【文档说明】浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.119 MB，由小赞的店铺上传

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2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题

5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.直线3310xy−−=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．【详解】因为该直线的斜率为33，所以它的倾斜角为30

．故选：A．2.若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（）A.4√33πB.43πC.83π3D.83π【答案】C【解析】【分析】利用圆锥表面积公式求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得.【详解】圆锥底

面圆半径r，母线l，高h，由圆锥的表面积为12π，得π𝑟2+π𝑟𝑙=12π，而2r=，解得4l=，因此2223hlr=−=，所以该圆锥的体积𝑉=13π𝑟2ℎ=13π×22×2√3=8√33π.故选：C3.设aR，则“a＝1”是“直

线1l：ax＋2y－1＝0与直线2l：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】∵当a=1时，直线1l：x+2y﹣1=0与直线2l：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是12−，截距不相等，

得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到21114aa−=+，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平

行关系．4.在四面体OABC中，记OAa=，OBb=，OCc=，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则MN=（）A.111222abc++B.111222abc−++C.111222abc−+D.111222abc+−【答案】B【解析】【分析

】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.【详解】由题意得：11111()22222MNONOMOBOCOAabc=−=+−=−++，故选：B.5.直线20xy++=分别与x轴，y轴交于,AB两点，点P在圆()2222xy−+=上，则ABP面积的取值范围是（）A.2,6B.

4,8C.2,32D.22,32【答案】A【解析】【分析】先求出,AB两点坐标得到||AB，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线AB距离的范围，由三角形的面积公式计算即可.【详解】因为线20xy++=分别与x轴，y轴交于,AB两点，所以(2,0),(0,2)AB−−，所以

22||(02)(20)22AB=++−−=，由()2222xy−+=，可得圆的圆心为(2,0)，半径为2，因为点P在圆()2222xy−+=上，所以圆心到直线AB的距离为|202|222d++==，故P到直线AB的距离1d的范围为[2,32]，则111||2[2,6]2ABPSA

Bdd==.故选：A.6.已知圆22:20Cxyx+−=，直线:10lxy++=，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当·PCAB最小时，直线AB的方程为（）A.0xy+

=B.0xy−=C.2210xy−+=D.2210xy++=【答案】A【解析】【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出·PCAB最小时，直线l与直线PC垂直，结合图象求得直线AB的方程.【详解】圆C的标准方程为()2211xy−+=，圆心为()1,0，半径为1r=.依圆的知识可知，四点

P，A，B，C四点共圆，且AB⊥PC，所以14422PACPCABSPAACPA===△，而21PAPC=−，当直线PC⊥l时，PA最小，此时PCAB最小.结合图象可知，此时切点为()()0,

0,1,1−，所以直线AB的方程为yx=−，即0xy+=.故选：A7.设函数()()2lnfxxaxbx=++，若()0fx，则a的最小值为（）A.2−B.1−C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据对数函数性质判断lnx在不同区间的符号，在结合二次函数性

质得1x=为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()fx定义域为(0,)+，而01ln0xx，1ln0xx==，1ln0xx，要使()0fx，则二次函数2yx

axb=++，在01x上0y，在1x上0y，所以1x=为该二次函数的一个零点，易得1ba=−−，则2(1)(1)[(1)]yxaxaxxa=+−+=−++，且开口向上，所以，只需(1)0101aaa−++−，故a的最小值为1−.故选：B8.

已知三棱锥ABCD−的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，90BAC=，2AD=，若球O的表面积为29，则三棱锥ABCD−的侧面积的最大值为A.25524+B.541524+C.27632+D.251022+【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，设球O得半径

为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29π，可得x2+y2=25，写出侧面积，再由基本不等式求最值．【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．

三棱锥A-BCD的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=11122222xyxy++由x2+y2≥2xy，得xy≤252当且仅当x=y=522时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤52,当且仅当x=y=522时取等号，∴S≤52

+12522=25524+当且仅当x=y=522时取等号.∴三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为25524+.故选A.【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运

算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9

.已知圆()22:24Cxy++=，直线()():1210Rlmxymm++−+=，则（）A.直线l恒过定点()1,1−B.直线l与圆C有两个交点C.当1m=时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1D.圆C与圆222880xyxy+−++=恰有三条公切线【

答案】ABD【解析】【分析】求出直线l过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D.【详解】对于A，直线l的方程为(1)210xmxy+++−=，由10

210xxy+=+−=，得11xy=−=，直线l过定点(1,1)−，A正确；对于B，()2212124−++=，即定点(1,1)−圆C内，则直线l与圆C相交且有两个交点，B正确；对于C，当1m=时，直线:0

lxy+=，圆心(2,0)C−到直线l的距离为2022d−+==，而圆C半径为2，因此只有2个点到直线l的距离等于1，C错误；对于D，圆222880xyxy+−++=的方程化为22(1)(4)9xy−++=，其圆心(1,4)−，半径为

3，两圆圆心距为22(12)(40)532d=++−−==+，两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.故选：ABD.10.定义在R上的偶函数()fx，满足()()()21fxfxf+−=，则（）A.()10f=B.()()110f

xfx−++=C.()()1212fxfx+=−D.201()10ifi==【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得(2)()0fxfx+−−=、(1)(1)0fxfx+−−=判断B、C；根据函数的性质，举反例()0f

x=判断D.【详解】由()()()21fxfxf+−=，令1x=−，则()()()0111(1)ffff−−==−，又()fx为偶函数，则(1)(1)0ff=−=，A对；由上，得()()0(2)()02fxffxfxx=−−−+=+①，在①式，将1x−代换x，得(1)

(1)0fxfx+−−=②，B错；在为在②式，将2x代换x，得(21)(12)0(21)(12)fxfxfxfx+−−=+=−，C对；由()()2fxfx+=且(1)(1)fxfx+=−，即()fx周期为2且关于1x=对称，显然()0

fx=是满足题设的一个函数，此时201()0ifi==，D错.故选：AC11.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设a

O表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆,bcOO的劣弧,ACAB的弧长分别记为,bc，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，abc==，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面ABCV围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面OABC−．设,,BOCAOCAOB

===，则下列结论正确的是（）A.若平面ABCV是面积为234R的等边三角形，则abcR===B.若222abc+=，则222+=C.若π3abcR===，则球面OABC−的体积3212VRD.若平面ABCV为直角三角形，且π2ACB=，则222abc+=

【答案】BC【解析】【分析】对于B，利用,,aRbRcR===代入易得；对于C，先求得三棱锥OABC−体积3212OABCVR−=，由球面OABC−的体积OABCVV−即得；对于A，由条件知ABCV三边为R，推得π3abcR===排

除A，对于D，由余弦定理和题设可得coscoscos1+−=，取特殊值即可排除D.【详解】对于A，因等边三角形ABCV的面积为234R，则ABBCACR===，的又OAOBOCR===，故==π,3=则π3a

bcR===，故A错误；对于B，由222abc+=可得222()()()RRR+=，故222+=，即B正确；对于C，由π3abcR===可得，π,3===故ABBCACR===.由正弦定理，ABCV的外接圆半径为13π23sin3RR=

，点O到平面ABC的距离223633RhRR=−=，则三棱锥OABC−的体积2311362334312OABCABCVShRRR−===,而球面OABC−的体积3212OABCVVR−=，故C正确；对于D，由余弦

定理可知22222222222cos,22cos,22cos,BCRRACRRABRR=−=−=−由π2C=可得，222BCACAB+=，即2222242cos2cos22cosRRRRR−−=−，化简得，cosc

oscos1+−=．取ππ,32===，则ππ,32abRcR===，则2222222ππ94abRR+=2c=，故D错误．故选：BC三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若

圆()22121Cxy−+=：与圆222:460Cxyxym++++=有且仅有一条公切线，m=______.【答案】23−【解析】【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可.【详解】由()()22222:4602313Cxyxymxym+++

+=+++=−，显然()()1213,2,0,2,3mCC−−，又12,CC只有一条公切线，所以12,CC相内切，将2C点坐标代入圆1C方程知()()222231−−+−，即2C在圆1C外部，所以圆1C内切于圆2C，则有

()()221222305131CCm=−−+−−==−−，解之得23m=−.故答案为：23−13.已知函数()π2sin0,02yx=+的图象经过点()0,2，且在y轴右侧的第一个零点为π4，当0,2πx

时，曲线sinyx=与()2sinyx=+的交点有__________个，【答案】6【解析】【分析】根据题意，求得函数的解析式为π2sin34yx=+，画出sinyx=与π2sin34yx=+在区间0,2π上的图象，

结合图象，即可求解.【详解】因为函数()2sinyx=+的图象经过点()0,2，可得2sin2=，即2sin2=，又因为π02，所以π4=，因为π2sin(0)4yx=+在y轴右侧的第一个零点为π,4所

以πππ44+=，解得3=，所以π2sin34yx=+，画出sinyx=与π2sin34yx=+在区间0,2π上的图象，如图所示，由图可知曲线sinyx=与π2sin34yx=+的交点有6个.故答案为：6.14.如图，在长方形ABC

D中，3AB=，2BC=，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将AFD△沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB⊥，K为垂足．设AKt=，则t的取值范围是_______.【答案】4,23【解析】【分析】设D

Fx=，求得x关于t的表达式，根据x的取值范围结合AKAD<求得t的取值范围.【详解】如图，在平面ADF内过点D作DHAF⊥，垂足为H，连接HK．过点F作//FPBC，交AB于点P．设FAB=，22352,1322AEAC=+==，所以

133cos,3135．设DFx=，则332x．因为平面ABD⊥平面ABC，平面ABD平面ABCAB=，DKAB⊥，DK平面ABD，所以DK⊥平面ABC，又AF平面ABC，所以DKAF⊥．又因为DHAF⊥

，DKDHD=，DK，DH平面DKH，所以AF⊥平面DKH，所以AFHK⊥，即AHHK⊥．在RtADF中，24AFx=+，224xDHx=+，因为ADF△和APF都是直角三角形，PFAD=，所以RtRtADFFPA≌△△，APDFx==．

因为AHDADF∽△△，22244,,24xAHDHAHxAHADDFxx+===+，所以2244cos,4AHAPxxAKAFtx+===+，得4xt=．因为332x，所以3432t，所以4833t．

又AKAD<，即2t，故423t.故答案为：4,23四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答

卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间30,90内.现将100个样本数据按)30,40，[40,50)，[50,60)，[60,70)，)70,80，80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.（1）请估计样本数据的平均

值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；（2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.【答案】（1）样本数据的平均值为68.5，中位数为71.7；（2）学生甲不能得到表彰，理由见解析.

【解析】【分析】（1）用每组数据中点值乘以该组数据的频率相加求和可得平均值，先估算中位数的范围，再列方程求中位数；（2）估算排名在70%的成绩，和76比较，得到结论.【小问1详解】样本数据的平均值为()350.

005450.010550.010650.020750.030850.0251068.5+++++=因为从左至右的前4组数据的频率为0.050.10.10.20.45+++=，从左至右的前5组数据的频率为0.050.10.10.20.300.75++++=，所以样本数据

的中位数位于区间)70,80内，设中位数为x，则()0.45700.0300.5x+−=，所以21571.73x=，【小问2详解】成绩低于70分的频率为0.45，成绩低于80分的频率为0.75，则被表彰的最低成绩为0.70.45701078.33

33760.30−+=，所以估计学生甲不能得到表彰.16.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为()1,1，动点P满足2PAPO=（1）求动点P的轨迹C的方程（2）若直线l过点()1,2Q且与轨迹C相切，求直线l的方程.【答案】（1）222220xyxy+++

−=；（2）1x=或512190xy−+=.【解析】【分析】（1）设(),Pxy，根据动点P满足2PAPO=，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设(),Pxy，由||2||

PAPO=，得()()2222112xyxy−+−=+，化简得222220xyxy+++−=，所以P点的轨迹C的方程为222220xyxy+++−=.【小问2详解】由（1）知，轨迹C：22(1)(1)4xy+++=表示圆心为(1,1)C

−−，半径为2的圆，当直线l的斜率不存在时，方程为1x=，圆心(1,1)C−−到直线l的距离为2，l与C相切；当直线l的斜率存在时，设():21lykx-=-，即20kxyk−+−=，于是2|23|21kk−+=+，

解得512k=，因此直线l的方程为51901212xy−+=，即512190xy−+=，所以直线l的方程为1x=或512190xy−+=.17.已知函数()2xxbafxxa−=−（0a且1abR）

是定义在R上的奇函数，且()512f=−；（1）求a，b的值；（2）解不等式()()21570fxfx−+−．【答案】（1）1,b=2a=，（2）23xx【解析】【分析】（1）根据()00f=和()512f=−即可联立求解，（2

）根据函数的单调性以及奇偶性即可求解.【小问1详解】由题意可知：()00f=和()512f=−，故()01000bfa−=−=且()25112bafa−=−=−，故1,b=2a=，12a=−（舍去）【小问2详解】()2121222xxxx

fxxx−=−=−−，由于函数1,2,2xxyyyx==−=−均为单调递减函数，故()fx为单调递减，故()()()()221570175fxfxfxfx−+−−−，即2175xx−−，解得23x，故不等式的解为23xx18.在如图所示的试验装

置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线BD和BF上移动，且BM和BN的长度保持相等，记()02BMBNaa==．（1）证明：//MN平面BCE；（2）当22a=时，求平面MNA与平面MNB夹角的余

弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）由已知可证明//MNDF，可得//MNCE，由线面平行的判定定理得//MN平面BCE；（2）由题意，M，N分别BD和BF的中点，O为MN中点，连接,AOBO，余弦定理求cosBOA，可得平面

MNA与平面MNB夹角的余弦值.【小问1详解】连接,DFCE，ABCD，ABEF的边长都是正方形，则有2BDBF==，又()02BMBNaa==，则BDFV中，BMBNBDBF=，所以//MNDF，由////DCABFE，DCABFE==，则四边形CDFE为平行四边形，有

//DFCE，所以//MNCE，MN平面BCE，CE平面BCE，所以//MN平面BCE.【小问2详解】当22a=时，M，N分别BD和BF的中点，连接,AMAN，则22BMBNAMAN====，平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB=，AD平面ABCD

，ADAB⊥，则AD⊥平面ABEF，AF平面ABEF，则ADAF⊥，1ADAF==，得2DF=，1222MNDF==，O为MN中点，连接,AOBO，则AOMN⊥，BOMN⊥，64AOBO==，AOBV中，由余弦定理，

2221cos23AOBOABBOAAOBO+−==−，所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为13.【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和

二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，利用余弦定理求解；也可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小

.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABCV的三个内角均小于120时，使得120APBBPCCPA===的点P即为费马点；当ABCV有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点.在ABCV中，

内角A，B，C的对边分别为a，b，c.（1）若tantancos()costantan1ACACBAC−+=−.①求B；②若ABCV的面积为3，设点P为ABCV的费马点，求PAPC的取值范围；（2）若ABCV内一点P满足PABPBC

PCA===，且PB平分ABC，试问否存在常实数t，使得2btac=，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①π3B=；②2,03−（2）存在，1t=【解析】【分析】（1）①根据三角形内角和定理结合两角和差的余弦公式化简即可得解；②在PAB，PBC中

，分别利用正弦定理求出,PAPC，再根据数量积的定义结合三角恒等变换化一，再根据三角函数的性质即可得解；（2）根据ABCPABPBCPACSSSS=++求出三角形ABC面积的表达式，再在PAB，PBC，PAC中，

分别由余弦定理求出cos与,,abc的关系，再结合1sin22ABCSac=化简即可得出结论.【小问1详解】①因为tantancos()costantan1ACACBAC−+=−，且πABC++=，所以ta

ntancos()cos()tantan1ACACACAC−−+=−，所以sinsincoscossinsin(coscossinsin)sinsincoscosACACACACACACAC+−−=−，即sinsin2s

insincos()ACACAC=−+，因为(0,π)A，(0,π)C，所以sin0A，sin0C，所以1cos2B=，因(0,π)B，所以π3B=；②因为π3ABC=，所以ABCV的内角均小于2π3，所以点P在ABCV的内部，且2π3APB

BPCCPA===，由1sin32ABCSacB==，得4ac=，设ABP=，π0,3，则π3CPB=−，是为在PAB中，由正弦定理得sinsinPAcAPB=，即2

sin,3PAc=在PBC中，由正弦定理得πsinsin3PCaCPB=−，即2πsin33PCa=−，所以2π22π1cossinsin33233PAPCPAPCca

==−−2π8πsinsinsinsin3333ac=−−=−−8318311cos2sincossinsin23223422−=−−=−−

83114π2sin2cos2sin23444363=−+−=−++，因为π0,3，所以ππ5π2,666+，所以π1sin2,162

+，所以PAPC的取值范围为2,03−；【小问2详解】因为111sinsinsin222ABCPABPBCPACSSSScAPaBPbCP=++=++，即1sin()2ABCScAPaBPbCP=++，所以2sinABCScA

PaBPbCP++=，在PAB，PBC，PAC中，分别由余弦定理得：2222cosBPcAPcAP=+−，2222cosCPaBPaBP=+−，2222cosAPbCPbCP=+−，三式相加整理得2222cos()cAPaBPbCPabc+

+=++，2222cos()abccAPaBPbCP++=++，将2sinABCScAPaBPbCP++=代入得：22222cossinABCSabc++=，因为PB平分ABC，所以2ABC=，1sin22ABCSac=，所以22222sin22

cos2cos4cossinsinABCSacabcac++===，③又由余弦定理可得：()2222222cos22cossinacbacbac+=+=+−，④由③−④得：()22222sincosbbac=−++，所以(

)222sincosbac=+，即2bac=，所以常数1t=，使得2bac=.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种

常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.