【文档说明】黑龙江省大庆中学2020—2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题含答案.docx，共(10)页，120.767 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度上学期期末考试高二文科数学试题（第Ⅰ卷选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知a，b是异面直线，直线𝒄//直线a，那么c与𝒃()A

.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线2.已知圆C经过两点𝑨(𝟎,𝟐)，𝑩(𝟒,𝟔)，且圆心C在直线𝒍:𝟐𝒙−𝒚−𝟑=𝟎上，则圆C的方程为()

A.𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟔𝒚−𝟏𝟔=𝟎B.𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟐𝒙+𝟐𝒚−𝟖=𝟎C.𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟔𝒙−𝟔𝒚+𝟖=𝟎D.𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟐𝒙+𝟐𝒚−𝟓𝟔=𝟎3.已知双曲

线的渐近线方程为𝒚=±𝟏𝟐𝒙，且过点(𝟒,√𝟑)，则该双曲线的标准方程为()A.𝒙𝟐𝟒−𝒚𝟐=𝟏B.𝒚𝟐−𝒙𝟐𝟒=𝟏C.𝒙𝟐𝟑−𝒚𝟐=𝟏D.𝒚𝟐−𝒙𝟐𝟑=𝟏4.如右所示的程序框图，输出的结果是（）A.−𝟏B.1C.2D.𝟏𝟐

5.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验．若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A.16B.226C.616D.8566.己知直线过抛物线𝒚𝟐=𝟒𝒙的焦点F，并与抛物线交于点A

，𝑩(𝑨在第一象限)，若A的纵坐标为6，则线段AB的长为（）A.𝟒𝟗𝟔B.𝟒𝟑𝟔C.𝟗𝟏𝟗D.𝟏𝟎𝟎𝟗7.已知椭圆𝑪:𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=𝟏(𝒂>𝑏>0)上存在两点M，N

关于直线𝟐𝒙−𝟑𝒚−𝟏=𝟎对称，且线段MN中点的纵坐标为𝟐𝟑，则椭圆C的离心率是()A.𝟏𝟑B.√𝟑𝟑C.𝟐𝟑D.𝟐√𝟐𝟑8.我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的窟

窿状装饰，这种装饰称为藻井．北京故宫博物院内的太和殿上方即有藻井(图𝟏)，全称为龙风角蝉云龙随瓣枋套方八角深金龙藻井．它展示出精美的装饰空间和造型艺术，是我国古代丰富文化的体现，从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：

最下层为方井，中为八角井，上为圆井．图2是由图1抽象出的平面图形，若在图2中随机取一点，则此点取自圆内的概率为()A.𝝅𝟖B.√𝟐𝝅𝟖C.𝝅𝟒D.√𝟐𝝅𝟒9.已知命题p：“∀𝒙∈[𝟏,𝒆]，�

�>𝐥𝐧𝒙”，命题q：“∃𝒙∈𝑹，𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝒂=𝟎””若“𝒑∧𝒒”是真命题，则实数a的取值范围是()A.(𝟏,𝟒]B.(𝟎,𝟏]C.[−𝟏,𝟏]D.(𝟒,+∞

)10.已知条件p：|𝐱+𝟏|>2，条件q：𝐱>𝑎，且¬𝒑是¬𝒒的充分不必要条件，则a的取值范围是()A.(−∞,𝟏]B.(−∞,−𝟑]C.[−𝟏,+∞)D.[𝟏,+∞)11.已知曲线𝑪𝟏：𝒙𝟐+𝒚𝟐−𝟒𝒚+𝟑=

𝟎与y轴交于A，B两点，P为𝑪𝟐：𝒙−𝒚−𝟏=𝟎上任意一点，则|𝑷𝑨|+|𝑷𝑩|的最小值为()A.2B.𝟐√𝟓C.𝟐√𝟐D.412.已知F为抛物线𝒚𝟐=𝟐𝒙的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗•𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗=�

�(其中O为坐标原点)，则△𝑨𝑩𝑶与△𝑩𝑭𝑶面积之差的最小值是()A.2B.3C.𝟑√𝟓D.√𝟏𝟎（第Ⅱ卷非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13.

某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程𝒚̂=𝟎.𝟔𝟕𝒙+𝟓𝟒.𝟗．零件数x个1020304050加工时间�

�(𝒎𝒊𝒏)62758189现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______．14.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选

到的可能性相同).设“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”为事件M，则事件M发生的概率为_______．15.已知F是双曲线C：𝒙𝟐−𝒚𝟐𝟑=𝟏的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为(�

�,𝟐√𝟑)，则△𝑨𝑷𝑭的周长最小值为．16.已知𝑭𝟏,𝑭𝟐分别是椭圆𝑪:𝒙𝟐𝟏𝟔+𝒚𝟐𝟒=𝟏的左，右焦点，P为椭圆C上的一点，且𝑷𝑭𝟏⊥𝑷𝑭𝟐，则△𝑷𝑭𝟏𝑭𝟐的面积为_________．三、解答

题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）某单位为了了解用电量y度与气温𝒙℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温(℃)141286用电量(度)2226343811222

11()(),()nniiiiiinniiiixxyyxynxybaybxxxxnx====−−−===−−−(𝟏)求线性回归方程；(𝟐)根据(𝟏)的回归方程估计当气温为𝟏𝟎℃时的用电量．附：

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：⬚̂⬚̂⬚̂18.（本小题12分）各项均为正数的等比数列{𝒂𝒏}中，𝒂𝟏=𝟖，且𝟐𝒂𝟏，𝒂𝟑，𝟑𝒂𝟐成等差数列．(1)求数列{𝒂𝒏}的通项公式；(2)若数列{𝒃𝒏}满足𝒃𝒏=𝟏𝒏𝐥𝐨𝐠𝟐𝒂𝒏，求{

𝒃𝒏}的前n项和𝑺𝒏．19.（本小题12分）在𝜟𝑨𝑩𝑪中，内角A，B，C的对边分别是𝒂，𝒃，𝒄，且满足(𝒂+𝒄)(𝐬𝐢𝐧𝑨−𝐬𝐢𝐧𝑪)=(√𝟑𝒂−𝒃)𝐬𝐢𝐧𝑩．(𝟏)求角C的值

；(𝟐)若𝐬𝐢𝐧𝑨𝐬𝐢𝐧𝑩=√𝟑𝟒，𝒄=𝟐，求𝜟𝑨𝑩𝑪的面积．20.（本小题12分）由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测

结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(𝟎,𝟐𝟎]，(𝟐𝟎,𝟒𝟎]，(𝟒𝟎,𝟔𝟎]，(𝟔𝟎,𝟖𝟎]，(𝟖𝟎,𝟏𝟎𝟎]，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(𝟐𝟎,𝟒𝟎]的有20人．(𝟏)估计核酸检测呈阴性

人员的年龄的中位数；(𝟐)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；(𝟑)若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率．21.（本小题12分）如图，在𝐑𝐭∆𝑨𝑩𝑪中，点𝑴,𝑵分别在线段

𝑨𝑩,𝑨𝑪上，且𝑴𝑵//𝑩𝑪，𝑨𝑩=𝑩𝑪，𝑨𝑴=𝟐𝑴𝑩.若将𝜟𝑨𝑴𝑵沿MN折起到𝜟𝑷𝑴𝑵的位置，使得∠𝑷𝑴𝑩=𝟔𝟎∘．(𝟏)求证：平面𝑷𝑩𝑵⊥平面𝑩𝑪𝑵𝑴．(𝟐)在棱PC上是否存在点G，使得𝑵𝑮//平面𝑷𝑩𝑴

？并说明理由．22.（本小题12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为𝟐(√𝟐−𝟏)，且椭圆的离心率为√𝟐𝟐．(𝟏)求椭圆C的方程；(𝟐)过点(𝟏,𝟎)作直线l交C于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使𝑴𝑷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑴𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由﹒2020-2021学年度上学期期末考试高二文科数学试题答案一、选择题（本部分共12题，每小题5分，共60分）题号123456789101112选项CCAABDBAAD

BC二、填空题（本部分共4题，每小题5分，共20分）13.6814.2515.1016.4三、解答题（本部分共6题，其中17题10分，其他题每题12分，共70分）17.解：(𝟏)设y关于x的线性回归方程为𝒚^=𝒂^+𝒃^𝒙∵𝒙=𝟏𝟒+𝟏𝟐+𝟖+𝟔𝟒=𝟏

𝟎，𝒚=𝟐𝟐+𝟐𝟔+𝟑𝟒+𝟑𝟖𝟒=𝟑𝟎··············2分∴𝒃̂=−𝟐，𝒂̂=𝒚−𝒃̂𝒙=𝟓𝟎·············5分∴回归方程为𝒚=−𝟐𝒙+𝟓𝟎；·············7分(𝟐)当𝒙=𝟏𝟎时，𝒚=𝟑�

�，·············9分估计当气温为𝟏𝟎℃时的用电量为30度．·············10分18.解：(𝟏)∵各项均为正数的等比数列{𝒂𝒏}中，设公比为q（q>0），𝒂𝟏=𝟖，且𝟐𝒂𝟏，𝒂𝟑，𝟑𝒂�

�成等差数列．∴𝟐𝒂𝟏+𝟑𝒂𝟐=𝟐𝒂𝟑，𝟏𝟔+𝟐𝟒𝒒=𝟏𝟔𝒒𝟐．·············2分解得𝒒=𝟐，又𝒂𝟏=𝟖，·············4分∴𝒂𝒏=𝟖×𝟐𝒏−𝟏=𝟐𝒏+𝟐．·············6分(

𝟐)由(𝟏)可得：𝒃𝒏=𝟏𝒏𝒍𝒐𝒈𝟐𝟐𝒏+𝟐=𝟏𝒏(𝒏+𝟐)=𝟏𝟐(𝟏𝒏−𝟏𝒏+𝟐)，·············8分𝑺𝒏=𝒃𝟏+𝒃𝟐+𝒃𝟑+⋯+𝒃n=𝟏𝟐(𝟏−𝟏𝟑+𝟏𝟐−𝟏𝟒+𝟏�

�−𝟏𝟓+⋯+𝟏𝒏−𝟏𝒏+𝟐)·············10分=𝟏𝟐(𝟏+𝟏𝟐−𝟏𝒏+𝟏−𝟏𝒏+𝟐)=𝟑𝟒−𝟏𝟐(𝟏𝒏+𝟏+𝟏𝒏+𝟐)=𝟑𝟒−𝟐𝒏+𝟑𝟐(𝒏+𝟏)(𝒏+𝟐)．·

············12分19.解：(𝟏)∵(𝒂+𝒄)(𝐬𝐢𝐧𝑨−𝐬𝐢𝐧𝑪)=(√𝟑𝒂−𝒃)𝐬𝐢𝐧𝑩，∴由正弦定理可得：(𝒂+𝒄)(𝒂−𝒄)=(√𝟑𝒂

−𝒃)𝒃，整理可得：𝒂𝟐+𝒃𝟐−𝒄𝟐=√𝟑𝒂𝒃，·············2分∴𝐜𝐨𝐬𝑪=𝒂𝟐+𝒃𝟐−𝒄𝟐𝟐𝒂𝒃=√𝟑𝒂𝒃𝟐𝒂𝒃=√𝟑𝟐，·······

······4分∵𝟎<𝐶<𝜋，·············5分∴𝑪=𝝅𝟔．·············6分(𝟐)∵𝑪=𝝅𝟔，𝒄=𝟐，可得𝒂𝐬𝐢𝐧𝑨=𝒃𝐬𝐢𝐧𝑩=𝟐𝟏𝟐=𝟒，

·············8分∴𝐬𝐢𝐧𝑨=𝒂𝟒，𝐬𝐢𝐧𝑩=𝒃𝟒，又∵𝐬𝐢𝐧𝑨𝐬𝐢𝐧𝑩=𝒂𝟒⋅𝒃𝟒=√𝟑𝟒，∴𝒂𝒃=𝟒√𝟑，·············10分．·············12分20.解：(𝟏)由频

率直方图可知(𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟓+𝟎.𝟎𝟏)×𝟐𝟎=𝟎.𝟑𝟓，(𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟓+𝟎.𝟎𝟏+𝟎.𝟎𝟏𝟓)×𝟐𝟎=𝟎.𝟔𝟓．因𝟎.𝟑𝟓<0.5<0.65，所以所求中位数在(𝟒𝟎,𝟔𝟎],·············1分不妨设中位

数为x，则𝟎.𝟑𝟓+(𝒙−𝟒𝟎)×𝟎.𝟎𝟏𝟓=𝟎.𝟓，得𝒙=𝟓𝟎····2分所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50．·············3分(𝟐)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(𝟐𝟎,𝟒𝟎]有20人，设样本中核酸检测

呈阴性的人数为n，则𝒏=𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟏×𝟐𝟎，即𝒏=𝟏𝟎𝟎．···5分用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为(𝟓𝟎𝟓−𝟏𝟎𝟎×𝟓𝟎𝟓𝟏𝟎𝟏)=𝟓，即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5．··

···········7分(𝟑)由(𝟐)可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3：2，所以其中男性为3人，女性为2人．·············8分将其3名男性分别记为1，2，3，2名女性记为a，b，从中任选两人的基本事件有(𝟏,𝟐)，(

𝟏,𝟑)，(𝟏,𝒂)，(𝟏,𝒃)，(𝟐,𝟑)，(𝟐,𝒂)，(𝟐,𝒃)，(𝟑,𝒂)，(𝟑,𝒃)，(𝒂,𝒃)，共10种，·············9分其中至少有一名男性的基本事件有(𝟏,𝟐)，

(𝟏,𝟑)，(𝟏,𝒂)，(𝟏,𝒃)，(𝟐,𝟑)，(𝟐,𝒂)，(𝟐,𝒃)，(𝟑,𝒂)，(𝟑,𝒃)，共9种．·············10分所以至少选到一名男性的概率𝑷=𝟗𝟏𝟎．·············12分21.解：(𝟏)在中，由𝑨𝑩=𝑩

𝑪可知，𝑩𝑪⊥𝑨𝑩．因为𝑴𝑵//𝑩𝑪，所以𝑴𝑵⊥𝑨𝑩．翻折后垂直关系没变，仍有𝑴𝑵⊥𝑷𝑴，𝑴𝑵⊥𝑩𝑴．又𝑷𝑴⋂𝑩𝑴=𝑴，所以𝑴𝑵⊥平面𝑷𝑩𝑴．又因为𝑷𝑩⫋

平面PBM，所以𝑴𝑵⊥𝑷𝑩·······················2分又∠𝑷𝑴𝑩=𝟔𝟎∘，可令𝑷𝑴=𝟐，则𝑩𝑴=𝟏，由余弦定理得𝑷𝑩=√𝟑．所以𝑷𝑩𝟐+𝑩𝑴𝟐=𝑷𝑴𝟐，即�

�𝑩⊥𝑩𝑴．······················4分又因为𝑩𝑴⋂𝑴𝑵=𝑴，所以𝑷𝑩⊥平面𝑩𝑪𝑵𝑴．又因为𝑷𝑩⫋平面PBM，所以平面𝑷𝑩𝑴⊥平面𝑩𝑪𝑵𝑴．···········

6分(𝟐)在PC上存在一点G，当𝑪𝑮𝑪𝑷=𝟏𝟑时，使得𝑮𝑵//平面𝑷𝑴𝑩．·········7分证明如下：过点N作𝑵𝑯//𝑩𝑴，交BC于点H，则四边形BMNH是平行四边形，且𝑴𝑵=𝑩𝑯=𝟐,𝑪𝑯=𝟏．又由𝑵𝑯⊄平面𝑷

𝑩𝑴，𝑩𝑴⫋平面PBM知，𝑵𝑯//平面𝑷𝑩𝑴．········9分再过点H作𝑮𝑯//𝑷𝑩，交PC于点G，则𝑪𝑯𝑪𝑩=𝑪𝑮𝑪𝑷=𝟏𝟑．又由𝑮𝑯⊄平面𝑮𝑯𝑵，𝑷𝑩⫋平面PBM知，𝑮𝑯//平面𝑷𝑩𝑴．·····

···11分又𝑵𝑯⫋平面GHN，𝑮𝑯⫋平面GHN，𝑮𝑯⋂𝑯𝑵=𝑯，所以平面𝑮𝑯𝑵//平面𝑷𝑩𝑴．又𝑮𝑵⫋平面PBM，所以𝑮𝑵//平面𝑷𝑩𝑴．······················12分22.解：(𝟏)设椭

圆C的方程为𝒙𝟐𝒂𝟐+𝒚𝟐𝒃𝟐=𝟏，由已知得：{𝒂−𝒄=√𝟐−𝟏,𝒄𝒂=√𝟐𝟐.······················2分∴{𝒂=√𝟐,𝒄=𝟏,∴𝒃𝟐=𝒂𝟐−𝒄𝟐=𝟏,

······················3分∴椭圆C的方程为𝒙𝟐𝟐+𝒚𝟐=𝟏．······················4分(𝟐)假设存在符合条件的点𝑴(𝒎,𝟎)，又设𝑷(𝒙𝟏,𝒚𝟏)，𝑸(𝒙𝟐,𝒚𝟐)，则：𝑴𝑷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝒙𝟏−𝒎,𝒚𝟏)，𝑴𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝒙𝟐−𝒎,𝒚𝟐)，𝑴𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑴𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝒙𝟏−𝒎)·(𝒙𝟐−𝒎)+𝒚𝟏𝒚𝟐=𝒙𝟏𝒙𝟐−�

�(𝒙𝟏+𝒙𝟐)+𝒎𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐．······················6分①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：𝒚=𝒌(𝒙−𝟏)，则由{𝒙𝟐𝟐+𝒚𝟐=𝟏,𝒚=𝒌(�

�−𝟏),得𝒙𝟐+𝟐𝒌𝟐(𝒙−𝟏)𝟐−𝟐=𝟎，(𝟐𝒌𝟐+𝟏)𝒙𝟐−𝟒𝒌𝟐𝒙+(𝟐𝒌𝟐−𝟐)=𝟎，𝒙𝟏+𝒙𝟐=𝟒𝒌𝟐𝟐𝒌𝟐+𝟏，𝒙𝟏·𝒙𝟐=𝟐𝒌𝟐−𝟐𝟐𝒌𝟐+𝟏．𝒚𝟏𝒚𝟐

=𝒌𝟐(𝒙𝟏−𝟏)(𝒙𝟐−𝟏)=𝒌𝟐[𝒙𝟏𝒙𝟐−(𝒙𝟏+𝒙𝟐)+𝟏]=−𝒌𝟐𝟐𝒌𝟐+𝟏，所以𝑴𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑴𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝟐𝒌𝟐−𝟐𝟐𝒌𝟐+𝟏−𝒎·𝟒𝒌�

�𝟐𝒌𝟐+𝟏+𝒎𝟐−𝒌𝟐𝟐𝒌𝟐+𝟏=(𝟐𝒎𝟐−𝟒𝒎+𝟏)𝒌𝟐+(𝒎𝟐−𝟐)𝟐𝒌𝟐+𝟏.··𝟖分对于任意的k值，𝑴𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑴𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗为定值，所以𝟐𝒎𝟐−𝟒𝒎+�

�=𝟐(𝒎𝟐−𝟐)，得𝒎=𝟓𝟒，············9分所以𝑴(𝟓𝟒,𝟎)，𝑴𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑴𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝟕𝟏𝟔．············10分②当直线l的斜率不存在时，直线l：𝒙=𝟏，𝒙𝟏+𝒙𝟐=𝟐，𝒙𝟏𝒙𝟐=𝟏，�

�𝟏𝒚𝟐=−𝟏𝟐，由𝒎=𝟓𝟒得𝑴𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑴𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝟕𝟏𝟔．············11分综上述①②知，符合条件的点M存在，其坐标为(𝟓𝟒,𝟎)

．·········12分