【文档说明】安徽省合肥六校联盟2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.201 MB，由小赞的店铺上传

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合肥六校联盟2021-2022学年第二学期期末联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥工大附中命题教师：余树宝王燕审题教师：郑贤玲一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合21,1AxxBxax====．若ABB=，则实数a的值为（）A.1B.1−C.1或1−D.0或1或1−【答案】D【解析】【分析】对a进行分类讨论，结合BA求得a的值.【详解】由题可得2|1{1

,1}Axx===−，BA，当0a=时，B=，满足BA；当0a时，1Ba=，则11a=或11a=−，即1a=.综上所述，0a=或1a=.故选：D.2.已知复数5i12iz=−．给出

下列三个结论：①z的虚部是i；②5z=；③i2z=+．其中错误结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】将复数化简为2iz=−+，根据复数的相关概念即可得出结果.【详解】()()()5i1

2i5i2i12i12i12iz+===−+−−+，z的虚部为1，2iz=−−，5z=，故错误结论的个数是2．故选：C.3.下列直线中，与曲线21exyx−=在点()1,e处的切线平行的直线是（）A.2e1yx=+B.3e1yx=+C.2eeyx=−

D.3e2eyx=−【答案】B【解析】【分析】由题意可求得1|3exy==，根据导数几何意义可知：平行的直线的斜率为3ek=，分析判断，注意排除重合的可能．【详解】()()()212121ee21exxxyxxx−−−=+=+，则1|3exy=

=∴平行的直线的斜率为3ek=∵A、C选项中直线的斜率为2e，A、C错误；3e2eyx=−过切点()1,e，斜率为3e，即3e2eyx=−为曲线21exyx−=在点()1,e处的切线，D错误；3e1yx=+的斜率为3e，且不与3e2e

yx=−重合，B正确；故选：B．4.已知函数()1sin2=−fxxx，则()fx的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据()fx的奇偶性和π6f的符号可选出答案.【详解】因为()()()1sin2fxxxfx−=−−−=−，所以()fx是奇函数，故排除BD，因为

ππ106122f=−，所以可排除C，故选：A5.记ABC的内角,,ABC的对边分别是,,abc，已知222sinsinsinsinsin,4ABABCab+−=+=，的2c=，则ABC的面积为（）A.1B.2C.2

D.3【答案】D【解析】【分析】由正弦定理及余弦定理得1cos2C=，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】∵222sinsinsinsinsinABABC+−=，∴222ababc+−=，2221cos22bacCab+−==，可得23sin1cos

2CC=−=，∵()22223ababababc+−=+−=，4ab+=，2c=，∴4ab=，所以三角形的面积为113sin43222SabC===.故选：D.6.下列命题正确的是（）A.在ABC中，“AB”是“s

insinAB”的充要条件B.若命题2:1,1pxx，则命题200:1,1pxxC.若向量//,//abbc，则//acD.函数()1fxxx=+的最小值为2【答案】A【解析】【分析】对于A，利用正弦定理分析判断，对于B，将全称命题否定为特称命题

即可，对于C，举例判断，对于D，举例判断【详解】对于A，在ABC中，由AB，得ab，所以由正弦定理得sinsinAB，反之也成立，所以在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的充要条件，所以A正确，对于B，命题2:1,1pxx，则

200:1,1pxx，所以B错误，对于C，若0b=，则满足//,//abbc，而此时a与c不一定共线，所以C错误，对于D，若=1x−，则(1)1122f−=−−=−，所以D错误，故选：A7.由样本数

据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，对两个变量y和x进行回归分析，则下列说法错误的是（）A.由样本数据得到的回归直线ˆˆˆybxa=+必过点(),xyB.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用决定系数2R来刻画回归效果，

2R越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数为0.95r=，变量y和x之间具有较强的线性相关关系【答案】C【解析】【分析】根据回归分析中的各个概念进行判断．【详解】回归方程必过样本中心(),xy，A正确；残差平方和越小，代表估计值和测量值越接

近，即拟合的效果越好，B正确；2R越接近1，模型的拟合效果越好，C错误；若0.75r，则变量y和x之间具有较强的线性相关关系，D正确；故选：C．8.5112xxxx++的展开式中，含2x项的系数为（）A.160B.140C.120D.100【答案】A【解析】【分

析】利用二项式定理的知识求出答案即可.【详解】5112xxxx++的展开式中，含2x项为()()23421255111C2C2160xxxxxxx+=，故选：A9.在某市一次高三质量检测中，理科学生共

有8600人，他们的数学成绩服从正态分布()95,100N．如果李明同学在这次考试中的数学成绩是115分，那么他的数学成绩大约排在全市的名次为（）附：若()2~,XN，则()0.6827PX−+=，()220.9545

PX−+=A.98B.196C.392D.1365【答案】B【解析】【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】由理科学生的数学成绩服从正态分布()95,100N可知95=，10=.而115=95+

20，又()220.9545PX−+=，所以()10.95451150.022752PX−==，又0.022758600195.65=，所以该学生的数学成绩大约排在全市的名次为196．故选：B.10.已知点12,FF分别是等轴双曲线()2222:10,0xyCabab−=

的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，122FFOP=，12PFF△的面积为8，则双曲线C的方程为（）A.22122xy−=B.22144xy−=C.22166xy−=D.22188xy−=【答案】D【解析】【分析】由122FFOP=得12PFPF⊥，然后由三角

形面积、双曲线的定义、勾股定理联立可求得a得双曲线方程．【详解】122FFOP=，O是12FF的中点，所以12PFPF⊥，ab=，则2ca=，1212122221218228PFFSPFPFPFPFaPFPFa==−=+=，解得22a=，所以双曲线方程为22188xy−=．故选：D．

11.2022北京冬奥会期间，志愿者指挥部随机安排甲、乙等5名志愿者参加冰壶、冰球、短道速滑、花样滑冰4个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（

）A.14B.16C.110D.116【答案】C【解析】【分析】根据题意可知：有且仅有两人安排到了同一个比赛项目，利用捆绑法可求所有的安排有2454CA240=种，甲被安排到了冰壶有两种可能：冰壶安排了两人和冰壶没有安排两

人，分别运算求和，甲、乙被安排到冰壶的所有安排有33A6=种，根据古典概型分别求()PA，()PAB，再结合条件概率公式求解．【详解】由题意可得：所有的安排有2454CA240=种甲被安排到了冰壶的所有安排有423443ACA60+=种，记“甲被

安排到了冰壶”为事件A，则()6012404PA==记“乙也被安排到冰壶”为事件B，则甲、乙被安排到冰壶的所有安排有33A6=，则()6124040PAB==在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率()()()1|10PABPB

APA==故选：C．12.已知向量()()1,1,sin,cosaxbxx=+=，函数()fxab=．若对于任意的12,0,2xx，且12xx，均有()()1212xxfxfxee−−成立，则实数的

取值范围为（）A.)0,+B.)1,+C.(,1−D.(,0−【答案】B【解析】【分析】由题意可得()(1)sincosfxxxx=++，则()(1)cos0fxxx=+在0,2上恒成立，不妨设12xx，则原不等式可转化为1212()

e()exxfxfx−−，构造函数()()exhxfx=−，再利用导数研究函数的性质即可求得实数的取值范围【详解】由题意得()(1)sincosfxxxx=++，则()sin(1)cossin(1)cosfxxxxxxx=++−=+，当0,2x

时，()0fx恒成立，所以()fx在0,2上为增函数，不妨设12xx，则12()()fxfx，因为12eexx，所以()()1212xxfxfxee−−等价于2121()()eexxfxfx−−，即1212()e()exxfxfx−−，令()()e

(1)sincosexxhxfxxxx=−=++−，0,2x，所以可知()hx在0,2上为减函数，所以()(1)cose0xhxxx=+−在0,2上恒成立，即(1)cosexxx+在0,2上

恒成立，令(1)cos()exxxgx+=，则()()()()2cos1sine1cosesinsincos0eexxxxxxxxxxxxxxgx−+−+−−−==，所以()gx在0,2

上为减函数，所以max()(0)1gxg==，所以1，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决恒成立问题，解题的关键是判断出()fx在0,2上为增函数，不妨设12xx，将原不等式转化为1212()e()exxfxfx

−−恒成立，构造函数()()exhxfx=−，可得()hx在0,2上为减函数，再分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题二、填空题：本大题共4小题

，每小题5分，共20分．13.已知直线30xy−+=与圆()2219xy−+=相交于,AB两点，则AB=__________．【答案】2【解析】【分析】求出圆心到直线的距离d，再利用弦长公式，求得弦长.【详解】根据圆的方程：()2219xy−+=

，圆心坐标()1,0，半径3r=，∴圆心到直线距离42211d==+，所以2222982ABrd=−=−=，故答案为：2.14.设随机变量()1~,0.4,22XBnYX=+，若()6EY=，则()DY=__________．【答案】1.2【解析】【分析】根据条件求出n，然后可得答案

.【详解】因为()~,0.4XBn，所以()0.4EXn=，()0.40.60.24DXnn==，因为122YX=+，()6EY=，所以()()1262EYEX=+=，所以()0.48EXn==，所以20n=，所以()4.8DX=，所以()()11

.24DYDX==，故答案为：1.215.中国古代数学史有许多光辉灿烂的篇章，“杨辉三角”就是其中十分精彩的一页．如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为

nS，则20S=__________．【答案】285【解析】【分析】分奇偶讨论，求出数列的通项公式，然后可求出答案．【详解】n为偶数时，22nna+=，n为奇数时，11a=，33a=，2132nnnnnaaaa+++=+=+，312aa−=，533aa−=，，212nnnaa−+−=，上

面各式相加可得2111143123...(1)22228nnnnnna+++++=++++=+=．所以131517191202024618()Saaaaaaaaaa=+++++++++++(13655)(

23451011)22065285=+++++++++++=+=，故答案为：285．16.如图，直角梯形ABCD中，四边形BCDE为正方形，3ABBC=，将ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体ABCDE−中有如下

描述：①ABCE^；②平面ABC⊥平面ADC；③AB与DE所成角的正切值是2；④直线EA与平面ADB所成角为45以上描述正确的有_____________．(把所有正确描述的序号都填上)【答案】①②③【解析】【分析】利用线面垂直即可证得ABCE^进而肯定①；依据面面垂直判定

定理即可证得平面ABC⊥平面ADC进而肯定②；求得AB与DE所成角的正切值判断③；求得直线EA与平面ADB所成角判断④【详解】直角梯形ABCD中，四边形BCDE为正方形，3ABBC=，将ABE沿BE边折起，折起后A点在平面B

CDE上的射影为D点，则AD⊥平面BCDE，选项A：连接CEBD、，设CEBDF=由四边形BCDE为正方形，则CEBD⊥，又ADCE⊥,ADBDD=则CE⊥平面ABD，又AB平面ABD，则ABCE^.判断正确；选项B：由四

边形BCDE为正方形，AD⊥平面BCDE，可得BCCD⊥，BCAD⊥，又ADCDD=则BC⊥平面ADC，又BC平面ABC，则平面ABC⊥平面ADC.判断正确；选项C：连接AC，由//BCDE，可得ABC为AB与DE所成角或其补角由BC⊥平面ADC，可得BC

AC⊥，则ABC为AB与DE所成角RtABC△中，BCAC⊥，3ABBC=，则2ACBC=则tan2ABC=，则AB与DE所成角的正切值是2.判断正确；选项D：连接AF，由CE⊥平面ABD，可知EAF为直线EA与平面ADB所成角正方形BCDE

中，2BDBC=，又3ABBC=，AD⊥平面BCDE，则ADBC=，则2AEBC=，62AFBC=,则3cos2EAF=又π02EAF，则π6EAF=，则直线EA与平面ADB所成角为30.判断错误.故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题

，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设数列na的前n项和为nS，已知11,0naa=，再从以下三个条件中，任意选择一个，并解决下面两个问题．①11nnSa+=−；②1lnln2lnnnaa+−=；③221

120nnnnaaaa++−−=．（1）求数列na的通项公式，（2）若数列nb满足21lognnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②③答案均相同，12nna−=（2）选①②③答案均相同

，12nnTn+=【解析】【分析】（1）选①，由11nnnSSa++−=得出nS的递推关系，确定{1}nS+是等比数列，求出nS后再求na；选②，由对数的性质得出数列{}na是等比数列，从而得通项公式；选③，由已知式变形可得数列{}na是等比数列，从而得通项公式；（2）用借位相减法求和

．【小问1详解】选①，11nnSa+=−；11nnnSSS+=−−，112(1)nnSS++=+，又11112Sa+=+=，所以{1}nS+是等比数列，公比为2，11222nnnS−+==，所以21nnS=−，2n时，112nnnnaSS−−=−=，而a1=1符合，综上，12nna−=；选②

，1lnln2lnnnaa+−=，即1lnln2lnln(2)nnnaaa+=+=，所以12nnaa+=，又11a=，所以{}na是等比数列，公比为2，所以12nna−=；选③，221120nnnnaaaa++−−=，11(2)()0nnnnaaaa+

+−+=，因为0na，所以12nnaa+=，而11a=，所以{}na是等比数列，公比为2，所以12nna−=；【小问2详解】选①②③均相同：由（1）得122log2(1)2nnnnbn+==+，则22232(1)2nnTn=++++231222322(1)2nnnTnn+=+++

++，两式相减得123114(12)22222(1)24(1)212nnnnnTnn−++−−=++++−+=+−+−12nn+=−，所以12nnTn+=．18.已知函数()π12sincos42fxxx=+

−．（1）求函数()fx的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数()fx的图象向右平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数()ygx=的图象，求函数()ygx=在区间0,π上的值域．【答案

】（1）π，()π5ππ,πZ88kkk++（2）12,22−【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得()2πsin224fxx=+，代入最小正周期2πT=运算求解，再以π24x+为整体结合正弦函数可得ππ3

π2π22π,Z242kxkk+++，运算求解()fx的单调递减区间；（2）根据图像变换可得()2πsin24xxg−=，以π4x−为整体结合正弦函数图像求值域．【小问1详解】()2π1ππ112s

incos2sincoscossincossincoscos424422fxxxxxxxxx=+−=+−=+−11cos21112πsin2sin2cos2sin22222224xxxxx+=+−=+=+∴()fx的最小正周期为2ππ2T==

∵ππ3π2π22π,Z242kxkk+++，则π5πππ,Z88kxkk++∴()fx的单调递减区间为()π5ππ,πZ88kkk++【小问2详解】根据题意可得：将函数()fx的图象向右平移π4个单位长度，得到2ππ2πsin2sin224424yxx=−

+=−再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则()2πsin24xxg−=∵0,πx，则ππ3π,444x−−∴π2sin,142x−−，则()12,22gx

−即函数()ygx=在区间0,π上的值域为12,22−．19.甲、乙两人进行定点投篮游戏，规则是一人投篮，若投中，则继续投篮，否则由另一人投篮．已知第一次由甲投篮，每次投篮甲、乙命中的概率分别为1,3

14．（1）求第三次仍由甲投篮的概率；（2）在前3次投篮中，记甲投篮的次数为X，求X的分布列和期望【答案】（1）1118（2）X的分布列见解析，35()18EX=.【解析】【分析】（1）第三次由甲投篮包括第一次甲命中第二次甲命中和

第一次甲未命中第二次乙未命中，进而结合概率乘法公式即可求出结果；（2）求出X的可能取值及对应的概率，进而列出分布列，根据期望的公式即可求出结果.【小问1详解】因为第三次由甲投篮包括第一次甲命中第二次甲命中和第一次甲未命中第二次乙未命中，所以11111111333418P=+

−−=（）（）;【小问2详解】的在前3次投篮中，记甲投篮的次数为X,则X的所有取值为1,2,3111(1)1346PX==−=，111113(2)111343318PX==−−+−=

，111(3)339===PX故X的分布列为：X123P16131819()113135123618918EX=++=.20.如图所示，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACCA为菱形，160,2AAC

AC==，侧面11CBBC为正方形，平面11ACCA⊥平面ABC，点M为1AC的中点，点N为AB上的动点，设ANNB=．（1）当为何值时，//MN平面11BCCB？并加以证明．（2）求三棱锥111BABC−的体积．【答案】（1）1=，详见解析；（2）233.【解析】【分析】（1）由三角形

中位线得到1//MNBC，再利用线面平行的判定定理证明.（2）取AC的中点H，利用面面垂直的性质定理可得1AH⊥平面ABC，利用线面垂直的判定定理得到BC⊥平面11ACCA，然后利用棱锥的体积公式即得.【小问1详解】当1=，即点N为AB中点时，

//MN平面11BCCB.的连接11,ACBC，因为11ACCA为菱形，点M为1AC的中点，所以11ACACM=.又点M为1AC的中点，点N为AB的中点，所以1//MNBC，而1BC平面11BCCB，MN平面11BCCB，所以//MN平面11BCCB.【小问2详解】侧面11ACC

A为菱形，160AAC=，1AAC△为等边三角形，112AAACAC===，取AC的中点H，连1AH，则1AHAC⊥，13AH=，又平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC=，1AH平面11AACC，1AH⊥平面ABC，即三棱柱111ABCABC-的高为3，1AH

BC⊥，而11CBBC为正方形，1BCCC⊥，又11//AACC，1BCAA⊥，又111AAAHA=，BC⊥平面11ACCA，AC平面11ACCA，则BCAC⊥，所以111ABC△面积为12222S=

=，∴三棱锥111BABC−的体积为1111111232333BABBABCCVV−−===.21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，一个焦点1F与抛物线242yx=−的焦点重合．的（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:lykxm

=+交C于,AB两点，直线1FA与1FB关于x轴对称，证明：直线l恒过一定点．【答案】（1）22142xy+=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题可得()12,0F−，进而可得2a=，即得；（2）利用韦达定理法，利用斜率互为相反数得k与m的一次关系即得.【小问1详解】由242yx=−

，可得()12,0F−，∴2c=，又离心率为22，∴2a=，22b=，∴椭圆C的方程为22142xy+=.【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，由22142ykxmxy=++=，可

得()222214240kxmkxm+++−=，∴()()()2224421240mkkm=−+−，可得2242mk+，2121222424,2121mkmxxxxkk−+=−=++，由直线1FA与1FB关于x轴对称，∴11

0FAFBkk+=，即1212022yyxx+=++，∴()()()()()()1221122122220yxyxkxmxkxmx+++=+++++=，即()12122(2)220kxxkmxxm++++=，∴2222442(2)2202121

mmkkkmmkk−++−+=++，可得22mk=，所以直线l方程为(22)ykx=+，恒过定点()22,0−.22.已知函数()()21lnRfxaxxa=−−．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()fx在22x=处取

得极值，对任意()()0,,1xfxbx+−恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）1b.【解析】【分析】（1）求出()fx，然后分0a、0a两种情况可得答案；（2）根据条件求出a的值，然后利用分离变量法求解即可.【小问1详解】因为()21lnfxaxx=−

−，所以()()212120axfxaxxxx−=−=，当0a时，()0fx，()fx在()0,+上单调递减，当0a时，由()0fx¢>可得22axa，由()0fx可得202axa，所以()f

x20,2aa上单调递减，在2,2aa+上单调递增，综上：当0a时，()fx在()0,+上单调递减，当0a时，()fx在20,2aa上单调递减，在2,2aa+上单调递增，【

小问2详解】因为()fx在22x=处取得极值，所以结合（1）可得2222aa=，即1a=，所以()21lnxxfx=−−，在所以由()1fxbx−可得lnxbxx−，令()lnxxxhx=−，则()222111lnlnxhxxxxx−−+=−=，当()0,1x时

，210,ln0xx−，即()0hx，()hx单调递减，当()1,x+时，210,ln0xx−，即()0hx，()hx单调递增，所以()()min11bhxh==.所以实数b的取值范围是1b.获得更

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