【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试 数学 含解析.docx，共(27)页，1.402 MB，由envi的店铺上传

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哈师大附中2023级高一下学期开学考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.集合4Axx=，28xBx=，则AB=（）A.)0,2B.1,23C.)

3,16D.1,1632.设xR，则“1x”是“2xx”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件3.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛

田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A154B.415C.158D.1204.已知函数()()212log45fxxx=−−，则函数()fx减区间是（）A.(,2−

B.)2,+C.(),1−−D.()5,+5.函数lg1()xxfxx−=的图象大致是（）AB.C...的.D.6.设33a=，0.80.9b=，0.9log0.8c=，则（）A.cabB.ac

bC.abcD.cba7.已知实数0xy，且111216xy+=+−，则xy−的最小值是（）A.21B.25C.29D.338.已知1x，2x，是函数()()()tan0,0fxx=−的两个零点，且12xx−的最小值为3，若将函数

()fx的图象向左平移12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（）A.34B.4C.78D.8二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知函数()()

()sin0,0,0πfxAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.2=B.()2021π1f=C.π3=D.xR，6π06πfxfx++−=10.已知函数()(

)πsin0,2fxx=+在区间π,1224π−上单调，且π08f−=，()3π8fxf恒成立，则下列结论正确的是（）A.存在，使得()fx是偶函数B.()3π04ff=C

.为奇数D.最大值为711.已知函数()fx满足对任意的xR都有()()2fxfx+=−，()13f=，若函数()1yfx=−的图象关于点()1,0对称，且对任意的()12,0,1xx，12xx，都有()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++，则

下列结论正确的是（）A.()fx是偶函数B.()fx的图象关于直线1x=对称C.()()202220233ff−=D.5524ff−第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.将函数

()πsin23fxx=+的图像向左平移()0mm个单位后得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是______.13.（1）cos104sin80sin10−=______.（2）若π3ππ42

，且()2cos10+=−，4sin25=，则−=______.14.对于给定的区间D，如果存在一个正的常数，使得xD都有xD+，且()()fxfx+对xD恒成立，那么称函数()fx为D上的“成功函数”.已知函数()()2ln1gx

xx=++，若函数()()2hxgxmx=+是()1,−+上的“4成功函数”，则实数m的取值范围是______.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的

非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OAOB⊥.（1）求()()πsinπcos23πcosπsin2++−+的值；（2）若点A的横坐标为13，求()sin2+的值.16.已知函数()ππcoscos14

4fxxx=+−+.（1）求函数()fx的最小正周期和对称中心；（2）设是锐角，且π1sin42−=，求()f的值.17.某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区

域ODBC，可利用部分为扇形区域OAD，π2OCBCOA==，303OC=米，30BC=米，区域OBC为三角形，区域OAB为以OA为半径的扇形，且π6AOD=.（1）若需在区域OABC外轮廓设置隔离带，求隔离带

的总长度;（2）在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为便民门诊，求便民门诊面积S最大值.18.已知函数()()()ln1ln1fxxx=−−+，()14212xxmgxm+=+−+.（1）判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）若存在两不相等的

实数a，b，使()()0fafb+=，且()()0gagb+，求实数m的取值范围.19.复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如()i,Rzabab=+的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚

部，i称为虚数单位，2i1=−.当0b=时，z为实数；当0b且时，z为纯虚数.其中22zab=+，叫做复数z的模.设1izab=+，2izcd=+，a，b，c，dR，12aczzbd===如图，点(),Zab，复数izab=+可

用点(),Zab表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复

平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数izab=+都可以表示成()cosisinr+的形式，即cossinarbr==，其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定02范围内的辐角

的值为辐角的主值，记作argz.()cosisinr+叫做复数izab=+的三角形式.（1）设复数()11cosisinzr=+，()22cosisinzr=+，求12zz、12zz的三角形式；（2）设复数31cosisinz=−+，41c

osisinz=++，其中(),2，求34argargzz+；（3）在ABC中，已知a、b、c为三个内角,,ABC对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：①sinsinsinabcABC==；②coscosabCcB=+，coscosbaCcA=+，cosc

oscaBbA=+.注意：使用复数以外的方法证明不给分.的哈师大附中2023级高一下学期开学考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.集合4Axx=，28xBx

=，则AB=（）A.)0,2B.1,23C.)3,16D.1,163【答案】C【解析】【分析】求出集合,AB中元素范围，再求交集即可.【详解】4016Axxxx==，283xBxxx==，则316

ABxx=.故选：C.2.设xR，则“1x”是“2xx”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式2xx得x的范围，依据小范围推出大范围的原则判定充分必要条件.【详解】由2

xx，解得0x或1x，故由1x能够推出2xx；由2xx不能够推出1x，故“1x”是“2xx”的充分不必要条件，故选：A．3.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何

？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A.154B.415C.158D.120【答案】A【解析】【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，

设出扇形圆心角，根据212SR=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R=步，3081202S==（平方步），设扇形的圆心角为，则212SR=，即1151206424==．故选：A4.已知函数()()

212log45fxxx=−−，则函数()fx的减区间是（）A.(,2−B.)2,+C.(),1−−D.()5,+【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性的规则来解答.【详解】因为函数

12logyx=在定义域上单调递减，故函数()()212log45fxxx=−−的减区间即为函数245yxx=−−的增区间，所以22450xxx−−，解得5x，即函数()fx的减区间是()5,+.故选：D.5.函数lg1()xxf

xx−=的图象大致是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求函数定义域得()()(),00,11,x−+，再根据定义域分0x，01x，1x三种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义

域为：()()(),00,11,−+，当0x时，11x−+函数()()lg1lg1()lg10xxxxfxxxx−−+===−−+−，故排除CD选项；当01x时，011x−+，故函数()()lg1lg1()lg10xxxxfxxxx−−+===−+，故排除B选项；

当1x时，函数()()lg1lg1()lg1xxxxfxxxx−−===−，该函数图象可以看成将函数lgyx=的图象向右平移一个单位得到.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象

的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象..6.设33a=，0.80.9b=，0.9log0.8c=，则（）A.cabB.acb

C.abcD.cba【答案】A【解析】【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.【详解】因为33311328a===，0.800.90.91b==，0.90.9log0.8log0.81

2c==，所以cab．故选：A7.已知实数0xy，且111216xy+=+−，则xy−的最小值是（）A.21B.25C.29D.33【答案】A【解析】【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0xy

，等式111216xy+=+−恒成立，∴()()111321621xyxyxy−+=++−++−，由于0xy，所以10,20yx−+∵()112121212224211212xyxyxyxyyxyx+−+−

+++−=+++=+−−+−+，当且仅当21xy+=−时，即10,11xy==−时取等号．∴()1346xy−+，∴21xy−，故xy−的最小值为21．故选：A8.已知1x，2x，是函数()()()tan0,0fxx=−的两个零点，且12xx−的最小值为3，若

将函数()fx的图象向左平移12个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（）A.34B.4C.78D.8【答案】A【解析】【分析】由已知得函数()fx的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数

()fx平移后的解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.【详解】由题意知函数()fx的最小正周期3T=，则3=ππω，得3=，()()tan3fxx=−.将函数()fx的图象向左平移12个单位长度，得到tan3tan3

124yxx=+−=+−的图象，要使该图象关于原点对称，则42k−=，Zk，所以42k=−，Zk，又0，所以当1k=−时，取得最大值，最大值为3

4．故选：A【点睛】思路点睛：先根据正切函数图象的特征求出函数()fx的最小正周期，进而求出，然后根据函数图象的平移变换得到平移后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的对称中心建立方程求解即可，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题.二、选

择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.已知函数()()()sin0,0,0πfxAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.2=B.()2021π1f=C.

π3=D.xR，6π06πfxfx++−=【答案】AD【解析】【分析】先通过最高点和周期求出,A，再代入点π,212−求出，则函数()fx的解析可求出，然后逐一计算判断选项即可.【详解】对于A，由已知5π

ππ2,12122TA=−−==，得2,2A==，A正确，对于C，所以()()2sin2fxx=+，又ππ2sin2126f−=−+=，且0π，解得2π3=，C错误，对于B，所以()2π2sin23fxx

=+，所以()22021π2021π2π2sin22sin333πf+===，B错误对于D，πππ2ππ2π2sin22sin2366663fxfxxx++−+−=+++

()()2sin2π2sin2sin22si22πn0xxxx−=++=−+=，D正确.故选：AD.10.已知函数()()πsin0,2fxx=+在区间π,1224π−上单调，且π08f−=，()3π8fxf恒成立

，则下列结论正确的是（）A.存在，使得()fx是偶函数B.()3π04ff=C.为奇数D.最大值为7【答案】BC【解析】【分析】对于A：通过()01f=求出来判断；对于B：通过3π8x=为()fx的对称轴来判断；对于C：通过π08f−=

和3π18f=分别求出，进而可得；对于D：将和代入函数，确定在ππ,1224−的单调性即可判断.【详解】对于A：若()fx是偶函数，则()0sin1f==，得ππ,Z2kk=+，又π2，所以无解，A错误；对于

B：因为()3π8fxf，所以3π8x=为()fx的对称轴，所以()3π04ff=，B正确；对于C：因为π08f−=，可得πsin08−+=，解得()

11ππZ8kk=+，又()3π8fxf恒成立，即3π18f=，可得3πsin18+=，解得()223πππZ82kk=−++，所以123π88πππ2πkk+=−++，得1,2Zkk=+，C正确；对于D，当7=

时，π8=−，此时()πsin78fxx=−，当ππ1224x−时，17ππ7248π6x−−，函数sinyx=在17ππ,246−上不单调，即当7=时，函数()fx在区间ππ,1224−上不是单调函数，D错误.故选：BC.11.已知

函数()fx满足对任意的xR都有()()2fxfx+=−，()13f=，若函数()1yfx=−的图象关于点()1,0对称，且对任意的()12,0,1xx，12xx，都有()()()()11221221xfxxfx

xfxxfx++，则下列结论正确的是（）A.()fx是偶函数B.()fx的图象关于直线1x=对称C.()()202220233ff−=D.5524ff−【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项：根据函数()

1fx−的图象关于点()1,0对称,则函数()fx的图象关于点()0,0对称，即可判断；对于B选项：由A选项可知函数()fx为奇函数，可推得()()2fxfx+=−，即可判断图象关于直线1x=对称；对于C选项：由()()2fxfx+=−可推出

函数()fx是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得()20220f=，()20233f=−，即可判断C；对于D选项：由()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++可得()()()()12120xxfxfx−−，推出函

数()fx在区间()0,1上单调递增，结合函数性质求得5122ff−=，5344ff=，即可得5524ff−.【详解】A选项：由函数()1fx−的图象关于点()1

,0对称，可得函数()fx的图象关于点()0,0对称，所以函数()fx为奇函数，故A不正确.B选项：由函数()fx为奇函数可得()()()2fxfxfx+=−=−，故函数()fx的图象关于直线1x=对称，故B正确.C选项：由函数()

fx满足对任意的xR都有()()2fxfx+=−，可得()()()42fxfxfx+=−+=，所以函数()fx是周期为4的周期函数.因为(),Rfxx为奇函数，所以()00f=，由()()2fxfx+=−得()()020ff+=−，故()20f=，则()()()20225054220ff

f=+==，()()()()()2023505433113fffff=+==−=−=−，所以()()()20222023033ff−=−−=，故C正确.D选项：由对任意()12,0,1xx，12xx，都有

()()()()11221221xfxxfxxfxxfx++，即对任意的()12,0,1xx，12xx，都有()()()()12120xxfxfx−−，可得函数()fx在区间()0,1上单调递增.因为553314222222fffff−=−+==−=

，5532444fff=−=，且1324，所以1324ff，即5524ff−,故D正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：

对于此类关于函数图象的对称问题，要理解并能应用以下常见结论：（1）对于函数()fx，若其图象关于直线xa=对称（当0a=时，()fx偶函数），则①()()faxfax+=−；②()()2faxfx+=−；③()()2

faxfx−=.（2）对于函数()fx，若其图象关于点(),0a对称（当0a=时，()fx为奇函数），则①()()faxfax+=−−；②()()2faxfx+=−−；③()()2faxfx−=−.（3）对于函数()fx，若其图象关于点(),

ab对称，则①()()2faxfaxb++−=；②()()22faxfxb++−=；③()()22faxfxb−+=.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.将函数()πsin23fxx=+的图像向左平移()0mm个单位后得到的

图像关于y轴对称，则m的最小值是______.【答案】π12##112π【解析】【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m的取值范围，进而求得m的最小值.【详解】函数()πsin23fxx=+的图

像向左平移()0mm个单位后，得到()ππsin2sin2233yxmxm=++=++，其图像关于y轴对称，所以ππππ2π,,Z32212kmkmk+=+=+，由于0m，所以m的最小值为π12.故答案为：π1213.（1）co

s104sin80sin10−=______.（2）若π3ππ42，且()2cos10+=−，4sin25=，则−=______.【答案】①.3−②.3π4为【解析】【分析】（1）通分，利用倍角公式以及利用()cos10

cos3020=−展开化简计算即可；（2）先通过角的范围求出()sin+，cos2，再利用()()coscos2−=+−展开计算即可.【详解】（1）()2sin20cos3020

cos104cos10sin10cos104sin80sin10sin10sin10−−−−==()2sin20cos30cos20sin30sin20sin10−+=()33sin20cos203sin20303sin10223sin10sin10sin1

0−−−====−;（2）因为ππ4，所以π22π2，又4sin205=，所以π2π2，则2cos21sin235=−−=−，因为3ππ2，ππ42，所以5π2π4+，又()

2cos10+=−，所以5π3π42+，所以()()272sin1cos10+=−−+=−，因为5π3π42+，ππ22−−−，所以ππ4−，所以()()()()c

oscos2coscos2sinsin2−=+−=+++2372421051052=−−−=−，所以34παβ−=.14.对于给定的区间D，如果存在一个正的常数，使得xD都有xD+，且()()fxfx+对xD恒成立，那么称函数()fx为D

上的“成功函数”.已知函数()()2ln1gxxx=++，若函数()()2hxgxmx=+是()1,−+上的“4成功函数”，则实数m的取值范围是______.【答案】()4,−+【解析】【分析】方法一

：先分析出()2uxxmx=+为偶函数，()()2ln1gxxx=++为奇函数，所以()()2hxgxmx=+为偶函数，且()()2ln1gxxx=++在R上单调递增，分0m，20m−与2m−三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数m的取值范围；方法二：先得到

()()2ln1gxxx=++在R上单调递增，进而得到()2244xmxxmx++++，变形后得到8164xmxmx+++在()1,−+上恒成立，分0x和10x−两种情况，结合函数单调性得到答案

.【详解】方法一：设()2uxxmx=+，则()2uxxmx=+定义域为R，且()()()22uxxmxxmxux−=−+−=+=，故()2uxxmx=+为偶函数，所以()()2hxgxmx=+为偶函数，()()2ln1gxxx=++定义域为R，且()

()()()2221ln1lnln11gxxxxxgxxx−=−+−==−++=−++故()()2ln1gxxx=++为奇函数，且()()2ln1gxxx=++在()0,+上单调递增，故()()2ln1gxxx=++在R上单调递

增，若0m，则画出()2uxxmx=+的图象如下：即()2uxxmx=+在()1,0−上单调递减，在()0,+上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：()()2hxgxmx=+在()1,0−单调递减，在()0,+上单调递增，因为()()2hxgxmx=+为偶函数，所以有()

()4hxhx+在()1,−+上恒成立，满足4成功函数，若20m−，画出()2uxxmx=+的图象如下：则()2uxxmx=+在1,2m−上单调递减，在,02m上单调递增，在0,2

m−上单调递减，在,2m−+上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：()()2hxgxmx=+在1,2m−单调递减，在,02m上单调递增，在0,2m−上单调

递减，在,2m−+上单调递增，因为()()2hxgxmx=+为偶函数，所以只需任取11,2mx−，使得()()114hxhx+，由对称性可知，存在21,12mxx=−−，使得()

()21hxhx=，且()21112xx−−−=，故满足()()114hxhx+，故满足在()1,−+上为4成功函数，若2m−时，画出()2uxxmx=+的图象如下：则()2uxxmx=+在()1,

0−上单调递增，在0,2m−上单调递减，在,2m−+上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：()()2hxgxmx=+在()1,0−上单调递增，在0,2m−上单调递减，在,2m−+上单调递增，因为()()2hxgxm

x=+为偶函数，故只需满足任取()11,0x−，使得()()114hxhx+，由对称性可知：存在21xxm=−，使得()()21hxhx=，所以要满足1214xxxm+=−，结合2m−，解得：42m−−，综上：实数m的取值范围是()4,−+.方法二：

()()2ln1gxxx=++定义域为R，且()()()()2221ln1lnln11gxxxxxgxxx−=−+−==−++=−++故()()2ln1gxxx=++为奇函数，由于()()2ln1gxxx=++在()0

,+上单调递增，故()()2ln1gxxx=++在R上单调递增，由题意得()()4hxhx+，即()()2244gxmxgxmx++++，故()2244xmxxmx++++，即8164xmxmx+++在()1,−+上恒成立，当0x时

，42mx−−，由于424x−−−，故4m−，当10x−时，()816424816xmxmmxmxx+++−+−−恒成立，当10x−时，240x+，故816424xmx−−=−+，综上，实数m的取值范围是

()4,−+.故答案为：()4,−+.【点睛】结论点睛：复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，

再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.四、解答题（本题共5小题，共77

分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且OAOB⊥.（1）求()()πsinπcos23πcosπsin2++−+

的值；（2）若点A横坐标为13，求()sin2+的值.【答案】（1）1−；（2）2327−.【解析】【分析】(1)根据给定条件可得2=+，再利用诱导公式化简计算作答.(2)由给定条件求出sin,cos，再利用和角公式、倍角公式计算作答.的【小问1详解】依

题意，(0)22=+，所以πsin(π)cos()sincos()sin(cos)213πsin(cos)cos(π)sin()cos()(cos)22++−+−−===−−−+−−.【小问2详解】因点A的横坐标为

13，而点A在第一象限，则点122(,)33A，即有221sin,cos33==，于是得42sin22sincos9==，227cos2cossin9=−=−，1sinsin()cos23=+==，22coscos()s

in23=+=−=−，所以()42227123sin2sin2coscos2sin()()939327+=+=−+−=−.16.已知函数()ππcoscos144fxxx=+−+

.（1）求函数()fx的最小正周期和对称中心；（2）设是锐角，且π1sin42−=，求()f的值.【答案】（1）π，对称中心为ππ,1(Z)42kk+（2）314−+【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合正弦二倍角公式、余弦型函数的对称性和周期进行

求解即可；（2）根据特殊角的正弦和余弦值进行求解即可.【小问1详解】()πππππcoscos1coscos144424fxxxxx=+−+=+−−+ππ1π1cossin1sin21cos2144

222xxxx=+++=++=+，所以函数()fx的最小正周期为2ππ2=，令()()πππ2πZZ224kxkkxk=+=+，所以函数()fx的对称中心为ππ,1(Z

)42kk+；【小问2详解】因为是锐角，所以ππππ02444−−，所以由π1ππ5πsin424612−=−==，5π15π1π3cos21cos1112212264f=+=−+=−+

.17.某医院发热门诊改造，如图，原发热门诊是区域ODBC，可利用部分为扇形区域OAD，π2OCBCOA==，303OC=米，30BC=米，区域OBC为三角形，区域OAB为以OA为半径的扇形，且π6AOD=.（1）若需在区域

OABC外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度;（2）在区域OAD中，设置矩形区域HGIF作为便民门诊，求便民门诊面积S最大值.【答案】（1）9030320π++（米）（2）360018003−（平方米）【解析】【分析】（1）根据已知求得π,606BOCOB==，再利用弧长公式求出弧A

B的长即可求解；（2）连接OF，设π06FOA=，结合已知条件分别求出,GIFI的值，表示出矩形的面积，化简后利用正弦函数的性质即可求出最大值.【小问1详解】因为303OC=，30BC=，π2OCB=，所以()()22π,30303606BOCOB==+

=，则πππ60,263OABOA==−=，所以弧AB的长为π6020π3=，所以隔离带的总长度为9030320πOAOCBCAB+++=++（米）.【小问2详解】连接OF，如图:设π06FOA=

，因为60OF=，所以60sin,60cosFIGHOI===，因为π6AOD=，所以603sinπtan6GHOG==，所以60cos603sinGI=−，所以()260cos603sin60sin3600sincos3

6003sinS=−=−1800sin23(1cos2)=−−π18002sin233=+−，因为ππ2π2,333+，所以()180023360018003S−=−，当ππ232+=即π12=时取得最大值.所

以便民门诊面积S最大值为360018003−（平方米）.18.已知函数()()()ln1ln1fxxx=−−+，()14212xxmgxm+=+−+.（1）判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）若存在两不相等的实数a，b

，使()()0fafb+=，且()()0gagb+，求实数m的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）2516m−.【解析】【分析】（1）求得函数定义域，结合函数奇偶性的定义，即可判断和证明；（2）根据()()0fafb+=得到,ab关系；再根据

不等式有界，构造函数，转化为函数的最值问题即可求得结果.【小问1详解】()()()10ln1ln1,10xfxxxx−=−−++，解得11x−，()fx\的定义域为()1,1−，其定义域关于原点对称.又()()()()()ln1ln1,0fxxxfxfx−=+−−−+

=，故()fx为定义域内的奇函数.【小问2详解】函数()()ln1,ln1yxyx=−+=−都是()1,1−上的减函数，()fx\是定义域内减函数.()()()0fafbab+=，且()fx为定义在()1

,1−的奇函数，0ab+=且()()1,00,1a−U，原问题等价于不等式()()0gxgx+−在()()1,00,1−有解，而()()()04422220xxxxgxgxmm−−+−++++−，令()()22,1,00,1xx

tx−=+−，则2442xxt−=++，令2xk=，可知()1,11,22kU，则1tkk=+，的构造函数()()11,,11,22hkkkk=+根据对勾函数的单调性，可知()hk在1,12上

单调递减，在()1,2上单调递增，由()()1512,222hhh===，可得()52,2hk，所以52,2t，所以220tmtm+−在52,2t上有解，注意到

当52,2t时，210t−，因此221tmt−−在52,2t有解.取21st=−，则()13,4,2sst+=，从而2112214tsts=++−.因此1124mss−++在()3

,4s上有解.根据对勾函数的性质，可知函数12yxx=++在()3,4上单调递增，所以11112524416424ss++++=，所以2516m−，即2516m−【点睛】本题考查指数函数和对数函

数的性质，其中第二问中，处理不等式有解问题，往往要使用分离参数的手段，转化为函数最值的问题；本题中多次使用对勾函数的单调性，并进行了多次换元，对学生处理问题的能力提出了较高的要求，属综合中档题.19.复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高

斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如()i,Rzabab=+的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，2i1=−.当0b=时，z为实数；当0b且时，z为纯虚数.其中22zab=+，叫做复数z的模.设1izab=+，2izcd=+

，a，b，c，dR，12aczzbd===如图，点(),Zab，复数izab=+可用点(),Zab表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内

唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它.对应.一般地，任何一个复数izab=+都可以表示成()cosisinr+的形式，即cossinarbr==，其中r为复数z的模，叫做复数z的辐角，我们规定02范围内的辐角的值为辐角的主值，

记作argz.()cosisinr+叫做复数izab=+的三角形式.（1）设复数()11cosisinzr=+，()22cosisinzr=+，求12zz、12zz的三角形式；（2）设复数31cosisinz=−+，41co

sisinz=++，其中(),2，求34argargzz+；（3）在ABC中，已知a、b、c为三个内角,,ABC的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：①sinsinsinabcABC==；②coscosabCcB=+，coscosbaC

cA=+，coscoscaBbA=+.注意：使用复数以外的方法证明不给分.【答案】（1）()()1212cosisinzzrr=+++，()()1122cosisinzrrz−+−=（2）7π2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即

可；（2）设34arg,argzz==，3z的模为3r，4z的模为4r，),0,2π，通过题意可得tan,tan，发现tantan1=，从而()tan+无意义，再根据角的范围求解即可；（3）建立平面直角坐标系，根据ABADAC+=，利用复数的向量表示，以及复数的定义

列式计算即可.【小问1详解】()()1212cosisincosisinzzrr=++()12coscossinsinisincoscossinrr=−++()()12cosisin

rr=+++,()()()()()()111222cosisincosisincosisincosisincosisincosisinrrzzrr++−==++−()()1222coscossinsinisinc

oscossincossinrr++−=+()()12cosisinrr=−+−；【小问2详解】设34arg,argzz==，3z的模为3r，4z的模为4r，),0,2π，对于31cosisi

nz=−+有331coscos0sinsin0rr−==，(),2，对于41cosisinz=++有441coscos0sinsin0rr+==，(),2，所以sinsintan,tan1cos1cos==−+，3π,,

2π2所以()()()()sin1cossin1cossinsin2tantan1cos1cos1cos1cossin++−+=+==−+−+，sinsintantan11cos1cos

==−+，所以()tantantan1tantan++=−无意义，即+的角的终边在y轴上，又()3π,4π+，所以7π2+=，即347πargarg2zz+=【小问3详解】如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点A

作BC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，则ABADAC+=，所以(cosisin)[cos()isin()]cAAaCCb++−+−=，即cosisincosisincAcAaCaCb++−=，即(coscos)i(sinsin)cAaCcAaCb++−=根据复数的定义，实部等

于实部，虚部等于虚部，可得coscossinsin0cAaCbcAaC+=−=，所以sinsinacAC=，coscos+=cAaCb，同理sinsinabAB=，coscosaBbAc+=，sinsincbCB=，coscosbCcBa+=，所以sinsinsinabcABC==，cos

cosabCcB=+，coscosbaCcA=+，coscoscaBbA=+.【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的

透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.