【文档说明】北京市十一学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，881.291 KB，由小赞的店铺上传

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北京十一学校2023～2024学年第3学段高一年级数学1教与学诊断（2024.4）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置1.已知1tan3=，则πtan4+

=（）A.910217+B.12C.2D.3【答案】C【解析】【分析】借助两角和的正切公式计算即可得.【详解】1π1tantanπ34tan2π141tantan143+++===−−.故选：C.2.在ABC中，45,60,10ACa===，

则c=（）A.56B.5C.52D.53【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算即得.【详解】ABC中，45,60,10ACa===，由正弦定理得sinsinacAC=，所以604510sin56sinc==.故选：A3.在ABC中，3

cos5A=，则cos2A=（）A.55B.255C.55−D.255−【答案】B在【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】在ABC中，3cos5A=，则π02A，cos02A，由2cos2cos12AA=−，得1cos425cos2255

AA+===.故选：B4.已知tan2=，则2sin2sin+=（）A.1B.85C.45D.65【答案】B【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式，结合正余弦的齐次式法计算即得.【详解】由tan2=

，得222222222sincossin2tantan2228sin2sinsincostan1215++++====+++.故选：B5.在ABC中，已知120,23,2BACAB===，则BC=（）A

.1B.3C.4D.2【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程并求解即得.【详解】在ABC中，120,23,2BACAB===，由余弦定理，得2222cosACABBCABBCB=+−，则21244cos120BCBC=+−，整理得2280BCBC+

−=，而0BC，所以2BC=.故选：D6.函数①()sincosfxxx=+，②()sincosfxxx=，③2π()2cos14()fxx=+−中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（）A.①②B.②C.③D.②③【答案】D【解析】【分析】利用辅助

角公式及二倍角的余弦公式化简函数式并逐一判断即得.【详解】对于①，π()2sin()4fxx=+，显然π()04f−=，π()24f=，ππ()()44ff−−，因此函数()sincosfxxx=+不是奇函数，①不是；对于②，1()sin22fxx=的定义域为R，11()sin2()si

n2()22fxxxfx−=−=−=−，函数()sincosfxxx=是奇函数，周期为π，②是；对于③，π()cos(2)sin22fxxx=+=−的定义域为R，()sin2()sin2()fxxxfx−=−−==−，函数2π()2cos14()fxx=+−是奇函数，周期为π，③是，故选：D7.

如图是函数π()sin()(0,0,||)2fxAxA=+的部分图象，则该函数解析式为（）A.1π2sin()26yx=+B.π2sin(2)6yx=+C.π2sin(2)12yx=+D.π2sin(2)6yx

=−【答案】B【解析】【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出各参数即可.【详解】观察图象知，2A=，函数()fx的周期2ππ2()π36T=−=，则2π2T==，由π()26f=，得ππ22π,Z62kk+=+，而π||

2，则π0,6k==，所以π()2sin(2)6fxx=+.故选：B8.已知ABC的内角、、ABC的对边分别为abc、、，若ABC的面积为2224cab−−，则C=（）A.6B.4C.2D.34【答案】D【解析】【分析

】根据三角形面积公式列出相应等式，结合余弦定理化简，即可得到答案.【详解】由题意可得：2221sin24cababC−−=，即1sico2ns2abCabC=−，则tan1=−C，由于(0,)C，故34C=,故选：D9.设函数π()cos(0)6fxx=−．若π

14f=，则的最小值为（）A.13B.12C.23D.83【答案】C【解析】【分析】借助余弦型函数的性质计算即可得.【详解】由题意可得()ππ2π46kk−=Z，即()283kk=+Z，又0

，故min23=.故选：C.10.在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则EB=（）A.3144ABAC-B.3344ABAC−C.3144ABAC+D.3344ABAC+【答案】A【解

析】【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，所以()1113122244EBEAABADABABACABABAC=+=−+=−++=−，故选：A．11.在ABC中，π4A=，则“2sin2B”是“ABC

是钝角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先判断如果2sin2B能不能推出ABC是钝角三角形，再判断如果ABC是钝角三角形，是否一定有2sin2B即可.【详解

】如果2sin2B，由于B是三角形的内角，并且4A=,则04B，2AB+，ABC是钝角三角形，所以2sin2B是充分条件；如果ABC是钝角三角形，不妨设23B=，则32sin22B=，所以2sin2B不是必要条件；故选：A.12.已知()3si

n(2)(R)fxx=+既不是奇函数也不是偶函数，若()yfxm=+为奇函数，()yfxn=+为偶函数，则||||+mn的最小值为（）A.πB.π2C.π4D.π8【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性，结合诱导公式及五点作图法分

析计算得解.【详解】依题意，πk且ππ,Z2kk+，函数()fx的最小正周期πT=，令0满足0ππ(0,)(,π)22,且102πk=+（1kZ）,则0()3sin(2)fxx=+，由020x

+=，得五点作图法的最左边端点为0(,0)2−，由0()3sin(22)fxmxm+=++是奇函数，得0000minππ||min(||,||)min(,)2222m−−=−=，由0()3sin(22

)fxnxn+=++是偶函数，得00minπ2π||||||244n−=−+=,当0π(0,)2时，0min||2m=，0minπ2||4n−=，此时minπ(||||)4mn+=；当0π(,π)2时，0min

π||2m−=，0min2π||4n−=，此时i00mn4(2||||πππ)24mn−−+=+=,所以||||+mn最小值为π4.故选：C【点睛】方法点睛：用“五点法”作(n)siyAx=＋的简图，主要是通过变量代换，设zx

=+，由z取π3π0,,π,,2π22来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标.二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置13.函数π()tan(2)3fxx=−的单调递增区间为______；【答案】151(,),122122kkkZ−++【解

析】【分析】利用正切函数的单调性，直接代换即可求出．【详解】因为tanyx=的单调增区间是,,22kkkZ−++，由2232kxk−+−+，解得151,122122kxkkZ−++，故函数

π()tan(2)3fxx=−的单调递增区间为151(,),122122kkkZ−++．【点睛】本题主要考查正切函数单调区间的求法，利用函数的单调性的性质进行代换是常用的解题方法．14.已知向量,

ab共线，且22ab==，则+=ab______．的的【答案】1或3【解析】【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得.【详解】由向量,ab共线，故向量,ab可能同向、可能反向，当向量,ab同向时，由22ab==，则23abbb+=+=，当向量

,ab反向时，由22ab==，则21abbb+=−+=.即ab+可能为1或3.故答案为：1或3.15.能使“()coscoscos+=+”成立的一组，的值可以为___________．【答案】ππ,33=−=（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定的等式，

写出一组，的值并代入验证作答.【详解】取ππ,33=−=，则cos()cos01+==，ππ11coscoscos()cos13322+=−+=+=，因此()coscoscos+=+成立.故答案为：ππ,33=−=16.已知函数y

＝sin(2x＋φ)()32−的图象关于直线x＝3对称，则φ的值为________.【答案】6−【解析】【分析】将x＝3代入函数中，得2()sin()133f=+=，化简得：,6kkZ

=−，进一步求出的值.详解】由题意得2()sin()133f=+=，∴2,32kkZ+=+，∴,6kkZ=−【∵(,)32−，∴取0k得6=−.故答案为：6

−.17.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若1cos2=，则cos()−=______．【答案】0.5##12【解析】【分析】分为第一象限角及为第四象限角进行讨论，并结合两角差的余弦公式、三角函数基本关系计算即可得.【

详解】由1cos2=，故为第一或第四象限角，则为第二或第三象限角，当为第一象限角时，23sin1cos2=−=，()3sinsinπ2=−=，()1coscosπ2=−=−，此时(

)11331coscoscossinsin22222−=+=−+=；当为第四象限角时，23sin1cos2=−−=−，()3sinsin3π2=−=−，()1coscos3π2=−=−，此时()11331coscoscossinsin222

22−=+=−+−−=；故()1cos2−=.故答案为：12.18.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处

测得B点和D点的仰角分别为75,30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，1kmAC=．则B，D的距离为______km．【答案】3262+【解析】【分析】根据给定条件，求出AD，再利用正弦定理、余弦

定理求出BD.【详解】依题意，在ACD中，,12003CADDAC==，则30ADC=，1CDAC==，32cos30ADAC==，在ABC中，,60501ACBABC==，则15ABC=，而4cos75sin15sin(453232162)22202−

=−=−==，由正弦定理得31sin3262sin2624ACACBABABC+===−，在ABD△中，75BAD=，由余弦定理得2232632662326()(3)232242BD++−+=+−=.故答案为：3262+三

、解答题（五个大题，一共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置19.已知45cos,(0,π),sin,513=−=−是第三象限角，求：（1）sin,cos的值；（2）sin()+和tan2的值．【答案】（1）312sin,cos51

3==−；（2）16sin()65+=−，24tan27=−.【解析】【分析】（1）根据平方关系，结合三角函数的符号求解可得；（2）利用正弦的两角和公式求sin()+，利用商数关系求tan，再由正切的二倍角

公式求tan2即可.【小问1详解】因为45cos,(0,π),sin,513=−=−是第三象限角，所以2243512sin1,cos1551313=−−==−−−=−.【小问2详解】由（1）知

，312sin,cos513==−，所以3124516sin()sincoscossin51351365+=+=−−−=−，因为sin3tancos4==−，所以22322tan244tan21tan7314−==

=−−−−.20.已知函数π()sin(2)6fxxm=−+过原点(0,0)．（1）求m的值；（2）求函数()fx在4π[0,]3上的零点；（3）下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据．xπ35π6π26x−0π2π3π22ππsi

n(2)6x−0101−0y121212【答案】（1）12m=；（2）0，2π3，π；（3）填表见解析.【解析】【分析】（1）把原点坐标代入求出m值.（2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点.（3）根据五点法作图完善表格.【小问1详解】依题意，(0)0f

=，即πsin()06m−+=，即102m−=，所以12m=.【小问2详解】由（1）知，π1()sin(2)62fxx=−+，由()0fx=，得π1sin(2)62x−=−，当4π[0,]3x时，ππ5π2[,]662x−−，则ππ266x

−=−或6π7π26x−=或π11π266x−=，解得0x=或2π3x=或πx=，所以函数()fx在4π[0,]3上的零点为0，2π3，π.【小问3详解】根据“五点法”作图，填表如下：xπ12π37π125π613π12π26x−0π2π3π22ππs

in(2)6x−0101−0y12321212−1221.如图，在梯形ABCD中，//ABCD，6126,6,cos,cos33ABCDAADB====，（1）求cosABD；（2）求BC的长．【答案】（1）69；（2）11.【解析】【分析】（1）计算出sinA、sinADB

，利用两角和的余弦公式可求得cosABD的值.（2）在ABD△中，利用正弦定理可求出BD的长，然后在BCD△中利用余弦定理可求得BC的长.【小问1详解】在ABD△中，6cos3A=，1cos3ADB=，则A、ADB均为锐角，则23sin1cos3AA=−=，222sin1c

os3ADBADB=−=，coscos(π)cos()sinsincoscosABDAADBAADBAADBAADB=−−=−+=−32261633339=−=.【小问2详解】在ABD△中，由正弦定理得sinsinABBDADBA=，326sin33s

in223ABABDADB===，由//ABCD，得BDCABD=，在BCD△中，由余弦定理得：22262cos96236119BCBDCDBDCDBDC=+−=+−=，所以11BC=.22.已

知函数2()cos(23sincos)sinfxxxxx=+−．（1）求函数()fx的单调递增区间和最小正周期；（2）填写由函数2sinyx=的图象变换得到()fx的图像的过程：先将2sinyx=图象上的所有点______，得到π2sin()6yx=+的图

象；再把π2sin()6yx=+的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标______，得到π()2sin(2)6fxx=+的图象．（3）若当π[0,]2x时，关于x的不等式()fxm______，求实数m的取值

范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（3），并求解．其中，①有解；②恒成立．【答案】（1）ππ[π,π](Z)36kkk−++，π；（2）左平移π6个单位长度，变为原来的12；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）先将函数整理，得到π()2sin(2)6f

xx=+，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；（2）由（1）中函数，利用三角函数图象变换求解即得.（3）若选①，可得()maxmfx，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得()minmfx，根据正弦函数的性质，求出函数在

给定区间的最小值，即可得出结果.【小问1详解】依题意，22()23sincoscossinfxxxxx=+−π3sin2cos22sin(2)6xxx=+=+，所以函数()fx的最小正周期πT=；由πππ2π22π,Z262kxkk−+++，得ππ

ππ,Z36kxkk−++，所以函数()fx的单调增区间为ππ[π,π](Z)36kkk−++.【小问2详解】先将2sinyx=图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到π2sin()6yx=+的图象；再把π2sin()6yx=+的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到π(

)2sin(2)6fxx=+的图象.【小问3详解】若选择①，不等式()fxm有解，即max()mfx≤，由π[0,]2x，得ππ7π2666x+≤≤，则当ππ262x+=，即π6x=时，()fx取得最大值，且最

大值为π()26f=，所以2m.若选择②，不等式()fxm恒成立，即min()mfx．由π[0,]2x，得ππ7π2666x+≤≤，则当π7π266x+=，即π2x=时，()fx取得最小值，且最小值为π()12f=−．所以1m−

．【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.23.在ABC中，2π2cos,3cbBC==．（1）求B；（2）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且

唯一确定，并求BC边上的中线的长．条件①2cb=；条件②ABC的周长为423+；条件③ABC的面积为3．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2）

答案见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可求得各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【小问1详解】因为2

coscbB=，所以sin2sincosCBB=，所以sinsin2CB=，因为2π3C=，所以当2CB=时，π3B=，所以πCB+=，不合题意，舍去，所以2πCB+=，所以π23B=，所以π6B=；【小问2详解】选①：sin3sincCbB==，与已知条件矛

盾，故ABC不存在；选②：因为2π3C=，π6B=，所以π6A=，因为2sinsinsinabcRABC===，所以aR=，bR=，3cR=，所以(23)423abcR++=+=+，所以2R=，所以2

a=，2b=，23c=，设BC中点为D，所以11122CDBCa===，因为在ACD中由余弦定理有，2222212cos2122172ADACCDACCDC=+−=+−−=，所以7AD=，所以BC边上中线长度为7；选③：因为2311sin2322ABCSabCa==

=，所以2ab==，23c=，同理11122CDBCa===的因为222222π12cos21221732ADACCDACCD=+−=+−−=，所以7AD=.