【文档说明】广东省佛山市顺德区十一校联盟2020-2021学年高二下学期第二次月考考试（5月）数学试卷【精准解析】.docx，共(17)页，163.904 KB，由小赞的店铺上传

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1广东省佛山市顺德区十一校联盟2020-2021学年高二下学期数学第二次考试（5月）试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确）1.已知复数𝑧满足(3+4𝑖)𝑧=7+𝑖，则𝑧的共轭复数𝑧̅的虚部是（）A.𝑖B.1C.-1D.−𝑖2.已知随机

变量𝑋服从正态分布𝑁(𝑎,4)且𝑃(𝑋>1)=0.5,则实数𝑎=（）A.1B.√3C.2D.43.某同学对如右图所示的小方格进行涂色一种颜色，若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（）A.1

2B.36C.24D.484.随机变量𝑋的分布列如下表：𝑋-101𝑃𝑎𝑏𝑐其中𝑎，𝑏，𝑐成等差数列，则𝑃(|𝑋|=1)=（）A.14B.13C.12D.235.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻

的不同排法种数是（）A.576B.432C.388D.2166.某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（）A.38B.310

C.311D.357.函数𝑓(𝑥)=(𝑥2−2𝑥)𝑒𝑥的图像大致是（）A.B.C.D.28.已知函数𝑓(𝑥)={1𝑥,𝑥<0ln𝑥,𝑥>0,𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥−𝑎，若𝑔(𝑥)恰有3

个零点，则实数𝑎的取值范围是（）A.𝑎<−2B.𝑎<−1C.𝑎>1D.𝑎>2二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，有漏选得2分，有错选得0分）9.据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050

年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是()A.到2050已经退休的人数将超过30%B.2050年中国46−55岁的人数比16−25岁的人数多30%C.2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍D.若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在36−45

岁之间的概率为(110)5×(910)510.下列关于说法正确的是（）A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数𝑋服从两点分布C.小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件𝐴

=“4个人去的景点不相同”，事件𝐵=“小赵独自去一个景点”，则𝑃(𝐴|𝐵)=29D.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为𝛺={1,2,3,4,5,6}，令事件𝐴={2,3,5}，事件𝐵={1,2}，则事件A，𝐵独立11.有6本不

同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A.分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B.分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D.分给甲乙丙丁

四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；12.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥有两个零点𝑥1，𝑥2，且𝑥1<𝑥2，则下列选项正确的是（）3A.𝑎∈(0,1𝑒)B.𝑦=𝑓(𝑥)

在(0,𝑒)上单调递增C.𝑥1+𝑥2>6D.若𝑎∈(2𝑒2,1𝑒)，则𝑥2−𝑥1<2−𝑎𝑎三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题的第一个空3分，第二个空2分）13.已知随机变量𝑋的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)=13,𝑘=1,2,3，则𝐷

(3𝑋+5)=________．14.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，𝑋表示取到的次品数，则𝑃(𝑋=2)_________15.直线𝑦=𝑥与曲线𝑦=2ln(𝑥+𝑚)相切，则𝑚=________．16.若(1+𝑥)(1−2𝑥)7=𝑎0+𝑎1�

�+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎8𝑥8，则𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎7的值是________；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有________种不同的取法（用数字作答）.四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答题须写出文字说

明或演算步骤）17.已知(2𝑥+1√𝑥)𝑛展开式中前三项的二项式系数和为16.（1）求𝑛的值；（2）求展开式中含𝑥2的项的系数.18.已知复数𝑧1=𝑎+2𝑖，𝑧2=3−4𝑖(𝑎∈𝑅，𝑖为虚数单位).（1）若𝑧

1·𝑧2是纯虚数，求实数𝑎的值.（2）若复数𝑧1·𝑧2在复平面上对应的点在第二象限，且|𝑧1|≤4，求实数𝑎的取值范围.19.某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有𝐴，𝐵，𝐶三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他

们考相同的试卷已知甲考生对𝐴，𝐵，𝐶三道题中的每一题能解出的概率都是23，乙考生对𝐴，𝐵，𝐶三道题能解出的概率分别是34，23，12，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．（1）求甲至少能解出两道题的概率；（2）设𝑋表示乙在考试中能解出题的道数，求𝑋的数学

期望；（3）按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．20.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电

子产品需投入固定成本2万元，每生产𝑥万件，需另投入流动成本𝐶(𝑥)万元，当年产量小于7万件时，𝐶(𝑥)=13𝑥2+2𝑥（万元）；当年产量不小于7万件时，𝐶(𝑥)=6𝑥+ln𝑥+𝑒3𝑥−17（万元）.已

知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润𝑃(𝑥)（万元）关于年产量𝑥（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取𝑒

3=20）.421.2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可

以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率𝑍服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2).假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记𝑋表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于𝜇−3𝜎的数量.（1）求𝑃(𝑋≥1)的概率；（2）求𝑋的数学

期望𝐸(𝑋)；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率𝑍小于或等于𝜇−3𝜎的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量𝑍∼𝑁(𝜇

,𝜎2)，则𝑃(𝜇−𝜎<𝑍≤𝜇+𝜎)=0.6827，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑍≤𝜇+2𝜎)=0.9545，𝑃(𝜇−3𝜎<𝑍≤𝜇+3𝜎)=0.9973，0.9986510≈0.987122

.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥−𝑎𝑥．（1）若𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增，求𝑎的取值范围；（2）设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎2𝑥2，若𝑔(𝑥)有三个不同的零点，求𝑎的取值范围．答案解析部分一、单选题（本大题

共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确）1.已知复数𝑧满足(3+4𝑖)𝑧=7+𝑖，则𝑧的共轭复数𝑧̅的虚部是（）A.𝑖B.1C.-1D.−𝑖【答案】B【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：由题意得𝑧=7+

𝑖3+4𝑖=(7+𝑖)(3−4𝑖)(3+4𝑖)(3−4𝑖)=1−𝑖，则𝑧=1+𝑖，故答案为：B【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可2.已知随机变量𝑋服从正态分布𝑁(𝑎,4)且𝑃(𝑋>1)=0.5,则实数𝑎=（）A.1B.√3C.2D.4【

答案】A【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：根据正态分布的定义易知P(X>a)=0.5，则a=1，故答案为：A【分析】根据正态分布直接求解即可.3.某同学对如右图所示的小方格进行涂色一种颜色，若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（）5A.12B.36

C.24D.48【答案】C【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】解：第一步，在第一行中任意选一格涂色，方法种数为𝐶41=4；第二步，在第二行除与第一行涂色的格所在列的3个小格中任选一格涂色，方法种数为𝐶31

=3；第三步，在第三行除第一行及第二行涂色的格所在的列外的2个小格中任取一格涂色，方法种数为𝐶21=2；第四步，在第四行找到所在列都没有涂色的格涂色有1种方法.根据分步乘法计数原理得共有方法种数为4x3x2x1=24.

故答案为：C.【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.4.随机变量𝑋的分布列如下表：𝑋-101𝑃𝑎𝑏𝑐其中𝑎，𝑏，𝑐成等差数列，则𝑃(|𝑋|=1)=（）A.14B.13C.12D.23【答案】

D【考点】等差数列的性质，离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：由题意得{𝑎+𝑏+𝑐=12𝑏=𝑎+𝑐)，则{𝑎+𝑐=23𝑏=13),所以P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=a+

c=23.故答案为：D【分析】根据分布列的性质，结合等差数列的性质求解即可.5.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（）A.576B.432C.388D.216【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题6【解析】【解答】由题意，先选2个女

生捆绑看做一个整体：𝐴32=6，然后将男生全排列再将女生插空：𝐴33⋅𝐴42=6×12=72，所以不同的排法有6×72=432种.故答案为：B.【分析】先选2个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可。6.某

地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（）A.38B.310C.311D.35【答案】D【考点】

条件概率与独立事件【解析】【解答】记事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“另一名主任医师被选派”，则𝑃(𝐴)=𝐶11𝐶42𝐶32+𝐶43𝐶11𝐶31𝐶53𝐶42=12，𝑃(𝐴𝐵)=𝐶22𝐶42𝐶31𝐶

53𝐶42=310则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=31012=35.故答案为：D【分析】根据条件概率的定义和求法直接求解即可.7.函数𝑓(𝑥)=(𝑥2

−2𝑥)𝑒𝑥的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】B【考点】函数的值域，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：由题意得f'(x)=(x2-2)ex，则当𝑥∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞)，f'(x)>0，f(x

)单调递增，当𝑥∈(−√2，√2)，f'(x)<0，f(x)单调递减，排除AD，当x<0时，x2-2x>0，ex>0，则f(x)>0，排除C.故答案为：B【分析】利用导数研究函数的单调性，结合函数的值域求解即

可.8.已知函数𝑓(𝑥)={1𝑥,𝑥<0ln𝑥,𝑥>0,𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑥−𝑎，若𝑔(𝑥)恰有3个零点，则实数𝑎的取值范围是（）A.𝑎<−2B.𝑎<−1C.𝑎>1D.𝑎>2【答案】B【考点】导数

的几何意义，函数零点的判定定理，函数的零点7【解析】【解答】解：作出函数f(x)的图象如图所示，g(x)=f(x)-x-a恰有三个零点，等价于f(x)=x+a恰有三个交点，设直线l2：y=x+a，则可设与直线l2平行且与f(x)=lnx相切的直线l1为y=x+b，设切点为（x0,y0），由f

(x)=lnx得𝑓′(𝑥)=1𝑥，则𝑘=𝑓′(𝑥0)=1𝑥0=1，解得x0=1，y0=0，则切点为（1,0），故切线l1为y=x-1，所以a<-1故答案为：B【分析】利用导数的几何意义，结合函数的零

点的几何意义，运用数形结合思想求解即可.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，有漏选得2分，有错选得0分）9.据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口

比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是()8A.到2050已经退休的人数将超过30%B.2050年中国46−55岁的人数比16−25岁的人数多30%C.2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1

.5倍D.若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在36−45岁之间的概率为(110)5×(910)5【答案】A,C【考点】随机事件【解析】【解答】解：饼状图知2050年中国将有约32%的人已经退休，所以A正确；设46-55岁的人数为16x人，16--25岁的人数为13x人，则4

6--55岁的人数比16--25岁的人数多16𝑥−13𝑥13𝑥≈23%，所以B错误；25岁以上未退休的人口数占48%，已退休人口数占32%,所以25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍，所以C正确;年龄在36-45岁之间的概率为110，从所有人中抽取10人，则抽到5人的年龄在

36-45岁之间的概率为𝐶105(110)5(910)5,所以D错误,故答案为：AC.【分析】利用饼状图，根据随机事件的概率的求法直接求解即可.10.下列关于说法正确的是（）A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.某人射击时命

中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数𝑋服从两点分布C.小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件𝐴=“4个人去的景点不相同”，事件𝐵=“小赵独自去一个景点”，则𝑃(𝐴|𝐵)=2

9D.抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为𝛺={1,2,3,4,5,6}，令事件𝐴={2,3,5}，事件𝐵={1,2}，则事件A，𝐵独立【答案】A,C,D【考点】相互独立事件，离散型随机变量及其分布列，条件概率与独立事件，

二项分布与n次独立重复试验的模型9【解析】【解答】解：对于A：抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0,也可能是1,所以出现正面的次数是随机变量，故A正确;对于B：某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次是三次独立重复试验，命中的次数x服从二项分布B(

3,0.5)，而不是两点分布，故B不正确;对于C：由题意得𝑃(𝐴𝐵)=4×3×2×144=116，𝑃(𝐵)=4×3344=2764，则𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=1162

764=29，故C正确；对于D：根据事件独立性的定义易得事件A,B是独立的，故D正确.故答案为：ACD.【分析】根据随机变量的定义可判断A，根据二项分布的定义可判断B，根据条件概率的定义可判断C，根据独立事件的定义可判断D.11.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正

确的是（）A.分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B.分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D.分给甲乙丙丁四人，有两人各

2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】A,B,C【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：对于A，先从6本书中分给甲2本，有𝐶62种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有𝐶42种方法；最后的2本书给丙，有𝐶22种方法所以不同的分配方法有

𝐶62𝐶42𝐶22=90种，故A正确;对于B，先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有𝐶64种方法;再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有𝐶64𝐴33=90种，故B正确;对于C,6本不同的书先分给甲乙每人各2本,有𝐶62𝐶

42种方法；其余2本分给丙丁,有𝐴22种方法所以不同的分配方法有𝐶62𝐶42𝐴22=180种，故C正确;对于D，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有𝐶62𝐶42𝐴22·𝐶21𝐶11𝐴22种方法，再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有𝐶

62𝐶42𝐴22·𝐶21𝐶11𝐴22·𝐴44=1080种，故D错误.故答案为：ABC【分析】根据全部平均分组不定向分配问题的解法即可判断A；根据部分平均分组不定向分配问题的解法即可判断B；根据部分平均分组定向分配问题的解法即可判断C

，根据部分平均分组不定向分配问题的解法即可判断D.12.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥有两个零点𝑥1，𝑥2，且𝑥1<𝑥2，则下列选项正确的是（）10A.𝑎∈(0,1𝑒)B.𝑦=𝑓(𝑥)在(0,𝑒)上单调递增C.𝑥1+𝑥2>6D.

若𝑎∈(2𝑒2,1𝑒)，则𝑥2−𝑥1<2−𝑎𝑎【答案】A,B,D【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，函数的零点【解析】【解答】解：令f(x)=lnx-ax=0(x>0)，则𝑎=ln𝑥𝑥,记𝑔(𝑥)=ln

𝑥𝑥(x>0)则令𝑔′(𝑥)=1−ln𝑥𝑥2=0，得x=e,当x∈（0，e）时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈（e，+∞）时，g'(x)<0，g(x)单调递减；且当x趋近于0时，g(x)趋近于-

∞，当x趋近于+∞时，g(x)趋近于0，所以g(x)max=g(e)=1𝑒，作出函数g(x)的图象，如图所示，对于A，有题意知y=a与y=g(x)有两个交点，且交点的横坐标为x1,x2，所以𝑎∈(0,

1𝑒)，故A正确；对于B，因为𝑓′(𝑥)=1𝑥−𝑎=1−𝑎𝑥𝑥,所以当𝑥∈(0,1𝑎)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，又因为𝑎∈(0,1𝑒)，所以1𝑎∈(𝑒,+∞),所以(0,𝑒)⊂(0,1𝑎)，所以y=f(x)在（0，e）上单调递增，故

B正确；11对于C，当a趋近于1𝑒时，x1+x2趋近于2e<6，故C错误；对于D，因为f(x)在(0,1𝑎)上单调递增，在(1𝑎，+∞)上单调递减，且𝑎∈(2𝑒2,1𝑒),所以1∈(0,1𝑎),𝑥1∈(0,1𝑎),2𝑎∈(1𝑎,+∞),𝑥2

∈(1𝑎,+∞)，所以f(1)=-a<0=f(x1)，则x1>1，因为𝑓(2𝑎)=ln2𝑎−2<ln𝑒2−2=0=𝑓(𝑥2)所以𝑥2<2𝑎则𝑥2−𝑥1<2𝑎−1=2−𝑎𝑎，故D正确.故答案为：ABD.【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数零点的几何意义，运用

数形结合的思想求解即可.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题的第一个空3分，第二个空2分）13.已知随机变量𝑋的分布列为𝑃(𝑋=𝑘)=13,𝑘=1,2,3，则𝐷(3𝑋+5)=________．【答案】6【考点】离散型随机变量的期望

与方差【解析】【解答】解：由题意得𝐸(𝑋)=1×13+2×13+3×13=2，𝐷(𝑋)=(1−2)2×13+(2−2)2×13+(3−2)2×13=23则𝐷(3𝑋+5)=32𝐷(𝑋)=9×23=6.故答案为：6【分析】根据离散型随机变量的期望与方差公式直接求解即可.14.在含

有3件次品的10件产品中，任取4件，𝑋表示取到的次品数，则𝑃(𝑋=2)_________【答案】310【考点】超几何分布，超几何分布的应用【解析】【解答】解：由题意知X服从超几何分布，其中N=10,M=3,n=4，则𝑃(𝑋=2)=𝐶32�

�72𝐶104=310故答案为：310【分析】根据超几何分布的概率求法直接求解即可.15.直线𝑦=𝑥与曲线𝑦=2ln(𝑥+𝑚)相切，则𝑚=________．【答案】2−2ln2【考点】导数的几何

意义12【解析】【解答】解：由y=2ln(x+m)得𝑦′=2𝑥+𝑚(𝑥>−𝑚)设切点坐标为（x0,y0）则{𝑥0=2ln(𝑥0+𝑚)1=2𝑥0+𝑚)，解得x0=2ln2,m=2-2ln2故答案为：2-2ln2【分析】根据导数的几何意义求解即可.16

.若(1+𝑥)(1−2𝑥)7=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎8𝑥8，则𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎7的值是________；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有________种不同的取法（用数字作答）.【答案】125；

35【考点】二项式定理，二项式定理的应用，排列与组合的综合【解析】【解答】解：令x=1，得a0+a1+a2+……+a8=-2，又𝑎0=𝐶701720=1，𝑎8=𝐶77(−2)7=−128，则a1+a2+……+a7=-2-1-（-128）=125；任取三

项有𝐶93=84种取法,若三项都相邻，则有7种取法，若只有两项相邻有6x2+5x6=42种取法,则三项均不相邻取法有84-7-42=35种取法.故答案为：125；35【分析】根据二项式定理，运用赋值法即可求解第一空，利用间接法即可求解第二空.四、解答题（本题共6

小题，其中17题10分，其余各题12分，解答题须写出文字说明或演算步骤）17.已知(2𝑥+1√𝑥)𝑛展开式中前三项的二项式系数和为16.（1）求𝑛的值；（2）求展开式中含𝑥2的项的系数.【答案】（1）由题意，(2𝑥+1√�

�)𝑛展开式中前三项的二项式系数和为16.即：𝐶𝑛0+𝐶𝑛1+𝐶𝑛2=1+𝑛+𝑛(𝑛−1)2=16解得：𝑛=5或𝑛=−6（舍去），即𝑛的值为5.（2）由通项公式𝑇𝑘+1=𝐶5𝑘(2𝑥)5−𝑘(1√𝑥)𝑘=𝐶5𝑘25−𝑘𝑥5

−3𝑘2，令5−32𝑘=2，可得：𝑘=2.所以展开式中含𝑥2的项为𝑇2+1=𝐶5225−2𝑥5−62=80𝑥2，故展开式中含𝑥2的项的系数为80.【考点】二项式定理，二项式定理的应用13【解析】【分析】（1）根据二项式定理及二项式系数直接求解即可

；（2）根据通项公式，运用赋值法求解即可.18.已知复数𝑧1=𝑎+2𝑖，𝑧2=3−4𝑖(𝑎∈𝑅，𝑖为虚数单位).（1）若𝑧1·𝑧2是纯虚数，求实数𝑎的值.（2）若复数𝑧1·𝑧2在复平面上对应的点在第二象限，且|𝑧1|≤4，求实数𝑎的取值范围.【答案】（1

）依据𝑧1⋅𝑧2=(𝑎+2𝑖)⋅(3−4𝑖)=(3𝑎+8)+(−4𝑎+6)𝑖根据题意𝑧1⋅𝑧2是纯虚数，故3𝑎+8=0，且(−4𝑎+6)≠0，故𝑎=−83；（2）依|𝑧1|≤4⇒𝑎2+4≤16⇒𝑎2≤12⇒−2√3≤𝑎≤2√3，根据题意𝑧1⋅𝑧2在复平面

上对应的点在第二象限，可得{3𝑎+8<0−4𝑎+6>0即𝑎<−83综上，实数的取值范围为{𝑎|−2√3≤𝑎<−83}【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【分析】（1）根据复数的运算，结合纯虚数

的定义求解即可；（2）根据复数的几何意义求解即可.19.某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有𝐴，𝐵，𝐶三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对𝐴，𝐵，𝐶三道题中的每一题能解出的概率都是23，乙考生对𝐴，𝐵，𝐶三道题能解出的概率分别是34，23，

12，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．（1）求甲至少能解出两道题的概率；（2）设𝑋表示乙在考试中能解出题的道数，求𝑋的数学期望；（3）按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．【答案】（1

）依题意，甲至少能解出两道题的概率𝑃=C32(23)2(1−23)+C33(23)3=2027（2）由题意知，𝑋的所有可能取值为0，1，2，3则𝑃(𝑋=0)=(1−34)(1−23)(1−12)=124；𝑃(𝑋=1)=34

(1−23)(1−12)+(1−34)×23×(1−12)+(1−34)(1−23)×12=624=14；𝑃(𝑋=2)=34×23(1−12)+34(1−23)×12+(1−34)×23×12=1124；𝑃(𝑋=3)=34×23×12=624

=14．．故𝑋的数学期望𝐸(𝑋)=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312（道）14（3）设𝑌表示甲在考试中能解出题的道数，则𝑌服从二项分布，即𝑌~𝐵(3,23)知𝑌的数学期望𝐸

(𝑌)=3×23=2因为𝐸(𝑌)>𝐸(𝑋)，故甲应该被录取【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【分析】（1）根据独立事件和互斥事件的概率求法直接求解即可；（2）

根据随机变量的期望公式，结合独立事件和互斥事件的概率公式求解即可；（3）根据二项分布的期望公式求得E(Y)，结合（2），比较E(X)，E(Y)的大小即可判断.20.某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一

小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产𝑥万件，需另投入流动成本𝐶(𝑥)万元，当年产量小于7万件时，𝐶(𝑥)=13𝑥2+2𝑥（万元）；当年产量不小于7万件时，𝐶(𝑥)=6𝑥+ln𝑥+𝑒3𝑥−17（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当

年能全部售完.（1）写出年利润𝑃(𝑥)（万元）关于年产量𝑥（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？

（取𝑒3=20）.【答案】（1）解：因为每件产品售价为6元，则𝑥万件商品销售收入为6𝑥万元，由题意可得，当0<𝑥<7时，𝑃(𝑥)=6𝑥−𝐶(𝑥)−2=6𝑥−13𝑥2−2𝑥−2=−

13𝑥2+4𝑥−2；当𝑥≥7时，𝑃(𝑥)=6𝑥−𝐶(𝑥)−2=6𝑥−(6𝑥+ln𝑥+𝑒3𝑥−17)−2=15−ln𝑥−𝑒3𝑥；所以𝑃(𝑥)={−13𝑥2+4𝑥−2,0<𝑥

<715−ln𝑥−𝑒3𝑥,𝑥≥7（2）解：由（1）可得，当0<𝑥<7，𝑃(𝑥)=−13𝑥2+4𝑥−2=−13(𝑥−6)2+10≤10，当且仅当𝑥=6时，等号成立；当𝑥≥7时，𝑃(𝑥)=15−ln𝑥−𝑒3𝑥，则𝑃′(𝑥)=−1𝑥+𝑒

3𝑥2=𝑒3−𝑥𝑥2，所以，当7≤𝑥<𝑒3时，𝑃′(𝑥)>0，即函数𝑃(𝑥)=15−ln𝑥−𝑒3𝑥单调递增；当𝑥>𝑒3时，𝑃′(𝑥)<0，即函数𝑃(𝑥)=15−ln𝑥−𝑒3𝑥单调递减；所以当𝑥=𝑒3时，𝑃(𝑥

)=15−ln𝑥−𝑒3𝑥取得最大值𝑃(𝑒3)=15−ln𝑒3−𝑒3𝑒3=11；综上，当𝑥=𝑒3=20时，𝑃(𝑥)取得最大值11万元；即当年产量为𝑥=𝑒3=20时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.【考点】

根据实际问题选择函数类型，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用15【解析】【分析】(1)根据年利润=销售额-投入的总成本-固定成本，分0<x<7和当x≥7两种情况得到P（x）与x的分段函数关系式；（2）当0<x<7时根据二次函数

求最大值的方法来求L的最大值，当x≥7时，利用导数求P（x）的最大值，最后综合即可．21.2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须

大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率𝑍服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2).假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记𝑋表

示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于𝜇−3𝜎的数量.（1）求𝑃(𝑋≥1)的概率；（2）求𝑋的数学期望𝐸(𝑋)；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率𝑍小于或等于𝜇−3𝜎的口罩，就认为这条生产线在这一

天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量𝑍∼𝑁(𝜇,𝜎2)，则𝑃(𝜇−𝜎<𝑍≤𝜇+𝜎)=0.6827，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑍≤𝜇+2𝜎

)=0.9545，𝑃(𝜇−3𝜎<𝑍≤𝜇+3𝜎)=0.9973，0.9986510≈0.9871【答案】（1）抽取口罩中过滤率在(𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]内的概率𝑃(𝜇−3𝜎<𝑍≤𝜇+3𝜎)=0.99

73，所以𝑃(𝑍≤𝜇−3𝜎)=1−0.99732=0.00135，所以𝑃(𝑍>𝜇−3𝜎)=1−0.00135=0.99865，故𝑃(𝑋≥1)=1−𝑃(𝑋=0)=1−0.9986510=1−0.9871=0.0129．（2

）由题意可知𝑋~𝐵(10,0.00135)，所以𝐸(𝑋)=10×0.00135=0.0135（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于𝜇−3𝜎的概率𝑃(𝑍≤𝜇−3𝜎)=1−0.99732=0.00135，一天内抽取的10只口罩中，出现过滤率小于或等

于𝜇−3𝜎的概率𝑃(𝑋≥1)=0.0129，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产

过程的方法合理【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【分析】（1）根据正态分布的定义直接求解即可；（2）根据二项分布的定义直接求解即可；（3）根据正态分布的3𝜎原则，结合题意求解即可.22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥e𝑥−𝑎𝑥．（1）若𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增，求𝑎的取

值范围；（2）设𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑎2𝑥2，若𝑔(𝑥)有三个不同的零点，求𝑎的取值范围．【答案】（1）解：𝑓′(𝑥)=e𝑥+𝑥e𝑥−𝑎，若𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增，则𝑓′(𝑥)≥0，即e

𝑥+𝑥e𝑥≥𝑎．16设ℎ(𝑥)=e𝑥+𝑥e𝑥，则ℎ′(𝑥)=(𝑥+2)e𝑥，令ℎ′(𝑥)=0得𝑥=−2，当𝑥<−2时，ℎ′(𝑥)<0，当𝑥>−2时，ℎ′(𝑥)>0，所以ℎ(𝑥)≥ℎ(−2)=−1e2，因此𝑎的取值范围为(−∞,−1e2]．（2）解：题意𝑔(�

�)=𝑥e𝑥−𝑎𝑥−𝑎2𝑥2，则𝑔′(𝑥)=e𝑥+𝑥e𝑥−𝑎−𝑎𝑥=(e𝑥−𝑎)(𝑥+1)．若𝑎≤0，𝑔′(𝑥)，𝑔(𝑥)随𝑥变化的情况如下表：𝑥(−∞,−1)-1(

−1,+∞)𝑔′(𝑥)−0+𝑔(𝑥)↘极小值↗此时𝑔(𝑥)不可能有三个零点．若𝑎>0，令𝑔′(𝑥)=0，得𝑥=ln𝑎或𝑥=−1．①若ln𝑎>−1，即𝑎>1e，𝑔′(𝑥)，𝑔(𝑥)随𝑥变化的情况如下表：𝑥(−∞,−1)-1(−1,ln𝑎)ln𝑎(l

n𝑎,+∞)𝑔′(𝑥)+0−0+𝑔(𝑥)↗极大值↘极小值↗要使𝑔(𝑥)有三个不同的零点，需{𝑔(−1)=−1e+𝑎2>0,𝑔(ln𝑎)=−𝑎2(ln𝑎)2<0,得𝑎>2e且𝑎≠1．②若ln𝑎=−1，即𝑎=1e，

此时𝑔′(𝑥)≥0，𝑔(𝑥)单调递增，不可能有三个零点．③若ln𝑎<−1，即0<𝑎<1e，𝑔′(𝑥)，𝑔(𝑥)随𝑥变化的情况如下表：𝑥(−∞,ln𝑎)(ln𝑎,−1)(−1,ln𝑎)-1(−1,+∞)𝑔′(𝑥)+0−0+𝑔(𝑥)

↗极大值↘极小值↗要使𝑔(𝑥)有三个不同的零点，需{𝑔(−1)=−1e+𝑎2<0,𝑔(ln𝑎)=−𝑎2(ln𝑎)2>0,无解．综上所述：𝑎的取值范围是(2e,1)∪(1,+∞)．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】(1)根

据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，由函数的单调性即可得出ℎ(𝑥)≥ℎ(−2)=−1e2进而得出a的取值范围。17(2)首先对函数求导，并𝑔′(𝑥)=0求出x的值，由此对不同取值范围下a的情况分情况讨论，即可得出函数的极值，再分情况讨论ln𝑎<−1、、

ln𝑎=−1以及ln𝑎>−1得出极值的情况由此得出a的取值范围即可。