【文档说明】黑龙江省大庆中学2020—2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案.pdf,共(8)页,463.461 KB,由小赞的店铺上传
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2020-2021学年度上学期期末考试高二数学(理科)试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.已知命题�狈“����,������ቓ�”,则p的否定为������A.��
��,��������B.����,��������C.����,��������D.����,��������2.已知圆C的方程为���⡞������⡞�����⡞�,则圆心C的轨迹方程为��A.����
���B.�������C.������������D.�����െ�������3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S时的n值等于��A.5B.4C.3D.24.从4名男同学和3名女同学中任选3名
同学,那么互斥而不对立的事件是������A.至少有一名男同学与都是男同学B.恰有一名男同学与至少两名男同学C.至少有一名男同学与都是女同学D.恰一名男同学与至少有一名女同学5.在平面区域������������内
随机撒100颗豆子,恰好落在区域�����内的豆子约为������A.25B.12C.50D.66.在普通高中新课程改革中,某地实施“3�1��”选课方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物
4门学科中任选2门,假设每门学科被选中的可能性相等,那么政治和地理恰有一门被选中的概率是������A.16B.1�C.�3D.െ67.已知具有线性相关关系的两个变量x,y之间的一组数据如表:x01234y�.�n4.െ4.8െ.7若回归直线方程是
y���.Ǥെ���.1,则n的值为是�������A.4.3B.3.1C.3.�െD.�.88.已知椭圆����������1��ቓ�ቓ��的右焦点为F,离心率1�,过点F的直线l交椭圆于���两点,若AB中点为�1�1�,则直线l的斜率为��A.�43B.��C.�1�
D.�349.已知空间中不同直线m、n和不同平面�、�,下面四个结论:①若m、n互为异面直线,⡞RR�,�RR�,⡞RR�,�RR�,则�RR�;②若⡞��,⡞��,�RR�,则���;③若⡞��,⡞��,则�RR�;④若���,⡞��,�RR⡞,则�RR�.
其中正确的个数是��A.1B.2C.3D.010.已知命题p:���或��4,命题q:����,�������1ቓ�,则命题q为真命题是命题p为假命题的��A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知�1、��是双曲线��������
��1��ቓ���ቓ��的左、右焦点,过��作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且����������1����������,则该双曲线的离心率为��A.3或6�B.6�C.3D.�3312.在三棱锥�����中,已知���1����3,三角形BDE是边长为2
的正三角形,则三棱锥�����的外接球的最小体积为��A.�3�3B.3�3��7C.83�3D.16�3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)13.某中学共有学生1500名,为了解学生身体状况,采用分层抽样法抽取一
个容量为150的样本.已知女生比男生少抽了30人,则该校的女生人数应是.14.在长方体������1�1�1�1中,����������1,则异面直线�1�与�1�所成角的余弦值为______.15.已知P是直线�狈3��4��1���上一动点,过点P作圆�狈�����
���−3��的两条切线,切点分别为A、�,则四边形PACB面积的最小值为___________.16.椭圆�狈����������1��ቓ�ቓ��的左、右焦点分别为�1、��,焦距为2c,若直线��������与椭圆E的一个交点M满足���1
��������1,则该椭圆的离心率等于_____.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题10分)某高校对大学生参加志愿者服务的次数进行了统计,随机抽取了M名学生作为样本,得到这
M名学生参加志愿者服务的次数,根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如图:�1�求表中n,p的值和频率分布直方图中a的值,并根据频率分布直方图估计该高校大学生参加志愿者服务次数的众数;(精确到1)���如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[����െ�和[
�െ�3��两组中共抽取5人,再从这5人中选2人,求2人服务次数分别在[����െ�和[�െ�3��两组的概率.18.(本题12分)已知等差数列����满足���4,�3��െ�16,数列����是公比为2的等比数列,�4��4���.�1�求数列���
�,����的通项公式;���设��������1,求数列����的前n项和��.分组频数频率[1��1െ�20�.�െ[1െ����50n[����െ�mp[�െ�3��4�.�െ合计MN19.(本题12分)如图,在长方体������1�1�1
�1中,���AD�1,��1��,E为��1的中点.�1�求证:��1RR平面��1�;�2�求直线��1与平面��1�所成角的正弦值.20.(本题12分)已知椭圆�狈����������1��ቓ�ቓ��的短轴长为2,短轴的一个端点到右焦点的距离也为2.�1�求椭圆的方程;���若直线�
����1��与椭圆相交于不同两点A、B求��21.(本题12分)如图所示的四棱锥������中,���平面ABCD,ABCD是边长为2的正方形,���4,点E在线段PC上,��������3������.�1�证明:�����;���求平面AED与平面AEC所成的锐二面角的余弦值.22.(本
题12分)已知椭圆�:����������1�ቓ�ቓ�的左焦点为�1������,点��,1在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,O为坐标原点,点A为椭圆E上一动点�非长轴端点�,直线���、AO分别与椭圆E交于点B、C,求����面积的最大值.2020-2021学年度上学期期末考
试高二数学(理科)答案一、选择题(本大题共12小题,共60分)题号123456789101112选项ACBBACDDABDB二、填空题(本大题共4小题,共20分)13.60014.�逈�逈15.2�16.��二、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本题
10分)解:��䁪∵2逈÷�=逈.2�,∴�=�逈,∴�=�逈�逈=逈.�2�,�=�−逈.2�−逈.�2�−逈.逈�=��逈=逈.逈t�,�=��=��=逈.�2�,众数位于区间��,2逈,设众数为
�,则�=��+2逈2=�t.�≈��,所以学生参加社区服务次数的众数为18次.……4分�2䁪由题意知样本服务次数在[2逈,2�䁪有6人,样本服务次数在[2�,�逈)有4人.如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[2逈,2�䁪和2�,�逈
两组中共抽取5人,则在[2逈,2�䁪和和[2�,�逈)的人数分别为:�×��逈=�和�×��逈=2……6分记抽取的5人中服务次数在[2逈,2�䁪为��,�2,��,在[2�,�逈)的为��,�2.从已抽取的5人中任选两人的所有可能为:���
,�2䁪,���,��䁪,���,��䁪,���,�2䁪,��2,��䁪,��2,��䁪,��2,�2䁪,���,��䁪,���,�2䁪,���,�2䁪,共10种情况;设“2人服务次数分别在[2逈,2�䁪和
[2�,�逈)两组”为事件A,则事件A包括:���,��䁪,���,�2䁪,��2,��䁪,��2,�2䁪,���,��䁪,���,�2䁪共6种,……8分所以��䁪䁪=��逈=��.故2人服务次数分别在[
2逈,2�䁪和[2�,�逈)两组的概率为��.……10分18.(本题12分)解:��䁪设数列����的公差为d.由�2=�,��+��=��,得��+݀=�,2��+�݀=��,解得��=2,݀=2.故��=2+2��−�䁪=2�……2分又��=
��−�2=�.故��=��2�−�=2�−2.……4分(2)由(1)知��=����+�=2�·2�−�=��2�……5分所以��=��2�+2�22+…+��2�,①2��=��22+2�2�+…+�−��2�+��2�+�,②……7分由①−②,得−��=�2�+
22+…+2�䁪−��2�+�,……8分所以−��=2��−2�䁪�−2−��2�+�=2�+�−2−��2�+�=�−��2�+�−2……10分整理得��=�−��2�+�+2.……12分19.(本题12分)��䁪证明:由长方体的性质可知,䁪ᑐቲቲ����,
且䁪ᑐ=����,∴四边形䁪ᑐ����是平行四边形,∴ᑐ��ቲቲ䁪��,又ᑐ���平面䁪���,䁪���平面䁪���,∴ᑐ��ቲቲ平面䁪��E.……4分�2䁪解:以A为原点,AD、AB、䁪䁪�分别为x、y和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,……5分则䁪�逈,0,逈䁪,䁪��逈,0,2䁪,�
���,0,2䁪,��逈,�,�䁪,∴䁪䁪�������=�逈,逈,2䁪,䁪��������=��,逈,2䁪,䁪������=�逈,�,�䁪,……7分设平面䁪���的法向量为����=��,�,�䁪,则�����䁪
��������=逈�����䁪������=逈,即�+2�=逈�+�=逈,令�=−�,则�=2,�=�,∴����=�2,�,−�䁪,……9分设直线䁪䁪�与平面䁪���所成角为�,则�ᑐ��=�cos�����,䁪䁪
���������=������䁪䁪���������������䁪䁪�����������=22�+�+�=��,……11分故直线䁪䁪�与平面䁪���所成角的正弦值为��.……12分20.(本题12分)解:��䁪根据题意,椭圆C的短轴一个端点到右焦点的距离为2,则有
�=2,又由椭圆C的短轴长2b=2,则有�=�,则椭圆的标准方程为:�2�+y2=�ቲ……4分�2䁪设䁪��,��,ᑐ�2,�2.由��䁪可得:椭圆的标准方程为:�2�+y2=�,直线l的方程为:�−2�−�=逈则�2�+y2=��−2�−�=逈……6分得2�2−2
�−�=逈,……8分则有��+�2=�,���2=−�2,……10分䁪ᑐ=�+����+�22−����2=�2�+�=��2.……12分21.(本题12分)证明:��䁪设AC与BD交于点O,因为ABC
D为正方形,所以䁪��ᑐ�,又因为�䁪�平面ABCD,ᑐ��平面ABCD,所以�䁪�ᑐ�,又䁪���䁪=䁪,AC、PA在平面PAC内,所以ᑐ��平面PAC,又䁪��平面PAC,所以ᑐ��䁪�.……4分�2䁪因为�䁪�平面ABCD,且ABCD为正方形,所以
AB,AD,AP两两互相垂直,所以分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系�如图所示䁪,所以䁪�逈,0,逈䁪,��2,2,逈䁪,��逈,2,逈䁪,��逈,0,�䁪,ᑐ�2,0,逈䁪,……6分设���,y,�䁪,由������
�=�������,得��,y,�−�䁪=��−��,�−��,−��䁪,解得�=�2,�=�2,�=�,所以���2,�2,�䁪,所以䁪������=��2,�2,�䁪,䁪������=�逈,2,逈䁪,……8分设平面AED的法向量���=��,��,��,则有��
��䁪������=逈,����䁪������=逈,即���,��,��䁪��逈,2,逈䁪=逈,���,��,��䁪���2,�2,�䁪=逈,化简得��=逈,�2��=−��,令��=−�,��=2,则���=�2,0,−�䁪,……10分由��䁪知,ᑐ��
平面PAC,又ᑐ������=�−2,2,逈䁪,所以�cos�ᑐ������,������=�ᑐ������������ᑐ���������������=���×�=2���,故平面AED与平面AEC所成的
锐二面角的余弦值为2���.……12分22.(本题12分)解:��䁪设椭圆C的方程为�2�2+�2�2=��������逈䁪,因为椭圆的左焦点为���−2,�逈,所以�2−�2=2设椭圆的右焦点为�2�2,�逈,已知点�2,�在椭圆C上,由椭圆的定义知���+��2=2�,所以2
�=�+�=�.所以�=2,从而�=2.∴椭圆E的方程为�2�+�22=�……4分�2䁪①当直线AB的斜率不存在时,不妨取䁪2,�,ᑐ2,−�,�−2,−�,故��䁪ᑐ�=�2䁪ᑐᑐ�=�2×22×2=22,……6分②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为�=
ቲ�−2,䁪��,��,ᑐ�2,�2,联立方程�=ቲ�−2�2�+�22=�,化简得2ቲ2+��2−�2ቲ2�+�ቲ2−�=逈,则�=�2ቲ�−�2ቲ2+��ቲ2−�=��ቲ2+��逈,��+�2=�2ቲ22ቲ2+�,����2=�ቲ2−�2ቲ2+�,…
…8分䁪ᑐ=�+ቲ2���+�22−�����2=�+ቲ2��2ቲ22ቲ2+�2−���ቲ2−�2ቲ2+�=��ቲ2+�2ቲ2+�,点O到直线�=ቲ�−2的距离݀=−2ቲቲ2+�=2ቲቲ2+�,因为O是线段AC的中点
,所以点C到直线AB的距离为2݀=22ቲቲ2+�,∴��䁪ᑐ�=�2䁪ᑐ�2݀=�2���ቲ2+�2ቲ2+��22ቲቲ2+�=�2�ቲ2ቲ2+�2ቲ2+�2,……10分∵ቲ2ቲ2+�2ቲ2+�2=ቲ2ቲ2+�ቲ2
+ቲ2+�2�ቲ2ቲ2+��ቲ2ቲ2+�=��,又ቲ2�ቲ2+�,所以等号不成立.∴��䁪ᑐ�=�2�ቲ2ቲ2+�2ቲ2+�2��2×�2=22,综合①②,��䁪ᑐ�面积的最大值为22.……12分