【文档说明】河南省郑州市宇华实验学校2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(30)页，2.255 MB，由管理员店铺上传

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2024学年郑州市宇华实验学校高二年级（下）期末考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案标号．在试题卷上作答无效．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小

题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线l：ykx=和圆()()22:111Cxy−+−=，则“0k=”是“直线l与圆C相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.若01ab，1c，则（

）A.baccB.loglogccabC.sinsinccabD.ccab3.定义函数()1231(0)fxabcxaxbxc=++−−−−，设区间(),mn的长度为nm−，则不等式()0fx解集区间的长度总和为（）A.5B.6C.5abc+++D.6

abc+++4.如图，在60二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若4ABACBD===，则线段CD的长为（）A.43B.16C.8D.425.在ABC中，22AB=，6AC=，BC边上的中线5A

D=，则ABC的面积S为()A.394B.234C.392D.2326.设抛物线24xy=上一点P到x轴的距离为d，点Q为圆22(4)(2)1xy−++=任一点，则dPQ+的最小值为（）A.251−B.2C.3D.47.已知A细胞有0.4

的概率会变异成B细胞，0.6的概率死亡；B细胞有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（）A.一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75B.一个细胞为A细胞，其死亡前是B细胞概率为0.2C.一个细胞为B细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35D

.一个细胞为B细胞，其死亡前是B细胞的概率为0.78.已知数列na满足*1cosπ2,nnanann++=N，若nS为数列na的前n项和，则48S=（）A.408B.672C.840D.1200二、多项选

择题：本题共３小题，每小题６分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知()sincossin2fxxx

x=+，则（）A.()fx图象关于点π,02对称B.()fx的值域为33,22−C.()fx区间()0,50上有33个零点D.若方程()34fx=在()0,t（0t）有4个不同的解ix（1i=，2，3，4），其中1iixx+（1i=，2，3），则1234xxxxt+++

+的取值范围是55π85π,121210.已知函数()()()e,1lnaxfxaxgxxxax==+−，则下列说法正确的是（）A.若()fx有极小值，则(),0a−B.若()gx在()0,+上单调递增，则(,2a

−的的在C.对任意的(),agxR存在唯一零点D.若()()fxgx恒成立，则1,ea+11.甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()EX、()EY，方差为

()DX、()DY，则下列结论正确的是（）A()()5EXEY+=B.()()EXEYC.()()DXDYD.()()DXDY=三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.若函数2142axyaxax+=−+的定义域为R，

则实数a的取值范围是_____________.13.作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前n个内切球的半径和为______．14.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F

、2F，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若12290,2||||MFNMFNF==，则C的离心率为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.A

BC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知coscosaBbAbc−=+.（1）求角A的值；（2）若23,aABC=的面积为3，求,bc.16.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，平面PAD⊥

平面ABCD，//CDAB，90ABC=，4,2ABPAPDCDBC=====.（1）若点M为棱AB的中点，求二面角APDM−−的余弦值；.（2）若(0)DNDP=，设直线BN与平面ABCD，平面PAD所成的角分别为,，求sinsin+的最大值

.17.已知抛物线()2:20Eypxp=，O是坐标原点，过()4,0的直线与E相交于A，B两点，满足OAOB⊥．（1）求抛物线E的方程；（2）若()0,2Px在抛物线E上，过()4,2Q−的直线交抛物线E于M，N两点，直线PM，PN的

斜率都存在，分别记为1k，2k，求12kk的值．18.为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在)80,90分内的市民获二等奖，成绩

在90,100分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．（2）若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布()2,N，其中12，为样本平均

数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大

于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6827PX−+，(

)220.9544PX−+，()330.9973PX−+．19.已知函数()()213ln,fxxaxaR=+−.（1）求函数()fx图象经过的定点坐标；（2）当1a=时，求曲线()fx在点(1,(1))f处切线方程及函数()fx

单调区间；的（3）若对任意1,xe，()4fx恒成立，求实数a的取值范围.2024学年郑州市宇华实验学校高二年级（下）期末考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号

、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每道选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答

案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．1.已知直线l：ykx=和圆()()22:111Cxy−+−=，则“0k=”是“直线l与圆C相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据直线和圆相切求

得k的值，由此求得正确答案.【详解】圆()()22:111Cxy−+−=的圆心为()1,1，半径为1，若直线,0ykxkxy=−=与圆C相切，则2111kk−=+，解得0k=.所以“0k=”是“直线l与圆

C相切的充要条件.故选：C2.若01ab，1c，则（）A.baccB.loglogccabC.sinsinccabD.ccab【答案】D【解析】【分析】构造函数xyc=，根据函数的单调性判断A选项；构造函数logcyx=()0x，根据函数的单调性判断B

选项；构造函数sinyx=，根据函数的单调性判断C选项；构造函数cyx=，根据幂函数的性质，判断D选项.【详解】A：构造函数xyc=，因为1c，所以xyc=为增函数，又因为01ab，则有bacc，所以A错误；B：构造函数logcyx=()0x，因为1c，所

以logcyx=()0x为增函数，又因为01ab，则有loglogccab，所以B错误；C：因01ab，所以111ab，又1c，则1ccab，构造函数sinyx=，当1x时，函数sinyx=不单调，所以无法判断sinca与s

incb的值的大小，C错误；D：构造函数cyx=，因为01,1abc，所以函数cyx=在()0,+上单调递增，有ccab，D正确.故选：D.3.定义函数()1231(0)fxabcxaxbxc=++−−−−，设区间(

),mn的长度为nm−，则不等式()0fx解集区间的长度总和为（）A.5B.6C.5abc+++D.6abc+++【答案】B【解析】【分析】根据()fx的图象，记()fx的三个零点为123,,xxx，则()0fx解集区间的长度总和为()()()()()123123xaxbxcxxxabc−+

−+−=++−++，对函数()fx进行通分再结合函数零点，利用对应相等即可得解.【详解】为画出()fx的图象，记()fx的三个零点为123,,xxx，则()0fx解集区间的长度总和为()()()()()123123xaxbxc

xxxabc−+−+−=++−++，通分得()()()()()()()()()()()()()23xbxcxaxcxaxbxaxbxcfxxaxbxc−−+−−+−−−−−−=−−−，记()()()()()()()()()()23pxxbxcxaxcxaxbxaxbxc=−−+−−+−−−−−−

①，()px的三个零点为123,,xxx，则()()()()123pxxxxxxx=−−−−②，对比①②两式中2x的系数得，()123123abcxxx+++++=++，故区间长度总和()()1236xxxabc++−++=.故选：B4.如图，在60二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别

在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若4ABACBD===，则线段CD的长为（）A.43B.16C.8D.42【答案】D【解析】【分析】分别过点A、点D作BD、AB的平行线相交于点E，连接CE，则由题意可知AC

E为等边三角形，CDE为直角三角形，求解CD即可.【详解】分别过点A、点D作BD、AB的平行线相交于点E，连接CE，则四边形ABDE为平行四边形.线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.ACAB⊥，AEA

B⊥则CAE为二面角的平面角，即60CAE=4ABACBD===4ACBDAEABDE=====，如图所示.ACE为等边三角形，4CE=ACDE⊥，AEDE⊥，ACAEA=，AC平面ACE，AE平面ACEDE⊥平面ACE又CE平面ACEDECE⊥在RtC

DE中22224442CDCEDE=+=+=故选：D【点睛】本题考查空间的距离问题，属于中档题.5.在ABC中，22AB=，6AC=，BC边上的中线5AD=，则ABC的面积S为()A.394B.234C.392D.232【答案】C【解析】【分析】延长AD到点E使DE

AD=，连接CE，根据ABDECD可得ABC面积等于ACE△的面积，利用余弦定理求出cosACE，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案．【详解】如图所示，延长AD到点E使DEAD=，连接CE，又∵,BDDCADB

CDE==，∴ABDECD(SAS)，∴22,25,CEABAEABC===的面积等于ACE△的面积．在ACE△中，由余弦定理得22268203cos242622ACCEAEACEACCE+−+−===−，又0

πACE，则313sin1164ACE=−=，∴111339sin6222242ABCACESSACCEACE====．故选：C．6.设抛物线24xy=上一点P到x轴的距离为d，点Q为圆22(4)(2)1xy−++=任一点，则dPQ+的最小值为

（）A.251−B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案.【详解】因为222xy=，则抛物线焦点坐标为()0,1，准线方程为1y=−，则1dPF+=，即1dPF=−，所以1dPQPFPQ+=−+，则要

使其最小，则需PFPQ+最小，因为圆22(4)(2)1xy−++=的圆心为()4,2−，半径1r=，所以()22142113dPQPFPQr+=−++−−−−=.故选：C.7.已知A细胞有0.4的概率会变异成B细胞，0.6的概率死亡；B细胞有0.5的概率变异成A细胞，0

.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（）A.一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75B.一个细胞为A细胞，其死亡前是B细胞的概率为0.2C.一个细胞为B细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35D.一个细胞为B细胞，其死亡前是B细胞的概率为0.7【答案】A【解析】【分

析】设n次为X（A或B）细胞的概率为nP，可知2n+次为X细胞概率2105045nnP..P+==，设n次为A细胞的概率为na，为B细胞的概率为nb，则n次细胞死亡的概率3152nnab+，对于AB：可知12121005na

,a,b,b====，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解；对于CD：可知12110102na,a,b,b====，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解.【详解】设n次为X（A或B）细胞的概率为nP，则一次变异不为X细胞，两次变异为

X细胞，可知2n+次为X细胞概率210.50.45nnnPPP+==，设n次为A细胞的概率为na，为B细胞的概率为nb，则n次细胞死亡的概率3152nnab+，对选项AB：若一个细胞为A细胞，可知奇数次为A细胞，偶数

次为B细胞，则12121005na,a,b,b====，可得121,50,nnnan−=为奇数为偶数，120,21,55nnnbn−=为奇数为偶数，则A细胞死亡的概率为13313155415iia+===−，B细胞死亡的

概率为121115122415iib+===−，可得细胞死亡的概率为31144+=，所以其死亡前是A细胞的概率为340751.=，其死亡前是B细胞的概率为140251.=，故A正确，B错误；对选项CD：若一个细胞为B细

胞，可知奇数次为B细胞，偶数次为A细胞，则12110102na,a,b,b====，可得120,11,25nnnan−=为奇数为偶数，121,50,nnnbn−=为奇数为

偶数，则A细胞死亡的概率为113332155815iia+===−，B细胞死亡的概率为11115122815iib+===−，可得细胞死亡的概率为35188+=，所以其死亡前是A细胞的概率为38037

51.=，其死亡前是B细胞的概率为5806251.=，故CD错误；故选：A.8.已知数列na满足*1cosπ2,nnanann++=N，若nS为数列na的前n项和，则48S=（）A.408B.672C.840D.1200【答

案】D【解析】【分析】根据条件得到*22282,kkaakk++=+N和23212,kkaak+++=N，再分组求和，即可求出结果.【详解】由*1cosπ2,nnanann++=N，所以213243542,4,6,8,aaaaaaaa−=+=−=

+=当*2,nkk=N时，()212212cos2π4kkkkakaaak+++=+=，当*21,nkk=+N时，()22212221cos21π42kkkkakaaak++++++=−=+，两式相加，得*22282,kkaakk++=+N，所以()()()246482

4684648aaaaaaaaaa++++=++++++()()1231281352321282411762+=+++++=+=．当22,nkk=+N时，()23222322cos22π44kkkkakaaak++++++=+=+．由222142kkaak+

+−=+，两式相减，得23212,kkaak+++=N，所以()()()135471357454721224aaaaaaaaaa++++=++++++==，所以123481176241200aaaa++++=+=．故481200S=.故选：D．二、多项选

择题：本题共３小题，每小题６分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9.已知()sincossin2fxxxx=+，则（）A.()fx的图象关于点π,02

对称B.()fx的值域为33,22−C.()fx在区间()0,50上有33个零点D.若方程()34fx=在()0,t（0t）有4个不同的解ix（1i=，2，3，4），其中1iixx+（1i=，2，3），则

1234xxxxt++++的取值范围是55π85π,1212【答案】AB【解析】【分析】根据题意可得()()πfxfx−=−，从而可对A判断；由题意可得()()2πfxfx+=，则2π为()fx的一个周期，不妨讨论0,2π内的值域情况，从而可对B判断；令()0fx=，可得sin0

x=或cos0x=，即1π2xk=（kZ），从而可对C判断；根据()34fx=分情况讨论得到29π49π1212t，12345πxxxx+++=，从而可对D判断.【详解】对A：由()()()()()()()πsin

πcosπsin2πsincossin2sincossin2fxxxxxxxxxxfx−=−−+−=−−=−−=−，所以()()π0fxfx−+=，则()fx图象关于π,02对称，故A正确；对B：由()sincossin2sincos2

sincosfxxxxxxxx=+=+，因为()()()()()2πsin2πcos2πsin24πsincos2sin2fxxxxxxxfx+=++++=+=，所以()fx的一个周期为2π，不妨讨论0,2π一个周期的值域情况，的当π02x，此时sin0,cos0xx，则()113s

incossin2sincossin2sin2sin2sin2222fxxxxxxxxxx=+=+=+=，因为π0,2x，所以20,πx，则sin20,1x，则()30,2fx

；当ππ2x，此时sin0,cos0xx，则()113sincossin2sincossin2sin2sin2sin2222fxxxxxxxxxx=+=+=+=，因为π,π2x，所以(2π,2πx，则

sin21,0x−，则()3,02fx−，当3ππ2x，此时sin0,cos0xx，则()111sincossin2sincossin2sin2sin2sin2222fxxxxxxxxxx=+=−+=−+

=，因为3ππ,2x，所以(22π,3πx，则sin20,1x，则()10,2fx，当3π2π2x，此时sin0,cos0xx，则()111sincossin2sincossin2sin2sin2sin2222

fxxxxxxxxxx=+=−+=−+=，因3π,2π2x，所以(23π,4πx，则sin21,0x−，则()1,02fx−，综上所述()33,22fx−，故B正确；对C：()()cossin2sinfxxxx=+，令()0fx=得si

n0x=或cos0x=，可得1π2xk=（kZ），所以31π502，32π502，所以()fx在()0,50上有31个零点，故C错误；对D：()fx是以2π为周期的周期函数，当(0,πx时()33,22f

x−，则()34fx=在(0,π上有2个实根1x，2x，且1x与2x关于π4x=对称，所以12π2xx+=；当(π,2πx时()11,22fx−，则()34fx=在(π,2

π上没有实根，则()34fx=在(2π,3π上有2个实根3x，4x，且3x与4x关于9π4对称，且349π2xx+=，为且3π2π12x=+，45π2π12x=+，当(3π,4πx时()11,22fx−，则()34fx=在(π,2π上没有实根，当(

4π,5πx时，()34fx=有2个实根，但()fx只需有4个零点，所以29π49π1212t，又因为12345πxxxx+++=，所以1234xxxxt++++的取值范围是89π109π,1212

，故D错误，故选：AB．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10.已知函数()()()e,1lnaxfxaxgxxxax==+−，则下列说法正确的是（）A.若

()fx有极小值，则(),0a−B.若()gx在()0,+上单调递增，则(,2a−C.对任意的(),agxR存在唯一零点D.若()()fxgx恒成立，则1,ea+【答案】BCD【解析】【分析】对于A，对函数求导后，当0a时求函数的极值判断，对于B

，由题意可得()0gx在()0,+上恒成立，转化为1lnxaxx++在()0,+上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最小值即可，对于C，由()0gx=，得()1lnxxax+=，构造函数()()1lnxxmxx+=，利用导数判断其单调性进行分析判断

，对于D，由()()fxgx，得()()lne1e1lnaxxaxx++，令()()e1xnxx=+，利用导数判断其在R上单调递增，则有lnaxx，再转化为lnxax，再构造函数利用导数求出其最小值即可.【详解】对于A，()()2eee1axaxaxfxaaxaax=+=+，当0

a时，当1xa−时，()0fx，当1xa−时，()0fx，所以()fx在1,a−−上单调递减，在1,a−+上单调递增，所以()fx有极小值，故A错误．对于B，若()gx在()0,+上单调递增，则()0gx在()0,+

上恒成立，所以()1ln0xgxxax+=+−，即1lnxaxx++．令()1lnxhxxx+=+，则()22111xhxxxx−=−=，所以()hx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，所以()min()12hxh==，所以2a，

故B正确．对于C，令()()1ln0gxxxax=+−=，则()1lnxxax+=．令()()1lnxxmxx+=，则()21ln0xxmxx+−=，所以()mx在()0,+上单调递增．因为()10m=

，且当0x→时，()mx→−，当x→+时，()mx→+，所以ya=与曲线()ymx=只有一个交点，即()gx存在唯一零点，故C正确．对于D，由()()fxgx，得()e1lnaxaxxxax+−，即()()()lne11lne1lnaxxaxxxx++=+．令()()

e1xnxx=+，则()()lnnaxnx．()e1exxnxx=++，令()()e1exxtxnxx=++=，则()()2extxx=+，当<2x−时，()0tx，当2x−时，()0tx，所以()

nx在(),2−−上单调递减，在()2,−+上单调递增，所以()()21210enxn−=−，所以()nx在R上单调递增．因为()()lnnaxnx，所以lnaxx，所以lnxax，令ln()(0)xxxx=，则21ln()(0)xxxx−=，当0

ex时，()0x，当ex时，()0x，所以()x在()0,e上递增，在()e,+上递减，所以maxlne1()(e)eex===，所以1ea，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点点睛：此题考查导数

的综合问题，考查函数的极值问题，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，再利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.11.甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从

甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()EX、()EY，方差为()DX、()DY，则下列结论正确的是（）A.()()5EXEY+=B.()()EXEYC.()()DXDYD.()(

)DXDY=【答案】ABD【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5XY+=，利用期望值和方差性质可得A，D正确，C错误；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得()

2.4EX=，()()52.6EYEX=−=，可得B正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,XY，不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5XY+=，对于A，由期望值性质可得()()()55EXEYEY=−=−，即()()5EXEY+=，所

以A正确；对于B，易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4；当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255CC105CC100PXPY=====，当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙

袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()11112223232222225555CCCCCC12314CCCC10025PXPY====+==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1

个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555CCCCCCCC422123CCCCCC10050PXPY====++

==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555CCCCCC36932CCCC10025PXPY====+==；当从甲袋中取

出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255CC941CC100PXPY=====，随机变量X的分布列为X01234P110032521509259100所以期望值()132199012342.4100255025100EX=+++

+=，可得()()52.6EYEX=−=，即()()EXEY，可得B正确；对于C，D，由方差性质可得()()()()()251DYDXDXDX=−=−=，即可得()()DXDY=，所以C错误，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机

变量满足5XY+=，利用期望值和方差性质可判断出AD选项，再求出随机变量X的分布列可得结论.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12.若函数2142axyaxax+=−+的定义域为R，则实数a的取值范围是_____________.【答案】10,2

【解析】【分析】利用函数的定义域为R,转化为2420axax−+恒成立,然后通过分类讨论0a和0a=两种情况分别求得a的取值范围，可得解.【详解】2142axyaxax+=−+的定义域为R，是使24

20axax−+在实数集R上恒成立.若0a时,要使2420axax−+恒成立,则有0a且0,即()24420aa=−−,解得102a.若0a=时，2420axax−+化为20，恒成立，所以0a=满足题意，所以10

2a故答案为：10,2.13.作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前n个内切球的半径和为______．【答案】1313n−【解析】【分析】根据正四面体的结构特征分

析可知1134rRh==，设第n个内切球的半径为nr，可知nr是以首项12r=，公比13q=的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】对于边长为a的正四面体−PABC，设正四面体的外接圆半径为R，内切圆半径为r，高为h，令G为正三角形ABC的中心，O为正四面体

−PABC的中心，则OPG，且PG⊥平面ABC，可知2236,33AGaPGPAAGa==−=，因为OAOPR==，OGr=，且()222OAAGPGOA=+−，即2223633OAaaOA=+−，解得64OAa=，612OGa=可知1134rRh==，设第n个

内切球的半径为nr，第n个外接球的半径为nR，则12r=，nnRr=，可得11133nnnrRr+==，可知nr是以首项12r=，公比13q=的等比数列，所以前n个内切球的半径和为12131311313nn−=−−.故答案为：1313n−

.14.设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，点M、N在C上（M位于第一象限），且点M、N关于原点O对称，若12290,2||||MFNMFNF==，则C的离心率为______.【答案】53【解

析】【分析】根据几何分析确定四边形12MFNF为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率.【详解】依题意，作图如下，因为点,MN关于原点O对称，所以O为MN的中点，且O为12FF的中点，190NMF=，所以四边

形12MFNF为矩形，由222MFNF=，设21,2,MFxMFx==由椭圆的定义知，212,MFMFa+=解得：2124,,33aaMFMF==所以()22224233aac+=

整理得：259e=，因为01e，所以53e=，故答案为：53.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知coscosaBbAbc−=+.（1）求角A的值

；（2）若23,aABC=的面积为3，求,bc.【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】coscosaBbAbc−=+，由正弦定理可得：sincossincossinsinABBABC

−=+，sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+，sincossincossinsincoscossinABBABABAB−=++，即2sincossinBAB−=，sin0B，1cos2A=−，(0,π)A，2π3A=.【小问2详

解】由题意，13sin324ABCSbcAbc===△，所以4bc=，由222222cosabcbcAbcbc=+−=++，得()2216bcabc+=+=，所以4bc+=，解得：2bc==.16.如图，在四棱锥PABCD−中，底面

ABCD直角梯形，平面PAD⊥平面ABCD，//CDAB，90ABC=，4,2ABPAPDCDBC=====.（1）若点M为棱AB的中点，求二面角APDM−−的余弦值；（2）若(0)DNDP=，设直线BN与平面ABCD，平面PAD所成的角分

别为,，求sinsin+的最大值.【答案】（1）33（2）62【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明出PAD为等腰直角三角形，由面面垂直得到线面垂直，得到,,POMOAD两两垂直，建立空间直角坐标系，写出

点的坐标，求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；（2）表达出(2,2,2)BN=−+，从而得到sin,sin，表达出21sinsin6421(2)2+−+++=，求出最值.为【小问1详解】连接DM，因为4AB=，所以2AMMB==，又//CDAB，2CDBC==，所以四

边形BCDM为菱形，又90ABC=，故菱形BCDM为正方形，故2DM=，由勾股定理得2222ADAMDM=+=，因为2PAPD==，所以222PAPDAD+=，由勾股定理逆定理得PA⊥PD，故PAD为等腰直角三角形，取AD的

中点O，连接,POMO，则PO⊥AD，因平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，又2AMDM==，所以MO⊥AD，2MODO==，故,,POMOAD两两垂直，以O为坐标原点，,,OMODDP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，()()()(

)0,2,0,0,0,2,0,2,0,2,0,0APDM−，平面APD的法向量为()1,0,0m=，设平面PDM的法向量为(),,nxyz=r，则()()()(),,0,2,2220,,2,0,2220nPDxyzyznPMxyzxz=−=−==−=−=，令1z

=，则1xy==，故()1,1,1n=，故()()1,0,01,1,13cos,33mnmnmn===，设二面角APDM−−的大小为，由图形可知，为锐角，为故二面角APDM−−的余弦值3cos3=；【小问2详解】由（1）知，(2,2,0),(1,1,2)BDDP=

=−.所以(2,2,2)BNBDDNBDDP=+=+=−+，平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)t=，由（1）知，平面PAD的一个法向量为(1,1,0)m=，所以22222224(2)(2)22(2)(2)

2=+−+++−+++2221642221(2)2+==+−+++，所以当1123=+，即1=时，sinsin+有最大值62.17.已知抛物线()2:20Eypxp=，O是坐标原点，过(

)4,0的直线与E相交于A，B两点，满足OAOB⊥．（1）求抛物线E的方程；（2）若()0,2Px在抛物线E上，过()4,2Q−的直线交抛物线E于M，N两点，直线PM，PN的斜率都存在，分别记为1k，2k，求12kk

的值．【答案】（1）24yx=（2）43−【解析】【分析】（1）设AB的直线方程为：14=+xmy，()11,Axy，()22,Bxy，联立方程，利用韦达定理求出12yy，再根据OAOB⊥，可得12120xxyy+=，求出p，即可得解；（2）先求出点P的坐标

，设MN的直线为24=++xmym，()33,Mxy，()44,Nxy，联立方程，利用韦达定理求出34yy+，34yy，再利用斜率公式化简整理即可得解.【小问1详解】当直线AB的斜率为0时不成立，设AB的直线方程为：14=+xmy，()11,Axy，()22,Bxy，联立21

24ypxxmy==+，消去x得21280−−=ypmyp，则2214320pmp=+恒成立，故128yyp=−，又2112yxp=，2222yxp=，故222121222641644===yypxxp

p，又OAOB⊥，则12120xxyy+=，故1680−=p，解得2p=，故抛物线E的方程是24yx=；【小问2详解】因为24yx=，()0,2Px在抛物线上，故01x=，则()1,2P，当直线MN的斜率为0时不成立，设MN的直线为24=++xmym，()3

3,Mxy，()44,Nxy，联立2424yxxmym==++，消去x得：248160−−−=ymym，则344yym+=，34816=−−yym，因为33123332241214−−===−+−yykyxy，44224442241214−−

===−+−yykyxy，则()()()1234343444161642224816843kkyyyyyymm====−+++++−−++，故12kk的值为43−．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）

从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18.为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分

，成绩在)80,90分内的市民获二等奖，成绩在90,100分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）现从该样本中随机抽取2名市民

的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．（2）若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布()2,N，其中12，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市

所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6827P

X−+，()220.9544PX−+，()330.9973PX−+．【答案】（1）48175（2）①该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68；②分布列见解析，2【解析】【分析】（1）先根据频率分布直方图求出

抽取的50名市民中有8人获奖，42人没有获奖，再利用组合知识求出古典概型的概率；（2）①计算出样本平均数的估计值，得到X近似服从正态分布()269,12N，利用3原则，求出特殊区间的概率和对应的市民数；

②求出14,2B，得到分布列，计算出期望值.【小问1详解】由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有0.00610503=（人），获二等奖的有0.01010505=（人），所以有8人获奖，42人没有获奖．从该样本中随机抽取2名市民的成绩，样

本点总数为250C．设抽取的2名市民中恰有1名市民获奖为事件A，则事件A包含的样本点的个数为11428CC．由古典概型概率计算公式，得()11842250CC48C175PA==，所以抽取的2名市民中恰有1名市民获奖的概率为48175．【小问2详解】由样本频率分布直方图，得样本平均数的估计值45

0.00610550.01210650.04010750.02610850.01010=++++950.0061069+=．故该市所有参加试卷竞答的市民成绩X近似服从正态分布()269,12N．①因为293+=，所以()10

.9544930.02282PX−=．0.0228300068，故该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68．②由69=，得()1692PX=，即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，其成绩不低于69分的概率为12，所以随机变量14,2B．随

机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．()04041110C12216P==−=，()13141111C1224P==−=，()22241132C1228

P==−=，()31341113C1224P==−=，()40441114C12216P==−=，随机变量的分布列如下：01234P116143814116所以()1422E==．19.已

知函数()()213ln,fxxaxaR=+−.（1）求函数()fx图象经过的定点坐标；（2）当1a=时，求曲线()fx在点(1,(1))f处的切线方程及函数()fx单调区间；（3）若对任意1,xe，()4fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(1,4)（2）见

解析（3）2(1)43ea+−.【解析】【详解】试题分析：（1）当1x=时，ln10=，，则()14f=，，即可求得顶点坐标；（2）当1a=时，()()213lnfxxx=+−，对()fx求导，分别求出()1

f与()'1f，即可得切线方程，再根据导函数的正负，即可求出函数()fx单调区间；（3）对函数()fx求导，讨论0a和0a时，函数()fx的单调性，进而求出()maxfx，即可求出实数a的取值范围.试题解析：（1）当1x=时

，ln10=∴()14f=，∴函数()fx的图象无论a为何值都经过定点()1,4.（2）当1a=时，()()213lnfxxx=+−.()14f=，()3'22fxxx=+−，()'11f=，则切线方程为()411yx−=−，即3yx=+.在()0,x+时，如果()3'220fxxx=+−

，即71,2x−+时，函数()fx单调递增；如果()3'220fxxx=+−，即710,2x−时，函数()fx单调递减.（3）()23223'22axxafxxxx+−=+−=

，0x.当0a时，()'0fx，()fx在1,e上单调递增.()()min14fxf==，()4fx不恒成立.当0a时，设()2223gxxxa=+−，0x.∵()gx的对称轴为12x=−，()

030ga=−，∴()gx在()0,+上单调递增，且存在唯一()00,x+，使得()00gx=.∴当()00,xx时，()0gx，即()'0fx，()fx在()00,x上单调递减；∴当()0,xx+时，()0gx，即()'0fx，()fx在()0,x+上单

调递增.∴()fx在1,e上的最大值()()()maxmax1,fxffe=.∴()()144ffe，得()2134ea+−，解得()2143ea+−.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调

性与不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(()maxafx可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③讨论最值()min0fx或()max0fx恒成立.