【文档说明】河南省开封市2021届高三上学期第一次模拟考试理科数学试题答案.pdf，共(4)页，182.312 KB，由管理员店铺上传

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（理科）·1·开封市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CCADBDBBADAA二、填空题（每小题5分，共20分）13.1414.91015.1或516.437三、解答题（共

70分）17.解：（1）设数列na的公比为q，由已知0q.由题意得231112+aqaqaq，10aq，所以22=0qq，解得=2.q……2分由24311=2aqaq，得1=2aq，……4分所以1=1.a……5分（

2）由已知11(),(1)1,ifibfba……6分+12(1)iiibbii，12iiibb即，……7分12123211222nnnbbbbbb由可得1211222nnbb……

9分0121122+222=21.12nnnnb……12分18.解：（1）证明：直四棱柱1111ABCDABCD的底面是菱形，所以1AEDF∥，又EF，分别为棱11ABCD，的中点，所以1=AEDF，所以1AEFD是平行四边形，所以1EFAD∥.……2分因为ABE

F，所以1ABAD，又1ABAA，111=ADAAA，所以11ABADDA平面，11ADADDA平面，所以ABAD.……5分（2）以A为原点，1ABADAA，，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系A-xyz.…6分由已知，设1===AAADABa，1111111

11=.ADADAEADADAEAADAEFD，，又，所以平面……7分110,0,00,,=0,,ADaaADaa，，，（理科）·2·,0,0,0,,,022aaBaEaFa，，，=,0,=,,022aaBEaBF

a，，设平面BEF的法向量为,,xyzn，则=0=0BEBF，，nn+=02+=02axazaxay，，令z=1，∴2,1,1n，……9分1113cos,3A

DADADnnn，……11分∴二面角BEFD的余弦值为33.……12分19.解：（1）由散点图中数据和参考数据得4.5+5+6+7+7.5==6=1355xy，，……2分5152222221()()1.536+1

30+05+126+1.535=251.5+1+0+1+1.5()iiiiixxyybxx，……4分=135256=285aybx，……5分所以y与

x的线性回归方程为ˆ25285yx.……6分（2）将=160y代入回归方程得=5x，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为425=210分钟.……8分从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210

分钟的累积频率为0.000850+0.0024210200=0.064，有6.4%的跑者成绩超过该跑者，……10分则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.0643000=192名.……12分

20.解：（1）因为212P，在椭圆C上，所以2211+=12ab，……1分又2222==+2ceabca，，……2分由上述方程联立可得22=2=1ab，，所以椭圆的标准方程为2212xy.……4分（2）设直线PA的方程为1

2(1)2ykx，……5分设1122,,AxyBxy（），（），（理科）·3·由1222(1)212ykxxy消y得：22211111(12)2(22)22210kxkkxkk，2111

212221112kkxk，……7分12210,kkkk同理可得2112212221112kkxk，……8分211121222114242,,1212kkxxxxkk

……9分11112112112112121222111111122()()222(42)2(12)42.1224242kxkkxkyykxxkkxxxxxxkkkkkkk分21.解：（1）当1a时，xxxfln，得

1ln'xxf，……1分则eef，2'ef，……2分所以xfy在ex处的切线方程为：exy2.……4分（2）当0a且1x时，由于xxaaxaaxaxeexxxexxxexaxxexflnlnlnln

，构造函数xxxgln……6分得101ln'xxxg，所以xxxgln在,1上单调递增，xaxxaaxegxgeexxxexflnln，由于xxexf对任意的1

x都成立，又1,1xaex，再结合xg的单调性知道：xaex对于任意的1x都成立，即xxaln对于任意的1x都成立.……8分令xxxln，得2'ln1lnxxx，exxexx10,0''，则x在

e,1上单调递减，在,e上单调递增，……10分故eexmin，故ea，……11分所以a的最大值为e.……12分（理科）·4·22.解：（1）由题意知，边OB的极坐标方程是0(01)，边BC的极坐标方程是πcos1(0

)4，边CD的极坐标方程是ππsin1()42，边OD的极坐标方程是π(01)2.……4分（2）由题意，设POB，则||cos1OP，1||cosOP，且π||sin()13OQ，1||

πsin()3OQ，……6分1111π31sinsinπ22cos3413sin()cos(sincos)322POQSOPOQPOQ△则23332sincos23cossin231cos22sin23

3，因为0,6，所以3sin2,132，1233,2POQS△.……10分23.解：（1）00+1xyxy因为，，，

由基本不等式得2+124xyxy，当且仅当12xy时取等号.因为xym恒成立，所以14m，m的最小值为14.……4分（2）因为111124xyxyxyxyyx，22222111111

411252222xyxyxyxyxy所以当且仅当12xy时取等号，得证.……10分