【文档说明】四川省遂宁市射洪中学校2023届高三下学期开学考试文科数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.500 MB，由小赞的店铺上传

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射洪中学高2020级高三下期入学考试文科数学试题命题人:汪轩平审题人:张宗礼校对:吕贵（考试时间:120分钟试卷满分:150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题（本题共12小题共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合0,Aa=，2,aBb=，若1AB=，则ab+=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】利用1AB=求出ab，，进而求出ab+.【详解】因为1AB=，

所以1a=，所以0,1A=，2,1B=，即1b=，所以2ab+=.故选B.2.已知等比数列31017,8naaaa=，则10a=（）A.2B.4C.8D.16【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】因为数列na是等

比数列。所以2331017101010108882aaaaaaa====，故选：A3.若,xy满足32xxyyx+，则2xy+的最大值为（）A.1B.3C.5D.9【答案】B【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义，找出目标

函数取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可．【详解】出不等式组所表示的可行域如下图所示，令2zxy=+，联立2yxxy=+=，得11xy==，则点()1,1P，平移直线2zxy=+，由图象可知，当直线2zxy=+经过可行域的顶点()1,1P时，该直线在y轴上的截距最大，此

时2zxy=+取得最大值，即max1213z=+=．故选：B．4.已知函数()11fxx=−，则（）A.()()31ff=−B.()fx为奇函数C.()fx在()1,+上单调递增D.()fx的图象关于点()1,0对称【答案】D【解析】【分析】得()

132f=，再代入求()()3ff判断A;由函数定义域即可判断求B;由图象平移可判断的()11fxx=−在区间的单调性和对称中心，从而判断C、D【详解】因为()132f=，则()()1322fff==

−，故A错误；由解析式知定义域为1xx，显然不关于原点对称，()fx不是奇函数，故B错误；()11fxx=−的图象可看作是由反比例函数1yx=的图象向右移动1个单位长度得到，且1yx=在()0,+上单调递减，且1yx=关于()0,0对称，故()11fxx=−在()1,+

上递减且关于()1,0对称，故C错误，D正确，故选：D5.榫卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．春秋时期著名的工匠鲁班运用榫卯结构制作出了鲁班锁，且鲁班锁可拆解，但是要将它们拼接起来则需要较高的空

间思维能力和足够的耐心．如图甲，六通鲁班锁是由六块长度大小一样，中间各有着不同镂空的长条形木块组装而成．其主视图如图乙所示，则其侧视图为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据实物和三视图的

有关性质即可判断(此类试题常用排除法).【详解】观察主视图中的木条位置和木条的层次位置，分析可知侧视图是A，故选：A．6.已知双曲线22221xyab−=（0a，0b）的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（）A.3y

x=B.2yx=C.2yx=D.yx=【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的离心率结合双曲线,,abc的关系和渐近线方程求解即可.【详解】因为双曲线22221xyab−=（0a，0b）的离心率为2，所以2222cac

ab==+，解得1ba=，所以双曲线的渐近线方程为yx=，故选：D7.若()()3abcbcabc+++−=，且sin2sincosABC=，那么ABC是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析

】【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答.【详解】由()()3abcbcabc+++−=，得22()3bcabc+−=，化简得222bcabc+−=，所以，由余

弦定理得2221cos222bcabcAbcbc+−===，因为()0,πA，所以π3A=，因为sin2sincosABC=，所以，由正余弦定理角化边得22222abcabab+−=，化简得22bc=，所以bc=，即A

BC为等边三角形．故选：B8.为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲､乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示，下列结论正确的是（）A.甲得分的极差比乙得分的极差小B.甲得分的平均数比乙得分的平均数小C.甲得分的方差比乙得分的方差大

D.甲得分的25%分位数比乙得分的25%分位数大【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图求出甲，乙两位同学得分的极差，平均分，方差，百分位数即可解决.【详解】由题知，甲同学6场比赛得分分别为14,16,23,27,32,38，极差为381424−=，平均数141623273238256x+

++++==，方差22222221192271371.36s+++++=，因为13642=，所以得分的25%分位数为16，乙同学6场比赛得分分别为13,22,24,26,28,37，极差为371324−=，平均数1

32224262837256x+++++==，方差222221231131251.36s+++++=，因为13642=，所以得分的25%分位数为22，所以ABD错误；故选：C9.若函数()3222fxxaxax=++在1x=处有极大值，则实数a的值为（）A.1B.1−或3−C.1

−D.3−【答案】D【解析】【分析】由题意解()10f=得a的值，再根据极大值、极小值的概念验证即可.【详解】求导得()2234fxxaxa=++，则由题意得()214301faaa=++==−或3a=−，代入检验当1a=−

时，()()()2341131fxxxxx=−+=−−，令()01fxx或13x，()1013fxx，则1x=时，()fx取得极小值，不符合题意舍去；当3a=−时，()()()()2343313fxxxxx=−+=−−，令()03fxx或1x，()013

fxx，则1x=时，()fx取得极大值，符合题意.故选：D10.已知三棱柱111ABCABC-的6个顶点都在球O的球面上，若3AB=，4AC=，ABAC⊥，112AA=，则球O的表面积为（）A.153πB.169C.40D.90

【答案】B【解析】【分析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】方法一：由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成直四棱柱，其体对角线就是外接球的直径，所以

半径2221133+4+12=22R=，由球的表面积公式得2134π()169π2S==，故选：B．方法二：如图，取11,BCBC的中点分别为12,OO，根据题意，它们分别是111,ABCABC的外心，因为112112,BOBOBOBO=，所以四边形211BOOB是平行四边形，所以11211

2,BBOOBBOO=，而1BB⊥底面ABC，所以12OO⊥底面ABC，取11OO的中点O，于是点O为该直三棱柱外接球的球心．连接OB，容易求得22221156,34222OOBOAC===+=，则外接球半径2222ROOBO=+25133642=+=，于是外接球的表面积为2134π()

169π2=，故选：B．11.关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p；“乙得第二”为命题q；“丙得第三”为命题r.若pq为真命题，pq为假命题，()pr为假命题，则下列说法一定正确的为（）A.甲不是第一B.乙不是第二C.丙不是第三

D.根据题设能确定甲、乙、丙顺序【答案】C【解析】【分析】由pq为真命题，pq为假命题，确定p，q一真一假，再结合命题内容，进行辨析即可.【详解】∵pq为真命题，pq为假命题，∴命题p与命题q中，恰有一个为真命题，另一个为假命题；（1）若命题p：“甲得第一”为真命题，命

题q：“乙得第二”为假命题，则甲得第一，乙未得第二，∴乙得第三，∴命题r：“丙得第三”为假命题，此时()pr为假命题满足题意，前三名的顺序为：甲得第一，丙得第二，乙得第三；（2）若命题p：“甲得第一”为假命题，命题q：“乙得第二”为真命题，则乙得第二，甲未得第一，∴甲得第三，∴命题r：“

丙得第三”为假命题，此时()pr为假命题满足题意，前三名的顺序为：丙得第一，乙得第二，甲得第三.对于A，第（1）种情况中，甲得第一，满足题意，故选项A说法不正确；的对于B，第（2）种情况中，乙得第二，满足题意，故选项B说

法不正确；对于C，（1）、（2）两种情况中，丙均不是第三，故选项C说法正确；对于D，（1）、（2）两种情况中，存在两种不同顺序，故根据题设不能确定甲、乙、丙的顺序，故选项D说法不正确.故选：C.12.已知函数()()sin(0,π)fxx=+的最小正周期为2，

且函数图像过点1,13，若()fx在区间2,a−内有4个零点，则a的取值范围为（）A.1117,66B.1117,66C.1723,66D.1723,66【答案】A【解析】【分析】根据最小正周期求出，根据函数图

像过点1,13求出的值，再根据复合函数画出外层函数的图像，求出右端点的范围.【详解】()()sin(0,π)fxx=+的最小正周期为22π2π==()()sinπ(π

)fxx=+又函数()()sinπ(π)fxx=+过点1,13，即πsin1313f=+=，又ππππ326+==()πsinπ6fxx=+又2,xa−，π11πππ,π666xa

+−+若()fx在区间2,a−内有4个零点，如图，则满足π2ππ3π6a+所以1117,66a故选：A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.复数11iz=+（其中i是虚数单位），则z=__．【答案】11i22+【解析】【分析】根据

复数的除法运算和共轭复数定义求解.【详解】()()11i1i1i1i1i2z−−===++−，11i22z=+.故答案为:11i22+.14.已知直线():0lykxk=与圆22816:39Mxy−+=相切，则实数k=__________．【答案】3

3【解析】【分析】通过圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】由题意得，圆M的圆心坐标为8,03，半径为43，则圆心M到直线l的距离284331kdk=−=+，又0k，所以解得33k=，故答案为：3315.在ABC

中，32ABBCMN==，，，分别为BCAM，的中点，则AMBN=__________.【答案】－4【解析】【分析】由向量的线性运算得AMBMBA=−，1()2BNBABM=+，然后计算数量积可得．【详解】由已知AMBMBA=−，1()2BNBABM=+，222222111111()()()()

(23)4222424AMBNBMBABABMBMBABCBA=−+=−=−=−=−．故答案为：4−．16.已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，过点F的直线交C于,AB两个不同点，则下列结论正确的

是______.①若点(2,2)P，则||||AFAP+的最小值是3②||AB的最小值是2③若||||12AFBF=，则直线AB的斜率为22④过点,AB分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为Q，则点Q的横坐标为1−【答案】①③④【解析】【分析】过点,PA分

别作准线的垂线，垂足分别为,PA，进而根据抛物线的定义判断①；根据12||22ABxx=++判断②；设直线AB的方程为()1ykx=−，()()()112212,,,,0AxyBxyxx，进而联立方程，结合韦达定理，根据1212||||

1AFBFxxxx=+++解方程即可得判断③；根据直线与曲线的位置关系得过点,AB，分别与抛物线C相切的直线方程为211420xyyy−+=，222420xyyy−+=，进而联立方程解得1214yyx==−可判断④.【详解】由题知2p=，(

)1,0F，准线方程为=1x−，对于①选项，如图，过点,PA分别作准线的垂线，垂足分别为,PA，故||||3AFAPAAAPPP+=+=，故①正确；对于②，设()()()112212,,,,0Ax

yBxyxx，故1212||22ABAFBFxxpxx=+=++=++，故②错误；对于③，当直线AB的斜率不存在时，||||4AFBF=，不成立；故直线AB的斜率存在，设方程为()1ykx=−，与抛物

线方程联立()241yxykx==−，得()2222240kxkxk−++=，所以21212224,1kxxxxk++==，因为()()121212||||11112AFBFxxxxxx=++=+++=，所以222410kk+=，即212

k=，解得22k=，故③正确；对于④，设过点A与抛物线C相切直线方程为()11yymxx−=−，与抛物线方程24yx=联立得2221111444440yyyxyyyymmmm−+−=−+−=，所以211216440yymm=−−=，整理得22111

24420yyymmm−+=−=，所以12my=，故()11yymxx−=−即为()1112yyxxy−=−，整理得211420xyyy−+=，同理得过点B与抛物线C相切的直线方程为222420xyyy−+=，所以，联立方程222211420

420xyyyxyyy−+=−+=，解方程得124yyx=，的因为222112121616,0yyxxyy==，所以124yy=−，所以1214yyx==−，即点Q的横坐标为1−，故④正确.故选：①③④【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的

条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按))))10,12,12,14,14,16,16,18,18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）估计该产品这一质量指数的中位数；（2）若采用分层

抽样的方法从这一质量指数在)16,18和18,20内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.【答案】（1）15.（2）815.【解析】【分析】（1）根据频率分布直

方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案;（2）确定质量指数在)16,18和18,20内产品件数，即可确定采用分层抽样的方法，从这6件产品中随机抽取2件，每组里的抽取的件数，列出所有情况，根据古典概型的概率公式，计算可得答案.【小问1

详解】因为()0.0250.12520.30.5+=，0.30.20020.70.5+=，的所以该产品这一质量指数的中位数在)14,16内，设该产品这一质量指数的中位数为m，则()140.20.30.5m−+=，解得15m=；【小问2详解】由频率分布直方图可得1000.

100220,1000.050210==，即在)16,18和18,20的产品分别由20,10件，采用分层抽样的方法抽取的6件产品中这一质量指数在)16,18内的有4件，记为abcd,,,，这一质量指数在18,20内的有2件，记

为,ef，从这6件产品中随机抽取2件的情况有,,,,,,,,,,,,,,abacadaeafbcbdbebfcdcecfdedfef，共15种；其中符合条件的情况有,,,,,,,aeafbebfcecfdedf，共8种，故所求概率815P=.18.已知数列na是公比为正数

的等比数列，且24a=，438aa=+.（1）求数列na的通项公式；（2）若2lognnba=，求数列nnab的前n项和nS.【答案】（1）2nna=（2）()1122nnSn+=−+【解析

】【分析】（1）利用等比数列通项公式可构造方程求得公比q，进而得到na；（2）由（1）可得nnab，采用错位相减法可求得nS.【小问1详解】设等比数列na的公比为()0qq，由438aa=+得：2228aqaq=+，2448qq=+，

解得：1q=−（舍）或2q=，222nnnaaq−==.【小问2详解】由（1）得：2log2nnbn==，2nnnabn=，()1231122232122nnnSnn−=++++−+，()23412122232122nnnSnn+=++++−+，()(

)2311121222222212212nnnnnnSnnn+++−−=++++−=−=−−−，()1122nnSn+=−+.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，,90ADBCADC=∥，平面PAD⊥底面,,ABCDQM分

别为,ADPC的中点.12,1,32PAPDBCADCD=====.（1）求证：直线BC⊥平面PQB；（2）求三棱锥ABMQ−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）312【解析】【分析】（1）在梯形中证明BCDQ是矩形

，得BCBQ⊥，然后由面面垂直的性质定理得PQ与平面ABCD垂直，从而有PQBC⊥，由此得证线面垂直．（2）由棱锥的体积公式转化计算：12ABMQMAQBPAQBVVV−−−==．【小问1详解】因为,ADBCQ∥为AD的中点，12BCAD=，所以BCQD=，又因为BCQD∥，所以四边形BCDQ

为平行四边形，因为90ADC=，所以平行四边形BCDQ是矩形，所以BCBQ⊥，因为,PAPDAQQD==，所以PQAD⊥，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面,ABCDADPQ=平面PAD，所以PQ⊥平面ABCD，因为BC平面ABCD，所以PQBC⊥，又因为,P

QBQQPQBQ=､平面PQB，所以BC⊥平面PQB.【小问2详解】因为2,2PAPDAD===，所以1PQAQ==，由PQ⊥平面,ABCDM为PC中点，所以点M到平面ABCD的距离等于12PQ，所以313212111(13)122ABMQMAQBPAQBVVV−−−====.20

.已知函数()ln1,fxaxxa=−−R.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数()fx有两个不同的零点，求a的范围.【答案】（1）答案见解析；（2）()0,1.【解析】【分析】（1）求导得()1axfxx−=，再根据0,0aa分类结论即可；（2）分

离参数得1lnxax+=，令()1lnxhxx+=，借助()hx的图象单调性分析即得a的范围.【小问1详解】函数()fx的定义域为()0,+，()11axfxaxx−=−=，当0a时，()0fx恒成立，故函数()fx在()0,+上单调递减；当0a时，令()0fx，得10xa

，令()0fx¢>，得1xa，故函数()fx10,a上单调递减，在1,a+上单调递增.【小问2详解】函数()fx在()0,+上有两个不同的零点，等价于方程ln10axx

−−=在()0,+上有两个不等实根，即1lnxax+=有两个解，令()1lnxhxx+=，()0,x+，则()2lnxhxx−=，令()0hx，得1x，令()0hx，得01x，函数()hx在()0,1

上单调递增，在()1,+上单调递减，()max()11hxh==，0x+→时，()hx→−，当1x时，()1ln0xhxx+=，所以函数()hx的图象大致如下：01a，a的范围是()0,1.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的短轴顶点为()

()0,,0,AbBb-，短轴长是4，离心率是22，直线:6lykx=−与椭圆C交于()()1122,,,PxyQxy两点，其中12yy.（1）求椭圆C的方程；（2）若//BPOQ（其中O为坐标原点），求k：（3）证明：AQBPkk是定值.【答案】（1）22184xy+=在（2）5

2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数a、b即可；（2）由//BPOQ分析得32EQEP=，即2132xx=，联立直线方程与椭圆方程结合韦达定理可解得k；（3）直接由斜率公式化

简求值即可.【小问1详解】短轴长242bb==，离心率是222222cabeaaa−====，∴椭圆C的方程为22184xy+=.【小问2详解】直线l交y轴于()0,6E−，因为//BPOQ，则32EQEOEPE

B==，所以2132xx=，联立直线方程与椭圆方程得()222124640kxkx+−+=，由0得2k或2k−，由韦达定理得12122224642121kxxxxkk，+==++，把2132xx=代入上式得12524221kxk=+①，212364221x

k=+②，2①②得2425k=，解得52k=，符合2k或2k−，所以52k=.【小问3详解】证明：由韦达定理得()12122648213kkxxxxk，==++221212112112212(2)8224AQBPykxxykxxxykxykxxxx（）−−−===++−121

12122128168()83332884()4333xxxxxxxxxx+−−+===−+−−请考生在第22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修44−:极坐标和参数方程选讲22.在直角坐标系x

Oy中，直线l的参数方程为1cossinxtyt=+=（t为参数，()0,π）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin4cos=.（1）求曲线C的直角坐标

方程和当π4=时，直线l的普通力程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且与x轴交于点F，83AFBF−=，求直线l的倾斜角.【答案】（1）24yx=，10xy−−=（2）π3或2π3【解析】【分析】(1)将cosx=，siny=代入曲线C的极坐标方程化简即可得

到曲线C的直角坐标方程，将π4=代入直线l的参数方程为1cossinxtyt=+=，消参即可求解；(2)将直线l的参数方程代入抛物线方程化为关于t的方程，然后结合t的几何意义和题干条件即可求解.【小问1详解】由2sin4cos=得，22sin4c

os=，将cosx=，siny=，代入得24yx=.当π4=时，21222xtyt=+=，消去t，得10xy−−=.∴曲线C的直角坐标方程为24yx=，直线l的普通方程为10xy−−=.【小问

2详解】设A，B对应的参数分别为1t，2t，将1cossinxtyt=+=代入24yx=得，22sin4cos40tt−−=，∴1224cossintt+=，12240sintt−=，∴1t，2t异号，∴121283AFBFtttt−=−=+=，∴24cos8sin3

=，解得1cos2=或1cos2=−.∵()0,π，∴π3=或2π3=，∴直线l的倾斜角为π3或2π3.选修45−:不等式选讲23.已知函数()22fxxxm=−++，mR.（1）当1m=时，解不等式()4fx

；（2）若存在实数0x，使得不等式()0023xfx−+，求实数m的取值范围.【答案】（1）1,1−（2）91m−【解析】【分析】（1）分类讨论求解不等式组即可得到答案.（2）首先将题意转化为存在实数0x，使得不等式002423xxm−++有解，再利用绝对值三角不等式求解即可.【

小问1详解】由题知：()221fxxx=−++，()()111222214xxxx−−−−−−+，()()1211222214xxxx−−−−++，22214xxx−++，综上：所求不等式解集{|11}xx−.

【小问2详解】存在实数0x，使得不等式()0023xfx−+，即存在实数0x，使得不等式002423xxm−++有解，因为()()000000002424224224,4220xxmxxmxxmmxxm−++=−++−++=+−+时

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