【文档说明】安徽省徽师联盟2023-2024学年高三上学期10月质量检测数学试题 含解析.docx，共(18)页，832.090 KB，由小赞的店铺上传

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高三·数学10月质量检测卷考生请注意：1.考试时间：120分钟满分：150分2.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.3.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整､笔迹清晰

.4.请按照题序在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸､试题卷上的答题无效.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合(,)1,01Axyyxx==+，集合(,)2,010Bxyyxx==，则集合A∩B=（）A1,2B.01xxC.(1,2)D.【答案】C【解析】【分析】根据每个集合中对元素的描述，可转化为直线求交点问题，从而得解.【详解

】由题意可得，集合A表示01x时线段1yx=+上的点，集合B表示010x时线段2yx=上的点，则AB表示两条线段的交点坐标，联立12yxyx=+=，解得12xy==，满足条件，所以A

B=()1,2.故选：C.2.“2,1x−，220xa−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.0aB.1aC.2aD.3a【答案】D【解析】.【分析】先计算出2,1x−，220xa−为真命题的充要条件2a，

从而得到答案.【详解】2,1x−，22xa，只需2yx=在2,1x−上的最大值小于等于2a，其中max4y=，故24a，解得2a，因为32aa，但2a3a，所以3a是“2,1x−，220xa−”为真命题的一个充分不必要条件，C正确；其他三个选项均

不是充分不必要条件.故选：D3.不等式1123xx+−的解集为（）A.)3,4,2−+B.3,42C.)3,4,2−+D.3,42【答案】D【解析】【分

析】将所求不等式变形为4023xx−−，利用分式不等式的解法解原不等式，可得其解集.【详解】由1123xx+−可得()2311410232323xxxxxxx−−++−−==−−−，解得342x，故不等式1123xx+−的解集为3,42

.故选：D.4.若函数()21fx−的定义域为1,1−，则函数()11fxyx−=−的定义域为（）A.(1,2−B.0,2C.1,2−D.(1,2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.【详

解】由函数()21fx−的定义域为1,1−，即11x−，得3211x−−，因此由函数()11fxyx−=−有意义，得31110xx−−−，解得12x，所以函数()11fxyx−=−的定

义域为(1,2.故选：D5.已知xR，若210xax−+−恒成立，则实数a的取值范围是（）A.(),22,−−+UB.22−,C.()(),22,−−+D.()2,2−【答案】B【解析】【分析】分析可知不等式210xax−+对任意的xR恒成立，可得出240a=−

，即可解得a的取值范围.【详解】由210xax−+−可得210xax−+，由题意可知，不等式210xax−+对任意的xR恒成立，则240a=−，解得22a−.故选：B.6.已知函数()3πsin2

10fxx=+，则下列说法正确是（）A.()fx的图象关于直线3π10x=对称B.()fx的图象关于点π,04对称C.()fx的最小正周期为π2D.若将()fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

可得函数3πsin10yx=+的图象【答案】D【解析】【分析】利用代入检验法判断AB；直接求最小正周期判断C；利用三角函数的变换性质判断D.的【详解】因为()3πsin210fxx=+，所以3π3π3π

101010sin21f=+，0ππ23π4410sinf=+，故AB错误；显然()fx的最小正周期为2ππ2T==，故C错误．将()fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数3πsin10yx=+

的图象，D正确．故选：D.7.已知曲线()()exfxxa=+在点()()1,1f−−处的切线与直线210xy+−=垂直，则实数a的值为（）A.2eB.e12+C.e2−D.e2【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数和在1−处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为1−可得答案．【

详解】()()()ee1exxxfxxaxa=++=++，切线的斜率为()11ekfa−=−=，因为切线与直线210xy+−=垂直，所以()1e21a−−=−，解得e2a=．故选：D．8.已知正数x，y，z满足lnezxyyzx==，则x，y，z的大小

关系为（）A.xyzB.yxzC.xzyD.yzx【答案】A【解析】【分析】将z看成常数，然后根据题意表示出,xy，再结合导数证明恒不等式ezz，从而作差比较出大小即可得解.【详解】

由lnezxyyzx==，得lnxyzx=，则lnzy=，得ezy=，则由ezyzx=得eezzzx=，故2ezxz=，令()e(0)zfzzz=−，则()e10zfz=−，所以函数()fz在(0,)+上单调递增，则0()(0)e01fzf=−=，所以ezz，即

yz，又22eeee(e)e0zzzzzzzzxyzzz−−−=−==，所以xy，综上，xyz.故选：A．二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的5分，部

分选对的得2分，有选错的得0分.9.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（）A.30B=，2b=，2c=B.30B=，2b=，4c=C.30B=，2b=，5c=D.75A=，

30B=，2b=【答案】BD【解析】【分析】用b与点A到边BC的距离及c的长比较大小可判断A，B，C；求三角形各边及角可判断D.【详解】选项A，点A到边BC的距离是1，∵122，∴三角形有两解；选项B，点A到边BC的距离是2与b相等，∴三角形是直角三角形，有唯一解；选项C，点A到边BC

的距离是2.5b，三角形无解；选项D，根据已知可解出π75CAB=−−=，62ac==+，∴三角形有唯一解.故选：BD.10.下列命题中，真命题的是（）A.xR，都有21xxx−−B.()1,x

+，使得461xx+=−.C.任意非零实数,ab，都有2baab+D.函数22109xyx+=+最小值为2【答案】AB【解析】的【分析】对于选项A，作差比较可知A正确；对于选项B，当2x=时，可知B正确；对于选项C，当,ab异号时，可知C错误；对于选项D，根据基本不等式取

等的条件不成立可知D错误.【详解】对于选项A，()221210xxxxx−−−=−+，所以对xR，都有21xxx−−，故选项A正确；对于选项B，当2x=时，4426121xx+=+=−−，故选项B正确；对于选项C，若,ab异号，则ba

ab+0，故选项C错误；对于选项D，2222221091192999xxyxxxx+++===+++++，当且仅当22199xx+=+，此时291x+=，此式无解，所以函数22109xyx+=+的最小值不为2，故选项D错误.故选：AB11.已知()()()2sin0,0πfxx+

=，若方程()1fx=在π2π,63−上恰有3个不同实根()123123,,xxxxxx，则当取最小值0时，下列结论正确的有（）A.0125=B.13π30=C.()fx的图象关于直线π36x=−对称D.12313π218xxx++=【答案】ACD【解析】【分析】对

于A、B：根据题意结合正弦函数性质求0,；对于C、D：可得()1217π2sin530fxx=+，进而以1217π530x+为整体，结合正弦函数的对称性判断.【详解】由题意可得：()fx的最

小正周期2ππ5π3662ππ5π2366TT−−=−−=，解答5π5π126T，且0，则5π2π5π126，解得122455，所以0125=，故A正确；此时()122sin5fxx=+，因为π2

π2sin165f−=−+=，则2π1sin52−+=，又因为0π，则2π2π3π555−−+，所以2ππ56−+=，解答17π30=，故B错误；由()1217π2sin530fxx=+，得

ππ2sin2362f−==为最大值，故()fx的图象关于直线π36x=−对称，故C正确；由1217ππ5302xk+=+，kZ，可得π5π3612xk=−+，kZ，且π2π,63x−，则1217ππ13π,53066x+

，可得12ππ23618xx+=−=−，23π5π7π236129xx+=−+=，所以12313π218xxx++=，D正确；故选：ACD.12.已知0,R,eab是自然对数的

底，若elnbbaa+=+，则ab−的值可以是（）A.1B.1−C.2D.12【答案】AC【解析】【分析】设()exfxx=+，结合单调性可得eba=，从而ebabb−=−，令()exgxx=−，利用导数求得()gx的范围即可判断.【详解】设()exf

xx=+，则()fx在R上单调递增，∵()()()lnlnelnebafbfaba−=+−+ln(ln)0aaaa=+−+=，∴lnba=，即eba=，∴ebabb−=−，令()exgxx=−，则()e1xgx=−

，当0x时，()0gx，()gx单调递减，当0x时，()0gx，()gx单调递增，∴()(0)1gxg=，从而1ab−，故AC符合.故选：AC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()f

x是偶函数且在)0,+上单调递增，又()21f−=，则不等式()11fx−的解集为______．【答案】()1,3−【解析】【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；【详解】因为()fx是偶函数，所以()()221ff=−=，所以()()12fxf−，又因为在)0,+上单调递增，

所以12x−，解得：13x−，故答案为：()1,3−.14.若“1,3x，22xa−”为真命题，则实数a最小值为_______.【答案】1−【解析】【分析】“1,3x，22xa−”为真命题，即()2min2xa−，求

出22x−的最小值即可得解.【详解】若“1,3x，22xa−”为真命题，则()2min2xa−，由1,3x，得()2min2121x−=−=−，所以1a−，所以实数a的最小值为1−.的故答案为：1−.15.若函

数()2()exfxxmx=+在13,22−上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．【答案】3,2−【解析】【分析】先求()fx的导函数，再将函数()fx在区间13,22−上存在单调递减区间转化为()0fx在区间13,22−

上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数m的范围．【详解】()()2exfxxmx=+，则()()2e2xfxxmxxm=+++，函数()fx在区间13,22−

上存在减区间，只需()0fx在区间13,22−上有解，即()220xmxm+++在区间13,22−上有解，又13,22x−，则151,22x+，所以221xxmx−−+在区间13,22−上有解，所以2max2

1xxmx−−+，13,22x−，令1xt+=，15,22t，则()222112111xxxtxxt−++−−−+==++，令()1gttt=−+，则()2110gtt=

−−在区间15,22t恒成立，所以()gt在15,22t上单调递减，所以()max1322gtg==，即2max2312xxx−−=+，所以32m，所以实数m的取值范围是3,2−．故答案为：3,2−．16.已知

函数()2202320231xxfx=+，若不等式()()e2lnlnxfafax−−恒成立，则a的最小值为______.【答案】1e##1e−【解析】【分析】变形给定函数，构造函数()()1gxfx=−，探讨函数()gx

的性质，再脱去给定不等式中的法则“f”，构造函数并借助导数求解恒成立的不等式作答.【详解】依题意，()20231202312023112023120231xxxxxfx++−−==+++，()()2023120231221120231

2023120231xxxxxgxfx−+−=−===−+++，()gx在R上单调递增，且()()20231120232023112023xxxxgxgx−−−−−===−++，()gx为奇函数，(e2(l

nln)(e11(lnln)(e(lnln))))xxxfafaxfafaxgagxa−−−−−−lnelnlnlnelnlnexxxaxxxxaxaxaaaa−==，令()e(0)xhxxx=，求导得()(1)0xhxxe=+，函数()hx在(0,)+上

单调递增，当ln0xa时，有)()(lnhxhxa，于是lnxxa，当ln0xa时，显然lnxxa成立，因此lnxxa，即e1xxa，令e(),0xxxx=，求导得2(1)e()xxxx−=，

当(0,1)x时，()0x，函数()x单调递减，当(1,)x+时，()0x，函数()x单调递增，因此当1x=时，min()(1)ex==，则1ea≤，而0a，有1ea，所以a的最小值为1e.故答案为：1e【点睛】

关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合1Axx=−或

5x，22Bxaxa=+．（1）若1a=−，求AB和AB；（2）若xA是xB的必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）21ABxx=−−，1ABxx=或5x（2）2a

a或3a−【解析】【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；（2）根据必要条件的性质进行求解即可.【小问1详解】∵1a=−，∴21Bxx=−，∴21ABxx=−−，1ABxx=或5x；【小问2详解】∵xA是xB的必要条件，∴BA∴当B=

时，则有22aa+，解得2a．满足题意．当B时，有()22121aaa++−，或()22225aaa+，由不等式组()1可得3a−，不等式组()2无解．综上所述，实数a

的取值范围是2aa或3a−.18.已知向量()2sin,3cosaxx=，()sin,2sinbxx=，函数()fxab=（1）求()fx的单调递增区间；（2）若不等式()fxm对π02x，都成立，求实数m的最大值．【答案】（1）()ππππZ63kkk−+

，（2）0【解析】【分析】（1）化简()fx得，()π2sin(2)16fxx=−+，令πππ2π22π(Z)262kxkk−−+，求解即可；（2）由π02x得ππ5π2666x−−，根据正弦函数的性质可得()[0,3]fx

，从而可得0m，进而可求得m的最大值.【小问1详解】2()2sin23sincosfxxxx=+1cos223sincosxxx=−+3sin2cos21xx=−+π2sin(2)16x=−+由πππ2π22π(Z)262kxkk−−+，得()ππππZ.63kxkk−+所

以()fx的单调增区间是()ππππZ.63,kkk−+小问2详解】因为π02x，所以ππ5π2666x−−，所以1πsin2126x−−，所以π()2sin(2)1[0,3].6fxx=−+所以0m，即m的最大值为0.19.ABC的

内角、、ABC的对边分别为abc、、，已知()cos2cosbCacB=−.（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且1c=，求ABC面积的取值范围.【答案】（1）π3B=；（2）33(,)82.【解析】【分析

】（1）根据给定条件，利用正余弦定理边化角结合和角的正弦求解作答.（2）由正弦定理用角C的三角函数表示出三角形面积，再借助三角函数性质求解作答.【【小问1详解】在ABC中，由()cos2cosbCacB=−及正弦定理得sincoscossin2sincosBCBCAB

+=，即2sincossin()sinABBCA=+=，而,(0,π)AB，即sin0A，因此1cos2B=，所以π3B=.【小问2详解】在锐角ABC中，π3B=，则2π3AC=−，又1c=，由正弦定理得sinsinacAC=，即2π31sin()cossi

nsin31322sinsinsin2tan2CCCcAaCCCC−+====+而π022ππ032CC−，即ππ62C，则3tan3C，103tanC，因此122a，于是ABC面积11π333sin1sin(,)

223482ABCSacBaa==创=?，所以ABC面积的取值范围是33(,)82.20.已知函数()()210fxxaxa=−++.（1）当2a=时，求关于x的不等式()0fx的解集；（2）求关于x的不等式()0fx的解集；（3）若()20fxx+在区间()1,+上恒成

立，求实数a的范围.【答案】（1）()()12,∪,−+；（2）答案见解析；（3）(23,2−+.【解析】【分析】（1）把2a=代入可构造不等式2320xx−+，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数()()()()2

1010fxxaxaxax=−++−−，分类讨论可得不等式的解集.（3）若()20fxx+在区间()1,+上恒成立，即21xxax+−在区间()1,+上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.【小问1详解】当2a=时，则()232fxxx=−+，由

()0fx，得()()2320210xxxx−+−−，原不等式的解集为()()12,∪,−+；【小问2详解】由()()()010fxxax−−，当1a时，原不等式的解集为()1,a；当1a=时，原不等式的解集为；当1a时，原不等式的解集为(),1a.【

小问3详解】由()20fxx+即()210xxxa+−−在()1,+上恒成立，得21xxax+−.令1tx=−()0t，则()2211233221ttxxtxtt++++==+++−，当且仅当2t=，即21x=+时取等号.则223a+，.故实数a的范围是(2

3,2−+21.已知定义域为R的函数()22xxafxb−=+是奇函数.（1）求,ab的值.（2）判断()fx的单调性（不必证明）.（3）若存在[0,4]t，使()()22420fktftt++−成立，求k的取值范围.【答案】（

1）1a=，1b=（2）函数()fx在R上是减函数（3）4k−【解析】【分析】（1）首先由()fx是奇函数可知(0)0f=，得出1a=，后面再根据当0x时，有恒等式()()1210xb−−=成立即可求出1b=.（2）将()fx表达式

变形为12(12)22()1121212xxxxxfx−−++===−++++，根据复合函数单调性即可判断（或者由定义也可以判断）.（3）结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为24ktt−，由题意问题等价于min()kgt，由此即可得解.【小

问1详解】因为函数()fx是定义在R上的奇函数，所以(0)0f=，即101ab−=+，所以1a=，又因为()()fxfx−=−，所以122122xxxxaabb−−=−++，将1a=代入，整理得2121212xxxxbb−−=+

+，当0x时，有212xxbb+=+，即()()1210xb−−=，又因为当0x时，有210x−，所以10b−=，所以1b=.经检验符合题意，所以1a=，1b=.【小问2详解】由（1）知：函数1

2(12)22()1121212xxxxxfx−−++===−++++，函数()fx在R上是减函数.【小问3详解】因为存在[0,4]t，使()()22420fktftt++−成立，又因为函数()fx是定义在R

上的奇函数，所以不等式可转化为()()2224fktftt+−，又因为函数()fx在R上是减函数，所以2224kttt+−，所以24ktt−，令()22424()gtttt−=−=−，由题意可知：问题等价转化为min()kgt，又因为mi

n()(2)4gtg==−，所以4k−.22.已知函数()ecos2xfxaxx=−+−．（1）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若()fx在()0,+上单调递增，求实数a的取值范围；（3）当1a时，判断()fx在()0,

+零点的个数，并说明理由．【答案】（1）()1yax=−（2）(,1−（3）仅有一个零点，理由见解析；【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出()fx在()()0,0f处的导数值，再由直线的点

斜式方程即可求得切线方程；（2）根据导函数与原函数的关系可知，()0fx在()0,+上恒成立，构造函数()()esin,0,xgxxx=−+并求出其最小值即可求得实数a的取值范围；（3）利用函数与方程的思想，求出方程ecos2xx

ax+=+的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数()ecosxhxx=+和2yax=+的图象，利用切线方程位置可求出结果.【小问1详解】由()ecos2xfxaxx=−+−可得()esinxfxax=−−，此时切线斜率为()0esin010faa=

−−=−，而()00e0cos020f=−+−=；所以切线方程为()()010yax−=−−，即()1yax=−；即曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为()1yax=−；【小问2详解】根据题意，

若()fx在()0,+上单调递增，即可得()esin0xfxax=−−在()0,+上恒成立，即esinxax−恒成立；令()()esin,0,xgxxx=−+，则()()ecos,0,xgxxx=−+；显然ex在()0,x+上满足0ee

1x=，而cos1x恒成立，所以()ecos0xgxx=−在()0,x+上恒成立；即()esinxgxx=−在()0,x+单调递增，所以()()01gxg=；所以1a即可；因此实数a的取值范围为(,1−.【小问3详解】令()ecos20xfxaxx=−+−=，即可得eco

s2xxax+=+；构造函数()ecosxhxx=+，()0,x+，易知()esin0xhxx=−在()0,+上恒成立，即()hx在()0,+上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数2yax=+恒过()0,2，且()00ecos0=2

h=+，易知()00esin01h=−=，所以函数()ecosxhxx=+在()0,2处的切线方程为2yx=+；又1a，所以2yax=+（图中虚线）在()0,+范围内恒在2yx=+（图中实直线）的上方；所以由图易知2yax=+与()ecosxhxx=+在()0,+范围内仅有一个交点，

即函数()fx在()0,+内仅有一个零点.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com