【文档说明】北京师范大学附属实验中学2020-2021学年高二下学期开学检测数学试题 含答案.docx，共(9)页，609.332 KB，由小赞的店铺上传

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北师大附属实验中学2022届高二下学期开学检测数学试卷试卷说明：1.本次考试时间100分钟，总分150分.2.试卷共有三道大题，21道小题.3.请将全部答案答在答题纸上.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.直线10xy+−=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.

1352.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，DAa=，DCb=，1DDc=，则与向量1DB相等的是（）A.abc+−B.abc++C.abc−+D.abc−−3.若复数()ziai=−满足2z，则实数a的取值范围是（）A.)3,+B.1,1−C.(),33,

−−+D.(),11,−−+4.设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A.若//，//l，则lB.若//，l⊥，则l⊥C.若⊥，l⊥，则lD.若

⊥，//l，则l⊥5.若两条直线210axy+−=与3610xy−−=互相垂直，则a的值为（）A.4B.-4C.1D.-16.双曲线22126xy−=的焦点到渐近线的距离为（）A.2B.6C.22D.267.某高校要从经济学院的6名优秀毕业生中选3人分别到西部三个城市参加中国西部经

济开发建设，要求每人去一个城市，每个城市去一人，那么不同的分配方案种数为（）A.20B.60C.120D.2408.过抛物线24yx=上的一点()()003,0Ayy作其准线的垂线，垂足为B，抛物线的焦点为F，直线BF在x轴下方交抛物线于点E，则FE=（）A.1B.3C.3D.49.已

知椭圆C：()222210xyabab+=，椭圆的左、右焦点分别为1F，2F，P是椭圆C外的任意一点，且满足120PFPF，则椭圆离心率的取值范围是（）A.10,2B.20,2C.12,22D.2,12

10.如图，在三棱锥OABC−中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c.M为ABC△内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为0a，0b，0c，则000abcabc

++=（）A.14B.12C.1D.2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.复数144ii−+=+__________.12.已知()31nx−的展开式中所有项的系数和为64，则n=

__________；展开式中2x的系数是___________.13.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)4xybb−=的一条渐近线方程为3yx=，则该双曲线的离心率是__________.14.如图，正方体1111ABCDABCD−中，直线1BC和11BD所成角的大小为

__________；直线1BC和平面11BDDB所成角的大小为__________.15.由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，其中个位数字比十位数字大的偶数共有__________个.16.2020年11月24日我国在中

国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅.2004年，中国正式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程”.2007年10月24日“嫦娥一号”成功发射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心F为椭圆焦点的Ⅰ、Ⅱ、

Ⅲ三个轨道飞行（如图所示），三个椭圆轨道的长半轴长、半焦距和离心率分别为(),,1,2,3iiiacei=，探月卫星沿三个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分别为16小时，24小时和48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的平方与长半轴长的三次方之比是定值.现有以下命题：

①112233acacac−=−=−；②3212aa；③3319aa=；④123eee.则以上命题为真命题的是___________.（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.如图，在四面体ABCD中，CBCD=，ADBD⊥，点E、F分别是AB

、BD的中点，求证：（Ⅰ）直线//EF平面ACD；（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD.18.已知圆C的圆心在直线20xy−=上，且与y轴相切于点()0,1.（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线l：0xym−+=交于A，B两点，____________________，求m的值.从下列两

个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB=；条件②：23AB=.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.19.已知抛物线()220ypxp=的准线方程是12x=−.（

Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线()()20ykxk=−与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OMON⊥.20.如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，//AFDE，DEA

D⊥，ADBE⊥，112AFADDE===，2AB=.（Ⅰ）求证：ADBD⊥；（Ⅱ）求二面角BEFD−−的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由.21.已知椭圆W：2214xymm+

=的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点(),0Pn的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）.（Ⅰ）当0n=，且直线CDx⊥轴时，求四边形ACBD的面积；（Ⅱ）设1n=，直线CB与直线4x=相交于点M，求证：A，D，M三点共

线.北师大附属实验中学2022届高二下学期开学检测数学试卷参考答案一、选择题1-5：DACBA6-10：BCDBC二、填空题11.i12.6，13513.214.60，3015.3616.①③④三、解答题17.解：（Ⅰ）易知中位线//EFAD，而AD面ACD，EF面ACD

，∴//EF平面ACD.（Ⅱ）∵//EFAD，ADBD⊥，∴EFBD⊥，又CBCD=，F是BD的中点，∴CFBD⊥，∵EFCFF=，∴BD⊥面EFC，又BD面BCD，平面EFC⊥平面BCD.18.解：（Ⅰ）设圆心坐标为(),Cab，半径为r.因为圆C

的圆心在直线20xy−=上，所以2ab=.因为圆C与y轴相切于点()0,1，所以1b=，0ra=−.所以圆C的圆心坐标为()2,1，2r=.则圆C的方程为()()22214xy−+−=.（Ⅱ）如果选择条件①：因为120AC

B=，2CACB==，所以圆心C到直线l的距离1d=.则21111md−+==+，解得21m=−或21−−.如果选择条件②：因为23AB=，2CACB==，所以圆心C到直线l的距离1d=.则21111md−+==+，解得21m=−或21−−.19.

（Ⅰ）解：因为抛物线()220ypxp=的准线方程为2px=−，所以122p−=−，解得1p=，所以抛物线的方程为22yx=.（Ⅱ）证明：设()11,Mxy，()22,Nxy.将()2ykx=−代入22

yx=，消去y整理得()222222140kxkxk−++=.所以124xx=.由2112yx=，2222yx=，两式相乘，得2212124yyxx=，注意到1y，2y异号，所以124yy=−.所以直线OM与直线ON的斜率之积为121

21yyxx=−.即OMON⊥.20.解：（Ⅰ）因为DEAD⊥，ADBE⊥，DEBEE=，所以AD⊥平面BDE，则ADBD⊥.（Ⅱ）因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD=，DEAD⊥，所以DE⊥平面ABCD，则DEDB⊥.故DA

，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1,0,0A，()0,1,0B，()1,1,0C−，()0,0,2E，()1,0,1F，所以()0,1,2BE=

−，()1,0,1EF=−，()0,1,0n=为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为(),,mxyz=，由0mBE=，0mEF=，得200yzxz−+=−=，令1z=，得()1,2,1m=.所以6cos,3mnmnmn==.如图可得二面角B

EFD−−为锐角，所以二面角BEFD−−的余弦值为63.（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF.证明如下：设()()0,,20,1BQBE=−，所以(0,1,2)DQDBBQ=+=−.设平面C

DQ的法向量为(),,uabc=，又因为()1,1,0DC=−，所以0uDQ=，0uDC=，即(1)200bcab−+=−+=，若平面CDQ⊥平面BEF，则0mu=，即20abc++=，解得10,17=.所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF，且此时17BQB

E=.21.解：（Ⅰ）由题意，得244am==，解得1m=.所以椭圆W方程为2214xy+=.当0n=，及直线CDx⊥轴时，易得()0,1C，()0,1D−.且()2,0A−，()2,0B.所以4AB=，2CD=，显然此时四边形ACBD为菱形，所以

四边形ACBD的面积为14242=.（Ⅱ）当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的方程为1x=，代入椭圆W的方程，得31,2C，31,2D−，易得CB的方程为()322yx=−−.则()4,3M−，()6,3AM=−，33,2AD=−，所以

2AMAD=，即A，D，M三点共线.当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为()()10ykxk=−，()11,Cxy，()22,Dxy，联立方程22(1)14ykxxy=−+=，消去y，得()2222418440kxkxk+−+−=.由题意

，得0恒成立，故2122841kxxk+=+，21224441kxxk−=+.直线CB的方程为11(2)2yyxx=−−.令4x=，得1124,2yMx−.又因为()2,0A−，()22,Dxy，则直线AD，AM的斜率分别为222ADykx=+，()

1132AMykx=−，所以()()()()()2112212112322232322ADAMyxyxyykkxxxx−−+−=−=+−−+.上式中的分子()()()()()()2112211232231212yxyxkxxkxx−−+=−−−−+()12122

58kxxkxxk=−++22224482584141kkkkkkk−=−+++0=，所以0ADAMkk−=.所以A，D，M三点共线.