【文档说明】江苏省南京市天印高级中学2022-2023学年高二下学期期初考试数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.176 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年南京市天印高级中学高二第二学期期初考试一．选择题（共8小题）1.函数2()7fxxx=−在区间[1,2]上的平均变化率为（）A.4−B.4C.6−D.6【答案】A【解析】【分析】利

用平均变化率的定义代入求解即可.【详解】()()()()2222144721712111ff−−−=−=−=−−.故选：A.2.抛物线218xy=的准线方程是（）A.2x=−B.4x=−C.=2y−D.4y=−【答案】A【解析】【分析】直接把抛物线方程变形为标准形式，然后由定义可

得答案.【详解】抛物线方程即为28yx=，故准线方程为2x=−.故选：A.3.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（）A.14B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】先求出试验的样本空

间，再求有利事件个数，最后用概率公式计算即可.【详解】两只红色袜子分别设为1A，2A，两只黑色袜子分别设为1B，2B，这个试验的样本空间可记为()()()()()()121112212212,,,,,,,,,,,AAABABABABBB=，共包含6个样本点，记A为

“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则()()1212,,,AAABB=，A包含的样本点个数为2，所以()13PA=.故选：B4.已知圆221:20Cxykxy+−+=与圆222:40Cxyky++−=的公共弦所在直线恒过定点P且点

P在直线20mxny−−=上(00)mn，，则mn的最大值是（）A.34B.12C.18D.14【答案】D【解析】【分析】根据圆1C和2C的方程得到公共弦所在的直线方程，可得点()2,2P−，进而可得1mn+=，再利用基本不等式即可得到mn的最大值.【详解】由圆

221:20Cxykxy+−+=，圆2C:2240xyky++−=，得圆1C与圆2C的公共弦所在直线方程为:()240kxyy+−−=，由0240xyy+=−−=，解得22xy==−，即()2,2P−，又()2,2P−在直线20mxny−−=上，2220mn+−=，

即1mn+=，所以2124mnmn+=，当且仅当12mn==时等号成立，mn的最大值为14.故选:D.5.记正项等比数列na的前n项和为nS，若34a=，425SS=，则6S=（）A.2B.－21C.32D.

63【答案】D【解析】【分析】先设正项等比数列na的公比为q，根据题中条件，列出方程求出首项和公比，再由求和公式，即可得出结果.【详解】设正项等比数列na的公比为()0qq，因为34a=，425SS=，所以()()21

2311111145aqaaqaqaqaaq=+++=+，即()2123441aqqqq=+=+，解得121qa==，所以()666112216312S−==−=−.故选：D.6.函数3exyx=（其中e为

自然对数的底数）的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数3exyx=的定义域、函数值的符号变化以及函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的xR，e0x，故函数3exyx=的定义域为R，排除C选项；当0x时，30exx

y=；当0x时，30exxy=，排除A选项；因为()22333eexxxxxxy−−==，当3x时，0y且y不恒为零，此时函数3exyx=单调递增，当3x时，0y，此时函数3exyx=单调递减，排除D选项.故选：B.7.已知等差数列na的前n

项和为nS，130S，140S，则当nS取得最小值时，n的值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】由等差数列na的性质和前n项和公式，求得70a，80a，进而得到当17,nnN时，0na，当8,nnN时，0na，即可求解.【详解】由等

差数列na的性质和前n项和公式，可得11313713()1302aaSa+==，所以70a，114147814()(07)2aaaaS==++，所以780aa+，则等差数列na中满足70a，80a，可得870daa=−，数列na为递增数列，且当17,nnN

时，0na，当8,nnN时，0na，所以当nS取得最小值时，n的值为7.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的性质和求和公式，得到数列的单调性是解答是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

8.在平面直角坐标系中，已知点()1,0A−，()2,0B，圆C：()()()221204xymm−+−=，在圆上存在点P满足2PAPB=，则实数m的取值范围是（）A.26,22B.521,42C.21

0,2D.521,22【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.【详解】设点(,)Pxy，由2PAPB=得：2222(1)2(2)xyxy++=−+，整理得：2

2(3)4xy−+=，即点P轨迹是以点0(3,0)C为圆心，2为半径的圆，而圆C的圆心(2,)Cm，半径为12，依题意，圆0C与圆C有公共点，即有0112222CC−+，即2925144m+，而0m，解得52122m，.的所以实数m的取值范围是521,22

.故选：D二．多选题（共4小题）9.豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如

图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）A.m的值是32%B.随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C.随机抽取一名观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D.若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥

且不对立事件【答案】ACD【解析】【分析】对A选项，由题意参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则二星及以上的频率加和为97.6%，即可求解；对B选项，由频率只能推出可能有24人符合条件；对C选项，将评价为三星和五星的频率加和即可；对D选

项，“至多1人评价五星”即为无人评价或1人评价五星，依据互斥事件与对立事件定义判断即可.【详解】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则24.0%32.9%8.7%97.6%m+++=，所以32%m=，故A正确；对B选项，随机抽取100名观众，可能有10024.0%2

4=人评价五星，但不是一定的，故B错误；对C选项，由A选项，评价是三星或五星的概率约为32%24.0%56%+=，故C正确；对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事

件，故D正确；故选：ACD10.下列结论错误的是（）A.过点()1,3A，()3,1B−的直线的倾斜角为30°B.若直线2360xy−+=与直线20axy++=垂直，则23a=−C.直线240xy+−=与直线2410xy

++=之间的距离是52D.已知()2,3A，()1,1B−，点P在x轴上，则PAPB+的最小值是5【答案】ABC【解析】【分析】由斜率公式求出直线AB的斜率即可判断A，根据两条直线垂直求出a，进而判断B，利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断C，作B关于x轴的对称点C，进

而利用对称性得到答案，进而判断D.【详解】对A，311tan30132ABk−==+，故A错误；对B，若两条直线垂直，则2a-3=0，得32a=，故错误；对C，直线240xy+−=可化为2480xy+−=，则两条直线间的距离22|18|951024

d+==+，故C错误；对D，如图，设点B关于x轴的对称点为C（-1，-1），则22||||||||||345PAPBPAPCAC+=+=+=，当且仅当A,P,C三点共线时取“=”，故D正确.故选：ABC.11.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花

造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图()1n−中每个正六边形的边长的12．记图（n）中所有正六边形的边长之和为na，则下列说法正确的是（）A.图（4）中共有294个正六边形

B.410294a=C.na是一个递增的等比数列D.记nS为数列na的前n项和，则对任意的*Nn且2n，都有1nnaS−【答案】BCD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式的计算以及等比数

列的性质求解即可.【详解】对于A，由图可知，图()1至图()n中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图()4中共有37343=个正六边形，A错误；对于B，由题可知，图()n中每个正六边形的边长为112n−，1111767622nnnna−−

−==，3471029624a==，B正确；对于C，1762nna−=是底数大于1的指数型函数，na是一个递增的等比数列，C正确；对于

D，1762nna−=，16a=，72q=，7612712nnS−=−，当*Nn且2n时，1111117776112121218277226607225512nn

nnnnnaS−−−−−−−−+−=−=+=−对任意的*Nn且2n，都有1nnaS−，D正确.故选：BCD

.12.下列不等关系中正确的是（）A.3ln2ln3B.3ln2ln3C.sin33sin1cos1D.sin33sin1cos1【答案】BC【解析】【分析】根据函数值的特征，构造函数()lnxfxx=，求出其导数，判断函数的单调性，可判断A,B;同理构造函数

()sinxgxx=，判断C,D.【详解】令()lnxfxx=，则()21lnxfxx−=，令()0fx=得ex=,f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，所以()()23ff，即3ln2ln32，即3ln22ln3ln3=，故A错误，B正确；令()sinxgxx=，

(0,)x，则2cossin()xxxgxx−=，令()cossinuxxxx=−，则()cossinuxxxx=−−cossin0xxx=−在(0,)上恒成立，所以()ux在(0,)上单调递减，()(0)0uxu

=，所以()0gx在(0,)上恒成立，所以g（x）在(0,)上单调递减，所以(2)(3)gg，即sin2sin323，即sin33sin1cos1，故C正确，D错误，故选:BC．三．填空题（共4小题）13.曲线31yx=+在点()1

,a−处的切线方程为___________.【答案】330xy−+=【解析】【分析】利用导数的几何意义可求解.【详解】由于31yx=+，所以有3(1)10a=−+=，因此切点为(1,0)−，由于23yx=,所以曲

线31yx=+在点(1,0)−处的切线的斜率1|3xky=−==,故所求切线方程为:3((1))yx=−−,即330xy−+=故答案为：330xy−+=．14.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线l与C的左、右支分别

交于A，B两点．若12BFBF⊥，且12BFF△的面积为12AFF△面积的4倍，则C的离心率为______．【答案】293【解析】【分析】由条件可得114BFAF=，设1AFx=，然后由双曲线定义可得22AFa

x=+，242BFxa=−，然后在2ABF△中由勾股定理可求得56=xa，然后在12BFF△中由勾股定理可得答案.【详解】因为12BFF△的面积为12AFF△面积的4倍，所以114BFAF=，设1AFx=，则14BFx=，由双曲线定义可得212AFAFa−=，122BFBFa

−=，所以22AFax=+，242BFxa=−，在2ABF△中，由勾股定理可得22222AFBFAB=+，即()()2222429axxax+=−+，解得56=xa，所以1103BFa=，243BFa=，所以在12BFF△中，由

勾股定理可得2221221FFBFBF=+，即22216100499caa=+，所以可得293e=故答案为：29315.设函数()fx与()gx是定义在同一区间,ab上的两个函数，若对任意的,xab，都有|()()|1fxgx−，则称()f

x与()gx在,ab上是“密切函数”，区间,ab称为“密切区间”.设函数()lnfxx=与()2,gxmx=+在1,ee上是“密切函数”，则实数m的取值范围是_____.【答案】12e1−−，【解析】【分析】由新定义

转化不等式恒成立，再转化为求函数最值可得．【详解】由题意在1,ee上ln21xxm−−恒成立，21ln21mxxm−−+，设()lnhxxx=−，则11()1xhxxx−=−=，当11ex时，()0hx，()hx递增，当1ex时，()0hx，()hx递减，所以

max()(1)1hxh==−，又111eeh=−−，1(e)1e1eh=−−−，所以min()1ehx=−，所以211e211mm−−+−，解得e112m−−．故答案为：e1,12−−【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，把新定义问题转化为不等

式恒成立问题，再变形后转化为求函数的最值．16.设nS为数列na的前n项和，已知112a=，112nnnnnaa++=+，则na=________，100S=________.【答案】①.2nn②.995122−【解析】【分析】112nnnnn

aa++=+两边同除12n+，令()2nnnfna=，则有()()()11112fnfn+−=−且()110f−=，则有()10fn−=，即可得2nnna=；nS用错位相减法求和即可.【详解】111111122222

nnnnnnnnnnnaaaa+++++=+=+，令()2nnnfna=，则()()()11112fnfn+−=−，为∴又()1110211af−=−=，()10fn−=，∴2nnna=；211212222nnnnnS−−=++++①，231112122

222nnnnnS+−=++++②，①减②得：21111111111122112222222212nnnnnnnnnnS+++−=+++−=−=−−−，∴222nnnS+=−，∴910095122S=−.故答案为：2nn；995122−.四．解答题

（共6小题）17.已知等差数列na的前n项和为nS，其中317a=，7147S=；等比数列nb的前n项和为nT，其中329b=，62243b=．（1）求数列na，nb的通公式；（2）记nnncaT=+，求数列nc的前n项和nQ．【答案】（1）45na

n=+，123nnb−=（2）2113210232nnQnn−=++−【解析】【分析】(1)根据条件分别求出等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，再利用数列的通项公式即可求解；(2)利用等比数列和等差数列的前n项和公式进行分组求和即可得出结果.【小问

1详解】记等差数列na公差为d，等比数列nb的公比为q，由题意得，747147Sa==，解得421a=，∴434daa=−=，∴3(3)174(3)45naandnn=+−=+−=+．的∵336212432279bqb===，∴13q=，∴3331212933nnn

nbbq−−−===．【小问2详解】由（1）得，12b=，11213131313nnnT−−==−−，∴11114534833nnncnn−−=++−=−+，∴1

21114(12)1(888)333nnQn=+++−++++++++∴2111(1)133482101223213nnnnnnn−−+=−+=++−−．18.已知()1,2A−

，以点A为圆心的圆被y轴截得的弦长为23.（1）求圆A的方程；（2）若过点()1,2B−的直线l与圆A相切，求直线l的方程.【答案】（1）()()22124xy++−=（2）1x=或3450xy++=【解析】【分析】（1）根据垂径定

理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x=的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l与圆相切，即()1,2A−到直线l的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为

R，根据垂径定理，可得：()22213R=+解得：2R=则圆的方程为：()()22124xy++−=【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，则有：1x=故此时直线l与圆相切，满足题意当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的斜率为k，点()1,2B−的直线l的距离为

d直线l的方程为：()12ykx=−−则有：22421kdk−−==+解得：34k=−，此时直线l的方程为：3450xy++=综上可得，直线l的方程为：1x=或3450xy++=19.已知函数()22lnfxxax=+．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()()2gx

fxx=+在1,2上是减函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）72a−„【解析】【分析】（1）先求出函数()fx的导数，然后讨论0a…和a<0两种情况，从而即可求解；（2）由题意，()0gx„在1,2上恒成立，

即21axx−„在1,2上恒成立，令22(,)11,hxxxx−=，利用导数求出()hx最小值，从而即可得答案.【小问1详解】解：()2222()20axafxxxxx+=+=，①当0a…时，()0fx，所以()fx的单调

递增区间为(0,)+；②当a<0时，2()()()xaxafxx+−−−=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下：的x(0,)a−a−(,)a−+()fx−0+()fx递减极小值递增由上表可知，函数()fx的单调递减区间为(0,)a−，单调递增区间

为(,)a−+；【小问2详解】解：由22()2lngxxaxx=++，得222()2agxxxx=−++，因为函数()gx在1,2上的是减函数，所以()0gx„在1,2上恒成立，即22220axxx−++„在1,2上恒成立，也即21axx−

„在1,2上恒成立，令22(,)11,hxxxx−=，2211()2(2)0hxxxxx=−−=−+，所以()hx在1,2上为减函数，所以()min7()22hxh==−，所以72a−„，所以实数a的取值范围为72a−„．20

.已知数列na的前n项和为nS，______，nN（1）求数列na的通项公式；（2）记()()111nnnnabaa+=−−，nT是数列nb的前n项和，若对任意的nN，1nkTn−，求实数k的取值范围．在下面三个条件中任选一个，补充在上面

问题中并作答．①22nnSa=−；②122222nnaaan+++=；③221232nnnaaaa+=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）2nna=（2）13k【解析】【分析】（1）选①：根据n

a与nS的关系即可求解；选②：根据已知有2n时，112211222nnaaan−−+++=−，两式相减即可求解；选③：根据已知有2n时，22(1)(1)22123122nnnnnaaaa−+−−−==，两式相除即可求解；（2）利用裂项相消求和法求出nT11121n+=−

−，则原问题等价于*1max,N21nnkn+−，令*1,N21nnncn+=−，判断数列nc的单调性，求出数列nc的最大值即可得答案.【小问1详解】解：选①：当1n=时，11122Saa=−

=，12a=，22nnSa=−，2n时，1122nnSa−−=−，两式相减得12(2)nnaan−=，数列na是以2为首项2为公比的等比数列，1222nnna−==；选②：122222nnaaan+++=，2n时

，112211222nnaaan−−+++=−，两式相减得()122nnan=，即2(2)nnan=，又当1n=时，112a=，12a=，满足上式，2nna=；选③：221232nnnaaaa+=，2n时，22(1)

(1)22123122nnnnnaaaa−+−−−==，两式相除得2(2)nnan=，当1n=时，12a=，满足上式，2nna=；【小问2详解】解：∵()()()()1112111121212121nnnnnnnnnabaa+++===−−−−−

−−∴1223341111111112121212121212121nnnT+=−+−+−+−−−−−−−−−11121n+=−−，∵对任意的*N,1nknTn−，即111121nkn+−−−对任意

的*Nn都成立，∴121nnk+−对任意的*Nn都成立，*1max,N21nnkn+−，令*1,N21nnncn+=−，则()()1121211(1)2121212121nnnnnnnnnncc+++++++−+−=−=−−−−−，∵*Nn，10nncc

+−，即1nncc+，数列nc是递减数列，113ncc=，()max13nc=，13k，∴k的取值范围是13k.21.已知点23,22Q在椭圆2222:1(0)xyCabab+=上，且点Q到曲线C的两焦点的距离之和为22．（1）求C的方程；

（2）设圆222:3Oxy+=上任意一点P处的切线l交C于点M、N，求cos∠MON的值．【答案】（1）2212xy+=（2）cos0MON=【解析】【分析】（1）根据题意，由222213144ab=+=求解；（2）当直线l的斜率存在时，设方

程为：ykxm=+．根据直线l与圆222:3Oxy+=相切，得到m，k的关系，联立2222ykxmxy=++=，结合韦达定理，由OMON求解；直线l的斜率不存在时，根据对称性得到M，N的坐标求解.【小

问1详解】解：∵点23,22Q在椭圆2222:1(0)xyCabab+=上，且点Q到C的两焦点的距离之和为22．∴222213144ab=+=，∴221ab==所以椭圆C的方程为：2212xy+=．【小问

2详解】当直线l的斜率存在时，设方程为：ykxm=+．因为直线l与圆222:3Oxy+=相切，所以2231mk=+，即()22321mk=+，联立2222ykxmxy=++=，整理可得：()222214220kxkmxm+++−=，设()()1122,

,,MxyNxy，∴2121222422,2121kmmxxxxkk−+=−=++又因为()()1212OMONxxkxmkxm+=++()()2212121kxxkmxxm=++++，()()2222212242121kmkmkmmkk+−−=++++

，222322021mkk−−==+，所以OMON⊥；所以cos0MON=；当直线l的斜率不存在时，根据对称性得M，N的坐标分别为6666,,,3333−，此时有0OMON=，所以cos0MON=，综上知c

os0MON=．22.已知函数()()12e2lnRxfxaxaxx−=−+．（1）若1a=，求()fx的单调区间；（2）若()fx在()0,2上有两个极值点1x，2x（12xx）．（i）求实

数a的取值范围；（ii）求证：121xx．【答案】（1）单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+（2）（i）e1,2；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得()fx

的单调区间.（2）（i）求得()'fx，根据()fx在()0,2有两个极值点，对a进行分类讨论，由此求得a的取值范围.（ii）由（i）得120ln12xax+，由()()120hxhx==建立12,xx的关系式，通过构造函数法，结合导数来证得121xx.【小问1

详解】()()()()132e0xxxfxxx−−−=，令()()1e0xgxxx−=−，所以()1e1xgx−=−，所以，当()0,1x，()0gx，()gx单调递减；当()1,x+时，()0gx

，()gx单调递增，所以()()01e10gxg=−=，所以当()0,2x时，()0fx，当()2,x+时，()0fx¢>，所以()fx的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为()2,+．【小问

2详解】（i）因为()()()()132e0xxxxxafx−−−=，要使()fx在()0,2上有两个极值点1x，2x，则()1exhxax−=−在()0,2上有两个变号的零点，①1a时，则()11eexxhxaxx−−=−−，由（1）知，1

e0xx−−，所以()0hx，所以()1exhxax−=−在()0,2上没有两个变号的零点，不合题意，舍去.②当ea时，因为()0,2x，11e,eex−，()1e0xhxa−=−，则()hx在(

)0,2上单调递减，故()hx最多只有一个零点，不合题意，舍去.③当1ea时，因为()1exhxa−=−，所以()hx在()0,ln1a+上单调递减，在()ln1,2a+上单调递增，所以()()minln1lnhxhaaa=+=

−，所以()()()100eln1ln02e20hhaaaha=+=−=−，解得e12a，所以实数a的取值范围为e1,2．（ii）由（i）知，()()120hxhx==，120ln12xax+，即121112eexx

axax−−==，所以11221lnln1lnlnxaxxax−=+−=+，所以()121222lnlnxxaxx+−−=，令()()()()22ln0ln1pxhxhaxxa=−+−+，即()()()22ln1e22

1neelxaxpxaxaa+−=−−++，所以()()22ln22ln11e22e2e0eeexaxxaxpxaa+−+−=+−−=，故()px在()0,ln1a+上单调递增，所以当()0,ln1xa+时，()()1ln0pxpa+=，即()()22ln0hxhax−+

−，所以()()1122ln0hxhax−+−，所以()()1122lnhxhax+−，而()()21hxhx=，所以()()2122lnhxhax+−，因为()hx在()ln1,a++上单调递增，因为

120ln12xax+，所以1122lnln(1ln1)1lnaxaaxa+−+++−+=，所以2122lnxax+−，即：1222ln0xxa+−−，因为()121222lnlnxxaxx+−−=，所以121xx．【点睛】利用导数求解函数的单调区间，关键是研究清

楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究.如本题中，()'fx含有“1exx−−”，这部分需要利用构造函数法，结合导数来研究.