【文档说明】上海市杨浦区2022届高三下学期线上期中质量调研（二模）数学试题 含答案.docx，共(13)页，437.936 KB，由管理员店铺上传

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杨浦区2021学年度第二学期期中考试线上质量评估数学学科2022.4.14考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有1

2题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.已知()1,1a=−，则a=_________.2.函数2log(1)yx=+的反函数为________.3.若直线1:210lxmy++=和2:310lxy−

−=互相垂直，则实数m=_____________.4.若2i+（i虚数单位）是实系数一元二次方程20xpxq++=的根，则pq+=________.5.已知3sin5x=，,2x，则行列式sin11secxx−的值等于______

__.6.已知2{|1}Axx=，2{|log(1)1}Bxx=−，则AB=________.7.在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.8.已知实数x，y满足41xyyx

x+，则2xy+的最大值为_________.9.若1()nxx+*()Nn展开式中各项系数的和等于64，则展开式中3x的系数是________.10.三行三列的方阵1112132122

23313233aaaaaaaaa中有9个数(123123)ijaij==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______．(结果用分数表示)11.已知抛物线24yx=，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，

点Q关于x轴的对称点为Q，点P关于直线1x=的对称点为P，且满足PQPQ⊥，则直线l的方程为______.12.若函数()()cos0fxx=在区间()2,3内既没有最大值1，也没有最小值1−，则的取值范围是___________.二、选择题（本

题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设12,xxR，则“126xx+且129xx”是“13x且23x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.数列{

na}为等差数列，10a且公差0d，若1lga，3lga，61ga也是等差数列，则其公差为（）A.1gdB.1g2dC.lg23D.1g3215.椭圆C：22143xy+=的左、右顶点分别为1A，2A，点P在C上（P不与1A，2A重合）且直线2PA的斜率的取值范

围是[2,1]−−，那么直线1PA斜率的取值范围是（）A.[12，34]B.[38，34]C.[12，1]D.[34，1]16.定义域是[,]ab上的连续函数()yfx=图像的两个端点为(,())Aafa、(,())Bbfb，(,)Mxy是图像()yfx=上任意一点，过点M作垂直于

x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称MN的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是[1,2]上的函数中，曲径最小的是（）A.sin3yx=B.2yx=C.2yx=D.1yxx=−三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题

纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使3COE=，连结PE.已知1OA=，2PA=.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.19.已知函数()23f

xxmx=++，其中Rm.（1）若不等式()5fx的解集是(1,2)−，求m的值；（2）若函数()yfx=在区间[0,3]上有且仅有一个零点，求m的取值范围.21.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，2MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为

儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？22.已知椭圆C：22221xyab+=，过定点T（t，0）的直线

交椭圆于P，Q两点，其中()0,ta.（1）若椭圆短轴长为23且经过点（－1，32），求椭圆方程；（2）对（1）中的椭圆，若3t=，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的关系；如果不存在，说明理由.24.已知a为实数，

数列{na}满足：①1aa=；②()133N43nnnnnaaanaa+−=−.若存在一个非零常数NT，对任意nN，nTnaa+=都成立，则称数列{na}为周期数列.（1）当3a

=时，求1234aaaa+++的值；（2）求证：存在正整数n，使得03na；（3）设nS是数列{na}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{na}为周期数列；②存在正奇数k，使得2kSk=.若存在，

求出所有a的可能值；若不存在，说明理由.【1题答案】【答案】2【2题答案】【答案】()21xyxR=−【3题答案】【答案】6【4题答案】【答案】1【5题答案】【答案】14【6题答案】【答案】|12xx【7题答案】【答案】38【8题答案】【

答案】7【9题答案】【答案】15【10题答案】【答案】1314【11题答案】【答案】()1yx=−【12题答案】【答案】1120,,1323【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】D【15题答案】【答案】B【16题答案】

【答案】D【17题答案】【答案】（1）33；（2）26arccos8+.【小问1详解】由勾股定理可知：22413POPAOA=−=−=，所以圆锥的体积为：2131333=；【小问2详解】过E做//EFBD，所以PEF是异面直线PE、BD

所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以4BFEDBO==，即34OFE=，而3COE=，所以6FOE=，因此12OEF=，在OEF中，由正弦定理可知：1312sinsinsinsin()12464322OF

OEEFOFEF====−2232131,2()222222EFOF−==−=，2242333442PFPOOF−=+=+=−，由余弦定理可知：2221162342624cos282222PEEFPFPEFPEEF−+−+−+=

==，所以PEF26arccos8+=，即异面直线PE、BD所成角的大小为26arccos8+.【19题答案】【答案】（1）－1；（2）(),423−−−【小问1详解】()5fx的解集是(1,2)−，得到220xmx+−的解集是(1,2)−，所以，121m

−+==−，所以，1m=−【小问2详解】令()230fxxmx=++=，因为(0)0f，所以，当(0,3x时，()230fxxmx=++=，即有233xmxxx+−==+，因为函数()yfx=在区间[0,3]上有且仅有一个零点，令(3(),0,3gxxxx=+，根据对勾函数的性质，可

得())23,gx+，因为ym=−与()ygx=有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得23m−=或4m−，进而可得答案为：(),423m−−−【21题答案】【答案】（1）;（2）当A在弧MN的四等分点处时，．【详解】（1）如图，作OHAB⊥于点H，交线段CD于点E，连

接OA、OB，6AOB=，2sin,cos1212ABROHR==，1sin212OEDEABR===cossin1212EHOHOER=−=−222sincossin2sin

cos2sin121212121212SABEHRRR==−=−2231sincos1662RR−=+−=（2）设02AOB=则2sin,cos22AB

ROHR==，1sin22OEABR==cossin22EHOHOER=−=−222sincossin2sincos2sin222222SABEHRRR==−=−

()22sincos12sin14RR=+−=+−0,2，3,444+42+=即4=时，()2max21SR=−，此时A在弧MN的四等分点处答：当A在

弧MN的四等分点处时，()2max21SR=−【22题答案】【答案】（1）22143xy+=；（2）3；（3）存在，2sta=【小问1详解】由题意得223b=，得3b=，所以椭圆方程为22213xya+=，因为点（－1，32）在椭圆上，所以21314a+=，得24a=，所以椭圆

方程为22143xy+=【小问2详解】由题意设直线PQ为3xmy=+，设1122(,),(,)PxyQxy，由221433xyxmy+==+，得22(34)6330mymy++−=，所以1212226330,,3434myyyymm

−−+==++，所以2121212133()422OPQSyyyyyy=−=+−22223108122(34)34mmm=+++2223144482(34)mm+=+222316[(31)3]mm+=++2222316(31)6(31)9mmm+=+++

+22169(31)631mm=++++2216392(31)631mm=+++，当且仅当2293131mm+=+，即63m=时取等号，所以△OPQ面积的最大值为3【小问3详解】由题意设直线PQ为xmyt=+，设1122(,),(,)PxyQxy，由22221xyabxm

yt+==+，得222222222()20bmaymtbybtab+++−=，所以22222121222222220,,mtbbtabyyyybmabma−+=−=++，因为∠PST=∠QST，所以0PSQS

kk+=，所以12120yyxsxs+=−−，所以1221()()0yxsyxs−+−=，122112()()()0ymytymytsyy+++−+=，所以12122()()0myytsyy+−+=，所以2222222222222()0btabmtbmts

bmabma−−−=++，所以2222[()]0mbtatts−−−=，所以22()0tatts−−−=，得2sta=，所以x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时2sta=【24题答案】【小问1详解】解：当3a=时，12343,431,413,431aaaa==−==−

==−=，所以12348aaaa+++=；【小问2详解】证明：当3a时，13nnaa+=−，所以，在数列{}na中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{}na是以a为首项，3−为公差的递减的等差数列，即(1)(3)33naanan=+−−=+−，所以，当n足够大时，总可以找到n，使03na

，当3a=时，则存在1n=，使得03na，当3a时，则存在1n=，使得03na，综上所述存在正整数n，使得03na；【小问3详解】解：当3a时，1213141,4,,4aaaaaaa=−==−，故此时数列na

是以2为周期的周期数列，当3a时，则13a，由（2）得，存在正整数n，使得03na，因此此时不存在不存在1naa=，所以此时数列数列na不是周期数列，所以3a时，数列na是以2为周期的周期数列，12,4aaaa==−，所以()211214nSnaaana+=++=+，又因

2kSk=，所以()4221nan+=+，所以2a=，所以存在2a=，使得2kSk=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com