【文档说明】云南省昆明一中2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学（理）试题含答案.doc，共(14)页，1.140 MB，由小赞的店铺上传

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昆明一中2021届高中新课标高三第一次摸底测试理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非

答题区域均无效。3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑

。答案写在答题卡上对应的答题区城内,写在试卷、草稿纸和答题卡,上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足1322z

ii=+,则复数z在复平面内对应的点的坐标为A.(1,0)B.(0,1−)C.(1−,0)D.(0,1)2.已知集合A=221xxy+=,集合B=2yyx=,则AB=A.[0,1]B.[-1,1]C.[-1,0)D.[-1,0]3.抛物线22()yp

xp=的焦点到双曲线221xy−=的渐近线的距离为22，则p=A.4B.3C.2D.14.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是A.样本中的男生数量

多于女生数量B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C.对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D.对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数5.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗“儿

忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读。数学中有回文数,如343,12521等。两位数的回文数有11,22,3,……,99共9个,则在三位数的回文数中偶数的个数是A.40B.30C.20D.106.函数4()3lnfxxxx=+

−的单调递减区间是A.(1,4)−B.(0,1)C.(4,)+D.(0,4)7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为A.163B.643C.169D.6498.已知圆C:22420xyxy+−−=与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,则弦长AB=A.5

B.5C.25D.329.将多项式26576510axaxaxaxa+++++分解因式得25(2)(1)xx−+，则5a=A.16B.14C.6−D.10−10.在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面ABC,∆ABC是边长为3的等边三角形,∆SAB是以AB为斜边的直角三角形,则该三棱锥

外接球的表面积为A.32πB.16π.C.24πD.12π11.已知函数()sin()(0,)2fxx=+的最小正周期是π,把它图象向右平移3个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论:①函数

f(x)的图象关于直线x=12−其对称.②函数f(x)的图象关于点(6,0)对称③函数f(x)在区间[,]212−−上单调递减④函数f(x)在3[,]32上有3个零点正确的结论是A.①②③B.①②④C.②③D.②④12.已知定

义在R.上的偶函数f(x),对任意x∈R,都有f(2-x)=f(x+2),且当[2,0]x−时()21xfx−=−.若在a>1时,关于x的方程(2)()log0xafx+−=恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是A.(1,2)B.(232,2)C.23(,2)−(2,+∞)D.

(2,+∞)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足约束条件33040xyxyxy+−+−，则z=2x+y的最大值是__________。14.已知(2,3),(1,3)ab=−=,则a在b方向上的投影为___

______.15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:210xy−−=与C交于P、Q(P在x轴上方)两点,若PFFQ=,则实数λ的值为_______16.如图,正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,线段AC1上有两

个动点E、F,且EF3=3,给出下列四个结论:①CE⊥BD②三棱锥E-BCF的体积为定值③∆BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中,正确的结论是____________三、解答题:共70分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22.23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)已知数列na的前n项和为nS,且2()nnSa

nnN=−.(1)求123,,aaa的值，猜想数列na的通项公式并加以证明;(2)求13523()naaaanN+++++.18.(12分)如图,在六面体ABCDEF中,AB//CD,AB⊥AD,且AB=AD=12CD=1,四边形ADEF是正方形,平面ADEF⊥平面ABCD.(1)证

明:平面BCE⊥平面BDE;(2)若∆BCE中，∠BEC=30°，求二面角C-BE-F的余弦值。19.(12分)计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分

考试都“合格”者,则计算机考试“合格",并颁发合格证书.甲、乙、两三人在理论考试中“合格”的概率依次为45、34、23,在实际操作考试中“合格”的概率依次为12、23、56,所有考试是否合格相互之间没有影响

.(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?(2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.20.(12分)已知点Q是圆M:22(1)16xy++=上一动点(

M为圆心),点N的坐标为(1,0),线段QN的垂直平分线交线段QM于点C,动点C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的轨迹方程;(2)直线l过点P(4,0)交曲线E于点A,B,点B关于x的对称点为D,证明:直线AD恒过定点.21.(12分)已知函数()1()xfxeaxaR=−−(1)判断

函数f(x)的单调性;(2)若()ln(1)gxx=+当(0,)x+时,不等式()()gxfx恒成立，求实数a的取值范围。(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)已知平面直角坐标

系xOy中,曲线C1:x2+y2=1经过伸缩变换''2xxyy==得到曲线C2,直线l过点P(-1,0),斜率为33,且与曲线C2交于A,B两点。(1)求曲线C2的普通方程和直线l的参数方程;(2)求PAPB的值.23.[选修4-5:不等式

选讲](10分)已知函数()22,0fxxxaa=+−−.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求实数a的取值范围。昆明市第一中学2021届摸底考试参

考答案（理科数学）一、选择题题号123456789101112答案BACCADCCCDAB1.解析：因为221313i12222+=+=，所以1iiz==−，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为()0,1−，选B．2.解析：因为集合2211,1Axxy=+

==−，集合)0,Byyx===+，所以0,1AB=I，选A．3.解析：因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0xy=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2222211pd

==+，又因为0p，所以2p=，选C．4.解析：由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，选C．5.解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，

8，另外中间一位数有10种可能，所以有41040=个，选A．6.解析：函数的定义域是(0,)+，2243(1)(4)()1xxfxxxx+−=−−=＇，令()0fx＇，解得04x，故函数4()3lnfxxxx=+−在(0,4)上单调递减，选D．7.解析：由三视图可知，该几何

体是圆锥的一部分，观察到正视图中1和2的分界线可知俯视图是圆心角为120的扇形，故该几何体的体积为π91642π31312==V，选C．8.解析：令0y=，4x=；0x=，2y=.所以(4,0)A，(0,2)B，所以()22(40)0225AB=−+−=，选C．9.解析：由题意，()

()()()255221441xxxxx−+=−++，52232551axxCx=14541xCx−055546Cxx+=−，所以56a=−，选C．10.解析：由题意，△SAB是以AB斜边的直角

三角形，以三角形SAB所在平面截球所得的小圆面圆心在AB中点，又因为平面⊥SAB平面ABC，所以平面ABC截球所得平面即为大圆.因为△ABC是边长为3的正三角形，其外接圆半径3333==R，故该三棱锥外接球的半径3=R，其表面积π12π42==RS，选D．11.解析：解析

：因为)(xf的最小正周期为π，故2=ω，将其向右平移3π后所得图像对应的解析式为)32π2sin()(−+=xxg，又)(xg为奇函数，所以π32πk=−，2π，解得3π−=，故)3π2sin()(−

=xxf.令π2π3π2kx+=−（Zk），解得2π125πkx+=（Zk），取1−=k，12π−=x，故①正确；令π3π2kx=−（Zk），解得2π6πkx+=（Zk），)(xf的对称中心为

+0,2π6πk（Zk），②正确；又由π22π3π2π22π3kxk+−−+−（Zk），取0=k知−−12π,12π7是原函数的一个单调递减区间，又−−−−12π,2π712π,2π，故③正确；对于④，函数在此区间上的零点只有3

π2，6π7两个，故错误，综上所述正确结论的编号为①②③，选A．12.解析：依题意函数()fx的图象关于y轴及直线2x=对称，所以()fx的周期为4，作出2,0x−时()fx的图象，由()fx的奇偶性和周期性作出()fx的图象，关于x的方程()log(2

)0afxx−+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()fx与log(2)ayx=+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log(22)3log(62)3aa++，解得2322a，选B．y=loga(x+2)y=f(x)4-48Oyx-2-6263-1二、填空题

13.解析：如图所示yxz+=2在()2,2A处取得最大值，且2226z=+=．14.解析：由baba2−=+平方可得：21122abb==，所以a在b方向上的投影是12abb=．15.解析：由题意可得，直线:210lxy−−=过抛物线2:4Cyx=的焦点(1,0)F，

设P、Q在l上的射影分别是1P、1Q，过Q作1QMPP⊥于M．由抛物线的定义可得出RtPQM△中，得45BAE=，1112cos4512PPQQPMPFQFPQPFQFPFQF−−−=====+++，解得323=+．16.解析：因为BD⊥平面1ACC，所以BDCE⊥，故①对；因为点C到

直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，所以三棱锥BCEF−的体积为定值，故②对；线段EF在底面ABCD上的正投影是线段GH，所以△BEF在底面ABCD内的正投影是△BGH.又因为线段EF的长是定值，所以线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故

③对；设平面ABCD与平面1DEA的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对.所以正确结论是①②③④．HGA1EB1BCDFAD1C1三、解答题（一）必考题17.解：（1）由1121Sa=−得：11a=，因为11(2)(2(1))

nnnnSSanan−−−=−−−−(2)n，所以121nnaa−=+(2)n，所以2121=3aa=+，3221=7aa=+；由此猜想数列na的通项公式21nna=−；证明：因为121nnaa−=+(2)n，所以112(1)nnaa−+=+，所以1121

nnaa−+=+(2)n，所以1na+是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nna+=，即：21nna=−.（用数学归纳法证明也可）………6分（2）由（1）得21nna=−，所以()32313523222(2)nnaaaan+++

+++=+++−+22(14)(2)14nn+−=−+−252383nn+−−=.………12分18.解：（1）证明：因为//ABCD，ABAD⊥，且121===CDADAB，可得2BDBC==，2=CD，所以BDBC⊥又平面⊥ADEF平面ABCD，平面ADEF平面

ADABCD=，四边形ADEF是矩形，ADED⊥，ED平面ABCD，可得⊥ED平面ABCD，BC平面ABCD，则EDBC⊥，BD，ED平面BDE，DEDBD=，故⊥BC平面BDE，BC平面BCE，所以，平面BCE⊥平面BDE．………6分（2）由（1）知△BCE，△BDE

，△CDE都是直角三角形，030BEC=．设aED=，则42+=aCE，2=BC，BCCE2=，2442=+a，解得2=a，如图以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系.可得)0,1,1(B，)0,2,0(C，)

2,0,0(E，)2,0,1(F，故），，（211−=EB，），，（001=EF，），，（220−=EC，设），，（zyxm=为平面BEF的一个法向量，则==00EFmEBm，得），，（120−−=m，同理可得平面BCE的一个法

向量为），，（111=n，设二面角CBEF−−的平面角为，nmnmnm=,cos35120−+−+=）（）（551−=，=cosnm,cos515−=，所以，二面角MCNA−−的余弦值为515−.………12

分19.解：（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则412()525PA==，321()432PB==，255()369PC==.因为()()()PCPBPA，所以丙获得合格证书的可

能性最大.………6分（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则21421531511()()()()52952952930PDPABCPABCPABC=++=++=.所以三人考试后恰有两人获得合格证书的概率是1130.………12

分20.解：（1）因为线段QN的中垂线交线段QM于点C，则CQCN=，所以42CMCNCMCQQMMN+=+===，由椭圆定义知：动点C的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：24a=，22c=，又222=3bac=−，所以曲线E的轨迹方程为2214

3xy+=.………5分（2）设()11,Dxy，()22,Axy，则()11,Bxy−，由题意知直线AD的斜率必存在，设直线AD的方程为：ykxm=+，由22+143ykxmxy=+=，，消y得：()()222438430kmkmxx+++−=，故()(

)()2221222122222438434343641630340kkkmkxxkmxxkmmm++=−+−==−−+−+因为A，B，P共线，其中()224,PAxy=−，()114,PBxy=−−所以()(

)()212144xyyx−−=−，整理得()()12122480kxxmkxxm+−+−=，则()()22224388044343kmmkmkmkk−−+−=++−，解得mk=−，此时2330k=+则直线AD的方程为：

()1ykx=−，所以直线AD恒过定点()1,0………12分21.解：（1）函数()fx的定义域为(),−+，()exfxa¢=+，当0a³时，()0fx¢>，()fx在(),−+上单调递增；当0a<时，令()0fx¢=，得ln()xa=-．所以()fx在(),ln()a-?

上单调递减；在()ln(),a-+?上单调递增．综上所述，当0a³时，()fx在(),−+上单调递增；当0a<时，()fx在(),ln()a-?上单调递减；在()ln(),a-+?上单调递增．………6分（2）当()0,x??时，11

x+>，所以()ln(1)0gxx=+>．设()ln(1)hxxx=-+(0)x>，则1()111xhxxx=−=++，当0x>时，()0hx，()hx在()0,+?上单调递增，所以()(0)0hxh=，所以ln

(1)xx>+，故0()gxx<<．由（1）可知，当0a³时，()fx在(),−+上单调递增．所以(())()fgxfx成立；当10a-?时，ln()0a−，且()fx在()ln(),a-+?上单调递增，所以(())()fgxfx成立；当1a<-时，()fx在()0,ln()a-

上单调递减；则有(())()fgxfx，不合题意．综上所述，实数a的取值范围为)1,−+.………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22.解：（1）由2,xxyy

==得1,2.xxyy==，代入曲线1C得：()2212xy+=，所以曲线2C的普通方程为2214xy+=.因为直线l过点(1,0)P−，斜率为33，所以l的参数方程为31,21.2xtyt=−+=（t为参数）.…

……5分（2）设A，B所对应参数分别为1t,2t，将l的参数方程代入曲线2C得:2743120tt−−=，则()24347120=+,且12127tt=−，所以，1212127PAPBtttt=

==.………10分23.解：（1）1a=时，由不等式()2fx可得：()2212fxxx=+−−，可化为：22222xxx−−−+−或212222xxx−++−或12222xxx+−+

，解得：x或213x或12x，即：223x，所以，不等式的解集为2,23.………5分（2）因为22,2,()322,2,22,,xaxfxxaxaxaxa−−−=+−−−++所以()fx的图象与x轴所围成

的三角形的三个顶点分别为22,03aA−，(),2Baa+，()22,0Ca+，由题意，()()122222623aaa−+−+，整理得：2450aa+−，因为0a，所以解得：1a，所以，实数a的取值范围为()1,+.………10分