【文档说明】北京一零一中学2021-2022 学年高一下学期期末考试数学模拟试题（一）（解析版）.docx，共(18)页，796.110 KB，由小赞的店铺上传

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北京一零一中2021-2022学年度第二学期期末考试高一数学（模拟一）一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.正方体1111ABCDABCD−中，,,,PQEF分别是1111,,,ABADBCCD中点，则正方体的过,,,PQEF的截面图形的形状是（）A.正方形

B.平行四边形C.正五边形D.正六边形【答案】D【解析】【分析】由//EFPQ，可以确定一个平面这个平面与正方体1111ABCDABCD−的棱1BB、1DD分别交于M，N，由正方体的性质得正方体过P，Q，E，F的截面

图形的形状是正六边形．【详解】解：如图所示，由//EFPQ，可以确定一个平面，这个平面与正方体1111ABCDABCD−的棱1BB、1DD分别交于M，N，由正方体的性质得//FNMP，//NQME，且EFFNNQQPP

MME=====，正方体过P，Q，E，F的截面图形的形状是正六边形．故选：D．2.空间四点,,,ABCD共面而不共线，那么这四点中（）A.必有三点共线B.至多有三点共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【答案】B【解析】【分析】画出空间四点,,,ABCD共面而不共线

的两种情况，即可得出答案.的【详解】如下图所示，A，C，D均不正确，只有B正确.故选：B.3.设向量a，b满足2a=，1b=，,60ab=，则2ab+=（）A.22B.23C.10D.12【答案】B【解析】【分析】直接利用向量的模以及数量积的运算法则求解即可.【详解】解：向量a，b满足2a

=，1b=，,60ab=，则222124444214122abaabb+=++=++=，则223ab+=.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的模，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4.要想得到函数πsin(2

)3yx=−的图象，只需将函数sinyx=的图象上所有的点A.先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B.先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C.横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D.横坐标变伸长原来的2倍，纵坐

标不变，再向右平移π3个单位长度【答案】C【解析】【详解】函数sinyx=的图象上所有的点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到sin2xy=，，再向右平移π6个单位长度πsin23yx=−，故选C5.下列函数中，周期为1的奇函数是()A.y=1-2sin2πxB.y=sinπ2πx

3+C.y=tanπ2xD.，y=sinπxcosπx【答案】D【解析】【分析】对A，利用二倍角的余弦公式化简后判断；对B直接判断奇偶性即可；对C，直接利用正切函数的周期公式判断即可；对D，利用二倍角的正弦公式化简后判断即

可.【详解】化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos()2πx是偶函数，周期为1，不合题意；y=sinπ2πx3+的周期为1，是非奇非偶函数，周期为1，不合题意；y=tanπ2x是奇函数，周期为2，不合题意；y=sinπxcosπx=12si

n2πx是奇函数，周期为1，合题意；故选D.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及三角函数的周期公式，属于中档题.由函数()cosyAx=+可求得函数的周期为2；由函数()sinyAx=+可求得函数的周期为2；由

函数()tanyAx=+可求得函数的周期为.6.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20123+B.282C.563D.2823【答案】D【解析】【分析】由四棱台

的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高()2222222h=−−=，下底面面积116S=，上底面面积24S=，所以该棱台的体积()(

)121211282164642333VhSSSS=++=++=.故选：D.7.若cos0,,tan222sin=−，则tan=（）A.1515B.55C.53D.153【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin22s

incostan2cos212sin==−，再结合已知可求得1sin4=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】costan22sin=−2sin22sincoscostan2cos212sin2sin===−−，0,2

，cos0，22sin112sin2sin=−−，解得1sin4=，215cos1sin4=−=，sin15tancos15==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数化简问题，解题的关键是利用二

倍角公式化简求出sin.的8.在ΔABC中,2sin(22caBabcc−=、、分别为角ABC、、的对边),则ΔABC的形状为A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【详解】依题意，利用正弦定理

及二倍角公式得sinsin1cos2sin2CABC−−=，，即sinsincosACB=，，又()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，，故sincos0BC=，，三角形中sin0B，，故πcos0,2CC==，，故三角形为直角三角形，

故选A.9.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1ACBCACBC⊥==，则三棱锥OABC−的体积为（）A.212B.312C.24D.34【答案】A【解析】【分析】由题可得ABC为等腰直角三角形，得出AB

C外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距离，进而求得体积.【详解】,1ACBCACBC⊥==，ABC为等腰直角三角形，2AB=，则ABC外接圆的半径为22，又球的半径为1，设O到平面ABC的距离为d，则2222122d

=−=，所以1112211332212OABCABCVSd−===.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.10.设函数()fx的定义域为R，()1fx+为奇函数，()2fx+为偶

函数，当1,2x时，2()fxaxb=+．若()()036ff+=，则92f=（）A.94−B.32−C.74D.52【答案】D【解析】【分析】通过()1fx+是奇函数和()2fx+是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222fxx=−+，进而利用定义或周期性结

论，即可得到答案．【详解】因为()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx−+=−+①；因为()2fx+是偶函数，所以()()22fxfx+=−+②．令1x=，由①得：()()()024ffab=−=−+

，由②得：()()31ffab==+，因为()()036ff+=，所以()462ababa−+++==−，令0x=，由①得：()()()11102fffb=−==，所以()222fxx=−+．思路一：从定义入手．9551222222ffff=+=−+=−

1335112222ffff−=−+=−+=−511322=2222ffff−=−+=−−+−所以935222ff=−=．思路二：从周期性入手由

两个对称性可知，函数()fx的周期4T=．所以91352222fff==−=．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．二､

填空题共5小题.11.在△ABC中,若2,23,30,abA===则角B等于______.【答案】060或0120【解析】【详解】∵2,23,30abA===∴由正弦定理sinsinabAB=得：1

23sin32sin22bABa===∵ba∴60B=或120故答案为060或012012.设，是两个不同的平面，l是直线且l，则“l⊥”是“⊥”的______.条件(参考选项：充分

不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】【分析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.根据题意由判断定理得l⊥⊥.若⊥，直线l则直线l⊥

，或直线l∥，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.由⊥，直线l得不到l⊥，故可得出结论..【详解】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.因为直线l且l⊥所以由判断定理得

⊥.所以直线l，且l⊥⊥若⊥，直线l则直线l⊥，或直线l∥，或直线l与平面相交，或直线l在平面内.所以“l⊥”是“⊥”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，涉

及到线面、面面关系，属于基础题.13.已知直三棱柱111ABCABC−的6个顶点都在球O的球面上，若3AB=，4AC=，ABAC⊥，112AA=，则球的表面积为______.【答案】169【解析】【分析】把直三棱柱111ABCABC−的补成一个长方体

，则直三棱柱111ABCABC−的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，直三棱柱111ABCABC−的底面ABC为直角三角形，可把直三棱柱111ABCABC−的补成一个长方体，则直三棱柱111ABCA

BC−的外接球和长方体的外接球是同一个球，又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12ABACAA===，即22222212341213RABACAA=++=++=，即132R=，所以球表面积为221344()1692SR==

=．故答案为169【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14.已知函数()

sincos23xxfx=+，0,2x，其中x表示不超过x的最大整数．例如：11=，0.50=，0.51−=−．①23f=________；②若()fxxa

+对任意0,2x都成立，则实数a的取值范围是________．【答案】①.43②.3,22−−【解析】【分析】①根据解析式以及取整定义，将23x=代入解析式可求函数值；②讨论x的取值范围，求出()322fxx−

−，根据不等式恒成立，只需322a−即可求解.的的【详解】①由()sincos23xxfx=+，3221sincos2013322423232333f−−=+=+=+=.②当0x=时，(

)012304fxx−=+−=；当0,2x时，()002322,22fxxxx−=+−=−−；当2x=时，()1023322fxx−=+−=−；当,2x时，()014442

3,3332fxxxx−−=+−=−−−；当3,22x时，()11553523,6626fxxxx−−−=+−=−−−；当3,22x时，()103333232,2222fxxxx−−=+−=−−

−；当2x=时，()0123242fxx−=+−=−，又()fxxa+对任意0,2x都成立，即()afxx−恒成立，()322fxx−−，所以322a−，所以实数a

的取值范围是3,22−−.故答案为：43；3,22−−15.已知函数()lg2fxxkx=−−，给出下列四个结论：①若0k=，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正数

k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【解析】【分析】由()0fx=可得出lg2xkx=+，考查直线2ykx=+与曲线()lggxx=的左、右支分别相切的情形，利用方程思

想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k=时，由()lg20fxx=−=，可得1100x=或100x=，①正确；对于②，考查直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−相切于点(),lgPtt

−，对函数lgyx=−求导得1ln10yx=−，由题意可得2lg1ln10kttkt+=−=−，解得100100lgetkee==−，所以，存在100lg0kee=−，使得()fx只有一个零点，②正确

；对于③，当直线2ykx=+过点()1,0时，20k+=，解得2k=−，所以，当100lg2eke−−时，直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，若函数()fx有三个零点，则直线2ykx=+与曲线()lg01yxx=−有两个交点，直线2ykx=+与曲线

()lg1yxx=有一个交点，所以，100lg220ekek−−+，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数()fx有三个零点，③错误；对于④，考查直线2ykx=+与曲线()lg1yxx=相切于点(),lgPtt，对函数lgyx=求导得1ln10yx=

，由题意可得2lg1ln10kttkt+==，解得100lg100teeke==，所以，当lg0100eke时，函数()fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题

，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三､解答题共4小题

.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知函数()2sin26fxx=−.（1）求函数()fx的对称轴；（2）当0,2x时，求函数()fx的最大值与最小值.【答案】（1）对称轴方程为：23kx=+(kZ)；（2）最大值为2，最

小值为1−.【解析】【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.【详解】（1）函数()2sin26fxx

=−.令262xk−=+(kZ)，解得23kx=+(kZ)，所以函数()fx的对称轴方程为：23kx=+(kZ).（2）由于0,2x，所以52,666x−−，故1sin2,162x−−.则：()12fx

−故当0x=时，函数的最小值为1−.当3x=时，函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.17.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，90BADFAB==，BCAD∥，12BCA

D=，BEFA∥，12BEFA=，G，H分别为FA，FD的中点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形.（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？【答案】（1）见解析（2）C，D，F，E四点共面.见解析【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可证明BCHG∥,BCHG=即可证明四

边形BCHG是平行四边形.（2）根据平行四边形性质及（1）中结论,可证明EF与CH共面,结合DFH即可证明,,,CDFE四点共面.【详解】（1）证明：因为,GH分别为,FAFD中点,所以GHAD,12GHAD=.又BCAD∥,12BCA

D=所以BCHG∥,BCHG=,所以四边形BCHG是平行四边形.（2）,,,CDFE四点共面.理由如下：由BEFA∥,12BEFA=,G是FA中点知,BEFGP,BEFG=所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG∥.由（1）知BGCHP,所以EFCH∥,所以EF与

CH共面.的又DFH,所以,,,CDFE四点共面.【点睛】本题考查了由中位线定理判定平行四边形,由线线平行证明四点共面,属于基础题.18.已知在ABC中，,,ABC所对边分别为,,abc，且3,2abc==.（1）若

23A=，求ABC的面积；（2）若2sinsin1BC−=，求ABC的周长.【答案】（1）9314（2）4253ABCC=−+或4253ABCC=++.【解析】【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式即得；（2）利用正弦定理及条件可求522cos,cos33BC==，再

利用正弦定理即可求解.【小问1详解】22222214937cos2247bcaccAcbcc+−+−=−==，119393sin2.227214ABCSbcA===【小问2详解】依题意，正弦定理：sin2sinsinsinbc

BCBC==，所以代入计算：14sinsin1sin3CCC−==，则2sin3B=.当B为锐角时，()22251425sinsinsincosCcossin33339ABCBBC+=+=+=+=，425,3sinsinsin8225,3cabcABCb

−===−=所以4253ABCC=−+，当B为钝角时，()22251425sinsinsincoscossin33339ABCBCBC−=+=+=−=，425,3sinsinsin8

225,3cabcABCb+===+=所以4253ABCC=++，综上：4253ABCC=−+或4253ABCC=++.19.正四棱锥SABCD−的展开图如图所示，侧棱SA长为1，记ASB=，其表面积记为()

f，体积记为()g.（1）求()f的解析式，并直接写出的取值范围；（2）求()()gf，并将其化简为2coscos1sinabc+++的形式，其中,,abc为常数；（3）试判断()()gf是否存在最大值，最小值？（写出结论即可）【答案】

（1）()2sin22cosf=+−，π0,2；（2）()()()1coscos13sin1cosgf−=+−，()()211coscosπ181801sin2gf−+=+；（3）最大值，无最小值.【解析】

【分析】（1）根据四棱锥的表面积公式进行求解即可；（2）求出()()gf的表达式，利用三角函数的关系式进行化简即可；（3）根据()()gf的表达式，直接进行判断最值即可．【小问1详解】解:因为正

四棱锥SABCD−中，1,SASBASB===，所以()2144sin2SABABCBfSSSASBASBAB=+=+四边形222sin2cos2sin22cosSASBSASBASB=++−=+−，其中π0

,2.【小问2详解】解:设正方形ABCD中心为点O，则()221122cos1cos22OAAB==−=−.所以在RtSOA中，222cosSOSAOA=−=.所以()()1122coscos33ABCDgSSO==−正方形.所以()()()1cosc

os13sin1cosgf−=+−.方法一：()()222sincossincos1122332sincos2sincossin22222gf==++，所以()()22sincos111coscos29921sin12sinc

os22gf−==++.所以()()211coscosπ181801sin2gf−+=+.方法二：()()()()2221(1cos)cos1(1cos)cos922sin2c

os2sincos181sin1cosgf−−==+−−+−，所以()()211coscosπ181801sin2gf−+=+.【小问3详解】解:()()gf有最大值，无最小值.

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