=2+m2,解得m2=,将m2=代入①可得a2=c2,所以=,故答案为:.15.(2020•浙江模拟)已知椭圆C:=1的右焦点为F(1,0),上顶点为B,则B的坐标为,直线MN与椭圆C交于M,N两点,且△BMN的重心恰为点F,则直线MN斜率为.【分析】由
题意的方程及右焦点的坐标及a,b,c之间的关系求出m的值,进而求出上顶点B的坐标,设直线MN的方程,与椭圆联立求出两根之和,进而求出弦MN的中点的坐标,由F为三角形的重心可得=2,将点的坐标代入可得直线MN的斜率的值.
【解答】解:由椭圆的方程可得:a2=4,b2=m,所以c2=a2﹣b2=4﹣m=1,可得m=3,所以上顶点B(0,),所以椭圆的方程为:+=1;设直线MN的方程为:y=kx+t,设M(x1,y1),N(x2,y2),将直线MN的方程与椭圆的方程联立整理可得:(3+4k2)+8ktx+
4t2﹣12=0,△=64k2t2﹣4(3+4k2)(4t2﹣12)>0,可得:t2<3+4k2,x1+x2=﹣,所以y1+y2=k(x1+x2)+2t=,所以MN的中点D(﹣,),因为F为三角形BMN的重心,所以=2,即(1,﹣)=2(﹣﹣1,),所以,即两
式相比可得k=,故答案分别为:(0,),.16.(2020•烟台模拟)已知椭圆的焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0)(c>0),两条平行线l1:y=x﹣c,l2:y=x+c交椭圆于A,B,C,D四点,若以A,B,C,D为顶点的四边形面积为2b2
,则椭圆的离心率为.【分析】直线CD的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积,进而求出弦长CD,再求两条平行线间的距离,进而求出平行四边形的面积,再由题意可得a,c的关系,进而求出椭圆的离心率.【解答】解:设C(x1,y1),D(x2,y2),联立直线l1
与椭圆的方程:,整理可得:(a2+b2)x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0,x1+x2=,x1x2=,所以|CD|==•=•2,直线l1,l2间的距离d==,所以平行四边形的面积S=|CD|•d=•2•=2b2,整理可得:c2+2ac﹣2a2=0,即e2+
2e﹣2=0,解得:e=﹣±2,由椭圆的性质可得,离心率e=2﹣,故答案为:2﹣.17.(2019•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设经过点
F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.【分析】(Ⅰ)由题意可得a=2b,再由离心率公式可得所求值;(Ⅱ)求得a=2c,b=c,可得椭圆方程为+=1,设直线FP的方程为y=(x+c),
联立椭圆方程求得P的坐标,以及直线AP的斜率,由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件,解方程可得c=2,即可得到所求椭圆方程.【解答】解:(Ⅰ)|OA|=2|OB|,即为a=2b,可得e====;(Ⅱ)b=a
,c=a,即a=2c,b=c,可得椭圆方程为+=1,设直线FP的方程为y=(x+c),代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2=0,解得x=c或x=﹣,代入直线PF方程可得y=或y=﹣(舍去),可得P(c,),圆心C在直线x=4上,且OC∥AP,可设C(4,t),可得=,解得t=2
,即有C(4,2),可得圆的半径为2,由直线FP和圆C相切的条件为d=r,可得=2,解得c=2,可得a=4,b=2,可得椭圆方程为+=1.18.(2019秋•无锡期末)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1
,F2,焦距为4,且椭圆过点,过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P,Q两点,点Q关于x轴的对称点为R,直线PR交x轴于点M.(1)求△PF1Q的周长;(2)求△PF1M面积的最大值.【分析】(1)根据椭圆定义求出a,代入即可;(2)设直线l:x=my
+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),椭圆的方程为,求出M坐标,联立解方程求出x1y2+x2y1=2my1y2+2(y1+y2)=,利用面积公式求出即可.【解答】解:(1)设椭圆C的焦距为2c,则2c=4,c=2,F1(﹣2.0),F2(2,0),且椭圆过点A,由椭圆的定义2a=AF
1+AF2=6,故a=3,所以,△PF1Q的周长为4a=12;(2)由(1)知,b2=9﹣4=5,故椭圆的方程为,设直线l:x=my+2,P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(x2,﹣y2),直线PR:,得M(,0),联立,消去x,得(5m2+9)y2+20my﹣25=0,,
,x1y2+x2y1=2my1y2+2(y1+y2)=,所以•|y1|=,当且仅当P在短轴顶点处取得等号,故△PF1M面积的最大值为.19.(2020•西安三模)已知椭圆C:的离心率为,直线y=x交椭圆C于A、B两点,椭圆C的右顶点为P,且满足.(Ⅰ)求椭圆C
的方程;(Ⅱ)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与椭圆C交于不同两点M、N,且定点满足,求实数m的取值范围.【分析】(Ⅰ)根据向量的运算,求得a=2,利用椭圆的离心率公式即可求得b的值,求得椭圆方程;(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,利用韦
达定理及△>0,根据中点坐标公式及直线的斜率公式即可求得6m﹣1=4k2,即可求得6m﹣1>m2﹣1,求得m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由即2||=4,则a=2,由e==,所以c=,b=1,则椭圆C的方程为.(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),联
立,整理得:(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0,则△=64k2m2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)>0,即4k2>m2﹣1,且x1+x2=﹣,又设MN中点D的坐标为(xD,yD),因为,所以DQ⊥MN,即=﹣,又x
D==﹣,yD=kxD+m=,所以6m﹣1=4k2,故6m﹣1>0,且6m﹣1>m2﹣1,故<m<6.∴m的取值范围(,6).20.(2020•兴庆区校级四模)已知椭圆方程为.(1)设椭圆的左右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上运动,求的值.(2)设直线l和圆x2+y2=
2相切,和椭圆交于A、B两点,O为原点,线段OA,OB分别和圆x2+y2=2交于两点,设△AOB,△COD的面积分别为S1,S2,求的取值范围.【分析】(1)由已知求得椭圆焦点坐标,设P(x,y),由焦半径公式及数量积公式可得=;(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为
x=,求得.若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,由已知可得,则m2=2(1+k2),设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l与椭圆方程联立,得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系及三角形面积公式写出,再由换元法结合二次函数求最
值.【解答】解:(1)由已知,F1(﹣,0),F2(),设P(x,y),由焦半径公式可得=,=x2+y2﹣3.结合,得,故=;(2)当直线l的斜率不存在时,其方程为x=,由对称性,不妨设x=,此时A(),B(),C(1,1),D(1,﹣1),故.若直线l的斜
率存在,设其方程为y=kx+m,由已知可得,则m2=2(1+k2),设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线l与椭圆方程联立,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣6=0.,.结合|OC|=|OD|=及,,可知===.将根与系数的关系代入整理得:,结合m2=2(k2+1),得.设t
=2k2+1≥1,u=∈(0,1],则==∈[2,].∴的取值范围是[2,].21.(2020•黄冈模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为点F1,F2,左、右顶点分别为A,B,长轴长为4,椭圆上任意一点P(不与A,B重合)与A,B连线的斜率乘积均为.(1)求椭圆C的标
准方程;(2)如图,过点F1的直线l1与椭圆C交于M,N两点,过点F2的直线l2与椭圆C交于P,Q两点,且l1∥l2,试问:四边形MNPQ可否为菱形?并请说明理由.【分析】(1)求出b,得到椭圆的方程;(2)先判断四边形MNPQ为平行四边形,再判断是否成立
,方程是否有解,即可判断.【解答】解:(1)由题意,a=2,则A(﹣2,0),B(2,0),设,则点P与点A连线的斜率为,点P与点B连线的斜率为,故,又因为点P在椭圆C上,故有,联立解得b2=3,则椭圆C的方程
为.(2)由于点F1,F2关于原点对称且l1∥l2,故l1,l2关于原点对称,又椭圆关于原点对称,所以四边形MNPQ为平行四边形;由(1),知F1(﹣1,0),易知直线MN不能平行于x轴.所以令直线MN的方程为x=my﹣1,设
M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程,得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0,所以,.若MNPQ是菱形,则OM⊥ON,即,于是有,整理得到,即12m2+5=0,上述关于m的方程显然没有实数解,故四边形MNPQ不可能是菱形.[B组]—强基必备1.(2020春•桃城区校级
月考)已知椭圆Γ:内有一定点P(1,1),过点P的两条直线l1,l2分别与椭圆Γ交于A、C和B、D两点,且满足,,若λ变化时,直线CD的斜率总为,则椭圆Γ的离心率为()A.B.C.D.【分析】由向量的坐标运算及
点差法作差求得:=﹣•,代入即可求得a和b的关系,即可求得椭圆的离心率.【解答】解:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),由,即(1﹣x1,1﹣y1)=λ(x3﹣1,y3﹣1),则x
1+λx3=1+λ,y1+λy3=1+λ,由,同理可得:x2+λx4=1+λ,y2+λy4=1+λ.则(y1+y2)+λ(y3+y4)=(x1+x2)+λ(x3+x4),将点A,B的坐标代入椭圆方程作差可得:=﹣•,由题意可得:AB
∥CD,∴kAB=kCD=﹣.则a2(y1+y2)=4b2(x1+x2)①,同理可得:a2(y3+y4)=4b2(x3+x4),∴λa2(y3+y4)=4λb2(x3+x4),②①+②得:a2[(y1+y2)+λ(y3+y4)]=4b2[(x1+x2)+λ(x3+x4)
],∴a2[(x1+x2)+λ(x3+x4)]=4b2[(x1+x2)+λ(x3+x4)],∴a2=4b2,则椭圆的离心率e===.故选:A.2.(2019秋•抚州期末)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P为
椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,I,G分别为△PF1F2的内心和重心,当IG⊥x轴时,椭圆的离心率为()A.B.C.D.【分析】如图所示,设P(x0,y0),不妨设y0>0.利用三角形重心性质可得G(,),根据IG⊥x轴,可得xI=.设三角形内切圆的半径为r.由三角形内切圆的性质
可得:r(2a+2c)=•2c•y0.可得r==yI.设PF1,PF2分别与内切圆相切于点D,E.可得PD=PE=(2a﹣2c)=a﹣c.在Rt△PDI中,由勾股定理可得:PD2+ID2=PI2.化简整理即可得出.【解答】解:如图所示,设P(x0,y0),不妨
设y0>0.F1(﹣c,0),F2(c,0).则G(,),∵IG⊥x轴,∴xI=.设三角形内切圆的半径为r.由三角形内切圆的性质可得:r(2a+2c)=•2c•y0.解得r=,∴yI=.设PF1,PF2分别与内切圆相切于点D,E.则PD=PE=(2a﹣2c)=a﹣c.在Rt△PDI中,由
勾股定理可得:PD2+ID2=PI2.∴(a﹣c)2+=+,化为:+=1.与椭圆比较可得:a2=,∴a=(a﹣c),可得=.∴e=.故选:A.