【文档说明】山西省怀仁市第一中学校2022届高三上学期8月摸底（第一次月考）理科数学试题 含答案.doc，共(9)页，717.500 KB，由小赞的店铺上传

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2021~2022学年第一学期高三毕业班第一次月考理科数学试题一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N

，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝10}，则A∩B中元素的个数为（）A.4B.5C.6D.72.已知2(1)32izi−=+，则z=（）A.312i−−B.312i−+C.32i−+D.32i−−3．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+42B．4+42C．4

+23D．6+234．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图，则下面结论中不正确的是()建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例A.新

农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半5.已知点A为抛物线C：y2＝2px(

p>0)上一点，A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A.2B.3C.9D.66.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分

记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV=+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.67.(x＋2yx)(x＋y)5的展开式中

x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.208.已知a∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B.23C.13D.599.点P是边长为2的正六边形ABCDEF内部的一点，则APAB的取值范围是(）A．(6,2)−B．(2,6)−

C．(2,4)−D．(4,6)−10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.4511.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC⊥==，则三棱锥OABC−的体积为（）A.212B.312C.

24D.3412.0－1周期序列在通信技术中有着重要应用。序列a1a2…an…满足a1∈{0，1}(i＝1，2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1，2，…)成立，则称其为0－1周期数列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1，2，…)的最小

正整数m为这个序列的周期。对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝11(1,2,,1)miikiaakmm+==−是描述其性质的重要指标。下列周期为5的0－1序列中，满足C(k)≤15(k＝1，2，3，4)的序列是()A．11010B．110

11C．11001D．10001二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线212xyx−=+在点()1,3−−处的切线方程为________．14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．15.

已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左焦点为F，离心率为2．若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为16.已知函数()2cos()fxx=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043fxffxf−

−−的最小正整数x为________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的

月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I

）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值．18．ABC的内角

A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cos(coscos).CaB+bAc=（I）求C；（II）若7,cABC=的面积为332，求ABC的周长．19．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB

=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．20．已知椭圆()222:10525xyCmm+=的离心率为154，,AB分别为C的左、

右顶点．（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点Q在直线6x=上，且,BPBQBPBQ=⊥，求△APQ的面积．21.已知0a且1a，函数()(0)axxfxxa=．（1）当2a=时，求()fx的单调区间；（2）若曲线()yfx=与直线1y=有且仅有两个交点，求a的取值范围．（二）选考题：

共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos=．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为()1,0，M为C上的动点，点P满

足2APAM=，写出Р的轨迹1C的参数方程，并判断C与1C是否有公共点．23．已知函数()|1||23|fxxx=+−−．（I）在图中画出()yfx=的图像；（II）求不等式|()|1fx的解集．2021年高三理科数学月考一答案一、

选择题CBDADCCABCAD二、填空题520xy−+=；n23n2−；22188xy−=；217.【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1．∵频率=(频率/组距)*组距，∴()0.50.080.160.40.520.120.080.042

1a+++++++=，得0.3a=．3分（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为()0.50.120.080.04=12%++，∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6(万)．7分（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2．

5吨的居民人数所占百分比为：()0.50.080.160.30.40.520.73++++=，即73%的居民月均用水量小于2．5吨，同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.53x，假设月均用水量平均分布，则()85%73%0.52.50.52.90.3x−=+=（吨）．

12分18.（I）由正弦定理及2cos(coscos).CaB+bAc=得，CABBACsin)cossincos(sincos2=+，即CBACsin)sin(cos2=+，即CCCsinsincos2=，因为C0，所以0sinC，所以2

1cos=C，所以3=C．6分（II）由余弦定理得：2222coscababC=+−221722abab=+−()237abab+−=1333sin242SabCab===∴6ab=∴()2187ab

+−=，5ab+=，∴ABC△周长为57abc++=+12分19.【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，1AB，1AE，∵AB=1AA，1BAA=060，∴1BAA是正三角形，∴1AE⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵

1CEAE=E，∴AB⊥面1CEA，∴AB⊥1AC；……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，1EA⊥AB，又∵面ABC⊥面11ABBA，面ABC∩面11ABBA=AB，∴EC⊥面11ABBA，∴EC⊥1EA，∴EA，E

C，1EA两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−，有题设知A(1，0，0)，1A(0，3，0)，C(0，0，3)，B(－1，0，0)，则BC=（1，0，3），1BB=1AA=(－1，0，3)，1AC=(0，－3

，3)，设n=(,,)xyz是平面11CBBC的法向量，则100BCBB•=•=nn，即3030xzxy+=+=，可取n=（3，1，-1），∴1cos,ACn=11|ACAC•n|n||105，∴直线A1C与平面BB

1C1C所成角的正弦值为105．……12分20（1）由cea=，得2221bea=−，即21511625m=−，∴22516m=，故C的方程为221612525xy+=．4分（2）设点P的坐标为(,)st，点Q的坐标为(6,)n，根据对称性，只需考虑0n的情形，此时55s−

，504t„．∵||||BPBQ=，∴有222(5)1stn−+=+①．又∵BPBQ⊥，∴50snt−+=②．又221612525st+=③．联立①、②、③，可得，312stn===或318stn=−==．当312st

n===时，(8,1)AP=，(11,2)AQ=，∴222115()|82111|222APQSAPAQAPAQ=−=−=△．同理可得，当318stn=−==时，52APQS=△．综上所

述，可得APQ△的面积为52．12分21.【详解】（1）当2a=时，()()()()22222ln2222ln2,242xxxxxxxxxxxfxfx−−===,令()'0fx=得2ln2x=,当20ln2x

时，()0fx,当2ln2x时，()0fx,∴函数()fx在20,ln2上单调递增；2,ln2+上单调递减；4分（2）()lnln1lnlnaxaxxxafxaxxaaxaxa=====,设函数()lnxgxx=,则()21lnxgxx−=,令(

)0gx=，得xe=,在()0,e内()0gx,()gx单调递增；在(),e+上()0gx,()gx单调递减；()()1maxgxgee==,又()10g=，当x趋近于+时，()gx趋近于0，所以曲线()yfx=与直线1y=有且仅有两个交点，即曲线()ygx=与直线

lnaya=有两个交点的充分必要条件是ln10aae,这即是()()0gage,所以a的取值范围是()()1,,ee+.12分22.【详解】（1）由曲线C的极坐标方程22cos=可得222cos=

，将cos,sinxy==代入可得2222xyx+=，即()2222xy−+=，即曲线C的直角坐标方程为()2222xy−+=；5分（2）设(),Pxy，设()22cos,2sinM+2APAM=，()()()1,222

cos1,2sin22cos2,2sinxy−=+−=+−，则122cos22sinxy−=+−=，即322cos2sinxy=−+=，故P的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy=−+=（为参数）曲线C的圆心为()2,

0，半径为2，曲线1C的圆心为()32,0−，半径为2，则圆心距为322−，32222−−，两圆内含，故曲线C与1C没有公共点.10分23.【解析】(1)如图所示：5分(2)()4133212342xxf

xxxxx−−=−−−，≤，，≥，()1fx．当1x−≤，41x−，解得5x或3x，1x−∴≤；当312x−，321x−，解得1x或13x，113x−∴或312x；当32x≥，41x−，解得5x或3x，332x

∴≤或5x．综上，13x或13x或5x，()1fx∴，解集为()()11353−+，，，．10分