【文档说明】山东省烟台市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.978 MB，由小赞的店铺上传

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烟台市2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知全集0,1,2,3,4U=，1,3,4A=，0,1,2B=，

则图中阴影部分表示的集合为（）A.0B.2C.0,2D.0,2,4【答案】C【解析】【分析】根据图形可得阴影部分表示的集合为()UABð，求出即可.【详解】根据图形可得阴影部分表示的集合为()UABð,(){

}{}{}0,20,1,20,2UAB\??ð.故选：C.【点睛】本题考查根据图形判断集合运算，属于基础题.2.已知31log2a=，1413b=，131log4c=，则a，b，c的大小关系为（）

A.cabB.cbaC.bcaD.bac【答案】B【解析】【分析】分别判断出a，b，c的范围即可.【详解】因为31log02a=，104110133b==，113311loglog143

c==所以cba故选：B【点睛】本题考查的是指对数式的大小比较，较简单.3.函数()2323lg1xxfxxx++=−++的定义域为（）A.()2,1−−B.(2,3−C.()()13,31,−−−D.()(

2,11,3−−−【答案】D【解析】【分析】求使函数有意义的x取值范围，即解2303201xxxx−+++可得解.【详解】要使函数()fx有意义，只需2303201xxxx−++

+得33(1)(2)01xxxx−+++，即21x−−或13x−所以函数定义域为()(2,11,3−−−，故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域的求法，属于基础题.4.已知函数()221fxxaxa+++

=为偶函数，则()fx在1x=处的切线方程为（）A.20xy−=B.210xy−+=C.220xy−+=D.210xy−−=【答案】A【解析】【分析】根据函数()fx是偶函数可得(1)(1)ff−=，可求出a，求出函数在1x=处的导数值即为切线斜率，即

可求出切线方程.【详解】函数()221fxxaxa+++=为偶函数，(1)(1)ff−=，即2222aaaa-+=++，解得0a=，2()1fxx=+，则'()2fxx=，='(1)2kf\=切，且(1)=2f，切线方程为()221yx−=−，整理得20xy−=.故选：A.【点睛】本题考查

函数奇偶性的应用，考查利用导数求切线方程，属于基础题.5.根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL血液中酒精含量在)20,80（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾

车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】

根据指数函数列不等式，解不等式即得结果.【详解】由题意得20410.8(120%)()710054nnn−故选：C【点睛】本题考查指数函数实际应用、解指数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若函数()()32213afxxaxx+−++=在其定义域上不

单调，则实数a的取值范围为（）A.1a或4aB.4aC.14aD.14a【答案】A【解析】【分析】可知()fx在其定义域上不单调等价于()()232203afxxax=−++=有两个解，利用

即可求解.【详解】可得()()23223afxxax=+−+，()fx在其定义域上不单调等价于方程()232203axax+-+=有两个解，()2424303aa\D=--创>，解得1a或4a.故选：A.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.7.函数()1ln1xfxx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数奇偶性的概念可判断出函数()fx为奇函数，于是排

除选项A和D；再对比选项B和C，只需计算12x=时的函数值y，并与0比较大小即可作出选择．【详解】解：因为11()()11xxfxlnlnfxxx+−−==−=−−+，所以()fx为奇函数，排除选项A

和D；又因为11112()012312flnln−==+，所以排除选项C，故选：B．【点睛】本题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.已知函数()21xxefex−=，若()()313l

oglog21fxfxf−，则x的取值范围为（）A113xB.133xC.13xD.03x【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得()fx为奇函数且在R上为增函数，据此可得原不

等式等价于()3(log)1fxf„，则有3log1x„，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，21()xxxxefxeee−−==−，其定义域为R，有()()()xxxxfxeeeefx−−−=−=−−=−，函数()fx

为奇函数，又由()0xxfxee−=+，则()fx在R上为增函数，()313(log)(log)21fxfxf−„()33(log)(log)21fxfxf−−„()()3log1fxf„3log103xx剟，即x的取值范围为03x„；故选：D．【点睛】本题考查函

数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列四个命题中，为假命题的是

（）A.()0,1x，12xx=B.“xR，210xx+−”的否定是“xR，210xx+−”C.“函数()fx在(),ab内()0fx”是“()fx在(),ab内单调递增”的充要条件D.已知()fx在0x处存在导数，则“()00fx=”

是“0x是函数()fx的极值点”的必要不充分条件【答案】BC【解析】【分析】根据各命题对应的知识逐个判断即可解出．对于A，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于B，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于C，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于D，根据极

值存在的条件即可判断；【详解】解：对于A，设1()2xfxx=−，(0,1)x，因为21()220xfxlnx=+，所以()fx在(0,1)上单调递增，而1()2202f=−，f（1）10=，1()2ff（1）0，即(0,1)x，使得()0fx=，即

12xx=，A正确；对于B，“xR，210xx+−”的否定是“xR，210xx+−„”B不正确；对于C，“函数()fx在(,)ab内()0fx”是“()fx在(,)ab内单调递增”的充分条件，C不正确；对于D，因为()fx在0x处存在导数，根据极值点的定义可知，“0x是函数()fx的

极值点”可以推出“0()0fx=”，但是“0()0fx=”不一定可以推出“0x是函数()fx的极值点”，比如函数3()fxx=在0x=处有(0)0f=，但是0x=不是函数()fx的极值点，D正确．故选：BC．【点睛】本题主要考查函数零点分布

判断，全称命题的否定，以及导数与函数单调性，极值的关系应用，属于中档题．10.已知函数()121xfxa=+−，则（）A.对于任意实数a，()fx在(),0−上均单调递减B.存在实数a，使函数()fx为奇函数C

.对任意实数a，函数()fx在()0,+上函数值均大于0D.存在实数a，使得关于x的不等式()1fx的解集为()0,2【答案】ABD【解析】【分析】根据各选项条件，逐一判断即可解出．对于A，判断函数()fx的导数在(,0)−上的符号即可；对于B，根据奇函数的定义即可

求出是否存在这样的实数；对于C，赋值即可判断；对于D，根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断．【详解】解：对于A，当(,0)x−，222()0(21)xxlnfx=−−，所以，对于任意实数a，()fx在(,0)−上均单调递减，A正确；对于B，函

数定义域为(−，0)(0，)+，定义域关于原点对称，由()()fxfx−=−可得，11()2121xxaa−+=−+−−，变形可得，21a=，解得12a=，即存在实数a，使函数()fx为奇函数，B正确；对

于C，取10a=−，f（1）90=−，C不正确；对于D，当23a=时，不等式()1fx的解集为(0,2)，D正确．故选：ABD．【点睛】本题主要考查通过函数的解析式研究函数的性质，以及导数的应用，属于中档题．11

.为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为18xay

−=（a为常数），则（）A.当00.2x时，5yx=B.当0.2x时，0.118xy−=C.2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下D.1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下【答案】AD【解析

】【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．【详解】解：当00.2x剟时，设ykx=，则10.2k=，故5k=，即5yx=，故A正确；当0.2x时，把(0.2,1)代入1()8xay−=可得：0.

21()18a−=，0.2a=，即0.218xy−=，故B错误；令0.21()0.258x−，即30.6211()()22x−，30.62x−，解得1315x，故C错误，D正确．故选：AD．【点睛】本题考查函数图象的意义，函数解析式及不等式解法

，属于基础题．12.已知函数()()1lnfxxxx−−=，下述结论正确的是（）A.()fx存在唯一极值点0x，且()01,2xB.存在实数a，使得()2faC.方程()1fx=−有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D.当1k时，函数()fx与()gxkx=的图象有两个

交点【答案】ACD【解析】【分析】对()()1lnfxxxx−−=进行求导可得，利用导数研究函数的单调性和极值，逐个判断即可得解.【详解】对()()1lnfxxxx−−=进行求导可得：()1lnxxfx=−+，显然()fx为减函数，(1)10f=

，1(2)ln202f=−+故存在0(1,2)x，使得0()0fx=，并且0(0,)xx，()0fx，()fx为增函数，0(,)xx+，()0fx，()fx为减函数，故0x为极大值点，所以A正确；所以()0001ln=0xxfx=−+，可得

：0000001()(1)ln=1fxxxxxx=−−+−，因为0(1,2)x，所以()02fx，故B错误，若1x是()1fx=−的一解，即1111()(1)ln1fxxxx=−−=−，则1111

1111111111(1)ln111111111()(1)ln(1)ln=1xxxfxxxxxxxxxxx−−−=−−=+−+=+=−，故1x和11x都是()1fx=−的解，故C正确，由()gxkx=，可得11(1)lnkxx=−−，令1()1(1

)lngxxx=−−，2ln1()xxgxx−−+=，令()ln1hxxx=−−+，因为0x，所以1()10hxx=−−，故()ln1hxxx=−−+为减函数，而(1)0h=，所以当(0,1)x，()0hx，即()0gx，()gx为增函数(1,+)x，()0hx

，即()0gx，()gx为减函数，所以()(1)1gxg=，故当1k，()kgx=有两个解，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了方程双根问题，同时考查了虚设零点问题以及二次求导问

题，是导数作为选择题压轴题的典型题型，对思路要求和计算能力要求非常高，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设集合02Axx=，Bxxa=，若AB，则实数a的取值范围为________．【答案】2

a【解析】【分析】画出数轴图，分析即可得到答案.【详解】画出数轴图，要使AB，满足2a即可.故答案为：2a.【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数，属于基础题.14.高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之

一，享有“数学王子”之称．函数yx=称为高斯函数，其中x表示不超过实数x的最大整数，当(1.5,3x−时，函数22xy−=的值域为________．【答案】2,1,0−−【解析】【分析】根据高斯函数定义

分类讨论求函数值．【详解】(1.5,3]x−，则21.750.52x−−，当21.7512x−−−时，222xy=−−=，当2102x−−时，122xy=−−=，当200.52x−时，022xy

=−=，∴值域为{2,1,0}−−．故答案为：{2,1,0}−−．【点睛】本题考查新定义函数，解题关键是理解新函数，利用新函数定义分类讨论求解．15.设1x满足223xx+=，2x满足2221

xx−=−，则12xx+=________．【答案】2【解析】【分析】令22tx=−得到223tt+=，利用函数223xyx=++在(0,)+上单调递增，可得1tx=，即212xx−=，故可求得答案．【详解】解：因为2x满足2221xx−=−，即有2222

21xx−=−，令22tx=−，则22xt=−，则222221xx−=−可化为22(2)1tt=−−，即223tt+=，由题知1x满足223xx+=，即有11223xx+=，因为函数223xyx=++在(0,)+上单

调递增，所以此函数只有一个零点，又因为223tt+=，所以1tx=，即212xx−=，所以122xx+=．故答案为：2．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及换元思想，转化思想，属于中档题．16.已知R，函数()32,2,xxxfxxx−=−−，当0=时，不等式()0f

x的解集是________；若函数()fx恰有2个零点，则的取值范围是________．【答案】(1).()2,1(2).2−或01【解析】【分析】（1）分情况解不等式组求出x的范围；（2）对的取值范

围进行讨论，得出()fx的零点个数，得出答案．【详解】解：（1）0=时，由()0fx可得：3200xxx−或200xx−−„，解得01x或20x−„，()0fx的解集是(2,1)−．（2）令320xx−=可得0x=或1x=，令20x

−−=可得2x=−．①若2−，则()fx在(−，]上无零点，在(,)+上有两个零点0，1，符合题意；②若20−„，则()fx在(−，]上有1个零点2−，在(,)+上有两个零点0，1，不符合题意；③若01„，则()fx在(−，]上有1个零点2−，在

(,)+上有1个零点1，符合题意；④1…，则()fx在(−，]上有1个零点2−，在(,)+上无零点，不符合题意；综上，2−或01„．故答案为：(2,1)−，2−或01„．【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，考查分类讨论思想，属于中档题．四、

解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合()()11Axyxmmx==−++−，2,03xByyx==．（1）若1m=，求AB；（2）设p：xA，q：xB，若q是p的必

要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）)0,8；（2）27m．【解析】【分析】（1）由1m=，分别求出集合A，集合B，然后求并集即可；（2）先表示出集合A，集合B，根据题意判断出集合A是集合B的真子集，即可求出实数m的取值范围．【详解】（1）若1m=，由(

)20xx−，解得02x，所以0,2A=，当03x时，128x，所以()1,8B=，所以)0,8AB=．（2）由()()110xmmx−++−，可得11mxm−+，所以集合1,1Amm=−+，由（1）知()1,8B=，因为q是p的必要不充分条件，则集合A是

集合B的真子集，所以1118mm−+，解得27m，所以实数m的取值范围为27m．【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，以及对充分条件，必要条件的理解，属于中档题．18.已知函数()()322fxxxxaa+++=R．（1）求函数()fx的极值；（2）若函数()fx

有3个零点，求a的取值范围．【答案】（1）极大值a，极小值427a−；（2）4027a．【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导数，令导数值为0，求出x，列表分析函数的单调性，即可判断极值点并求出极值；（2）根据（1）中得到的变化情况列出不等式即可计算.【详解】（1）()2341fxxx

++=，令()23410fxxx++==，解得13x=−或1x=−，则有：x(),1−−1−11,3−−13−1,3−+()fx+0−0+()fx单增极大值单减极小值单增所以，当1x=−时，()fx

取得极大值a，当13x=−时，()fx取得极小值427a−；（2）要使函数()fx有3个零点，只需04027aa−，解得4027a．【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及已知函数零点个数求参数范围，属于中档题.19.已知()fx是定义域为R的奇函数，当0x

时，()1xfxex=+−．（1）求()fx的解析式；（2）若存在1,1k−，使不等式()()222230fttkftkt+++++−成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）()1,01,0xxexx

fxxex−+−=+−；（2）1t−或1t．【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出解析式；（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式化为22223ttktkt++−−有解，即可求解

.【详解】（1）当0x，0x−，又因为()fx是奇函数，所以()()()11xxfxfxexex−−−−=−=−=−++−，所以()1,01,0xxexxfxxex−+−=+−;（2）当0x时，

()10xfxe=+，所以()fx在)0,+上是增函数．又()fx是为R的奇函数，所以()fx在(),−+上是增函数．于是()()222230fttkftkt+++++−,等价于()()22223fttkftkt+−+−，即22223ttktkt++−−

．于是原问题可化为，存在1,1k−，使得()()21230gktktt+−++=有解．只需()10g或()10g−，由()21340gtt++−=得4t或1t−，由()2120gtt−−+=得1t或2t−，故1t−或1t．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性

解不等式，属于中档题.20.已知函数()1lnxfxeax−=−．（1）若函数()fx在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当0a时，证明：()lnfxaaa−．【答案】（1）0a；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()fx，由()0fx在(0,)+

上恒成立，用分离参数法转化为求函数的最小值，可得结论；（2）求出()fx，利用（1）中结论得()0fx=存在唯一解0x，也是()fx的最小值点，计算0()fx并转化为a的函数，然后求得这个新函数的单调性，证明结论成立．

【详解】（1）由题意，()10xafxex−−=在()0,+上恒成立．即1xaxe−在()0,+上恒成立．令()1xgxxe−=，则()()110xgxxe−=+，所以()1xgxxe−=在()0,+上单调递增．于是()()00gxg=，所以0a．（2）当0a时，()11xx

axeafxexx−−−−==由（1）知，函数()1xgxxe−=在()0,+单增，且()()0,gx+．因此，存在唯一的00x满足010xxea−=，且当00xx时，10xxea−−，即()0fx

；当0xx时，10xxea−−，即()0fx．因此()0fx为()fx在()0,+上的极小值，也是最小值．下证：()0lnfxaaa−．因为010xxea−=，所以010xaex−=，001lnlnxax−=−，于是(

)0100lnxfxeax−−()0000ln1lnaaaaxaxaaaxx=−−+=+−−002lnlnaaxaaaaaax−−=−，不等式得证．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的证明，证明函数不等式关键是问题的转化，由导数得出函数的最小值0()fx，这个最

小值含有参数a，因此利用极值点的定义把0()fx转化为关于a的函数，再由函数的知识证明结论．考查了转化与化归思想．21.某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y（千万元）与科研经费投入x（千万元）之间的关系满足

：①y与txx+成正比，其中t为常数，且1,16t；②当2x=时，4yt=+；③2020年科研经费投入x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大

值以及相应的x的值．【答案】（1）22tyxx=+，2,6x；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据已知函数模型求出函数表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，得最大值．注意分类讨论．【详解】（1）设txxyk=+，当2x=时，4yt=+，可得2k=，所以22tyxx=+，

因为x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%；所以定义域为2,6x，所以y关于x的函数表达式为22tyxx=+，2,6x．（2）令()22tyfxxx==+，2,6x，1,16t．则()222222xttyx

x−=−=．当14t时，0y恒成立，22tyxx=+在2,6上单调递增，此时，()max6123tyf==+．当416t时，()()22xtxtyx+−=，()fx在)2,t单调递减，在(,6t单调递增，此时，()()maxmax2,6yff=．又()24ft

=+，()6123tf=+，所以()()()262124833ttfft+=+−−=−，当412t时，2803t−，()()26ff，()max6yf=．当1216t时，2803t−，()()26ff，()max2yf=．综上：当112t时，科研经费投入6千万元，

利润增加值y的最大值为123t+千万元；当1216t时，科研经费投入2千万元，利润增加值1216t的最大值为()4t+千万元．【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，利用已知函数模型求出函数表达式，然后用导数求得函数的最值是解此类问题的基本方法．22.已知函数()()2l

nfxxaxx=+−，aR．（1）讨论函数()fx极值点的个数；（2）若函数()fx有两个极值点1x，2x，证明：()()1234ln2fxfx+−−．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数()fx，研究()0fx=

在(0,)+上解的个数，由()fx的正负确定()fx的单调性，确定极值点个数；（2）由（1）知，当8a时，函数()fx有两个极值点1x，2x，且1212xx+=，1212xxa=．计算12()()fxfx+并转化为关于a的函数，然后求出函数的单调性证明结论成立．【详解

】解：（1）()()212121axaxfxaxxx−+=+−=，0x．当0a=时，()10fxx=，()fx在()0,+单调递增，没有极值点；当0a时，令()221gxaxax=−+，280aa=−=时，0a=或8a=，设当280aa=−时，方程

()221gxaxax=−+的两根为1x，2x，且12xx．若0a，则280aa=−，注意到()01g=，1212xx+=，知()0gx=的两根1x，2x满足12104xx．当()20,xx，()0gx，()0f

x，()fx单增；当()2,xx+，()0gx，()0fx，()fx单减，所以()fx只有一个极值点；若08a，则0，()2210gxaxax=−+，即()0fx恒成立，()fx在()0,+单调递增，所以()f

x没有极值点；若8a，则，注意到()01g=，1212xx+=，知()0gx=的两根1x，2x满足12104xx．当()10,xx，()0gx，()0fx，()fx单增；当()12,xxx，()0gx，()0fx，()fx单减；当()2,xx+

，()0gx，()0fx，()fx单增；所以()fx有两个极值点．综上：当0a时，()fx有一个极值点；当08a时，()fx没有极值点；当8a时，()fx有两个极值点．（2）由（1）知，当8a时，函数()fx有两个极值

点1x，2x，且1212xx+=，1212xxa=．所以()()()()2212111222lnlnfxfxxaxxxaxx=+−++−+()()()212121212ln2xxaxxaxxaxx=++−−+()1l

n1ln21244aaaa=−−=−−−，8a，令()()ln214ahaa=−−−，8a．则()ln2ln141104aahaa==−−−−−−，所以()ha在()8,+单调递减，所以(

)()834ln2hah=−−，所以()()1234ln2fxfx+−−．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值问题，证明有关极值点的不等式，证明有关极值点不等式的关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确

定函数的单调性．