【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题7.4 复数的四则运算（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(12)页，116.538 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.4复数的四则运算（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）在复数范围内，有下列命题：①−1的平方根只有i；②i是1的平方根；③若复数𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈R)是某

一元二次方程的根，则𝑎−𝑏i一定是方程的另一个根；④若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数．上述命题中真命题的个数为（）A．3B．2C．0D．1【解题思路】对于①②，根据平方根的定义即可判断；对于③，举反例即可排除；对于④，利用平方根的定义与复数相等的性质求得𝑧=i的平方根，从而得以判断.【解

答过程】对于①，−1的平方根有两个，分别为i和−i，故①错误；对于②，1的平方根是−1和1，故②错误；对于③，令𝑎=1,𝑏=0，则𝑎+𝑏i=1是方程𝑥2+𝑥−2=0的一个根，但方程𝑥2+𝑥−2=0的另一个根是𝑥=−2，并非𝑎−�

�i=1，实际上，只有实系数方程的虚根才是共轭复数，故③错误；对于④，设𝑧=i的平方根为𝑥+𝑦i(𝑥,𝑦∈R)，则(𝑥+𝑦i)2=i，即𝑥2−𝑦2+2𝑥𝑦i=i，故{𝑥2−𝑦2=02𝑥𝑦=1，解得{𝑥=√22𝑦=√22或{𝑥=−√

22𝑦=−√22，所以𝑧=i的平方根为√22+√22i或−√22−√22i，显然z的平方根是虚数，故④正确；综上：①②③错误，④正确，故真命题的个数为1.故选：D.2．（3分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知复数𝑧在复平面内对应的点为(1,−2)，则𝑧−2𝑧̅=（

）A．−1−6iB．−1+6iC．1−6iD．1+6i【解题思路】由复数的坐标表示，共轭复数定义可得答案.【解答过程】由题意知𝑧=1−2i，𝑧̅=1+2i，则𝑧−2𝑧̅=1−2i−2(1+2i)=−1−6i.故选：A.3．（3分）已知复数𝑧=1+3i3−𝑚i(𝑚

∈R)是纯虚数，则𝑚=（）A．3B．1C．−1D．−3【解题思路】求出复数𝑧的代数形式，再根据纯虚数的概念列式计算.【解答过程】𝑧=1+3i3−𝑚i=(1+3i)(3+𝑚i)(3−𝑚i)(3+𝑚i)=3−3𝑚+(9+𝑚)i9+𝑚2,因为复数𝑧是纯虚数，则{3−3𝑚=

09+𝑚≠0，解得𝑚=1，故选：B.4．（3分）若复数𝑧满足𝑧(1+i)=2i，则|𝑧+i𝑧|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【解题思路】利用复数的除法化简复数𝑧，利用共轭复数的定

义以及复数的运算可得出𝑧+i𝑧，再利用复数的模长公式可求得结果.【解答过程】因为𝑧(1+i)=2i，则𝑧=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，则𝑧=1−i，所以，𝑧+i𝑧=1+i+i(1−i)=2

+2i，因此，|𝑧+i𝑧|=√22×2=2√2.故选：D.5．（3分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）已知𝑧=1+i1−i−i2022，则在复平面内，其共轭复数𝑧所对应的点位于（）A．第一象限B．

第二象限C．第三象限D．第四象限【解题思路】利用复数的运算化简复数𝑧，可得其共轭复数𝑧，利用复数的几何意义可得出结论.【解答过程】因为i4=1，则i2022=i4×505+2=i2=−1，则𝑧=(1+i)2(1−i)(1+i)+1=2i2+1=1+i，所以，𝑧=1−i，因此，复数𝑧

所对应的点位于第四象限.故选：D.6．（3分）（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知复数1−i是关于𝑥的方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0(𝑝,𝑞∈R)的一个根，则|𝑝+𝑞i|=（）A．4B．√5C．2√2D．2√3【解题思路】将1−i代入方程，

利用复数相等得到方程组解出𝑝,𝑞，再利用模长公式求解即可.【解答过程】由题意可得(1−i)2+𝑝(1−i)+𝑞=0，即1−2i+i2+𝑝−𝑝i+𝑞=0，所以𝑝+𝑞−(𝑝+2)i=0，所以{𝑝+𝑞=

0𝑝+2=0，解得{𝑝=−2𝑞=2，所以|𝑝+𝑞i|=|−2+2i|=√(−2)2+22=2√2，故选：C.7．（3分）（2022春·北京西城·高一阶段练习）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2

，z3，若𝑧1=1,𝑧3=−2+i，则z2=（）A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为𝑧1=1,𝑧3=−2+i，所以由复数加法的几何意义可得，𝑧2=𝑧1+

𝑧3=1−2+i=−1+i.故选：C.8．（3分）（2023秋·上海·高二期末）设𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎、𝑏、𝑐∈𝑅）.已知关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑥有纯虚数根，则关于𝑥的方程𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥的解的情况，下列描述正确的是（）

A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解【解题思路】根据给定条件，设𝑥=𝑚i(𝑚∈R,𝑚≠0)，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.【解答过程】𝑎,𝑏,𝑐∈R，𝑓(𝑥)=𝑎�

�2+𝑏𝑥+𝑐，关于𝑥的方程𝑓(𝑥)=𝑥有纯虚数根，设纯虚数根为𝑥=𝑚i(𝑚∈R,𝑚≠0)，则有𝑓(𝑚i)=𝑚i，即−𝑎𝑚2+𝑐+𝑏𝑚i=𝑚i，即有𝑐=𝑎𝑚2,𝑏=1，𝑎≠0

，𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑥+𝑎𝑚2，方程𝑓(𝑥)=𝑥化为𝑥2+𝑚2=0，方程有两个纯虚数根为±𝑚i，方程𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥化为：𝑎2𝑥4+2𝑎𝑥3+2(𝑎2𝑚2+1)𝑥2+2𝑎𝑚2𝑥+𝑎2𝑚4

+2𝑚2=0，整理得(𝑎2𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2𝑚2+2)(𝑥2+𝑚2)=0，于是得𝑥2+𝑚2=0或𝑎2𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2𝑚2+2=0，因此方程𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥有两个纯虚数根±𝑚i，而方程

𝑎2𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2𝑚2+2=0中，Δ=4𝑎2−4𝑎2(𝑎2𝑚2+2)=−4𝑎2(𝑎2𝑚2+1)<0，因此方程𝑎2𝑥2+2𝑎𝑥+𝑎2𝑚2+2=0无实数根，有两个虚数根

𝑥=−1𝑎±√𝑎2𝑚2+1𝑎i，不是纯虚数根，所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·湖南长沙·高三阶段练习）已知复数𝑧=−1+2ii，则下

列结论中正确的是（）A．𝑧̅=2−iB．𝑧̅的虚部为1C．|𝑧|=√5D．(1+i)𝑧=3−i【解题思路】先化简复数𝑧，然后求出𝑧的共轭复数即可验证选项AB，求出复数𝑧的模验证选项C，化简选项

D即可【解答过程】因为𝑧=−1+2ii=i⋅(−1+2i)i⋅i=−2−i−1=2+i，所以𝑧̅=2−i，故A正确；𝑧̅的虚部为−1，故选项B错误；由|𝑧|=√22+(−1)2=√5，故选项C正确，由(1+i)𝑧=3−i，所以𝑧=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=

3−3i−i−12=1−2i，故选项D错误，故选：AC.10．（4分）（2022春·安徽合肥·高一期中）在复平面内有一个平行四边形𝑂𝐴𝐵𝐶，点𝑂为坐标原点，点𝐴对应的复数为𝑧1=1+i，点𝐵对应的复数为𝑧2=1+2i，点𝐶对应的复数为𝑧

3，则下列结论正确的是（）A．点𝐶位于第二象限B．𝑧1+𝑧3=𝑧2C．|𝑧1−𝑧3|=|𝐴𝐶|D．𝑧1⋅𝑧3=𝑧2【解题思路】由题意画出图形，求出𝐶的坐标，得到𝑧3，然后逐一分析四个选项得答案．【解答过程】解：如图，由题意，𝑂

(0,0)，𝐴(1,1)，𝐵(1,2)，∵𝑂𝐴𝐵𝐶为平行四边形，则𝐶(0,1)，∴𝑧3=i，点𝐶位于虚轴上，故𝐴错误；𝑧1+𝑧3=1+i+i=1+2i=𝑧2，故𝐵正确；|𝑧1−𝑧3|=|1+i−i|=1=|𝐴�

�|，故𝐶正确；𝑧1𝑧3=(1+i)i=−1+i≠𝑧2，故𝐷错误．故选：𝐵𝐶．11．（4分）（2023秋·河北唐山·高三期末）已知i为虚数单位，复数𝑧1=𝑎−2i，𝑧2=2+𝑎i，(𝑎∈R)，下列结论正确的有（）A．|𝑧1|=|𝑧2|B．

𝑧1=𝑧2C．若2(𝑧1+𝑧2)=𝑧1⋅𝑧2，则𝑎=2D．若𝑧2=−i，则𝑎=0【解题思路】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.【解答过程】A选项，|𝑧1|=√𝑎2+4=|�

�2|，A选项正确.B选项，𝑧1=𝑎+2i≠𝑧2，B选项错误.C选项，2(𝑧1+𝑧2)=2𝑎+4+(2𝑎−4)i，𝑧1⋅𝑧2=4𝑎+(𝑎2−4)i，若2(𝑧1+𝑧2)=𝑧1⋅𝑧2，则{2𝑎+4=4𝑎2𝑎−

4=𝑎2−4，解得𝑎=2，所以C选项正确.D选项，当𝑎=0时，𝑧2=2≠−i，所以D选项错误.故选：AC.12．（4分）（2023秋·重庆·高三学业考试）已知复数𝑧1,𝑧2是关于x的方程𝑥2+𝑏𝑥+1=0(−2<𝑏<2,𝑏∈𝑅)的两根，则下列说法中正确

的是（）A．𝑧1=𝑧2B．𝑧1𝑧2∈𝑅C．|𝑧1|=|𝑧2|=1D．若𝑏=1，则𝑧13=𝑧23=1【解题思路】在复数范围内解方程得𝑧1,𝑧2，然后根据复数的概念、运算判断各选项．【解答过程】Δ=𝑏2−4<0，∴𝑥=−𝑏±√4−

𝑏2i2，不妨设𝑧1=−𝑏2+√4−𝑏22i，𝑧2=−𝑏2−√4−𝑏22i，𝑧1=𝑧2，A正确；|𝑧1|=|𝑧2|=√(−𝑏2)2+(√4−𝑏22)2=1，C正确；𝑧1𝑧2=1，∴𝑧1𝑧2=𝑧12𝑧1𝑧2=𝑧12=𝑏2−22−𝑏√4−𝑏22i，

𝑏≠0时，𝑧1𝑧2∉R，B错；𝑏=1时，𝑧1=−12+√32i，𝑧2=−12−√32i，计算得𝑧12=−12−√32i=𝑧2=𝑧1，𝑧22=𝑧1=𝑧2，𝑧13=𝑧1𝑧2=1，同理𝑧23=1，D正确．故选：ACD．三．填空

题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）已知复数𝑧=i+i2+i3+⋯+i20221+i，则复数𝑧=i.【解题思路】先利用等比数列的前n项和求出𝑧=i−i20232

，利用i𝑘(𝑘∈Z)的周期性即可求解.【解答过程】𝑧=i+i2+i3+⋯+i20221+i=i−i20231−i1+i=i−i2023(1+i)(1−i)=i−i20232.因为i4𝑛=1,i4𝑛+1

=i,i4𝑛+2=−1,i4𝑛+3=−i，(𝑛∈Z)，而2023=4×505+3，所以i2023=−i，所以𝑧=i−i20232=i−(−i)2=i.故答案为：i.14．（4分）（2023·高一课时练习）在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于

点O，若向量𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数分别是1−𝑖，−1+2𝑖，则向量𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数是2−3i.【解题思路】利用复数的几何意义，由𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑求解.【解答过程】因为向量𝑂

𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数分别是1−𝑖，−1+2𝑖，所以𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑−𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=(1−𝑖)−(−1+2𝑖)=2−3𝑖故答案为：2−3𝑖.15．（4分）（2022·吉林长春·长春模拟预测）

已知𝑚是实数，关于𝑥的方程𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚2+3𝑚+1=0的两个虚数根为𝑧1,𝑧2.若|𝑧1−𝑧2|=2，则𝑚的值为−4±2√73.【解题思路】根据Δ<0求出参数𝑚的取值范围，再由韦达定理

及虚根成对原理求出𝑧1，𝑧2，再由𝑧1𝑧2=𝑚2+3𝑚+1得到方程，解得即可.【解答过程】解：因为关于𝑥的方程𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚2+3𝑚+1=0的两个虚数根为𝑧1，𝑧2（𝑚是实

数），则Δ=(𝑚+2)2−4(𝑚2+3𝑚+1)=−3𝑚2−8𝑚<0，解得𝑚>0或𝑚<−83，所以𝑧1+𝑧2=𝑚+2，𝑧1𝑧2=𝑚2+3𝑚+1，根据虚根成对原理可得𝑧1=𝑧2，又因为|𝑧1−𝑧2|=2，所以{𝑧1=𝑚+22+i𝑧2=𝑚+22−i或{𝑧

1=𝑚+22−i𝑧2=𝑚+22+i，于是(𝑚+22)2+1=𝑚2+3𝑚+1，得到3𝑚2+8𝑚−4=0，于是𝑚=−4±2√73（符合题意）．故答案为：−4±2√73.16．（4分）（2022春·上海浦东新·高一期末）以下四个命题中所有真命题的序号是（1）．（1）若𝑧

1、𝑧2∈C，则𝑧1𝑧2+𝑧2𝑧1∈𝑅；（2）若𝑧1、𝑧2∈C，则|𝑧1+𝑧2|2=|𝑧1|2+2|𝑧1|⋅|𝑧2|+|𝑧2|2；（3）若𝑧1、𝑧2∈C，𝑧12−𝑧22∉𝑅，则𝑧12∉𝑅，𝑧22∉𝑅；（4）若𝑧1、𝑧2∈C，𝑧12∉

𝑅，𝑧22∉𝑅，则𝑧12−𝑧22∉𝑅．【解题思路】设出复数𝑧1、𝑧2，由共轭复数及复数的运算即可判断（1）、（2）；取特殊的复数𝑧1、𝑧2，由复数的运算即可判断（3）、（4）.【解答过程】设𝑧1=𝑎+𝑏i,𝑧2=𝑐+𝑑i,(𝑎,𝑏,𝑐,

𝑑∈R)，对于（1），𝑧1=𝑎−𝑏i,𝑧2=𝑐−𝑑i，则𝑧1𝑧2+𝑧2𝑧1=(𝑎+𝑏i)(𝑐−𝑑i)+(𝑐+𝑑i)(𝑎−𝑏i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑+(𝑏𝑐−𝑎𝑑)i+𝑎𝑐+𝑏𝑑+(𝑎𝑑−𝑏𝑐)i=2𝑎𝑐+2𝑏𝑑∈𝑅，

（1）正确；对于（2），|𝑧1+𝑧2|2=|(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)i|2=(𝑎+𝑐)2+(𝑏+𝑑)2=𝑎2+𝑐2+𝑏2+𝑑2+2𝑎𝑐+2𝑏𝑑，|𝑧1|2+2|𝑧1|⋅|𝑧2|+|𝑧

2|2=𝑎2+𝑏2+2√(𝑎2+𝑏2)(𝑐2+𝑑2)+𝑐2+𝑑2，则|𝑧1+𝑧2|2≠|𝑧1|2+2|𝑧1|⋅|𝑧2|+|𝑧2|2，（2）错误；对于（3），取𝑧1=i,𝑧2=1+i，显然满足𝑧1、�

�2∈C，又𝑧12−𝑧22=i2−(1+i)2=−1−2i∉𝑅，但𝑧12=−1∈R，故（3）错误；对于（4），取𝑧1=1+2i,𝑧2=2+i，显然满足𝑧1、𝑧2∈C，又𝑧12=−3+4i∉R,𝑧22=3+4i∉R，但𝑧12−𝑧22=−6∈𝑅，故（4）错误.故答案

为：（1）.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春·高一课时练习）计算：(1)(1+2i)+(7−11i)−(5+6i)；(2)5i−[(6+8i)−(−1+3i)]；(3)(𝑎+𝑏i)−(2𝑎−3�

�i)−3i(𝑎,𝑏∈R).【解题思路】（1）（2）（3）根据复数的加减运算法则即可求解；【解答过程】(1)解：(1+2i)+(7−11i)−(5+6i)=(1+7−5)+(2−11−6)i=3−15i；(2)解：5i−[(6+8i)−(−1+3i)]=5i−

(7+5i)=−7；(3)解：(𝑎+𝑏i)−(2𝑎−3𝑏i)−3i=(𝑎−2𝑎)+[𝑏−(−3𝑏)−3]i=−𝑎+(4𝑏−3)i(𝑎,𝑏∈R).18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量𝑂𝑍⃑

⃑⃑⃑⃑对应的复数是z，分别作出下列运算的结果对应的向量：（1）𝑧+1；（2）𝑧−𝑖；（3）𝑧+(−2+𝑖).【解题思路】复数与以原点为起点的向量是一一对应的，根据平行四边形法则作出相应向量即可.【解答过程】（1）复数1与复平面内点𝐴(1,0)一一对

应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（2）复数−𝑖与复平面内点𝐴(0,−1)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量，如图所示：（3）复数−2+𝑖与复平面内点𝐴(−2,1)一一对应，利用平行四边形法则作出所求向量如图所示：19．（8分）（202

3·高三课时练习）已知复数𝑧满足|𝑧|+𝑧=8−4i，且𝑧是关于𝑥的实系数一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+25=0的一个根，求𝑚的值．【解题思路】设𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅),根据条件求出𝑧，由𝑧和𝑧为实系数一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+25=0的两

个根，可解得.【解答过程】设𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏∈𝑅)，则√𝑎2+𝑏2+𝑎−𝑏i=8−4i，得{√𝑎2+𝑏2+𝑎=8,𝑏=4,解得{𝑎=3,𝑏=4,所以𝑧=3+4i，𝑧

=3−4i，满足𝑧⋅𝑧=25．所以𝑚=−(𝑧+𝑧)=−6．20．（8分）（2022·高一单元测试）复数𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏>0)满足|𝑧|=√2,𝑧2为纯虚数；(1)求复数𝑧；(2)求(𝑧1−i)2022.【解题

思路】（1）由复数的乘法运算，纯虚数的概念，复数的模长公式求解即可；（2）有复数的除法与乘方运算求解即可【解答过程】（1）因为𝑧=𝑎+𝑏i(𝑎,𝑏>0)，所以𝑧2=(𝑎+𝑏i)2=𝑎2−𝑏2+2𝑎𝑏

i，则由题意可得：{𝑎2+𝑏2=2𝑎2−𝑏2=0，解得{𝑎=1𝑏=1，所以𝑧=1+i；（2）(𝑧1−i)2022=(1+i1−i)2022=[(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)]2022=i2022=i2=−1.21．（8分）（2023·

高一课时练习）已知复数𝑎1+𝑏1i，𝑎2+𝑏2i，𝑎3+𝑏3i(𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑏1,𝑏2,𝑏3∈R)，分别记作𝑧1，𝑧2，𝑧3，即𝑧1=𝑎1+𝑏1i，𝑧2=𝑎2+𝑏

2i，𝑧3=𝑎3+𝑏3i，求证：(1)𝑧1𝑧2=𝑧2𝑧1；(2)(𝑧1𝑧2)𝑧3=𝑧1(𝑧2𝑧3)；(3)𝑧1(𝑧2+𝑧3)=𝑧1𝑧2+𝑧1𝑧3．【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3）【解答过程】（1）𝑧1𝑧2=(𝑎1+𝑏1i)(

𝑎2+𝑏2i)=𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2+(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)i，𝑧2𝑧1=(𝑎2+𝑏2i)(𝑎1+𝑏1i)=𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2+(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)i，则𝑧1𝑧2=𝑧2𝑧1.（2）(𝑧1𝑧2)𝑧3=[(𝑎1+𝑏1i)(𝑎2+

𝑏2i)](𝑎3+𝑏3i)=[𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2+(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)i](𝑎3+𝑏3i)=(𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2)𝑎3−(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)𝑏3+[𝑏3(𝑎

1𝑎2−𝑏1𝑏2)+𝑎3(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)]i，𝑧1(𝑧2𝑧3)=(𝑎1+𝑏1i)[(𝑎2+𝑏2i)(𝑎3+𝑏3i)]=(𝑎1+𝑏1i)[𝑎2𝑎3−𝑏2𝑏3+(𝑎3𝑏2+𝑎2𝑏3)i]=𝑎1(𝑎2𝑎3−�

�2𝑏3)−𝑏1(𝑎3𝑏2+𝑎2𝑏3)+[𝑎1(𝑎3𝑏2+𝑎2𝑏3)+𝑏1(𝑎2𝑎3−𝑏2𝑏3)]i=(𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2)𝑎3−(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)𝑏3+[𝑏3(𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2

)+𝑎3(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)]i，则(𝑧1𝑧2)𝑧3=𝑧1(𝑧2𝑧3).（3）𝑧1(𝑧2+𝑧3)=(𝑎1+𝑏1i)[(𝑎2+𝑎3)+(𝑏2+𝑏3)i]=𝑎1(𝑎2+𝑎3)−𝑏1(𝑏2+𝑏3)+[𝑎1(𝑏2+𝑏3)+𝑏1(𝑎2+𝑎3

)]i，𝑧1𝑧2+𝑧1𝑧3=(𝑎1+𝑏1i)(𝑎2+𝑏2i)+(𝑎1+𝑏1i)(𝑎3+𝑏3i)=[𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2+(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)i]+[𝑎1𝑎3−𝑏1𝑏3+(𝑎1𝑏3+𝑎3𝑏1)

i]=[𝑎1𝑎2−𝑏1𝑏2+𝑎1𝑎3−𝑏1𝑏3]+[(𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)+(𝑎1𝑏3+𝑎3𝑏1)]i=𝑎1(𝑎2+𝑎3)−𝑏1(𝑏2+𝑏3)+[𝑎1(𝑏2+𝑏3)+𝑏1(𝑎2+𝑎3)]i，则𝑧1(𝑧

2+𝑧3)=𝑧1𝑧2+𝑧1𝑧3.22．（8分）（2022·高一单元测试）已知z为复数，𝜔=𝑧+9𝑧为实数.(1)当−2<𝜔<10时，求复数z在复平面内对应的点Z的集合；(2)当−4<𝜔<2时，若𝑢=�

�−𝑧𝛼+𝑧（𝛼>0）为纯虚数，求𝛼的值和|𝑢|的取值范围.【解题思路】（1）设𝑧=𝑥+𝑦i，x，𝑦∈𝑅，将𝜔用x，y表示.由复数𝜔满足题中所给的不等式可知，复数𝜔必为实数（虚数

不能比较大小）.可求出x，y所满足的关系式，再结合它们的范围，即可得到复数z在复平面内对应的点的集合；（2）在（1）的基础上，结合本小问所给的不等式，求出实数x的范围.因为𝑢=𝛼−𝑥−𝑦i𝛼+𝑥+𝑦i=(𝛼−𝑥−𝑦i)(𝛼+𝑥−�

�i)(𝛼+𝑥+𝑦i)(𝛼+𝑥−𝑦i)=𝛼2−2𝑦𝛼i−9𝛼2+2𝛼𝑥+9=𝛼2−9𝛼2+2𝛼𝑥+9−2𝑦𝛼𝛼2+2𝛼𝑥+9i，且u为纯虚数，所以𝛼2−9=0且2𝑦𝛼≠0.从而求出实数𝛼的值为

3.再结合𝑥2+𝑦2=9，可以将|𝑢|写成关于实数x的函数，求出该函数的值域即可.【解答过程】（1）设𝑧=𝑥+𝑦i，x，𝑦∈𝑅，则𝜔=𝑧+9𝑧=𝑥+𝑦i+9𝑥+𝑦i=𝑥+𝑦i+9(𝑥−𝑦i)(𝑥+𝑦i)(𝑥−𝑦i)=𝑥+

9𝑥𝑥2+𝑦2+(𝑦−9𝑦𝑥2+𝑦2)i为实数，∴𝑦−9𝑦𝑥2+𝑦2=0，∴𝑦=0或𝑥2+𝑦2=9.当𝑦=0时，𝜔=𝑥+9𝑥.∵−2<𝜔<10，∴−2<𝑥+9𝑥<10，当𝑥>0时，解得1<𝑥<9；当𝑥<0时，不等式的解集为

空集.∴点Z的集合为{(𝑥,𝑦)|𝑦=0(1<𝑥<9)}.当𝑥2+𝑦2=9时，𝜔=2𝑥.∵−2<𝜔<10，∴−2<2𝑥<10，解得−1<𝑥<5.又𝑥2+𝑦2=9，∴−1<𝑥⩽3.∴点Z的集合为{(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2=9(−1

<𝑥⩽3)}.综上，复数z在复平面内对应的点Z的集合为{(𝑥,𝑦)|𝑦=0(1<𝑥<9)}或{(𝑥,𝑦)|𝑥2+𝑦2=9(−1<𝑥⩽3)}.（2）由（1）可得当𝑦=0时，𝜔=𝑥+9𝑥.∵−4

<𝜔<2，∴−4<𝑥+9𝑥<2，∵当𝑥<0时，𝑥+9𝑥⩽−2√𝑥⋅9𝑥=−6；当𝑥>0时，𝑥+9𝑥⩾2√𝑥⋅9𝑥=6，∴不等式−4<𝑥+9𝑥<2的解集为空集.故不存在满足条件的𝜔.当𝑥2+𝑦2=9时，𝜔=2𝑥.∵−4<𝜔<2，∴−4<2𝑥<2，解得

−2<𝑥<1.∵𝑢=𝛼−𝑥−𝑦i𝛼+𝑥+𝑦i=(𝛼−𝑥−𝑦i)(𝛼+𝑥−𝑦i)(𝛼+𝑥+𝑦i)(𝛼+𝑥−𝑦i)=𝛼2−2𝑦𝛼i−9𝛼2+2𝛼𝑥+9=𝛼2−9𝛼2+2�

�𝑥+9−2𝑦𝛼𝛼2+2𝛼𝑥+9i为纯虚数，∴𝛼2−9=0且2𝑦𝛼≠0，∵𝛼>0，∴𝛼=3，𝑦≠0，∴𝑢=−6𝑦i18+6𝑥=−𝑦i3+𝑥.∵𝑥∈(−2,1)，∴|𝑢|=√𝑦2(3+𝑥)2=√9−𝑥2(3+𝑥)2=√3−𝑥

3+𝑥=√6𝑥+3−1∈(√22,√5).∴𝛼=3，|𝑢|∈(√22,√5).