【文档说明】第04讲 简单事件的概率（核心考点讲与练）-【暑假预习】2022年暑假新九年级数学核心考点讲与练（浙教版）（解析版）.docx，共(25)页，1021.998 KB，由管理员店铺上传

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第04讲简单事件的概率（核心考点讲与练）【基础知识】1．可能性的大小随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：（1）理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进

行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．（2）实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值

，即大量实验频率稳定于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．2．概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A

）＝p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率

越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．3．概率公式（1

）随机事件A的概率P（A）．（2）P（必然事件）＝1．（3）P（不可能事件）＝0．4．游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率．5．利用频率估计概

率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果

个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．【考点剖析】一．可能性的大小（共4小题）1．（2022•泗阳县一模）下列成语或词语所反映的事件中，发生的可能性大小最小的是（）A．守株待兔B．旭日东升C．瓜熟蒂落D．夕阳西下【分析】根据

事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．【解答】解：A．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；C．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1

，不符合题意；D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大

小在0至1之间．2．（2022•大渡口区模拟）一个不透明口袋中装有3个红球2个白球，除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，下列叙述正确的是（）A．摸到红球是必然事件B．摸到白球是不可能事件C．摸到红球的可能性比白

球大D．摸到白球的可能性比红球大【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式分别求出摸到红球和白球的概率，然后进行比较即可得出答案．【解答】解：∵共有3+2＝5个球，∴摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，∴摸到红球的可能性比白球大；故选：C．【点评】此题考查了可能性的大小，用到

的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．3．（2022•定海区一模）如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的

体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）A．B．C．D．【分析】根据概率公式求解即可．【解答】解：从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“

滑冰”项目的图案的可能性大小为，故选：B．【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．4．（2019秋•新昌县期末）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次出一只手，且至少要出一个

手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么小李（填“小李”或“小陈”）获胜的可能性较大．【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．【解答】解

：画树状图如图：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，则小李获胜的概率为，故小李获胜的可能性较大．故答案为：小李．【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图

是解题的关键．二．概率的意义（共3小题）5．（2020•天台县模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷95次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（）A．小于B．等于C．大于D．无法确定【分析】根据概率的意义分析即可．【解答】解：∵每一次抛掷一枚质地均匀的硬币是一件随机

事件，且正面朝上的概率是．∴抛掷第100次正面朝上的概率也是．故选：B．【点评】本题主要考查概率的意义，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件等的概率的意义是解题的关键．6．（2021秋•越城区期末）小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上

的概率是（）A．0B．1C．D．【分析】根据概率的意义判断即可．【解答】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：，故选：C．【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．7．（2021春•济南期末）某人连续抛掷

一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为．【分析】利用概率的意义直接得出答案．【解答】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第四次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：．故答案为：．【点评】此题主要考

查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．三．概率公式（共2小题）8．（2021秋•建湖县期末）一个不透明的布袋里装有12个白球，3个红球，5个黄球，除颜色外其他都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】

解：搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为，故选：D．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．9．（2022•永康市模拟）在不透明的纸盒中装有3个红球和2个黄球（除颜

色外其余均相同），现从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为．【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：∵一个袋中装有3个红球和2个黄球，∴球的总数＝2+3＝5，∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率．故答案为：．【点评】本题考查的是概率公式，熟

知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．四．游戏公平性（共1小题）10．（2020秋•海曙区期中）某学校组织部分七年级学生到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，学校将所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计如图所示．请根据统计图回答下列

问题：（1）七年级参观博览会的学生有多少名；（2）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；（3）若A馆门票仅剩下一张，而小明和小华都想去，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4，5的五张牌洗

匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽一次且一次只一张；若抽得的数字不小于3，门票给小明，否则门票给小华．用所学习的概率知识，说明这个规则对双方是否公平．【分析】（1）由A馆人数及其所占百分比可得被调查的总人数；（2）用总人数乘以B馆对应的

百分比求出其人数，用C馆人数除以总人数可得其对应百分比，从而补全图形；（3）计算出小明、小华获得门票的概率，判断概率是否相等即可得出答案．【解答】解：（1）七年级参观博览会的学生有20÷10%＝200（名）；（2）B馆对应人数为200×25%＝50（

名），C馆对应百分比为100%＝15%，补全图形如下：（3）门票给小明的概率为，门票给小华的概率为，∵，∴此游戏规则对双方不公平．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏

就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．五．利用频率估计概率（共2小题）11．（2021•大渡口区模拟）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个

，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20B．30C．40D．50【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率

约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．【解答】解：根据题意得0.4，解得：n＝20，故选：A．【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解黑球的频率稳定在0.4附近即为概率约为0.4．12．（2021秋•宁波期末）一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的

球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（）A．10B．12C．15D．18【分析】用白球的个数除以摸到白球的频率即可．【解答】解：由题意知，盒子里球的总个数约为6÷0.4＝15，故选：C

．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．【过关检测】一、单选题1．（2021·哈尔滨市第十七中学校）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．从中随机摸取出一个黑球的概率是（）

A．47B．37C．54D．34【答案】A【分析】直接利用概率公式直接得出取出一个黑球的概率．【详解】解：∵一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，∴从中随机抽取出一个黑球的概率是：47，故选：A．【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．2．（2021·

贵阳市第十九中学九年级月考）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（）A．是公平的B．对乙有利C．对甲有利D．以上都不对【答案】C【分析】甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之积为偶数有

27种，两者之积为奇数有9种，据此计算两种情况的概率即可.【详解】解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之积为偶数有27种，两者之积为奇数有9种，两者之积为偶数的概率为273364

=，则两者之积为奇数的概率为31144−=，3144＞，故选择C.【点睛】本题考查了利用概率判断游戏的公平性，掌握概率的计算是解题的关键.3．（2021·山东济南市·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣

传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）A．19B．16C．13D．23【答案】C【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．【详解】根据题意，设三个宣传队分别为

,,ABC列表如下：小华\小丽ABCAAAABACBBABBBCCCACBCC总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是31=93．故选C【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以

不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．4．（2021·浙江衢州市·九年级期末）下列属于必然事件的是（）A．水中捞月B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．大海捞针【答案】B【分析】依据必然事件、随机事件的

概念判断即可．【详解】解：A、水中捞月是不可能事件，不合题意；B、瓮中捉鳖是必然事件，符合题意；C、守株待兔是随机事件，不合题意；D、大海捞针是随机事件，不合题意；故选B．【点睛】本题考查了必然事件的概念，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验

中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件．5．（2021·山东青岛市·九年级期末）一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，

一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为（）A．10个B．20个C．30个D．40个【答案】B【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系

入手，设未知数列出方程求解．【详解】解：设白球有x个，根据题意得：105010150x=+，解得：x＝20，经检验x＝20是分式方程的解，即白球有20个，故选：B．【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定

值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．6．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级一模）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章

算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时

期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的

概率为（）A．13B．15C．115D．118【答案】C【分析】设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示,列树形图表示所有等可能性，根据概率公式即可求解．【详解】解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表

示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示，根据题意列树形图得由树形图得共有30种等可能性，其中两部专著恰好是A、B即《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的有两种等可能性，∴所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳

算经》的概率为213015P==．故选：C【点睛】本题考查了列树形图求概率，根据题意分别用字母表示六种算经并正确列出树形图是解题关键．二、填空题7．（2020·宜春市第三中学九年级月考）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有2

0个，除颜色外其他完全相同．每次摸球前先将袋中的球拌匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回布袋中，小明通过大量摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定于0.25和0.55，则可估计布袋中白色球有___个．【答

案】4【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数，即可求出答案．【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在0.25和0.55，∴摸到白球的频率为1﹣0.25﹣0.55＝0.2，故口袋中白色球的个数可能是20×0.2＝4（个

）．故答案为：4．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．8．（2021·浙江衢州市·九年级期末）两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是__

_．【答案】13【分析】用列表法即可解决．【详解】列表如下：石头剪子布石头石头，石头石头，剪子石头，布剪子剪子，石头剪子，剪子剪子，布布布，石头布，剪子布，布事件总的可能结果数为9，手势相同的有3种，则两人手势相同的概率是

3193=．故答案为：13【点睛】本题考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，根据概率计算公式，关键是由图或表中得到事件所有可能的结果数及事件发生的结果数．9．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级

二模）箱子里有4个红球和a个白球，这些球除颜色外均差别，小李从中摸到一个白球的概率是35，则a=__________．【答案】6【分析】根据白球的概率结合概率公式列出关于a的方程，求出a的值即可．【详解】解：摸到一个白球的概率是35，345aa=+，解得6a=．经检

验，6a=是原方程的根．故答案为：6．【点睛】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn=．10．（20

21·山东青岛市·九年级期末）已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a组成三角形的概率为___．【答案】49【分析】由10条线段中任意取2条，是一个列举法求概率问题，是无

放回的问题，共有90种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有40个结果．因而就可以求出概率．【详解】从1~10这10条整数线段中任意取1条，有10种可能结果；再从剩下9条线段

中任意取1条，有9种可能结果；所以从1~10这10条整数线段中任意取2条有10×9=90种等可能的情况，三角形两边之和大于第三边，其中能和线段a组成三角形，即这2条线段的长度之和大于11的有：(2,10)，(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,7)，(5,8

)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,5)，(7,6)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,4)，(8,5)，(8,6)，(8,7)，(8,9)，(8,10

)(9,3)，(9,4)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)一共有1+2+3+4十4+5+6+7+8=4

0种等可能的情况；故能和线段a组成三角形的概率为：404=909．故答案为：49．【点睛】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边．11．（2021·铜陵市第十五中学九年级期

末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标;求点A（a，b）的个数为：__________；点A（a，b）在函数yx=的图象上的概率为：______．【答案】1614【分析】

（1）根据题意采用列表法，即可求得所有点的个数；（2）求得所有符合条件的情况，求其比值即可求得答案．【详解】解：（1）列表得：(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)点

(,)Aab的个数是16；（2）当ab=时，(,)Aab在函数yx=的图象上，点(,)Aab在函数yx=的图象上的有4种，分别是：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)，点(,)Aab在函数yx=的图象上的概率是41164=；故答案是：16，14．【点睛

】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．三、解答题12．（2021·广东深圳市·九年级期末）某校对该校学生最喜欢的球类运动的情况进行了抽样调查

，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面进行了一次调查（每位同学必选择一项且只能选择一项），并将调查结果绘制了以下不完整的统计图，请根据图中的信息解答以下问题：（1）本次调查一个选取了名学生，乒乓球所在扇形

的圆心角的度数为°；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校共有1600名同学，估计最喜欢篮球运动的同学有名；（4）甲、乙、丙、丁四位同学分别最喜欢足球、乒乓球、篮球、排球，现在要从这4名同学中随机抽取两名同学，

请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样．．．的概率．【答案】（1）50，144；（2）见解析；（3）480；（4）图表见解析，56【分析】（1）根据喜欢乒乓球的人数除以占的百分比求出被调查学生的总人数，360°乘以乒

乓球人数占的百分比得出圆心角度数；（2）求出喜欢足球的人数，补全条形统计图即可；（3）先求出本次调查中，喜欢篮球人数的比例，然后用总人数乘以喜欢篮球的人数的比例即可；（4）列出表格得出所有等可能的情况数，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）本次调查选取的学生人数为：2040%50

=（名），乒乓球所在扇形的圆心角的度数为：36040%144=，故答案为：50，144；（2）统计图中喜欢足球的学生人数为：502015510−−−=（名），将条形统计图补充完整如图：（3）喜欢篮球运用的人数比例为：1

55030%=，估计喜欢篮球的共有：160030%480=（人），故答案为：480；（4）根据题意得出表格：AB足球乒乓球篮球排球足球（乒，足）（篮，足）（排，足）乒乓球（足，乒）（篮，乒）（排，乒）篮球（足，篮）（乒，篮）（排，篮）排球（足，排）（乒，排）（篮，排）A表示第一

个选取的同学最喜欢的运动项目，B表示第二个选取的同学最喜欢的运动项目，上表共有12种等可能结果，其中两个运动项目不同的情况有10种∴P（两名同学最喜欢的运动项目不同）105126==【点睛】题目主要考查了条形统计图、扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意是解题的关

键．13．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）贵阳第十九中学八年级学生参加体育中考，现从八年级学生中抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制了如图两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求参与调查的学生中，参加排球考试的学生人数；（2）若八年级共有700名学生，请你估计八年

级学生中有多少名学生参加篮球考试？（3）若从参加足球的3名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为学校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）6；（

2）350；（3）35【分析】（1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，进而可求出参加排球考试的学生人数；（2）由总人数乘以参加篮球考试的学生的百分数即可得解；（3）画树状图展示20种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数，然后根据概率公式求解即可．【详

解】解：（1）由题意可知调查的总人数＝30÷50%＝60（人），∴参加排球考试的学生人数＝60×10%＝6（人），答：参加排球考试的学生人数为6人；（2）∵该中学八年级共有700名学生，∴该中学八年级学生中参加篮球考试的学生有700×50%＝350（名），答：估计八年级学

生中有350名学生参加篮球考试；（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为12，所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率＝1220＝35．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表

法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．14．（2021·山东九年级期末）甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，A转盘被分成如图所示的三份，并分别标有

数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由．【答案】不公平，理由见解析【分析】用列举法表示出所有可能

的结果，利用数字之差的绝对值大于2，和数字之差的绝对值小于2的情况各有多少种，进而计算该事件发生的概率，从而得出是否公平；【详解】解：每次游戏可能出现的所有结果列表如下：BA-1-2312322341-3216-3216从表中看出：共有12种等可能的结果，其中数字之差绝对值大于2

的有5种，数字之差的绝对值小于2的有3种，∴甲获胜的概率P512=乙获胜的概率P31124==∵二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平【点睛】此题考查了概率的应用．求某件事件发生的概率，必须先把所有可能的结果列举出来，

然后再求概率；游戏是否公平，就是判断事件发生的概率是否相等．15．（2021·福建省福州第十九中学九年级月考）2020年“地摊经济”突然火了起来，甲想要用120天摆摊赚一些生活费，甲从工厂租一些扭蛋机，每天只要定时去收

钱就好了．这些扭蛋机租金每天合计36元，每个扭蛋成本为0.3元．由于无处存放，小明每天都必须将扭蛋机和扭蛋送回工厂，工厂以每个扭蛋0.1元的价格回收每天剩下的扭蛋．顾客每次需要花费1元钱开启扭蛋机，经过厂家调试，开启后“得到2个扭蛋”、“得到1个扭蛋”和

“得不到扭蛋”这三种情况是等可能的．工厂为两人提供了摆摊地点的120日需求量的部分数据辅助小明销售，如下表：日需求开启量400500600700频数（天数）60m40m−20其中3440m，且m为整数．（1）开启一次扭蛋机得到的“得到2个扭蛋”的概率为____________（2）开启

一次扭蛋机得到的扭蛋个数的平均数x=____________（3）假设每次开启扭蛋机必得x个扭蛋，请分别计算小明每天都购买500个扭蛋和每天都购买600个扭蛋所获得的总利润，以此作为决策依据，小明应该每天都购买500个扭蛋还是每天都购买600个扭

蛋?【答案】（1）13；（2）1；（3）小明应该每天都购买500个扭蛋【分析】（1）根据概率公式计算即可求解；（2）根据平均数公式计算即可求解；（3）根据利润公式计算每天购买500个扭蛋和每天购买600个扭蛋所获得的总利润，比较即可求解．【详解】解：（1）∵开启后“得到2个扭蛋”、

“得到1个扭蛋”和“得不到扭蛋“这三种情况是等可能的，∴开启一次扭蛋机得到的“得到2个扭蛋”的概率为13，故答案为：13；（2）1112101333x=++=，故开启一次扭蛋机得到的拼蛋个数的平均数为1，

故答案为：1；（3）当购买500个时，总利润=400×60+500×60+0.1×（500-400）×60-500×0.3×120-36×120=32280（元），当购买600个时，总利润=400×60+500m+600（60-m）+0.1（200×60+100m）-0.3×600×12

0-36×120=（35820-90m）（元），∵32280-（35820-90m）=90m-3000，∵34＜m≤40，∴0＜60＜90m-3000≤600，∴32280＞35280-90m．答：小明应该每天都购买500个扭蛋．【点睛】本题考查概率公式，平均数、利润的计算公式，

熟练掌握基础知识，重视计算能力是关键．16．（2021·浙江衢州市·九年级期末）一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只，他们除颜色外，其他都相同，小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回不断重复实验，将多次实验

结果画出如下频率统计图．（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01），从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是；（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．【

答案】（1）0.75，0.25；（2）12【分析】（1）根据统计图可知当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，则摸到红球的频率将会接近0.25；（2）列表展示出所有的可能性的结果，然后得到∴摸到一个红球一个白球的结果数，利用概率公式求解即可．【详解】（1）根据统计图可知当摸球次数

很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，则摸到红球的频率将会接近0.25，故答案为：0.75，0.25；（2）∵箱子一个有4个球，摸到白球的频率为0.75，∴白球的数量=4×0.75=3，∴红球的数量为1列表如下：白白白红白白白白白白红白白白白白白红白

白白白白白红红红白红白红白如表所示，一共有12种可能性的结果，摸到一个红球一个白球的结果数为6种，∴摸到一个红球一个白球的概率61122P==．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，用频率求数量，列表法或树状图法求概率，

解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模）为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结

合图中所给的信息解答下列问题：（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有多少人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；（3）在某一天的购物中，小红和小高都想从“微信”、

“支付宝”两种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【答案】（1）240人，统计图见解析；（2）300人；（3）12【分析】（1）由选择“支付宝”支付的人数除以所占百分比求

出本次调查参与的人数，即可解决问题；（2）由某假期该商场进行购物支付的总人数乘以选择“刷脸或现金”这种支付方式的人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有4种等可能的结果，小红和小高两人恰好选择同一种支付方式的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：（1）本

次调查参与的人数为：60÷25%=240（人），则用“银行卡”支付的人数为：240-60-40-60=80（人），将条形统计图补充完整如下：（2）1800×40240=300（人），即若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有300人会选择“刷

脸或现金”这种支付方式；（3）把“微信”、“支付宝”两种支付方式分别记为A、B，画树状图如图：共有4种等可能的结果，小红和小高两人恰好选择同一种支付方式的结果有2种，∴小红和小高两人恰好选择同一种支付方式的概率为2142

=．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．（2

021·沈阳市第一三四中学）小明和小亮是上海某高校的大学生，他们参加世博志愿者选拔并与甲、乙二人都进入了前4名．现从这4名入选者中确定2名作为志愿者．试用画树形图或列表的方法求出：（1）小明和小亮同时入选的概率；（2）小明和小亮至少有一人入选的概率．【答案】（1）16；（2）56．【

分析】（1）由题意，采用列表法，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可；（2）由（1）可知，求出至少有一人入选的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：（1）根据题意，如下表：一共有12种可能结果

，小明和小亮同时入选的可能结果有2种，因此，小明和小亮同时人选的概率=21126=．（2）由（1）可知，小明和小亮至少有一人入选的结果有10种，∴小明和小亮至少有一人入选的概率为：105126=．【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．

列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（2021·山东青岛市·九年级期末）为落实“十个一

“活动，学校组建了多个志愿者服务队，小盖和小吕通过做游戏决定谁优先选择服务队，游戏规则：两人各掷一次质地均匀的骰子，如果掷出的点数之和是小于7的偶数，由小盖优先选择服务队；如果掷出的点数之和是大于6的奇数，由

小吕优先选择服务队．请你利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏对双方是否公平．【答案】这个游戏对双方不公平，小吕优先选择服务队的可能性大.【分析】先列表得到36种等可能的结果，再找出点数之和是小于7的偶数，点数之和是大

于6的奇数结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：随机掷二次骰子表格如下：1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）

（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）∵共有36种等可能的结果，掷出的点数之和是小于7的偶数（1，

1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（4，2），（5，1）共9种，掷出的点数之和是大于6的奇数（1，6），（2，5），（3，4），（3，6），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）共12种；∴掷出的

点数之和是小于7的偶数概率91364==，掷出的点数之和是大于6的奇数概率121363==，∵1134＞∴这个游戏对双方不公平，小吕优先选择服务队的可能性大.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列

表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．20．（2021·山东济宁学院附属中学九年级二模）我校为组织代表队参加市“诵经典、读论语”吟诵大赛．初赛后对选手成绩进行了整理，分成5

个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：7580x；B组：8085x；C组：8590x；D组：9095x；E组：95100x并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有多少名？请补全频数分布

直方图；（2）扇形统计图中，E组人数对应的圆心角是多少度？（3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男

生和一名女生的概率．【答案】（1）40名；直方图见详解；（2）54°；（3）23．【分析】（1）用A组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以B组所占的百分比求出B组的人数，从而补全统计图；（2）用E组的人数除以总人数即可求出E组人数占参

赛选手的百分比，再用360°乘以E组所占的百分比得到扇形统计图中“E”所在扇形圆心角的度数；（3）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）参加初赛的选手共有

：8÷20%=40（人），B组有：40×25%=10（人），频数分布直方图补充如下：（2）E组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%；E组对应的圆心角度数是：360°×15%=54°；（3）根据题意画树状图如下：由上图可以看出，所有可能出现

的结果有12种，这些结果出现的可能性相等，选中一名男生和一名女生结果有8种，∴恰好选中一名男生和一名女生的概率为：82123=．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

也考查了统计图．