【文档说明】重庆市川外附属第二外国语学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题 含答案.docx，共(8)页，155.659 KB，由小赞的店铺上传

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重庆二外高2022级高二下期第一次月考数学试题考试时间120分钟试卷总分150分一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1.复数21−𝑖化简的结果为()A.−1−𝑖B.−1+𝑖C.1−𝑖D.1+𝑖2.设函数𝑓(𝑥)可导，则li

mΔx→0f(1+Δx)−f(1)3Δx等于()A.f′(1)B.3f′(1)C.13f′(1)D.f′(3)3.已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象如右图所示，则函数y=f′(x)的图象可能是图中的()A.B

.C.D.4.如图，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在点P处的切线方程是𝑦=−𝑥+8，则𝑓(5)+𝑓′(5)=()A.12B.1C.2D.05.若函数𝑓(𝑥)=cos𝑥，则f′(π4)+f(π4)的值为()A.0B.−1C.1D

.26.函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥+𝑏在区间(−1,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，则()A.𝑎=1，𝑏=1B.𝑎=1，𝑏∈RC.𝑎=−3，𝑏=3D.𝑎=−3，𝑏∈R7.已知mx

gxxfx−==)21()(,)(2,若对11,3x−,20,2x,12()()fxgx≥,则实数m的取值范围是()A.),41[+B.),435[+−C.),1[+D.),8[+−8.已知函数)(xf在R上存在导数），在（有

+=−+0,)()(,),(2'xxfxfRxxf上，xxf)('，若，mmfmf48)()4(−−−，则实数m的取值范围为（）]2,2.[A−),2.[B+),0.[C+),2[]2,.(D+−−二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是()

A.若复数z=1+i1−i(i为虚数单位)，则z30=−1B.若复数z满足𝑧2∈𝐑，则𝑧∈𝐑C.若复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝐑)，则z为纯虚数的充要条件是𝑎=0D.若复数z满足|𝑧|=1，则复数z对

应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆10.给出定义：若函数𝑓(𝑥)在D上可导，即𝑓′(𝑥)存在，且导函数𝑓′(𝑥)在D上也可导，则称𝑓(𝑥)在D上存在二阶导函数.记𝑓′′(𝑥)=(�

�′(𝑥))′，若𝑓′′(𝑥)<0在D上恒成立，则称𝑓(𝑥)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π2)上是凸函数的是()A.𝑓(𝑥)=sin𝑥−cos𝑥B.𝑓(𝑥)=ln𝑥−2𝑥C.𝑓(𝑥)=−𝑥

3+2𝑥−1D.𝑓(𝑥)=−𝑥e−𝑥11.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎2𝑥，若曲线𝑦=𝑓(𝑥)存在两条过(1,0)点的切线，则a的值可以是()A.−4B.−2C.0D.212.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数

𝑦=𝐴sin𝜔𝑡，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音,若一个复合音的数学模型是函数𝑓(𝑥)=sin𝑥+12sin2𝑥，则下列结论正确的是()A.2𝜋是𝑓(𝑥)的一个周期；B.𝑓(𝑥)在[0,2𝜋]上

有3个零点；C.𝑓(𝑥)的最大值为3√34；D.𝑓(𝑥)在[0,𝜋2]上是增函数．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知i为虚数单位，2𝑖−3是关于x的方程2𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0(𝑝,𝑞为实数)的一个根，则𝑝+𝑞=．14.设函数𝑓(𝑥)=𝑥�

�𝑛𝑥+2𝑥3，则曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,2)处的切线方程是_________．15.若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−𝑙𝑛𝑥在（2,+∞)上单调递增，则𝑎的取值范围为________．

16.已知函数xexxgxxxf==)(,ln)(，若存在0)()(,=ngmfnm使得成立，则mn的最小值为四、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题10分，其余各题12分）17.已知复数𝑧=(2+𝑖)𝑚2−3𝑚(1+𝑖)−2(1−𝑖).当实数m取什么值时，复数z是

：(1)纯虚数；(2)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.18.设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥(𝑎≠0)，其图象在点(1,𝑓(1))处的切线与直线𝑥−6𝑦−7=0垂直，导函数的最小值为−12(1)

求𝑎,𝑏的值；)('xf(2)求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间，并求函数𝑓(𝑥)在[−1,3]上的最大值和最小值．19.学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池.如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设

计一个观景台𝐷(点D与点O，C不重合)，其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知𝐴𝐵=100𝑚，设建设的架空木栈道的总长为ym．(1)设∠𝐷𝐴𝑂=𝜃(𝑟𝑎𝑑)，将y表示成𝜃的函数关系式，并写出𝜃的取值范围；(2)试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长

度最短．20.已知函数𝑓(𝑥)=13𝑥3+𝑚𝑥2+𝑛𝑥+3，其导函数𝑓′(x)是偶函数，且𝑓(3)=0．（1）求函数𝑓(𝑥)的解析式；（2）若函数𝑦=𝑓(𝑥)−2𝜆有三个不同的零点，求实数𝜆的取值范围．21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥(𝑎

为常数)的图象与y轴交于点A，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点A处的切线斜率为−2．(1)求a的值和𝑓(𝑥)的单调区间；(2)设𝑔(𝑥)=𝑥2−3𝑥+1，证明当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)恒成立．22.已知函数

𝑓(𝑥)=4𝑥−𝑎ln𝑥−12𝑥2−2，其中a为正实数．(1)求函数𝑦=𝑓(𝑥)的单调区间；(2)若函数𝑦=𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1，𝑥2，求证：𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)<6−ln𝑎．答案和解析1.D解：因为21−�

�=2(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=2(1+𝑖)2=1+𝑖．2.C解：lim𝛥𝑥→0𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)3𝛥𝑥=13lim𝛥𝑥→0𝑓(1+𝛥𝑥)−𝑓(1)𝛥𝑥=13𝑓′(1)．3.C解：由

函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象的增减变化趋势可判断函数𝑦=𝑓′(𝑥)取值的正、负情况如下表：x(−1,𝑏)(𝑏,𝑎)(𝑎,1)𝑓(𝑥)递减递增递减𝑓′(𝑥)−+−1.可知当𝑥∈(−1,𝑏)时，函数𝑦=𝑓′

(𝑥)的图象在x轴下方；当𝑥∈(𝑏,𝑎)时，函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象在x轴上方；当𝑥∈(𝑎,1)时，函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象在x轴下方．4.C解：由图象可得：函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在点P处的切线方程是𝑦=−𝑥+8，∴𝑓(5

)=−5+8=3，𝑓′(5)=−1，∴代入则可得𝑓(5)+𝑓′(5)=3−1=2．5.A解：∵𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥，∴𝑓′(𝑥)=−𝑠𝑖𝑛𝑥，．6.D解：∵𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥+𝑏，∴𝑓′(𝑥)=3𝑥2+𝑎．∵𝑓(𝑥)在(−1,1)上为减函数

，在(1,+∞)上为增函数，∴𝑓′(1)=3+𝑎=0．∴𝑎=−3，𝑏∈R．7.A5.8.B解：9.AD解：对于A，若复数为虚数单位)，则，则𝑧30=𝑖30=𝑖28𝑖2=−(𝑖4)7=−1，故A

正确；对于B，复数i满足𝑖2=−1∈𝑅，但𝑖∉𝑅，故B错误；对于C，若复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖(𝑎,𝑏∈𝑅)，则z为纯虚数的充要条件是𝑎=0，𝑏≠0，故C错误；对于D，若复数z满足|𝑧|=1，根据复数的几何意义则

复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确．10.BC解：𝐴.由𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥，得𝑓′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，∴𝑓′′(𝑥)=−𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥−√2c

os(𝑥+𝜋4)，∵𝑥∈(0,𝜋2)，∴当𝑥=𝜋4时，𝑓′′(𝑥)=√2cos𝜋2=0，这与𝑓′′(𝑥)在定义域中小于0不符，故A错误；B.由𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−2𝑥，得𝑓′(𝑥)=1𝑥−2，∴𝑓′′(𝑥)

=1−𝑥2−2，∵𝑥∈(0,𝜋2)，∴𝑓′′(𝑥)<0在(0,𝜋2)上恒成立，故B正确；C.由𝑓(𝑥)=−𝑥3+2𝑥−1，得𝑓′(𝑥)=−3𝑥2+2，∴𝑓′′(𝑥)=−6𝑥，∵𝑥∈(0,𝜋2)，∴𝑓′′(𝑥)=−6𝑥<0恒成立，故C正

确；D.由𝑓(𝑥)=−𝑥𝑒−𝑥，得𝑓′(𝑥)=𝑒−𝑥(𝑥−1)，∴𝑓′′(𝑥)=𝑒−𝑥(2−𝑥)，∵𝑥∈(0,𝜋2)时，2−𝑥>0，𝑒−𝑥>0，∴𝑓′′(𝑥)>0恒成立，与𝑓′′(𝑥)在定义域中小于0不符，故D错误．

11.AD解;由题得𝑓′(𝑥)=1−𝑎2𝑥2，设切点坐标为(𝑥0,𝑥0+𝑎2𝑥0)，则切线方程为𝑦−𝑥0−𝑎2𝑥0=(1−𝑎2𝑥02)(𝑥−𝑥0)，又切线过点(1,0)，可得−𝑥0−𝑎2𝑥0=(1−𝑎2𝑥

02)(1−𝑥0)，整理得2𝑥02+2𝑎𝑥0−𝑎=0，因为曲线𝑦=𝑓(𝑥)存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足𝛥=4𝑎2−8(−𝑎)>0，解得𝑎>0或𝑎<−2．12.ABC解：∵�

�(𝑥+2𝜋)=sin(𝑥+2𝜋)+12𝑠𝑖𝑛2(𝑥+2𝜋)=𝑠𝑖𝑛𝑥+12𝑠𝑖𝑛2𝑥，A正确；由𝑓(𝑥)=0得到𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥=0，∴𝑠𝑖𝑛𝑥=0或1+𝑐𝑜𝑠𝑥=0，∴𝑥=𝑘𝜋，或𝑥=𝜋+2𝑘

𝜋，𝑘∈𝑍，∴函数𝑓(𝑥)在[0,2𝜋]上有三个零点0，𝜋，2𝜋，B正确；∵𝑓′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥，∴当时，𝑓′(𝑥)=0，且当时𝑓′(𝑥)>0，当时，𝑓′(𝑥

)<0，∴𝑓(𝑥)在时取得最大值，，C正确，由上述求解知函数在上一定递减，D错误．13.38解：∵2𝑖−3是关于x的方程2𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0(𝑝,q为实数)的一个根，∴⬚