【文档说明】安徽省合肥市百花中学、八一学校等四校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，638.937 KB，由小赞的店铺上传

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合肥百花中学等四校2023~2024学年度第二学期高二年级期末考试数学本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出

每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()sin2fxx=，则π3f=（）A.1−B.1C.3−D.3【答案】A【解析】【分析】根据复合函数求导可得()2cos2fxx=，代入运算求解即可.【详解】由题意可知：()()cos222cos2fxxxx==，所以π2π2

cos133f==−.故选：A.2.已知等比数列na的公比为q，且1a是2a与3a的等差中项，则q=（）A.2−B.1C.2D.2−或1【答案】D【解析】【分析】根据等差中项可得2312aaa=+，结合等比数列的通项公式运算求解.【详

解】因为1a是2a与3a的等差中项，则2312aaa=+，即21112aqaaq=+，且10a，整理可得220qq+−=，解得2q=−或1q=.故选：D.3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是

0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记A=一天的空气质量为优良”，B=第二天空气质

量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6PAPAB==,所以()()()4|5PABPBAPA==，故选A.考点：条件概率．4.已知随机变量服从正态分布()2N2,，且()40.8P=，则()02P等于（）A.0.6B.

0.4C.0.3D.0.2【答案】C【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.【详解】()2N2,，2=，()()()()0224420.80.50.3PPPP==−=−=.

故选：C.5.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分

配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成

四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先

选后排思想求解.6.若函数()lnxfxx=与()exabgx−=−在1x=处有相同的切线，则ab+=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】D【解析】分析】对()fx，()gx求导，根据题意得到11e1e0aab−−=−=，再解方程组即可得到答案.【详解】因为()lnxfxx=，()e

xabgx−=−，则()21lnxfxx−=，()exagx−=，可得()10f=，()11eagb−=−，()11f=，()11eag−=，因为()fx，()gx在1x=处有相同的切线，即切点为()

1,0，切线斜率1k=，所以11e1e0aab−−=−=，解得11ab==，所以2ab+=.故选：D.7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使

用移动支付的人数，2.4DX=，()()46PXPX==，则p=A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()DXnp1p=−进行计算即可．()()DXnp1p=−p0.4=或p0.6=()()()(

)6444661010PX41PX61CppCpp==−==−，()221pp−,可知p0.5【故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．8.函数()fx的定义域为R，()12f−=，对任意xR，()2fx，则()

24fxx+的解集为（）A.()1,1−B.()1,−+C.(),1−−D.(),−+【答案】B【解析】【分析】构造函数()()24gxfxx=−−，利用导数判断出函数()ygx=在R上的单

调性，将不等式()24fxx+转化为()()1gxg−，利用函数()ygx=的单调性即可求解.【详解】依题意可设()()24gxfxx=−−，所以()()20gxfx=−.所以函数()ygx=在R上单调

递增，又因为()()11240gf−=−+−=.所以要使()()240gxfxx=−−，即()()1gxg−，只需要1x−，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构

造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设离

散型随机变量X的分布列为：X01234Pq0.40.1020.2若离散型随机变量Y满足21YX=+，则（）A.0.1q=B.()1.8DX=C.()2EY=D.()3.6DY=【答案】AB【解析】【分析】根据分布列的性质求得参数q，结合分布列求得()(),EXDX，再结

合期望和方差的性质，即可判断和选择..【详解】对于选项A：因为0.40.10.20.21q++++=，解得0.1q=，故A正确；对于选项B：可得()00.110.420.130.240.22EX=++++=，(

)()()()()()222220.1200.4120.1220.2320.2421.8DX=−+−+−+−+−=，故B正确；对于选项CD：因为21YX=+，则有：()()212215EYEX=+=+=，故C错误；()()441.87.2DYDX===，故D错误.故选：AB.

10.下列说法正确的是（）A.若回归方程为62.5yx=−，则变量x与y负相关B.运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心(),xyC.若散点图中所有点都在直线0.924.21yx=−上，则相关系数0.92r=D.若决定系数2R的值越接近于1，表示回

归模型的拟合效果越好【答案】ABD【解析】【分析】利用正负相关的意义判断A；利用回归直线的性质判断B；利用相关系数、决定系数意义判断CD.【详解】对于A，回归方程为62.5yx=−的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确；对于

B，回归直线方程一定经过样本点的中心(),xy，B正确；对于C，散点图中所有点都在直线0.924.21yx=−上，则相关系数1r=，C错误；对于D，决定系数2R的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.故选：ABD11.已知数列na满足11,a=

121nnaa+=+，则（）A.数列1na+是等比数列B.21nna=−C.数列na的前n项和2nnSn=−D.数列11nnnaaa++的前n项和112221nnnT++−=−【答案】ABD【解析】【

分析】根据等比数列的定义即可求解A，由公比和首项写出等比数列的通项即可求解B，根据分组求和，裂项相消法求和即可求解CD.【详解】对于AB，由11,a=121nnaa+=+可得()1121nnaa++=+，

又112a+=，故1na+为等比数列，且首项为2，公比为2，则1122nna−+=，故21nna=−，AB正确，对于C，数列na的前n项和()12122212nnnSnn+−=−=−−−，故C错误，对于

D，()()111111122122121nnnnnnnnaaa+++−+−=−−−=，故12231111111212121211122nnnT+=−+−++−−−−−−−11112212121nnn+++−=−=−

−，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数2()1xafxx+=+在1x=处取极值，则=a___________【答案】3【解析】【详解】试题分析：22222'()(1)xxxafxx+−−=+=222(1)xxax+−+．因为f（x

）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3.考点：利用导数研究函数的极值．13.81()yxyx−+的展开式中26xy的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】()81yxyx−+可化

为()()88yxyxyx+−+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=yyxyxyxyxx−++−+，所以()81yxyx−+的展开式中含26xy的项为626535

2688C28yxyCxyxyx−=−，()81yxyx−+的展开式中26xy的系数为-28故答案为：-2814.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则(2

)P==__________，()E=_________．【答案】①.1635，②.127##517【解析】【分析】利用古典概型概率公式求(2)P=，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.【详解】

从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有37C种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有112424CCC+种，所以11242437CCC16(2)C35P+===，由已知

可得的取值有1，2，3，4，2637C15(1)C35P===，16(2)35P==，，()()233377C31134C35C35PP======，所以15163112()1234353535357E=+++=,故答案为：1635，127.四、解答题：本题共5小题，共77分．

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a=−，315S=−．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值.【答案】（1）29nan=−（2）28nSnn=−；

nS的最小值为16−【解析】【分析】（1）根据题意结合等差数列求和公式求得2d=，即可得结果；（2）根据等差数列求和公式可得28nSnn=−，结合二次函数性质分析求解.【小问1详解】设等差数列{}na的公差为d，因为17a=−，315S=−，可得()3237152d

−+=−，解得：2d=，所以()72129nann=−+−=−．【小问2详解】由（1）可得：()()2272984162nnnSnnn−+−==−=−−，可知：4n=时，nS取得最小值41=6S−，所以nS的最小值为16−．16.已知32nx

x+展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列.（1）求n的值；（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.【答案】（1）7（2）514【解析】【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求7n=；（2）根据二项展开式的

通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求概率.【小问1详解】因为第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为1Cn、2Cn、3Cn，由题意可知：2132CCCnnn=+，即()()()1216

nnnnnn−−−=+，显然3n，整理可得29140nn−+=，解得7n=或2n=（舍去），所以7n=．【小问2详解】由（1）可知732xx+展开式的通项为()747331772C2C,0,1,,

7rrrrrrrTxxrx−−+===，可知展开式共8项，当1,4,7r=为有理项，共3项，所以由插空法可得有理项不相邻的概率535688AA5A14P==．17.一家面包房根据以往某种面

包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50

个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【答案】(1)0.108.(2)1.8，0.72.【解析】【详解】试题分析：（1）设1A表示事件日销售量不低于100个”，2A

表示事件日销售量低于50个”，B表示事件在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出1()0.6PA=，2()0.15PA=，利用事件的独立性即可求出()PB；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）

的值.（1）设1A表示事件日销售量不低于100个”，2A表示事件日销售量低于50个”，B表示事件在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6PA=++=.2()0.0

03500.15PA==.()0.60.60.1520.108PB==.（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064PXC==−=,123(1)0.6(10.6)0.288PXC==

−=,223(2)0.6(10.6)0.432PXC==−=,333(3)0.60.216PXC===,分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3,0.6),所以期

望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.18.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定合格”

与不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：合格”记5分，不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示.等级不合格合格得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频

数6x24y（1）若测试的同学中，分数在)20,40，)40,60，)60,80，80,100内女生的人数分别为2人，8人，16人，4人，完成下面列联表，依据0.01=的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关?等

级性别不合格合格总计男生女生总计（2）按比例分配的分层抽样方法从评定等级为合格”和不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E(X).附:()()()()()22nadbcabcd

acbd−=++++0.10.050.010.0050.001ax2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，不能（2）分布列见解析，12【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本容量，再由数据表求出,xy，列出22列联表，计算2

并比对作答；（2）求出X的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】由频率分布直方图可知得分在)20,40的频率为0.005200.1=，所以抽取的学生答卷总数为6600.1=，则600.318x==，600.212y==，可得22

列联表为：等级性别不合格合格总计男生141630女生102030总计243660零假设0H：性别与安全意识无关，于是()226014201016106.635303024369−==，依据0.01=的独立性检验可知：零假设0H成立，所

以不能认为性别与安全意识有关．【小问2详解】不合格”和合格”的人数比例为24:362:3=，因此抽取的10人中不合格”有4人，合格”有6人，可知X的可能取值为0，5，10，15，20，则有：3464012264414441100CC3(C7CCC14

(0),(5),10)C210C35PXPXPX=========，314646441010CC8(15),20)C214C1(C1PXPX======，所以X的分布列为：X05101520P121043537821114期望()14

38105101520122103572114EX=++++=．19.设函数()32.fxxaxbxc=+++（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（Ⅱ）设4ab==，若函数()fx有三

个不同零点，求c的取值范围；（Ⅲ）求证：230ab−＞是()fx有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（Ⅰ）ybxc=+;（Ⅱ）320,27;（Ⅲ）见解析.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）导数，根据()0

fc=，()0fb=求切线方程；（Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数()fx有三个不同零点，求c的取值范围；（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：（Ⅰ）由()32fxxaxbxc=+++，得()232f

xxaxb=++．因为()0fc=，()0fb=，所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为ybxc=+．（Ⅱ）当4ab==时，()3244fxxxxc=+++，所以()2384fxxx=++．令()0fx=，得23840x

x++=，解得2x=−或23x=−．()fx与()fx在区间(),−+上的情况如下：x(),2−−2−22,3−−23−2,3−+()fx+0−0+的()fxc3227c−所以，当0c且32027c−时，存在()14,2x−−

，222,3x−−，32,03x−，使得()()()1230fxfxfx===．由()fx的单调性知，当且仅当320,27c时，函数()3244fxxxxc=+++有三个不同零点．（Ⅲ）

当24120ab=−时，()2320fxxaxb=++，(),x−+，此时函数()fx在区间(),−+上单调递增，所以()fx不可能有三个不同零点．当24120ab=−=时，()232fxxaxb=++只有一个零点，记作0x．当()0,xx−时，

()0fx，()fx区间()0,x−上单调递增；当()0,xx+时，()0fx，()fx在区间()0,x+上单调递增．所以()fx不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()fx有三个不同零点，则必有24120ab=−

．故230ab−是()fx有三个不同零点的必要条件．当4ab==，0c=时，230ab−，()()232442fxxxxxx=++=+只有两个不同零点，所以230ab−不是()fx有三个不同零点的充分条件．因此2

30ab−是()fx有三个不同零点的必要而不充分条件．【考点】利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值．3

.方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．4.高考中一些不等式证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不在的等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函

数是用导数证明不等式的关键．