【文档说明】重庆市第一中学校2021-2022学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(26)页，4.111 MB，由小赞的店铺上传

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2022年重大一中高2023届高二下期期末考试数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择題：本题共8个小题，每小题5分，共4

0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()ln1Axyx==−，11Bxx=，则AB=（）A.(0,1B.()1,+C.(,1−D.()0,+【答案】D【解析】【分析】由对数函数的定义域及分式不等式的解法可得集合A、B，再求并集即可

.【详解】由题意可得()(1101,,10,1xABx−=+=，所以AB=()0,+.故选：D2.已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为()()ln21ytt=+，则该质点在2s=t时的瞬时速度为（）A.15B.25C.2D.4【答案】B【解析】

【分析】对()()ln21ytt=+求导得()221ytt=+，从而可求质点在2s=t时的瞬时速度()2y.【详解】因为()()ln21ytt=+，所以()221ytt=+，所以该质点在2s=t时的瞬时速度为()2222125y==+.故选：B.3.设Ra，若函数()fx

是定义在R上的奇函数，当0x时，()3xfxa=−，则()1f−=（）A.1B.2C.2−D.1−【答案】C【解析】【分析】依题意可得()00f=且()()fxfx−=−，即可求出a的值，再根据()()11ff−=−计算可得.【详解】因为函数()fx是定义在R上的奇函

数，所以()00f=，()()fxfx−=−，又当0x时，()3xfxa=−，所以()0030fa=−=，解得1a=，所以()()()111312ff−=−=−−=−.故选：C4.设0a且1a，若函数()7,

23log,2axxfxxx−+=+的值域是)5,+，则a的取值范围是（）A.)2,+B.()1,2C.(1,2D.()2,+【答案】C【解析】【分析】当2x时，检验满足()5fx.当2x时，分类讨论a的范围，依据对数函

数的单调性，求得a的范围，综合可得结论.【详解】由于函数7,2()(03log,2axxfxaxx−+=+且1)a的值域是[5,)+，故当2x时，满足()75fxx=−.若1,()3l

ogaafxx=+在它的定义域上单调递增，当2x时，由()3log5afxx=+，log2,log22,12aaxa.若01,()3logaafxx=+在它的定义域上单调递减，()3log3log23aafxx=++，不满足()fx的值

域是[5,)+.综上可得，12a.故选：C.5.某调查机构对某地区互联网行业进行了调査统计，得到如下该地区的互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业的岗位分布条形图，且据统计知该地区互联网行业从业人员中从事运营岗位的人员比例为0.28，现从该地区互

联网行业从业人员中选出1人，若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为（）（注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．）A.0.28B.0.34C.0.56D.0.61【答案】B【解析】【分析】记从该地区互联网行业从业人员中选出

1人，此人从事运营岗位为事件A，记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件B，根据统计图求得()0.28PA=，()0.560.17PAB=，再根据条件概率的定义即可求解.【详解】记从该地区互联网行业从业人员中选出1人，此人从事运营岗位为事件A，记从该地区互联

网行业从业人员中选出1人，此人是90后为事件B，由统计图可知()0.28PA=，()0.560.17PAB=，所以()()()0.560.170.340.28PABPBAPA===，所以若此人从事运营岗位，则此人是90后的概率为0.34.故选：B6.设定义在R上的可

导函数()fx的导函数为()fx，且()()fxfx−，若()1ln33f=，则不等式()1exfx的解集为（）A.1,3+B.()ln3,+C.()0,ln3D.(),ln3−【答案】D【解析】【分析】令()()exgxfx=，利

用导数说明函数单调性，不等式()1exfx等价于()e1xfx，即()()ln3gxg，结合单调性即可得解.的【详解】因为()()fxfx−，所以()()0fxfx+令()()exgxfx=，则()()()()()eee0xxxgxfxfxfxfx=+=+

，即()gx在定义域R上单调递减，又()1ln33f=，所以()()ln3ln3eln31gf==，因为e0x，所以不等式()1exfx等价于()e1xfx，即()()ln3gxg，所以ln3x，即不等式()1exfx的解集为(),ln3−.故选：D7.已知4log5

a=，3log4b=，342c=，123d=，则a，b，c，d的大小关系为（）A.dcbaB.dbcaC.badcD.bdac【答案】A【解析】【分析】利用24443log5log5log3log42ab

+=即可比较,ab，根据幂函数的单调性可比较,cd，再根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量32即可比较,bc，进而可得出答案.【详解】4log51a=，3log41b=，因为2444443log5log5log3log5log3log42ab+==

2244log15log16122==所以ab，314428c==，412139d==，因为89，所以114489，即cd，又43144443328822c====，3333log4log16log272b===，所以cb，综上，dcba

.故选：A.【点睛】方法点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.8.若不等式()()e110−−++xxmx对()0,x+

恒成立，则整数m的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分析】参变分离后，通过二次求导，结合隐零点得到最小值，即可求解.【详解】因为()0,x+，所以e10x−，所以问题转化为e1e1xxxm+−

对任意,()0x+恒成立.令e1()e1xxxfx+=−，则()()2ee2()e1xxxxfx−−=−,令e(2)xgxx=−−，则()e10xgx=−对x(0,)+恒成立，所以e(2)xgxx=−−在

(0,)+上单调递增.因为12(1)e30,(2)e40gg=−=−，故0(1,2)x，使得()000e20xgxx=−−=.因此当00xx时，()0,()0gxfx，即()fx在()00,x上单调递减，当0xx时，()0,()0gxfx，即

()fx在()0,x+上单调递增.故()()00000min0021e1()e11xxxxxfxfxx+++====−+01(2,3)x+，所以整数k的最大值为2.故选：B.【点睛】方法点睛：不等式恒成

立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；【②数形结合(()yfx=图象()ygx=上方即可)；③分类讨论参数.二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法正确有（）A.设函数()fx的定义域为D，则“D关于原点对称”是“()fx具有奇偶性”的必要条件B.己知()fx是可导函数，则“()00fx=”是“0x是()fx的极值点”的充分不必要条件C.“4是函数()

fx的一个周期”的一个充分不必要条件是“对xR，都有()()2fxfx+=−”D.“函数()yfxa=−与函数()yfbx=−的图象关于y轴对称”的充要条件是“ab=”【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性的定义及必要条件的定义判断A，根据极

值点的定义判断B，根据函数的周期性的定义判断C，利用特殊值判断D.【详解】对于A：函数()yfx=具有奇偶性，则定义域关于原点对称；则函数()yfx=的定义域关于原点对称是函数()yfx=具有奇偶性的必要条件，故A正确；对于B：由()00fx=得不到0x

是()fx的极值点，如()3fxx=，则()23fxx=，此时()00f=，但是函数()3fxx=在定义域R上单调递增，所以不存在极值点，故充分性不成立，若0x是()fx的极值点，则()00fx

=，故必要性成立，故“()00fx=”是“0x是()fx的极值点”的必要不充分条件，故B错误；对于C：若对xR，都有()()2fxfx+=−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以4是()fx的一个

周期，故充分性成立，若4是函数()fx的一个周期，不一定得到“对xR，都有()()2fxfx+=−”，如对xR满足()()12fxfx+=时，此时()()()()11412fxfxfxfx+===+，即4是()fx的一个周期，故必要性不成立，故C正

确；在的对于D：设()0fx=，所以()0fxa−=，()0fbx−=，此时()fxa−与()fbx−的图象关于y轴对称，但是ab=不一定成立，故D错误；故选：AC10.已知0x，0y，且3xyxy++=，则（）A.1xyB.2xy+C.222xy+

D.3xy−【答案】ABC【解析】【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的xy+或xy转化，即可解不等式得出答案；对于选项C：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为xy+或xy，即可根据选项A

B求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.对于选项D：当1xy==时，即可排除.【详解】解：对于A,由题意得()332xyxyxy=−+−，(当且仅当1xy==时)，即230xyxy+−，解得：01xy，即01xy，故A正确.

对于B,由题意得2332xyxyxy++=−−，(当且仅当1xy==时)，即()()24120xyxy+++−，即()()620xyxy+++−，解得：2xy+或6xy+−(舍去).故B正确.对于C,()()()()()2222222326xyxyxyxyxyxyxy+=

+−=+−−−=+++−，令2txy=+，()()2222226172172xyttt+=+−=+−+−=≥，即222xy+，故C正确；对于D,当1xy==时，0xy−=，故D错误.故选：ABC.11.已知函数()22lnfxax

x=+，则下列说法正确的是（）A.当1a=−时，函数()yfx=的单调增区间为()1,+B.当1a=−时，函数()yfx=的极小值为1C.若()fx在定义域内不单调，则(),0a−D.若对120xx有()()()12122fxfx

xx−−成立，则1,4a+【答案】ABC【解析】【分析】对于A、B，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于C，分0a和a<0两种情况讨论即可判断；对于D，把()()()12122fxfxxx−−化为()()112222fxxfxx−−

，令2()()22ln2(0)hxfxxaxxxx=−=+−，从而问题转化为函数()hx在(0,)+上为增函数，求导后得到()2maxaxx−+，结合二次函数即可判断.【详解】2222()2aaxfxxxx+=+=对于

A、B，当1a=−时，()()2222)1(1xxxfxxx+=−−=，所以当01x时，()()0,fxfx单调递减，当1x时，()()0,fxfx单调递增，所以函数()yfx=的单调增

区间为()1,+，在1x=有极小值()11f=，故A、B都正确；对于C，因为2222()2aaxfxxxx+=+=，0x，当0a时，()0fx恒成立，函数()fx在定义域内单调递增，当a<0时，()fx符号不确定

，函数()fx在定义域内不单调，故C正确；对于D，因为对120xx有()()()12122fxfxxx−−成立，即()()112222fxxfxx−−成立，令2()()22ln2(0)hxfxxaxxxx=−=+−，由题意知()()

12hxhx在(0,)+上恒成立，即函数()hx在(0,)+上为增函数，则2()220ahxxx+−=恒成立，故()2maxaxx−+，因为22111244xxx−+=−−+，所以1a4，故D错误.故选：ABC12.已知定义在R上的奇函数()yfx=满足()()

()243fxfxf++−=，且当()0,3x时，()24493fxxx=−+，则下列说法正确的是（）A.6是函数()yfx=的一个周期B.函数()yfx=在区间()3,6上的解析式为()()()2446693fxxx=−+−C.若函数()yfx=与函数logayx=（0

a且1a）的图象在区间()0,15上的交点有5个，则实数a的取值范围为27,2+D.函数()123log2gxx=+与函数()yfx=的图象的所有交点的横坐标之和为15−【答案】ABD【解析】【分析】对于A，令1x=得(3)0f=，从而得(3)(3)0fx

fx++−=，再结合奇函数得(3)(3)fxfx+=−，从而可判断；对于B，令()3,6x得()60,3x−，求得()()()24466693fxxx=−−−−−，再结合周期性和奇函数即可判断；对于C、D，画出图象后即可判断.【

详解】对于A，因为(2)(4)(3)fxfxf++−=，所以令1x=，可得(3)(3)(3)fff+=，即(3)0f=，故(2)(4)0fxfx++−=，则(3)(3)0fxfx++−=，即(3)(3)fxfx−=−+，因为()fx为奇函数，所以(3)(3)fxfx−=−−，

则(3)(3)fxfx+=−，所以(6)()fxfx+=，即函数()fx的周期为6，故A正确；对于B，令()3,6x，则()60,3x−，所以()()()()()224444666669393fxxxxx−=−−+−−=−−−而()()()6

fxfxfx−=−=−，所以()()()2446693fxxx=−+−，B正确；对于C，当()0,3x时，()24493fxxx=−+；当()3,6x时，()()()2446693fxxx=−+−，再根据其周期为6，作出函数(

)fx在(0,15)的图像如下：由图可知，当log(0,1)ayxaa=过点27,12或点21,12−时，两图象刚好有4个交点，此时272a=或221a=若函数()yfx=与函数log(0,1)ayxaa=的图像在区间(0,15)的

交点有5个，所以272a或2021a，故C错误；对于D，分别画出函数()123log2gxx=+与函数()yfx=的图象，如下图：由图可知，函数()123log2gxx=+与函数()yfx=的图象共有10个交点，又因为函数()123log2gxx=+与函数()yfx=的图象都关于直线3

2x=−对称，所以所有交点的横坐标之和为325152−=−，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.若函数()log238ayx=−+（0a且1a）的图象恒过点P，且点P在幂函数()fx的图象上，则()4f=______．【答案】6

4【解析】【分析】先找到定点P的坐标，通过P点坐标求解幂函数()fxx=的解析式，从而可求()4f．【详解】对于函数log238ayx=−+（），令231x−=，解得2x=，此时8y=，因此函数log238ayx=−+（）的图

象恒过定点()2,8P，设幂函数()fxx=，P在幂函数()fx的图象上，82=，解得3=．()3fxx=．则()34464==f.故答案为：6414.()52xyz−+的展开式中，3xyz的系数为______．【答案】40−【解析】【分析】写出展开式通项，令

x、y、z的指数分别为3、1、1，求出参数的值，代入通项计算即可得出结果.【详解】()52xyz−+的展开式通项为()515C2rrrrAxyz−+=−+，()2ryz−+的展开式通项为()()1C2C2rkrkkk

krkkkrrByzyz−−−+=−=−，其中05kr，k、Nr，所以，()52xyz−+的展开式通项为()51,15CC2rkrkrrkkrkrTxyz−−−++=−，由题意可得5311rrkk−=−==，解得21rk==，

因此，()52xyz−+的展开式中3xyz的系数为()2152CC240−=−.故答案为：40−.15.如图，已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线

上，AFx⊥轴，0ABOB=，BFOA∥（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．【答案】233##233【解析】【分析】写出BF所在直线方程，与直线OB方程联立解得B的坐标，求出A的坐标,可得AB所在直线的斜率

，利用ABOB⊥，即可列式求解双曲线的离心率.【详解】设22(,0),Fccab=+，由题意可知，直线OB方程为byxa=−，直线OA方程为byxa=，因为AFx⊥轴，所以,bcAca，又BFOA∥，所

以直线BF的方程为()byxca=−,联立()byxabyxca=−=−，解得,22cbcBa−，322ABbcbcbaakcac+==−，又0,ABOBABOB=⊥，得31bbaa−=−，即()222223,3bacaa=

−=，解得233cea==.故答案为：23316.已知函数()e2ln=−−xfxx，()222lngxaxxa=+−（1a），若()fx的图象与()gx的图象在)1,+上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是______．

【答案】e,e2【解析】【分析】结合题意可得到()()22ln22neleaxxaxx=−−在)1,+上恰有两个不相等的实根，令())e,1,xtxxx=−+，利用导数判断函数的单调性，从而可得()22lnaxx=，则原问题

等价于2ya=与2exyx=在)1,+上恰有两个不同的交点，令())2e,1,xhxxx=+，利用导数求出函数函数的单调区间，从而作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解.【详解】()e2ln=−−xfxx关于x轴对称的函数为e2lnxxy=

+，因为()fx的图象与()gx的图象在)1,+上恰有两对关于x轴对称的点，所以方程22e2ln2lnxxaxxa=++−在)1,+上恰有两个不相等的实根，即222lne2ln0xaxxax+−−−=

，即()2222len0xaxaxx+−−=，即()()22ln22ee0lnaxxaxx+−−=，即()()22ln22neleaxxaxx=−−在)1,+上恰有两个不相等的实根，令())e,1,xtxxx=−+，则())e10,1,xtxx=

−+，所以函数()extxx=−在)1,+上单调递增，所以()22lnaxx=，即22exax=，22exax=，故原问题等价于2ya=与2exyx=在)1,+上恰有两个不同的交点，令(

))2e,1,xhxxx=+，则()())3e2,1,xxhxxx−=+，当12x时，()0hx，当2x时，()0hx，所以函数()hx在)1,2上单调递减，在()2,+上单调

递增，又()()2e1e,24hh==，当x→+时，()hx→+，如图，作出函数()hx在)1,+上的大致图象，要使函数2ya=与2exyx=在)1,+上恰有两个不同的交点，只要22ee4a，因为1a，所

以ee2a，所以实数a的取值范围是e,e2.故答案为：e,e2.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区

间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx

=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知na是等差数列，nb是公比大于0的等比数列，且1

3b=，327b=，112baa=+，245baa=+．（1）求数列na，nb的通项公式；（2）若kc表示数列na在区间()0,kb的项数，求12100Sccc=+++．【答案】（1）nan=，3nnb=；（2）101320322−【解析】【分析】（1）令数列na的公

差为d，数列nb的公比为()0qq，由13227qbb==解得3q=，从而求得3nnb=，进而得到11113349aadadad++=+++=，解得111ad==，从而可求na；（2）依题意可得31kkc=−，再利用分组求和法，结合等比数列的前n项和公式即可求解.【

小问1详解】令数列na的公差为d，数列nb的公比为()0qq，因为2223127,327,9bbqqq====，解得3q=（舍去负值），所以3nnb=.所以11113349aadadad++=+++=，解得111ad==，所以1(1)1nann=+−=

.【小问2详解】依题意可得31kkc=−，所以()1210012100333100Sccc=+=+++−++()10010131332031001322−=−=−−.18.随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成

为供应商选择制造公司产品的标准．已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量()gy与尺寸()mmx之间近似满足关系式bycx=（b，c为大于0的常数），现随机从中抽取6件合格产品，测得的数据如下：尺寸()mmx384858687888质量()gy16.818.820.

722.42425.5根据测得的数据作如下处理：令lniivx=，iiuy=ln，则得到相关统计量的值如下表：61iiivu=61iiv=61iiu=621iiv=75.324.618.3101

.4（1）根据所给统计数据，求y关于x的回归方程；（2）若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差n服从正态分布210,Nn，则至少需要抽取多少件该产品，才能使误差n在()0.1,0.1−的概率不小于0.9545？附：①对于样本(),

iivu（1,2,,in=），其回归直线ubva=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1221121ˆiiiinniinniiiivvuuvunvubvvvnv====−−−==−−，ˆˆaubv=−．②若()2,X

N，则()220.9545PX−+．【答案】（1）12eyx=（2）400【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法，即可求解.(2)根据正态分布及所给数据可得，220.1n，即可求解.【小问1详解】由题知，()()()122112

1ˆiiiinniinniiiivvuuvunvubvvvnv====−−−==−−224.618.375.360.27660.50.5424.6101.466−===−，18.324.6ˆˆ0.5166aubv=−=−

=，故0.51uv=+，即ln0.5ln1yx=+，整理得，12eyx=.【小问2详解】由题知，()20.9545PX−=，210,nNn，1020.9545nPn−=，要使误差n在()0.1,0.1−的概率不小于0.9545，

则满足120.1n，解得400n，故至少需要抽取400件该产品，才能使误差n在()0.1,0.1−的概率不小于0.9545.19.已知函数()2lnfxaxxx=+−（Ra）．（1）当0a=时，过点()0,0作()yfx=的切线，求该切线的方程；（2）

若函数()()gxfxx=−在定义域内有两个零点，求a的取值范围．【答案】（1）11eyx=−（2）10,2e【解析】【分析】（1）设切点为()000,lnxxx−，求导，根据导数的几

何意义求出切线方程，再根据切线过点()0,0，求出切点，即可得解；（2）分离参数a，构造函数2ln()xhxx=，将问题转化为直线ya=与函数()hx的图象仅有两个交点，求a的取值范围．【小问1详解】当0a=时，()()ln0fxxxx=−，则()11fxx=−，设

切点为()000,lnxxx−，则()0011fxx=−，所以切线方程为()()00001ln1yxxxxx−−=−−，又切线过点()0,0，所以()()00001ln1xxxx−−=−−，即0ln1x=，所以0ex=，所以切线方程为()()1e11ee

yx−−=−−，即11eyx=−；【小问2详解】由()()0gxfxx=−=，得2lnxax=，令2ln()xhxx=，则312ln()xhxx−=，令()0hx得0ex，令()0

hx得ex，∴()hx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，∴()()max1e2ehxh==，当x趋向于0时，()hx趋向−，当x趋向于+时，()hx趋向0，作出函数2ln()xhxx=的

图象和直线ya=，如图示，()gx在定义域内有且仅有两个零点,即2ln()xhxx=和ya=有且只有两个交点，由图象知，a的取值范围是10,2e．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间

与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）

参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.20.为提高新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“n合1检测法”，即将n个人的拭子样本合并检测，若为

阴性，则可以确定所有样本都是阴性；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有10k（*kN）人，已知其中有2人感染病毒．（1）若2k=，并采取“10合1检测法”，求共检测12次的概率；（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为X，采取“1

0合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．【答案】（1）919（2）10k时采取“10合1检测法”更适宜，具体过程见解析【解析】【分析】（1）2k=时共

有20人，共检测12次可知两个感染者分在同一组，计算可得所求概率.（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.【小问1详解】解：2k=时共有20人，平均分为2组，共检

测12次可知两个感染者分在同一组，设所求概率为P，则1821810102010CC9CC19P==，所以2k=，并采取“10合1检测法”，求共检测12次的概率为919.【小问2详解】（2）当感染者在同一组时，25Xk=+，10Yk=+

，此时()135521021055555101055CCCC4CCC101kkkkkPXk−−−==−，()18101010210101010101010101010CCCC9CCC101kkkkkPYk−−−

==−，当感染者不在同一组时，210Xk=+，20Yk=+，此时4()1101PXk=−−，9()1101PYk=−−，所以4420()(25)(210)(1)210101101101EXkkkkkk=+++−=+−−−−，999

0()(10)(20)(1)20101101101EYkkkkkk=+++−=+−−−−，令()()0EYEX−得210101800kk−+，又*kN可解得19k，综上可得当10k时，

采取“10合1检测法”更适宜.21.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的左、右焦点分别是1F，2F，其离心率12e=，点P是椭圆C上一动点，12PFF△内切圆半径的最大值为33．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线1PF，2PF与椭圆

C分别相交于点A，B，求证：1212PFPFFAFB+为定值．【答案】（1）22143xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设12PFF△内切圆的半径为r，可得12PFFSrac=+，当P为椭圆的上顶点或下顶点时，12PFF△面积最大，即r最大

，由此得maxbcrac=+，从而得到33bcac=+，结合离心率和椭圆,,abc关系可构造方程组求得结果；（Ⅱ）设()00,Pxy，当00y时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出01yy和02yy，代入1212PFPFFAFB+整理可得定值103；当00y=时，

易求1212103PFPFFAFB+=，由此可得结论.【小问1详解】设12PFF△内切圆的半径为r，则()12121212PFFPFPFFFrS++=，1212222PFFPFFSSracac==++，当12PFF△的面积最大时，12PFF△内切

圆的半径r最大，则当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，12PFF△的面积最大，最大值为122cbbc=，r的最大值为bcac+，33bcac=+.由2223312bcaccaabc=+==+得：231ab

c===，椭圆C的标准方程为：22143xy+=．【小问2详解】设()00,Pxy，()11,Axy，()22,Bxy，①当00y时，设直线1PF，2PF的直线方程分别为11xmy=−，21xmy=+，由1221143xmyxy=−+=得：()221134690m

ymy+−−=，0121934yym=−+，0101xmy=−，0101xmy+=，001523yxy+=−，同理由2221143xmyxy=++=可得：002523yxy−=−，1200001212525210333PFP

FyyxxFAFByy+−+=−−=+=；②当00y=时，直线1PF，2PF与x轴重合，则则1212110333PFPFFAFB+=+=；综上所述：1212PFPFFAFB+为定值103．【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求

解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；④化简所得函数式，消元可得定值.22.已知函数(

)21e22xfxaxax=−−，其中aR.（1）若函数()fx在)0,+上单调递增，求a的取值范围；（2）若函数()fx存在两个极值点()1212,xxxx，当1253e3ln24,e1xx−+−−时，

求2122xx++的取值范围.【答案】（1）1,2−（2）2,e【解析】【分析】（1）由题知()'e20xfxaxa=−−在)0,+上恒成立，进而e2xax+在)0,+上

恒成立，再求函数())e,0,2xgxxx=++的最小值即可得答案.（2）先求得212122exxxx−=++，利用换元法表示出12(1)ln41ttxxt++=−−，通过构造函数法，利用导数，结合1253e3ln24,e1xx−+−−

来求得2122xx++的取值范围.【小问1详解】解：因为()21e22xfxaxax=−−，所以()'e2xfxaxa=−−，因为函数()fx在)0,+上单调递增，所以()'e20xfxaxa=−−在)0,+上恒成立，所以e2xax+在)0,+上恒成

立，故令())e,0,2xgxxx=++，则()()()'21e02xxgxx+=+在)0,+上恒成立，所以()e2xgxx=+在)0,+上单调递增，故()()102gxg=，所以12a，即a的取值范围是1,2−.【小问2详解】解：()

'e2xfxaxa=−−，对函数()()'e,exxhxhx==，设()hx上一点为()00,exx，过点()00,exx的切线方程为()000eexxyxx−=−，将()2,0−代入上式得()0000ee21xxxx−=−−=−，所以过()2,0−的()hx的切线方程为()11121

,eeeeyxyx−=+=+.所以，要使exy=与2yaxa=+有两个交点，则1ea，此时()fx有两个极值点12,xx，且1221xx−−112122112122e20e22,e2e20e2xxxxx

xaxaaxaxxaxaaxa−−−==++=+−−==+，令2122xtx+=+，则()1,t+，所以1122etxxtt−+−=，所以1122lntxxtt−+−=，即12lnln2,211tttxxt

t+=+=−−所以12(1)ln41ttxxt++=−−，.令()()()'212ln(1)ln4,11tttttmtttmt−−+=−−=−，令()()()2'2211212ln,10tttnttttntt−−−=−+==，所以()nt在()1,+上递增.因为()10n=，所

以()0nt在()1,+上恒成立.所以()'0mt在()1,+上恒成立.所以()mt在()1,+上递增.()()53ee23ln24,e1mm−−=−=，所以当()e13ln2,e1mt+−时，2,et，所以2122xx++的取

值范围是2,e.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数()hx过点()2,0−的切线斜率，进而得1ea，再结合极值点的定义得212122exxxx−=++，进而换元2122xtx+=+，求出12(1)ln41ttxxt++=−−，再构造函

数，研究函数的单调性得并结合1253e3ln24,e1xx−+−−得答案.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com