【文档说明】湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.138 MB，由管理员店铺上传

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2024年高一数学期中考试试题一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1.若复数z满足53iz=−，则z的虚部是（）A.3B.3−C.3iD.3i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的概念，即可得出答案.【详解】根据复数的概念可知，53iz

=−的虚部为3−.故选：B.2.在ABC中，点D是AB的中点，则（）A.12CDABAC=+B.12CDABAC=−+C.12CDABAC=−−D.12CDABAC=−【答案】D【解析】【分析】根据向量的加法和减法运算即可.【详解】因为点D是AB的中点，所以

12ADAB=所以1122CDCAADCAAABABC=+=+=−故选：D.3.如图，三棱柱111ABCABC−中，底面三角形111ABC是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A.直线1CC

与直线1BE是异面直线B.直线1CC与直线AE是共面直线C.直线AE与直线11BC是异面直线D.直线AE与直线1BB是共面直线【答案】C【解析】【分析】根据异面直线的判定定理求解即可.【详解】由于1CC与1BE均在

平面11BCCB内，不是异面直线，故A错误；1CC平面ABCC=，AE平面ABC，点C不在直线AE上，所以1CC和AE是异面直线，故B错误；AE平面11BCCBE=，11BC平面11BCCB，点E不在直线11BC上，则AE与11BC是异面直线，

故C正确；AE平面11BCCBE=，1BB平面11BCCB，点E不在直线1BB上，则AE与1BB是异面直线，故D不正确.故选：C【点睛】方法点睛：判断两条直线是否为异面直线，第一两条直线平行或相交，则两条直线共面，

第二若一条直线与一个平面相交于一点，那么这条直线与这个平面内不经过该点的直线是异面直线，这是判断两条直线是异面直线的方法，要根据题目所提供的线线、线面关系准确的做出判断.4.若π02，02，3cos()5+=，π5sin413−=，则πc

os4+=（）A.22B.32C.5665D.3665【答案】C【解析】【分析】由已知，结合角的范围，即可得出4sin()5+=，π12cos413−=.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.【详解】因为π02，02，所以0π+，所以，24s

in()1cos()5+=−+=.又πππ444−−，所以2ππ12cos1sin4413−=−−=.所以，()ππcoscos44+=+−−()()ππcosco

ssinsin44=+−++−312455651351365=+=.故选：C.5.定义：若()2i,zabab=+R，则称复数z是复数iab+的平方根.根据定义，复数940i−的平方根为（）A.34i−，34i−+B.43i+，43i−C.54

i−，54i−+D.45i−，45i−+【答案】C【解析】【分析】设复数940i−的平方根为i(,)xyxy+R，然后平方后根据复数相等即可得出结论.【详解】设复数940i−的平方根为i(,)xyxy+R，则2(i)940ixy+=−，化简222i940ixyxy−+=−，所以229xy−=

，240xy=−，解得5x=，4y=−或5x=−，4y=，即复数940i−的平方根为54i−或54i−+，故选：C6.若一个球的外切正方体的表面积等于6cm2，则此球的体积为（）A.6cm3B.68cm3C.43cm3D

.66cm3【答案】A【解析】【分析】设球的半径为Rcm，正方体棱长为acm，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.【详解】设球的半径为Rcm，正方体棱长为acm，∴

6a2＝6，∴a＝1cm，即2R＝1，∴R12=cm，∴球的体积333441cm.3326VR===故选：A.7.下列命题正确的为（）①若ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条直线a

，b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；④已知a，b，c为三条直线，若ac⊥，bc⊥，则ab.A.①③B.②③C.②④D

.①②【答案】D【解析】【分析】根据基本事实3可判断①的正误，利用基本事实及3个推论可判断②的正误，根据可能的反例可判断③④的正误.【详解】对于①，设平面平面=ABCl，因为P，P平面ABC，所以Pl，同理

Ql，Rl，故P、Q、R三点共线，①正确；对于②，因为//ab，所以a，b可以确定一个平面，因为Aa，Bb，a，b，所以AB，所以l，又Cl，所以C.同理，,bc也可以确定一

个平面，且C，b，因为Cb，故,重合，故这四条直线共面，所以②正确；对于③，直线a、b异面，b、c异面，则a，c可能平行、相交或异面，所以③错误；对于④，ac⊥，bc⊥，则a，b可能平行、相交或异面，所以④错误.故选：D.8.如图，某人用1.5m长的绳索，

施力25N，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为1.2m，则此人对该物体所做的功为（）A.13JB.3013JC.125JD.150J【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得出13cos5BAC=，再根

据求功公式计算即可.【详解】在ABC中，由正弦定理，613sincossin120sin553ABBCBACBACBAC===，∴256cos3013JWFsBAC===.故选：B二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9.在ABC中，已知3a=，2b=，45

B=，则角A的值可能为（）A.30B.120C.60D.150【答案】BC【解析】【分析】根据正弦定理求出sinA，再根据ab可得结果.【详解】由正弦定理得sinsinabAB=，得23sin32sin22aBAb===，因为ab，且0180A，所以60A

=或120A=o.故选：BC.10.已知,ab表示两条直线，,,表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（）A.若,ab==，且//ab，则//B.若,ab相交，且都在,外，//,//,//,//abab，则//C.若//,//ab，且//

ab，则//D.若,//,aab=，则//ab【答案】BD【解析】【分析】根据线线、线面、面面平行的判定与性质定理，结合平面的基本性质进行判断.【详解】A：若,ab==，且//ab，则,可能相交、平行，错误；B：若,ab相交，且都在,

外，//,//,//,//abab，由面面平行的判定可得//，正确；C：若//,//ab，且//ab，则,可能相交、平行，错误；D：若,//,aab=，由线面平行的性质定理得//ab，正确.故选：BD11

.关于直线m，n与平面，，以下四个命题中真命题是A.若//m，//n且//，则//mnB.若m⊥，n⊥且⊥，则mn⊥C.若m⊥，//n且//，则mn⊥D.若//m，n⊥且⊥，则//mn【答案】BC【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的

性质定理，对四个结论逐一进行分析，易得到答案．【详解】解：若//m，//n且//，则m，n可能平行也可能异面，也可以相交，故A错误；若m⊥，n⊥且⊥，则m，n一定垂直，故B正确；若m⊥，//n且//，则m，n一定垂直，故C正确；若//m，n⊥且⊥，则

m，n可能相交､平行也可能异面，故D错误故选：BC．【点睛】考查线线平行与垂直的判定，基础题.12.已知两个不相等的非零向量a,b，两组向量1x,2x,3x,4x,5x和1y,2y,3y,4y,5y均由2个a和3

个b排列而成.记1122334455Sxyxyxyxyxy=++++，minS表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（）A.S可能有5个不同值B.若ab⊥，则minS与ar无关C.若4ba，则min0SD.若2ba=，2min8Sa=，则a与b的夹角为π4【答案】BC【

解析】【分析】根据S的取值依据所含2a的个数有0个2a、有1个2a、有2个2a，可得123,,SSS,进而可判断A，根据数量积的运算，结合选项即可判断BCD.【详解】根据题意得S的取值依据所含2a的个数，分三类：有0个2a、有1个2a、有2个

2a，记,ab=，分别得S的取值为：214cosSabb=+，2222cos2Sabab=++，22323Sab=+，则S至多有3个不同的值，A错误；若ab⊥，则90=，此时21Sb=，2222Sab=+，22323Sab=+，又a，b为非零向量，则2min1SSb==，与ar无关，

B对；若4ba，则()222116cos16161cos0Saaa−+=−，()222228cos32338cos0Saaaa−++=−，30S，则min0S，C对；的若22ba=，则2218cos4Saa=+，2

224cos9Saa=+，222321214Saaa=+=，∵()22154cos0SSa−=−，()231108cos0SSa−=−，∴222min18cos48SSaaa==+=，解得1cos2=，∴π3=，D错误.

故选：BC三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13.命题“xR，都有210xx+＋”的否定是___________.【答案】xR，有210xx++【解析】【分析】由命题的否定的定义求解．【详解

】题“xR，都有210xx+＋”的否定是：2,10xRxx++．故答案：2,10xRxx++．14.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．【答案】10π【解析】【

分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R，圆柱的底面半径为r，母线为l，由题意可知，24π20π5RR=

=，又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足22252lrR+==，而圆柱的侧面积2πSrl=，0l，因为22222llrrlr+=，当且仅当2lr=，即102r=，10l=时等号成立，所以5lr，2π10

πSrl=，故答案为：10π15.已知向量()22OC=，,()2cos2sinCA=，，则向量OA的模的最大值是________.【答案】32为【解析】【分析】求出向量OA的坐标，根据模的计算公式求出模的表达式，并化简，根据三角函数的性质求得最大值.【详解】∵()22cos22si

nOAOCCA=+=++，，则()()()2222cos22sin42sincos108sin104OA=+++=++=++，当sin()14+=时，||OAuur有最大值，且为32，故答案为：3216.如图，在直三棱柱111ABCABC-中

，ABC是等边三角形，1AAAB=，D，E，F分别是棱1AA，1BB，BC的中点，则异面直线DF与1CE所成角的余弦值是______.【答案】510【解析】【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.【详解】如图，在棱1CC上取一点H

，使得14CCCH=，取1CC的中点G，连接BG，HF，DH，由于G，E分别是棱1CC，1BB的中点，所以1BECG=，1BECG∥，故四边形1BGCE为平行四边形，进而1CEBG∥，又因为F，H分别是BC

，CG的中点，所以HFBG∥，所以1HFCE∥，则DFH或其补角是异面直线DF与1CE所成的角.设4AB=，则2CF=，1CH=，2AD=.从而225HFCFCH=+=，()2217DHACADCH=+−=，2223AFABBF=−=，224DFAFAD=

+=，故165175cos10245DFH+−==，故异面直线DF与1CE所成角的余弦值是510.故答案为：510.四．解答题（共6小题，共70分）17.已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中．（1）证明：1//DA

平面1CBD；（2）求三棱锥111BABC−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）16．【解析】【分析】（1）证明11//ADBC，再由线面平行的判定定理证明；（2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，1

1//BCAD，且11ABCD=所以四边形11ABCD为平行四边形11//DABC又1BC平面1CBD，1AD平面1CBD，1//DA平面1CBD；（2）由正方体易知，三棱锥111BABC−的高为1BB，所以111111111111113326ABCBABCVSBB−====

．18.已知函数()2sin()(0,0π)fxx=+的部分图象如图所示．（1）求()fx的解析式；（2）若函数()()singxfxx=，求()gx在区间π0,4上的最大值和最小值．【答案】（1）

()π2sin4fxx=+（2）最大值为2和最小值为0【解析】【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到,，进而得到()fx的解析式；（2）根据三角恒等变换化简()gx，进而分析在区间π0,4上的最

大值和最小值.【小问1详解】由图象可知：3ππ2π4144T=−==，将点π,24代入()yfx=得πππ2sin22π444fk=+==+，π0π4=∴()π2sin4fxx=+

【小问2详解】()()22π2()()sin2sinsincossin2cos2sin22242gxfxxxxxxxx==+=−+=−+由π0,4x得πππ2,444x−−当ππ244x−=−时，即()min0,0xgx==；当ππ244x−=时，

即()maxπ,24xgx==；19.在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别是a，b，c，若2coscoscbBaA−=（1）求角A的大小；（2）若2a=，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）.【答案】（1）π3A=（2）21,33【解析】【分析】（

1）根据条件，利用正弦定理进行边角转化，可得到1cos2A=，从而求出结果；（2）先利用向量的中线公式得到24||24ADbc=+，再利用正、余弦定理及条件求出bc的范围，进而求出结果.【小问1详解】因为2coscosc

bBaA−=，由正弦定理可得：2sinsinsinCBA−coscosBA=即()2sinsincossincosCBAAB−=，所以()2sincossincoscossinsinsin(π)sinCAABABABCC=+=+=−=，因为π0,2C，所以sin0C，所以

1cos2A=，因为π0,2A，所以π3A=.【小问2详解】由（1）得π3A=，且2a=，由余弦定理知，2221cos22bcaAbc+−==，得到224bcbc+=+，因为点D是边BC中点，所以2ADABA

C=+，两边平方可得:224||ADAB=2||2ACABAC++222cosbcbcA=++，所以2224||ADbcbc=++424bcbcbc=++=+，因为2(2sin)(2sin)4sinsinbcRBRCRBC==，又242πsin3sin3aRA===，2π3B

C=−，所以162π831cos28π4sin()sin(sin2)sin(2)33322363CbcCCCC−=−=+=−+,又因为ABC为锐角三角形，所以2ππ032BC=−，π02C，得到ππ62C，所以ππ

5π2(,)666C−，由sinyx=的图像与性质知，π1sin(2),162C−，所以8,43bc，所以228424,123ADbc=+，得到2724,33ADbc=+故21,33AD.20.某校学生利用解三角形有关知识

进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，=45ABC，105BCA=，在C处测得大楼楼顶D的仰角为75°.（1）求AC两点间的距离；（2）求大楼

的高度.【答案】（1）502mAC=（2）()1002506m+【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理计算即可求解；（2）根据题意可得tan75502tan75ADAC==，结合两角和的正切公式计算即可求解.【小问1详解】因为1801054530BAC=−−=，在ABC

中，由正弦定理得sinsinBCACBACABC=，即50sin30sin45AC=，所以502AC=m，即AC两点的距离为502m；【小问2详解】在DCA△中，因为90DAC=，tanADAC=，所以tan75502tan75ADAC==，又()3

1tan45tan303tan75tan4530231tan45tan30313++=+===+−−，所以()()502231002506AD=+=+m，即大楼的高度为()1002506+m.21.在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

边2c=，且sinsinsinsinaAaBcCbB−=−.（1）若()sinsinsin2CBAA+−=，求ABC的面积；（2）记AB边的中点为M，求CM的最大值，并说明理由.【答案】（1）3（2）3，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由

正弦定理、余弦定理可得π3C=，利用三角恒等变换化简计算可得AB=，进而2abc===，结合三角形面积公式计算即可求解；（2）根据余弦定理得224abab+=+，由平面向量的线性运算可得2112CMab=+，结合基本不等式计算即可求解.的【小问1详解】在ABC中，πABC++=，∴sinsi

nsinsinaAaBcCbB−=−，由正弦定理得：222aabcb−=−，即222abcab+−=，由余弦定理得：2221cos022abcCab+−==，又π02C，则π3C=，∵()sinsinsi

n2CBAA+−=，∴()()sinsin2sincosABBAAA++−=，∴sincoscossinsincoscossin2sincosABABABABAA+−+=，∴2cossin2sincosABAA=，∵cos0A，∴sinsinBA=，即AB=，当AB=时

，ABC为正三角形，得2abc===，∴113sin223222ABCSbcA===；【小问2详解】由余弦定理得：2222coscababC=+−，∵2c=，π3C=，∴224abab+=+，∵AB边的中点为M，∴()12CMCACB=+，∴()()(

)222222211122cos444CMCACBCACBbaabCabab=++=++=++，∴()21124142CMabab=+=+，又∵222abab+，∴42abab+，∴4ab，∴23CM，∴3CM，当且仅当2a

b==时，等号成立，故CM的最大值为3.22.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，60ABC=，2AB=，ACBDO=，PO⊥底面ABCD，2PO=，点E在棱PD上，且CEPD⊥.（1）证明：平面PBD⊥平面ACE；（2）求二面角PA

CE−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）法一：由已知可推导出POAC⊥，ACBD⊥，利用线面垂直的判定定理可证AC⊥平面PBD，由此能证明平面PBD⊥平面ACE；法二：以点O为

坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PBD⊥平面ACE.（2）法一：由题意可推出CE在平面PBD内的射影为OE，POE是二面角PACE−−的平面角，由此能求出二面角PACE−−的余弦值；法二：求出平面PAC的一个法向量和平面ACE的一个法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AC﹣E的余

弦值.【小问1详解】解法一：证明：PO⊥平面ABCD，POAC⊥，又底面ABCD是菱形，ACBD⊥，而BDPOO=，,BDPO平面PBD，AC⊥平面PBD，而AC平面ACE，所以平面PBD⊥平面A

CE解法二：证明：已知底面ABCD是菱形，ACBD⊥，又PO⊥平面ABCD，所以BO，CO，PO互相垂直，故可以以点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，.由2AB=，60ABC=，可知相关点

坐标如下：()002P,,，()3,0,0B，()3,0,0D−，()0,1,0A−，()0,1,0C，易知平面PBD的一个法向量为()0,1,0n=，因为()0,2,0AC=，所以//ACnuuurr，故AC⊥平面PBD，从

而平面PBD⊥平面ACE.【小问2详解】解法一：观察图可知平面ACE平面PBDOE=，故CE在面PBD内的射影为OE，CEPD⊥Q，OEPD⊥，又由（1）可得，ACOE⊥，ACOP⊥，故POE是二面角PACE−−的平面角，菱形ABC

D中，2AB=，60ABC=，∴23BD=，3OD=，又2PO=，∴()22237PD=+=，∴2322177OE==，∴21cos7OEPOEOP==，即二面角PACE−−的余弦值为217.解法二：设PEED=，则32,0,11E−++，CEP

D⊥Q，∴34011CEPD=−=++，故43=，可得436,0,77E−，易知平面PAC的一个法向量为()1,0,0u=，设平面ACE的一个法向量(),,vxyz=，则204

36077vACyvAExz===−+=，取2z=，得()3,0,2v=，∴321cos,77uv==，即二面角PACE−−余弦值为217.的