【文档说明】重庆市荣昌中学校2023-2024学年高一下学期第二次教学检测（5月）数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.587 MB，由管理员店铺上传

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荣昌中学高2026届高一下期第二次教学检测数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知复数z满足2i1iz=+，则复数z在

复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数除法求出复数z，再求出z即可得解.【详解】依题意，2i(1i)22i1i(1i)(1i)2z−+===++

−，所以1iz=−在复平面内对应的点(1,1)−位于第四象限.故选：D2.某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1:4:3:2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（）A.16B.

12C.8D.4【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】根据分层抽样的方法，样本按比例分配，讲师应抽取的人数为340121432=+++，故选：B．3.已知一个圆锥的表面积为4π，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的

体积为（）A.2πB.22πC.2π3D.22π3【答案】D【解析】【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．【详解】设该圆锥的底面半径为r，母线为l，则2

π4ππrrl+=，2π2π3lr=，解得3,1lr==，则圆锥的高为223122−=，因此该圆锥的体积2122π12π332V==，故选：D4.在锐角ABC中，60BAC=，H为ABC的垂心，2AH=，则ABC的外接圆周

长为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】D【解析】【分析】由外心及垂心性质可证得CEBC⊥、AHBC⊥，从而证得//AHCE，同理证得//CHAE，进而可得四边形AHCE为平行四边形，从而在RtBCE中可求得外接圆半径，结合圆的周长公式计算即可.【详解】设O为ABC外接圆的外心，

连接BO并延长交O于点E，连接AE、CE、HC，如图所示，由O为ABC外接圆的外心可知，CEBC⊥，又因为H为垂心，所以AHBC⊥，所以//AHCE，同理：//CHAE，所以四边形AHCE为平行四边形，所以2CEAH==，又

因为60BECBAC==，所以在RtBCE中，24coscos60CEBEBEC===，即24R=，所以2R=，所以ABC外接圆周长为2π4πR=.故选：D.5.一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，

抽出的男运动员平均身高为176.4cm，抽出的女运动员平均身高为168.7cm，估计该田径队运动员的平均身高是（）A.172.9cmB.173.1cmC.172.8cmD.173.6cm【答案】B【解析】【分析】由分层抽样抽样比求得样本中男生、女生的

人数及平均数公式计算即可.【详解】由题意知，抽取的样本中男队员有40743040=+人，女队员有30733040=+人，所以估计该田径队运动员的平均身高为43176.4168.7173.1cm77+=.故选：B6.

如图所示，等腰梯形ABCD中，3ABBCCDAD===，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE=（）A.1151818ABAC−+B.1111189ABAC−+C.114189ABAC−+D.1526

ABAC−+【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】1123FEFCCEBCCD=+=+，112()233ACABBACB=−++，.1122122993ACAB

ABACAB=−+−−，1151818ABAC=−+，故选：A.7.在ABC中，π6C=，AC边的高等于32AC，则sinB的值为（）A.12B.32C.34D.14【答案】A【解析】【分析】由三角形面积公式可得3ab=，由余弦定理可得cb=，

结合等边对等角即可求得结果.【详解】如图所示，由题意知，1π13sin2622ABCSabbb==△，解得3ab=，由余弦定理得：2222222π2cos323cos6cababCbbbb=+−=+−=，解得cb=，所以π6BC==，所以π1sinsin62B==

.故选：A.8.已知点O为ABC外接圆的圆心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a=，若2BOAC=，则当角C取到最大值时ABC的面积为（）A.5B.25C.10D.23【答案】A【解析】【分析】由意在可知

()BOACBOBCBABOBCBOBA=−=−，代入数量积的运算公式求5c=，再根据正弦定理说明90A=时，sinC也取得最大值5sin3C=，最后求面积.【详解】()BOACBOBCBABOB

CBOBA=−=−coscosBOBCOBCBOBAOBA=−2222111122222BCBAac=−=−=，3a=，255cc==，sin3sin5aAcC==，且AC，

当sin1A=时，90A=时，sinC也取得最大值5sin3C=,此时，222bac=−=，1125522ABCSbc===.故选：A【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理sin3sin5aAcC==，且AC

，说明90A=时，sinC也取得最大值，后面的问题迎刃而解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若有3个正确选项，每选对一个

得2分．9.设,,lmn是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若lm⊥，ln⊥，则m∥nB.若l∥m，l∥，m，则m∥C.若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥D.若⊥，⊥，n=，则n⊥【答案】BCD【解析】【分析】运用线线位置关系、线面位置

关系可判断A项、B项，由线面平行的性质、线面垂直性质及面面垂直的判定定理可判断C项，由面面垂直性质及线面垂直的判定定理可判断D项.【详解】对于A项，若lm⊥，ln⊥，则m与n可能平行、相交、异面，故A项不成立；对于B项，因为//lm，//l，所以//m或m，又m

，所以//m，故B项正确；对于C项，因为n⊥，nm⊥，所以//m或m，当m时，又因为m⊥，所以⊥，当//m时，过直线m作平面使得a=，如图所示，因为//m，m，a=，所以//ma，又因为m⊥，所以a⊥，又因为a，所以

⊥，故C项正确；对于D项，设m=，l=，过平面内一点A，分别作ABm⊥，ACl⊥，如图所示，因为⊥，m=，AB，ABm⊥，所以AB⊥，又因为n，所以ABn⊥，同理：ACn⊥，又因为ABACA=，AB、AC，所以n⊥，故D项正确.故选：BCD

.10.已知复数122,(0)zzz，下列命题中正确的是（）A.若21zR，则1zRB.若12zzR，则12zzRC.若1222zzz=，则114zz=D.若2121zzz=，则12zz=【答案】BC【解析】【分析】举例说明判断A

D；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC.【详解】对于A，取1iz=，211z=−R，而1zR，A错误；对于B，设22111222112222i,i,,,,R,0zxyzxyxyxyxy=+=++，111112212

122112222222222222222i(i)(i)ii(i)(i)zxyxyxyxxyyxyxyzxyxyxyxyxy++−+−===++++++，由12zzR，得21120xyxy−=，121122121221121212(i)(i)()izzx

yxyxxyyxyxyxxyy=−+=+−−=+R，B正确；对于C，由1222zzz=及已知得20za=，设1i,,Rzcdcd=+，2212(i)2zzacdacda=+=+=，解得224cd+=，则2211(i)(i)4zzcdcdcd=+−=+=，C正确；对于D，取12

i,izz==−，21211zzz==，而12zz，D错误.故选：BC11.在正三棱台111ABCABC-中，111222===ABAAAB，直线BC与平面1ABC所成角为，该三棱台的体积、内切球半径分别为、VR，则（）A1AABC⊥B.30=C.22

V=D.66R=【答案】ABD【解析】【分析】运用等腰三角形三线合一及线面垂直判定定理可证得BC⊥面1AAE，再运用线面垂直性质可判断A项，由A项同理可得1CC⊥面1ABC，则1CBC即为所求角，进而可判断B项，运

用111111ABCABCPABCPABCVVV−−−=−求解即可判断C项，运用等体积法求内切球半径可判断D项.【详解】对于A项，取BC中点E，连接AE、1AE，1AB、1AC，如图所示，.由题意知，在等腰梯形11ABBA中，过1A作1AMA

B⊥，如图所示，则12AM=，32BM=，又因11AA=，所以132AM=，所以13AB=，则22211ABAAAB+=，所以11AAAB⊥，同理：113ACAB==，所以1AEBC⊥，由题意知，ABC为等边三角形，所以AEBC⊥，又1AEAEE=，1AE、AE面1AAE，所以BC⊥

面1AAE，又1AA面1AAE，所以1BCAA⊥，故A项正确；对于B项，如图所示，由A项知，1BCAA⊥，11AAAB⊥，同理：1ABCC⊥，11BCCC⊥，又1ABBCB=I，AB、1BC面1ABC，所以1CC⊥面1ABC，

所以1CBC为直线BC与平面1ABC所成角（090），又因为11CC=，2BC=，所以1sin2=，则30=，故B项正确；对于C项，延长1AA、1BB、1CC、1OO交于点P，如图所示，为则由题意知，1A、1B、1C

、1O分别为PA、PB、PC、PO的中点，所以2PA=，又22333AOAE==，所以22263POPAAO=−=，又因为1π22sin323ABCS==，1111π311sin234ABCS==△，112POP

O=，即1114ABCABCSS=△△，所以111111111111114288333PABCABCABCABCPABCVSPOSPOSPOV−−====△△△，所以11111177126723883312

ABCABCPABCPABCPABCVVVV−−−−=−===，故C项不成立；对于D项，设正三棱台的内切球球心为O，则由等体积法可知111111113ABCABCOABCOABCOAABBVVVV−−−−=++，由A项知，132A

M=，则111333(12)224AABBS=+=，所以11313372333343412RRR++=，解得66R=，故D项正确.故选：ABD.第II卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知3

a=，5b=，12ab=−，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______.【答案】125e−【解析】【分析】利用向量夹角公式以及向量投影公式直接求解.【详解】设a与b的夹角，则124cos355abab−===−

，所以a在b上的投影向量为412cos355aeee=−=−，故答案为：125e−.13.在四面体ABCD中，10ABCD==，26ACBD==，4ADBC==.则四面体ABCD外接球的表面积为____________．【答案】25π【解析

】【分析】将四面体ABCD补形成长方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，则长方体的体对角线即为四面体ABCD的外接球的直径，再结合球表面积公式计算即可.【详解】由题意知，将四面体ABCD补形成长

方体，使得对棱的长度分别为长方体面对角线的长，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则222222102416xyxzyz+=+=+=，解得22225xyz++=，所以长方体的体对角线长为

2225xyz++=，所以外接球的直径为25R=，即52R=，所以四面体ABCD的外接球的表面积为24π25πSR==.故答案为：25π.14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之

一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为23，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2

，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则PMPN的取值范围是________．【答案】[5,8]【解析】【分析】结合图形将所求数量积中的向量转化，化简为2||4PMPNOP=−，从而只需求||OP的取值范围，由图易得||OP的最大最小值，代入即得.【详解】如图，取AF的中点H

,连接,,,OPOAOFOH.则()()PMPNOMOPONOP=−−2()OMONOPOMONOP=−++,因MN为圆的直径，长度为4，故得2||4PMPNOP=−,要求PMPN的取值范围，即要求||

OP的取值范围.根据正六边形的性质，结合图形可知，当点P与正六边形的顶点重合时，max||=23OP，当点P为正六边形的边的中点时(如图点H)，min3||233,2OP==故58PMPN.故答案为：[5,8]【点睛】思路点睛：本题解题思路在于结合图形的特点，分别将

其中的向量进行分解、计算、化简，将问题转化为求距离的最大最小值问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，向量(,3)mab

=与(cos,sin)nAB=平行.（1）求A；（2）若7,2ab==，求ABC的面积．【答案】（1）π3（2）332【解析】【分析】（1）由//mn，得到sin3sin0aBbA−=，根据正弦定理求得sin3sin0AA−=，即可求解；（2）根据题意，利用余弦定理，列出方程，

求得3c=，结合三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】解：由向量(,3)mab=，(cos,sin)nAB=，因//mn，可得sin3cos0aBbA−=，又由正弦定理，可得sinsin3sincos0ABB

A−=，因为(0,π)B，可得sin0B，所以sin3cos0AA−=，即tan3A=，又因为(0,π)A，所以π3A=.【小问2详解】解：因为7,2ab==且π3A=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即2π7422cos3cc=+−，可

得2230cc−−=，解得3c=或1c=−（舍去），所以ABC的面积为11π33sin23sin2232SbcA===.16.如图，在三棱锥ABCD−中，,,OEM分别是棱,,BDBCAC的中点，2CAC

BCDBD====，2ABAD==.为（1）求证：//EM平面ABD；（2）求证：AO⊥平面BCD；（3）求异面直线AB与CD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）24【解析】【分析】（1）由已知得//EMAB，根据线面平行的判定定理可证；（2）由AOBD⊥，A

OOC⊥，根据线面垂直的判定定理可证；（3）连结,OMOE，直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，利用余弦定理求解.【小问1详解】由已知得//EMAB，又EM平面ABD，AB平面ABD，因此EM∥平面ABD；

【小问2详解】连结OC.,,BODOABADAOBD==⊥，,,BODOBCCDCOBD==⊥，在AOC中，由已知可得1,3AOCO==，而2,AC=222,AOCOAC+=90,oAOC=即AOOC⊥，,BDOCO=BD平面BCD，OC平面BCD，AO

⊥平面BCD；【小问3详解】连结,OMOE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC，直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在OMEV中，121,1,222EMABOEDC====OMQ是直角AOC斜边AC上的中线，11,2O

MAC==2222cos,24OEEMOMOEMOEEM+−==异面直线AB与CD所成角的所成角的余弦值是24.17.如图，在直角梯形ABCD中，BCAD∥，ADCD⊥，2BC=，3AD=，3CD=，边AD上一点E

满足1DE=，现将ABE沿BE折起到1ABE的位置，使平面1ABE⊥平面BCDE，如图所示.（1）在棱1AC上是否存在点F，使直线//DF平面1ABE，若存在，求出11AFAC，若不存在，请说明理由；（2）求二面角1A

BCD−−的平面角的正切值.【答案】（1）存在，1112AFAC=（2）2【解析】【分析】（1）设1AB的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到//DFEN，得出//DF平面1ABE，进而得到结论；（2）连接CE，

取BE中点O，作OMBC⊥于M，证得1AMBC⊥，得到1AMO为二面角1ABCD−−的平面角，在直角1AMO△中，即可求解．【小问1详解】解：当F是AC的中点时，直线//DF平面1ABE.证明如下：设1AB的中点为N，连接EN，FN，因为//FNBC，12FNBC=，且

//EDBC，12EDBC=，所以//FNED且FNED=，所以四边形DENF是平行四边形，所以//DFEN，又因为DF平面1ABE，EN平面1ABE，所以//DF平面1ABE，所以存在点F，使//DF平面1ABE，且

1112AFAC=.【小问2详解】解：在平面图形中，连接CE，则30ECD=，60ECB=，所以2CBCEBEAEAB=====，如图所示，取BE中点O，连接1AO，则1BEOA⊥，因为1AO平面1ABE，平面1ABE⊥平面BCDE，且平面1ABEÇ平面BCDEB

E=，所以1AO⊥平面BCDE，又因为BC平面BCDE，所以1AOBC⊥作OMBC⊥于M，连接1AM，因为1AOOMO=，且1,AOOM平面1AOM，所以BC⊥平面1AOM，又因为1AM平面1AOM，所

以1AMBC⊥，所以1AMO为二面角1ABCD−−的平面角，在直角1AMO△中，13AO=，32OM=，可得1tan2AMO=，故二面角1ABCD−−的平面角的正切值为2．18.在ABC，2,ACABA

E=为BC边上的中线，点E在BC边上，设AEtAB=．（1）当2π3BAC=时，求t的值；（2）若AD为BAC的角平分线，且点D在BC边上，求DEBC的值；（3）在(2)的条件下，若1ADES=，求BC最小值？【答案】（1）32（2）16DEBC=（3）32BC=【解

析】【分析】（1）由()12AEABAC=+，平方后整理即可.（2）由角平分线性质可得CDACBDAB=，结合E为BC的中点求解即可.（3）由余弦定理及三角形面积公式可得()()()2654cos0,πsinBC−=，结合三角恒等变换及基本不等式求解即可.【小问1详

解】由题意可得：()1,222AEABACACABc=+==，所以()22222211232422cosπ4434AEABACABACccccc=++=++=，即32AEc=，所以32AEtAB==.

【小问2详解】由角平分线性质定理可得，2CDACBDAB==，又因为E为BC的中点，故::2:1:3BDDEEC=，所以16DEBC=.【小问3详解】由题（2）可知6BCDE=，由1ADES=△可得6ABCS

=，设BAC=，1sin62ABCSABAC==，则2sin6c=（※），由余弦定理可得：222222cos54cosBCABACABACcc=+−=−，代入（※）式，得：()()()2654cos0,πsinBC

−=，令()54cossinf−=，则()22222225cos5sin4cos4sincos9sin19tan22222222sincos2sincos2tan22222f+−+++===219tan19192tan2tan322222tan2tan

2tan222+=+=，当且仅当1tan23=时，即3tan4=时，BC长度最小，此时32BC=.19.设Rx，我们常用x来表示不超过x最大整数.如：4.15,2.32−=−=.（1）求证：

122xxx=++；（2）在锐角ABC中，角、、ABC所对的边分别为abc、、，且22222abc+=，则111tantantanABC++的最小值为m，求m的值.（3）已知()()22215,cossinfxxxxagxxx=+

−−=+，若对12ππ1,2,,22xx−，使不等式()()12fxgx成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1m=（3）15a−【解析】【分析】（1）设),Z,0,1xarar=+

，分别研究10,2r与1,12r时等式两边的值即可.（2）由正弦定理边化角及三角恒等变换化简可得tanB与tanC用tanA的代数式表示，代入所求式子中结合基本不等式求解即可.（3）将()gx转化为关于sinx的二次函数在

[1,1]−上求其最大值，进而将问题转化为22151xxxa+−−在1,2上恒成立，运用分离参数可得38822xxaxx−+在1,2上恒成立，进而由函数单调性性质判断38()2xsxx=−单调性求其最大值，结合函数单调性定义判断8()2xuxx=+的单调性求其最小值即可.【小问1详

解】设),Z,0,1xarar=+，若10,2r，则)222,2Z,20,1xarar=+，1111,,12222xarr+=+++，故22xa=，又xa=，12xa+=，所以

122xxx=++.若1,12r，则)222,2Z,21,2xarar=+，1113,1,2222xarr+=+++，故221xa=+，而xa=，112xa+=+，故122xxx=++.综上，

122xxx=++.【小问2详解】由已知得()2222bca=−，()222sin2sinsinBCA=−，又因为22sinsin(sinsin)(sinsin)CACACA−=+−[sin()sin()

][sin()sin()]22222222CACACACACACACACA+−+−+−+−=++−+−−()()(2sincos)(2cossin)sinsin2222CACACACACACA+−+−==

+−，所以()()()2sin2sinsin2sinsin0BCACABCA=+−=−，所以()sin2sinBCA=−，即()()sin2sinCACA+=−，所以()sincoscossin2sincoscossinCA

CACACA+=−，即3cossinsincosCACA=，所以tan3tanCA=，所以()2tantan4tantantan1tantan3tan1ACABACACA+=−+=−=−−，又因为ABC为锐角三角形，所以t

an0A，所以211113tan11113113139tan29tantantantantan4tan3tan12tan12tan2AAAABCAAAAA−++=++=+=，当且仅当139t

an0tanAA=，即13tan3A=时等号成立因此111tantantanABC++的最小值132m=.又13122，因此1m=.【小问3详解】()22215cossinsinsin1(sin)24gxxxxxx=+=−++=−−+，当ππ

,22x−时，1sin1x−，故()514gx−，故()max1gx=.因为对12ππ1,2,,22xx−，使不等式()()12fxgx成立，故22151xxxa+−−在1,2上恒成立，故82xxax−−在1,2上

恒成立，而802xx−在1,2上恒成立，故38822xxaxx−+在1,2上恒成立，设()382xsxx=−，1,2x，因为38,2xyxy=−=在1,2上均为增函数，故()382xsxx=−，1,2x为

增函数，故()()max2341sxs==−=−，设()8,1,22xuxxx=+，设1212,1,2,xxxx，则()()()()12122112121212168()22xxxxxxxxuxuxxxxx−−−−−=+=，而1212xx，故12121

20,0,160xxxxxx−−，故()()120uxux−，即()()12uxux，故()8,1,22xuxxx=+为减函数，故()()min25uxu==，故15a−.【点睛】方法点睛：方法1：分离参数法求最值(1)分离变量．构造函数，直接把问

题转化为函数的最值问题．(2)()afx恒成立⇔max()afx；()afx恒成立⇔min()afx；()afx能成立⇔min()afx；()afx能成立⇔max()afx.方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数

范围，借助函数单调性求解．