【文档说明】重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，869.621 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市黔江中学校高2025届高二下4月月考数学学科试卷考试时间：120分钟总分：150分命题人：徐小玲审题人：张进一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.5(21)x+的展开式中2x的系数是（）A.40B

.80C.10D.60【答案】A【解析】【分析】根据给定二项式，利用二项式定理直接计算作答.【详解】5(21)x+的展开式中2x是3225C(2)40xx=，所以5(21)x+的展开式中2x的系数是40.故选：A2.用2,3

,4,5,7这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（）A.120个B.72个C.60个D.48个【答案】D【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得答案.【详解】由题可知，不同的偶数共有1424CA48=个.故选：D.3.若函数

()lnfxxax=−在点()1,Pb处的切线与330xy−+=平行，则2ab+=（）A.2B.0C.1−D.−2【答案】D【解析】【分析】根据切点与斜率以及导数求得,ab，进而求得2ab+.【详解】直线330xy−+=的斜率为3，()()()()1ln,,1,113fxxa

xfxafabfax=−=−=−==−=，解得2,2ab=−=，所以22ab+=−.故选：D4.数列{}na的前n项和为nS，且22nSnn=+，12(1)nnnbnnaa+=+N,，则数列{}nb的前n项和为nT=（）A.2121nn+−−B.231n+−C.22n−D.233n

+−【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用,nnaS的关系求出na，再利用裂项相消法求和即得.【详解】数列{}na的前n项和22nSnn=+，当2n时，2212[(1)2(1)]21nnnaS

Snnnnn−=−=+−−+−=+，而113aS==满足上式，因此21nan=+，223212123nbnnnn==+−++++，所以(53)(75)(97)(2321)233nTnnn=−+−+−+++−+=+−.故选：D5.已知322()2(,R)fxax

xbxaab=−++在1x=处的极大值为5，则ab+=（）A.2−B.6C.2−或6D.6−或2【答案】B【解析】【分析】求出函数()fx的导数，利用极大值及极大值点求出,ab并验证即得.【详解】函数322()2fxaxxbxa=−++，求导得2()

34fxaxxb=−+，依题意，(1)5(1)0ff==，即225340abaab−++=−+=，解得35ab==−或17ab=−=，当35ab==−时，()()()2945195fxxxxx=−−=−+，当59x−或1x时，

()0fx，当519x−时，()0fx，因此()fx在1x=处取得极小值，不符题意；当17ab=−=时，()()()2347371fxxxxx=−−+=−+−，当713x−时，()0fx，当1x或73x−时，()0fx，因此()f

x在1x=处取得极大值，符合题意，所以17ab=−=，所以6ab+=.故选：B6.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数()fx在,ab上连续，且在(),ab上可导，则必有(),ab，使得()()()()fbafb

fa−=−.已知函数1()exxfx−−=()()(),0,2,fbfaababba−=−，那么实数的最大值为（）A.1B.21e−C.1eD.0【答案】C【解析】【分析】根据题意得到()ef==，构造()exxgx=，(

)0,2x，求导得到其单调性，进而求出最大值，得到答案.【详解】由题意得，(),0,2abab，不妨设ab，则存在(),ab，使得()()()fbfafba−=−，又()()fbfaba−=−，故()f=，其中()2e1e()eexxxxxxfx−−−−=

=，故()ef==，由于()(),0,2ab，令()exxgx=，()0,2x，则()1exxgx=−，当𝑥∈(0,1)时，()0gx，当()1,2x时，()0gx，故()exxgx=在𝑥∈(0,1)上

单调递增，在()1,2x上单调递减，故()exxgx=在1x=处取得极大值，也是最大值，()11eg=，故实数的最大值为1e.故选：C7.在一个抽奖游戏中共有5扇关闭的门，其中2扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门

当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门获奖的概率分别为（）A.21;52B.12;23C.28;515D.12;33【答案】C【解析】【分析】根据概率、全概率公式进行分析、计算，从而确定正确答案.【详解】不换门：则与一

开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为25；假设换门：若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为13；若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概率为23．所以换门的中奖概率为212281535315+−=．故选

：C8.若不等式()()e110−−++xxmx对()0,x+恒成立，则整数m的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】参变分离后，通过二次求导，结合隐零点得到最小值，即可求解.【详解】因为

()0,x+，所以e10x−，所以问题转化为e1e1xxxm+−对任意(0,)x+恒成立.令e1()e1xxxfx+=−，则()()2ee2()e1xxxxfx−−=−,令e(2)xgxx=−−，则()e10

xgx=−对x(0,)+恒成立，所以e(2)xgxx=−−(0,)+上单调递增.因为12(1)e30,(2)e40gg=−=−，故0(1,2)x，使得()000e20xgxx=−−=.因此当00xx时，()0,()0gxfx，即

()fx在()00,x上单调递减，当0xx时，()0,()0gxfx，即()fx在()0,x+上单调递增.故()()00000min0021e1()e11xxxxxfxfxx+++====−+01(2,3)x+，

所以整数k的最大值为2.故选：B.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③分类讨论参数.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共1

8分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于612xx−的展开式，下列结论正确的是（）A.二项式系数和为64B.所有项的系数之和为2在C.第三项的二项式系数最大D.系数最大值为240【答案】AD【解析】【分析】利用二

项式系数和公式可判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式定理的性质可判定C，利用二项式展开式通项可判定D.【详解】由二项式系数和公式知612xx−的二项式系数和为6264=，故A正确；令1x=，则612xx−的展开式所有项的系数之和为612111

−=，故B错误；易知612xx−的展开式共7项，所以二项式系数最大项为第四项，故C错误；设612xx−的展开式通项为()()()61662166C22C1rrrrrrrrTxxx−−−−+=−=−，0,

1,2,3,4,5,6r=，计()()662C1rrrfr−=−，显然r取偶数时各项系数为正数，()()()()60264,21615240,441560,61ffff=======，可知系数最大值为240，故D正确.故选：

AD10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（）．A.若5位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同排法有12种；B.若5位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种；C.若甲、乙、丙3位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种；D.

若5位同学被分配到3个社区参加志愿活动，每个社区至少1位同学，则不同的分配方案有150种；【答案】BCD【解析】【分析】利用捆绑法与插空法可判定A，利用分类计数原理计算可判定B、D，利用定序法可判定C.【详解】对于A，甲乙相邻可看作一人，

与戊一起排列形成3个空，插入丙、丁两人即可，方法数为223223AAA24=，故A错误；的对于B，若甲排最左端，则有44A24=种排法，若乙排最左端，则最右端有3人可选，中间三人有33A6=种排法，计1863=种

排法，合计同的排法共有42种，故B正确；对于C，五个位置，先排丁、戊两人，有25A20=，余下三个位置甲、乙、丙三人按从左到右就1种排法，故C正确；对于D，五人分三组，有3、1、1或2、2、1两个分派方

法，若分为3、1、1三组，则有3353CA60=种方法，若分为2、2、1三组，则有22135313CCCA902!=种方法，合计150种方法，故D正确.故选：BCD11.已知1,1ab，则下列关系式可能成立的是（）A.elnbaabB.elnbaabC.elnbabaD.eln

baba【答案】ABD【解析】【分析】构造函数()lnxfxx=，利用导数研究其单调性一一判定选项即可.【详解】令()lnxfxx=，所以()21lnxfxx−=，显然ex时，𝑓′(𝑥)<0，即此时()fx单调递减，当0ex时，𝑓′(𝑥)>0，即此时()fx单调递增，

则()()max1eefxf==，且1x时()0fx，可作出函数()fx大致图象如下：因为1,1ab，则eeb，此时()()ln,eebbabfafa==，由于不确定,eba的关系，由𝑦=𝑓(𝑥)的单调性与图象可知()(),ebfaf的大小不确定，则A、B都有可能正确；显然

()()110,0eeebfaf，所以()()01fafb，()()ln01elnebbabfafbabaa=，则C错误，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分（13题第一问2分，第二问3分），共15分．12.若随机变量()

,0.8XBn，且()4EX=，则()1PX=的值是________．【答案】4625##0.0064【解析】【分析】首先由二项分布的数学期望求出n，再根据二项分布概率公式即可计算概率．【详解】因为随机

变量(),0.8XBn，且()4EX=，所以()0.84EXnpn===，解得5n=，所以()14541C0.8(10.8)625PX==−=，故答案为：4625．13.已知某品牌电子元件的使用寿命X（单位：天）服从

正态分布()9864N,.（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为_______________________；（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在100天后仍能正常工

作（要求K能正常工作，A，B中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．（参考公式：若()2,XN，则()0.250.250.2PX

−+=）【答案】①.0.4##25.②.32125##0.256.【解析】【分析】由题设可知98,8==，利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过100天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在100天后仍能正常工作的概率.【详解】由题设知：98,8==，∴(

)10.250.25(100)0.42PXPX−−+==.由题意，要使电路能正常工作的概率22222222232(1)(1)555555555125P=+−+−=.故答案为：

0.4，32125.14.已知函数()2lnfxxax=+，若对任意两个不相等的正实数12,xx，都有()()12122fxfxxx−−，则实数a的取值范围是___________【答案】1,2+

【解析】【分析】设210xx，令()()2gxfxx=−，将问题转化为()gx在()0,+上单调递增，即()0gx在()0,+上恒成立，采用分离变量的方式可得2122axx−+，结合二次函数性质可确定21a，由此可得结果.【详解】不妨设210xx，由

()()12122fxfxxx−−得：()()112222fxxfxx−−，令()()2gxfxx=−，则()gx在()0,+上单调递增，()1220gxaxx=+−在()0,+上恒成立，2122axx−+，当

11x=，即1x=时，212yxx=−+取得最大值1，21a，解得：12a，实数a的取值范围为1,2+.故答案为：1,2+.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知

等差数列na的前n项和为nS，且满足122,0aS=−=．（1）求数列na的通项公式；（2）设23nannba=+求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）46nan=−（2）()912424nnn−−+【解析】【分析】（1）利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可；（2）利

用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可.【小问1详解】由题意可知212220Saaa=+=−+=，所以22a=，设na的公差为d，则214daa=−=，所以()21446nann=−+−=−；【小问2详解】由题意知，233nnnba−=+，易知(

)212246242nnnaaann−+−+++==−，故()()11113231233193333219nnnnnnaaTaaaa−−−−+=+++++++++=+−()912424nnn−=−+.

16.有一名高二学生盼望2025年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2025年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2024年10月市数学竞赛一等奖中选拔）；②2025年3月自主招生考试通过并且达到2025年6

月高考重点分数线；③2025年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）；该学生具备参加市数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表：市数学竞赛一等奖自主招生通过高考达重点线高考达该校分数线0.50.60.90.7若该学生数学竞赛获市一等奖，则该学生估计进入国家集

训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）（1）求该学生参加自主招生考试的概率；（2）求该学生被该校

录取的概率.【答案】（1）0.9（2）0.838【解析】【分析】（1）分别计算该同学未获得市级一等奖的概率与获得市级一等奖且未进入国家集训队的概率，求和即可；（2）分别计算该同学参加市数学竞赛获一等奖并参加国家集训队的概率，自主招生通过并且高考达到重点分数线录取的概率及自主招生未通过但高考

达到该校录取分数线录取的概率求和即可.【小问1详解】设该学生参加市数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为,AB，学生参加自主招生考试包括两种情况：①未获得市级一等奖，概率()10.50.5PA=−=．②获得市级一等奖且未进入国家集训队，概率()()0.510.20.4PAB=−=则该学生参

加自主招生考试的概率()()()110.50.510.20.9PPAPAB=+=−+−=【小问2详解】设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为,CD．()0.50.20.1PAB==，()0.90.60.90.486PC

==，()0.90.40.70.252PD==，所以该学生被该校录取的概率为()()()20.838PPABPCPD=++=．17.已知椭圆22221,0xyabab+=，经过点()0,3，且离心率12e=.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l

ykxk=−：与椭圆C相交于A，B两点，直线l交直线4mx=：于点N，直线m与x轴交于点M，记AMN，BMN的面积分别为12,SS，求123||SSMN+−的最大值．【答案】（1）22143xy+=（2）334【解析】【分析】（1）借助离

心率公式，构造方程组，解出即可；（2）画出草图，因为直线():1lykxkkx=−=−，所以直线过焦点(1,0)，与椭圆联立，借助韦达定理，求出()4,3,3NkMNk=，后将123SSMN+−用k表示，变形，借助基本不等式可解.【小问1详解】由题意，22222222313,4cababeaa

a−−=====，所以24a=，故所求椭圆方程为22143xy+=小问2详解】因为直线():1lykxkkx=−=−，所以直线过焦点(1,0)，联立22143xyykxk+==−，消元得(3+4𝑘2)𝑥2−8𝑘2𝑥+4𝑘2−12=0，设�

�(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，则221212228412,3434kkxxxxkk−+==++，由4xykxk==−可得()4,3,3NkMNk=．()()121211344322SSMNxMNxMNMN+−=−+−−()21222914831323434

kkxxMNkkk=−+−=−=++，由题意0k，1299333343424SSMNkkkk+−==+，当且仅当34kk=，即32k=时等号成立，则123SSMN+−的最大值为33

4.【18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取

了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不

低于130的为一级口罩．（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的均值及抽取概率最大时的一级

口罩个数；（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及方差；（3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由*(2,N)nnn个该型号

口罩构成．假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为2π2cπ,osnnn，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望()EX取最大值时正整数n的值．【答案】（1）2；2（2）分布列见解析，45112（3）6n=．【解析】【分析】（1

）由题知，抽到一级口罩的频率为0.25，且()8,0.25B，根据二项分布的性质即可求解；（2）根据题意的可能取值为0，1，2，计算对应的概率，写出分布列和方差即可；（3）设甲乙抢购成功的订单总数量为Y，由题知，Y可能的取值为0，1，2，，计算对应的概率，求出()EY，结合

XnY=，求出()EX，最后利用导数，求出最大值，求解即可.【小问1详解】由题知，抽到一级口罩的频率为()0.020.005100.25+=，则()8,0.25B，故()2Enp==；()()881198C0.250.7591C

0.250.753kkkkkkPkkPkk−−−−=−===−，令99134kkk−，当*12,Nkk时，()()1PkPk==−，当*38,Nkk时，()()1PkPk==−．所以抽取概率最大时的一级口罩个数为2【小问2详解】按分层抽样抽取

8个口罩，则其中一级、二级口罩个数分别为0.2582=，()10.2586−=，故可能取值为0，1，2，且()()()302112626262333888CCCCCC51530,1,2C14C28C28PPP=========

的分布列为012P514152832815()0114533228284E++==()222353153345012414428428112D=−+−+−=

．【小问3详解】设甲乙抢购成功的订单总数量为Y，由题知，Y可能的取值为0，1，2，()223πππ2cos2cos2cosπ0111nnnPYnnnnn==−−=−+，的()

2223ππππ2cos2cos2cos4cosπππ111nnnnPYnnnnnnn==−+−=+，()3π2πcos2nPYn==，所以()2332ππππ2cos4cos2πcos2cosππ12nnnnE

Ynnnnnn=+−+=+因为XnY=，所以()()2π2cosπππ2cosnEXnEYnnnnn==+=+，令110,2tn=，设()2

cosππfttt=+，则()()EXft=，因为()12πsinπ2sinπ2fttt=−=−，所以当10,6t时，()0ft；当11,62t时，()0ft；所以()ft在10,6

上单调递增，在11,62上单调递减，故当16t=，即6n=时，()ft取最大值，所以max1π()366ftf==+，所以()EX取最大值时，正整数6n=.19.已知函数21()e22=−−xfxaxax，其中a∈R．（1）令21()()2gxfxax

=+，讨论()ygx=的单调性；（2）若函数()fx在[0,)+上单调递增，求a的取值范围；（3）若函数()fx存在两个极值点1212,()xxxx，当1253e[3ln24,]e1xx−+−−时，求2122xx++的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）12a；（3）[

2,e].【解析】【分析】（1）求出函数()gx及导数，再利用导数分类讨论求出单调区间即可.（2）由()0fx在[0,)+上恒成立，得e2xax+在[0,)+上恒成立，再求函数())e,02[,xgxxx=++

的最小值即可得答案.（3）先求得212122exxxx−=++，利用换元法表示出12(1)ln41ttxxt++=−−，通过构造函数法，利用导数，结合1253e[3ln24,]e1xx−+−−来求得2122xx++

的取值范围.【小问1详解】函数()2xgxax=−e，求导得()e2xgxa=−，当0a时，()0gx恒成立，则函数()gx在R上单调递增；当0a时，由()0gx，得ln2xa；由()0gx，得ln2xa，函数()gx(,ln2)a−上单调递减，在(ln2,)a+

上单调递增，所以当0a时，函数()gx的递增区间为(,)−+；当0a时，函数()gx的递减区间为(,ln2)a−，递增区间为(ln2,)a+.【小问2详解】函数21()e22=−−xfxaxax，求导得()e2xfxaxa=−−，由函数()fx在

)0,+上单调递增，得()e20xfxaxa=−−在[0,)+上恒成立，即e2xax+在)0,+上恒成立，令)e(),2[0,xxxx=++，求导得()()21e()02xxxx

+=+，则e2()xxx=+在[0,)+上单调递增，1()(0)2x=，在所以12a，即a的取值范围是1(,]2−.【小问3详解】由（2）知，()e2xfxaxa=−−，令函数()e,()

exxhxhx==，设()hx图象上一点为00(,e)xx，函数()hx图象在点00(,e)xx处的切线方程为000ee()xxyxx−=−，将(2,0)−代入上式得000ee(2)xxx−=−−，解得

01x=−，则过点(2,0)−的()hx的切线方程为1112(1),eeeeyxyx−=+=+，因此要使exy=的图象与直线2yaxa=+有两个交点，则1ea，此时函数()fx有两个极值点12,xx，且1221xx−−，则1212e20e20xxaxaaxa−−=−

−=，即1212e2e2xxaxaaxa=+=+，整理得212122exxxx−=++，令2122xtx+=+，(1,)t+，则1122etxxtt−+−=，即1122lntxxtt−+−=，解得12l

nln2,211tttxxtt+=+=−−，因此12(1)ln41ttxxt++=−−，令212ln(1)ln4,()1)(1)(tttttmmtttt−−+=−−=−，令222121(1)()2ln,()10nttttnttttt−

−+==−=−，函数()nt在(1,)+上递增，于是()(1)0ntn=，即()0mt，函数()mt在(1,)+上递增，而53e1(2)3ln24,(e)emm−=−=−，因此当53e[3ln24,]e)1(mt−−−时，[2,e]t，所以2122xx++的取值范围是[2

,e].【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数()hx过点()2,0−的切线斜率，进而得1ea，再结合极值点的定义得212122exxxx−=++，进而换元2122xtx+=+，求出12(1)ln41ttxxt++=−−，再构造函数，

研究函数的单调性得并结合1253e[3ln24,]e1xx−+−−得答案.