【文档说明】山东省潍坊市四县2023届高三下学期5月高考模拟数学试题 word版含解析.docx，共(27)页，1.473 MB，由小赞的店铺上传

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2023年全国普通高考模拟试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3．如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，()1

i2z+=，则z=（）A.1i+B.1i−C.1i−+D.1i−−【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求解.【详解】解：由()1i2z+=，得()()()21i21i1i1i1iz−===−++−，故选：B2.已

知集合1,0,1A=−，2|1,1BmmAmA=−−，则集合B中所有元素之和为（）A.0B.1C.－1D.2【答案】C【解析】【分析】根据题意列式求得m的值，即可得出答案.【详解】根据条件分别令211,0,1m−=−，解得0,1,2m=，又1mA−，

所以1,2m=−，1,2,2B−=−，所以集合B中所有元素之和是1−，故选：C．3.已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥内切球的表面积为（）A.4πB.8πC.16πD.32π【答案】B【解析】【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.【详解】圆

锥与内切球的轴截面图如图所示，设点O为球心，内切球半径为r，,DE为切点，ODOEr==，由条件可知，2BEBD==，所以()224226AB=+=，ADO△中，222AOADDO=+，即()()2224262rr−=−+，解得2r=，所以圆锥内切球

表面积24π8πSr==.故选：B4.函数()()2ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点个数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】函数()()²ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点的个数，转化为方程()2ln230xxx−−=在区间

22−,上的根的个数.【详解】求函数()()²ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点个数，转化为方程()2ln230xxx−−=在区间22−,上的根的个数.的的由()2ln230xxx−−=，得20xx−=或l

n230x−=，解得：0x=或1x=或2x=，所以函数()()²ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点个数为3.故选：A.5.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它

体现了数学的对称美，如图所示，这是一个“阿基米德多面体”花岗岩石凳，它是将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到．已知此石凳的体积为322.5dm，则此石凳的棱长（单位：cm）为（）A.15B.152C.20D.202【答

案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为2cma，则石凳的棱长为2cma，根据石凳的体积得到方程，求出a的值，即可得解.【详解】设正方体的棱长为2cma，则石凳的棱长为2cma，因为由正方体沿各棱中点截去8个三

棱锥所得到的，所以该几何体的体积为()333112822.51032aa−=，解得15a=，所以石凳的棱长为152cm.故选：B6.数列1，3，2，…中，21nnnaaa++=−，则20232024aa+=（）A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】【分析】利用21nnnaaa

++=−推导出6nnaa+=，即数列na具有周期，利用数列的周期性可求得2023a和2024a的值.【详解】因为21nnnaaa++=−，所以()32111nnnnnnnaaaaaaa+++++=−=−−=−，所以()63N

nnnaaan++=−=，所以数列na的周期为6，因为202363371=+，202463372=+，所以202311aa==，202423aa==，所以202320244aa+=.故选：

C7.已知函数()fx，()gx及其导函数()fx，()gx的定义域均为R，()21fx+为奇函数，()1gx−关于直线1x=对称，则（）A.()()()()11fgfg−=−B.()()()()13gfgf−=−C.()()()()11fgfg−=D.()()()()13gfgf−=

【答案】D【解析】【分析】由()21fx+为奇函数得()()11fxfx−=−+，由()1gx−关于直线1x=对称得()gx为偶函数，对于选项A，由()gx为偶函数满足()()11gg−=即可判断；对于选项B，由(

)()11fxfx−=−+得()()13ff−=−即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切线的对称性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D，由()()11fxfx−=−+得到()1fx+的对称性，从而

得到导数的关系即可判断.【详解】解法一：由()21fx+为奇函数得()()2121fxfx−+=−+，令21tx=−+，则12tx−=，所以()()12122tftfft−=−+=−−，即()()=2fxfx−−，所以()()()()1211fxfxfx−=−−−=−+；因为(

)1gx−关于直线1x=对称，所以()gx关于y轴对称，即()gx为偶函数，所以()()gxgx−=.对于选项A，因为()gx为偶函数，所以()()gxgx−=，所以()()()()()()111fgfgfg−=−，故选项A错误.对于选项B，

由()()11fxfx−=−+得()()()()112123ffff−=−=−+=−，所以()()()()()()()()1333gfgfgfgf−=−=−，故选项B错误.对于选项C，因为()gx的图像关于y轴对称，所以y轴左右两边对称点的切线关于y轴对

称，所以切线的斜率互为相反数，即()()gxgx−=−，所以()()11gg−=−，所以()()()()()()111fgfgfg−−=，故选项C错误.对于选项D，因为()()11fxfx−=−+，所以

()fx关于点()1,0中心对称，因为1312−+=，所以()1f−和()3f关于点()1,0对称，所以()fx在=1x−和3x=处切线的斜率相等，即()()13ff−=，所以()()()()13

gfgf−=，故选项D正确.故选：D.8.已知双曲线2222:1xyEab−=（0,0ab）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率

为（）A.2B.52C.5D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意可得P为线段FM的中点，N为线段PN的中点，设,bMmma−，从而可得出,PN的坐标，再根据点N在渐近线byxa=上，求出m，再根据点P在双曲线2222:1xyEab−=，得出,,abc的齐次式即可得解.【详解】

由题意，点M在渐近线byxa=−上，点N在渐近线byxa=上，设,bMmma−，(),0Fc−因为P，M恰为线段FN的三等分点，所以P为线段FM的中点，N为线段PN的中点，则,22mcbmPa−−，则2,22mcbmbmNmaa−

−−+，即33,22mcbmNa+−，又点N在渐近线byxa=上，所以3322mcbbmaa+=−，所以16mc=−，故7,1212cbcPa−，因为点P在双曲线2222:1xyEab−=，所以2222491

144144ccaa−=，所以223ac=，所以3==cea.故选：D.【点睛】关键点点睛：设,bMmma−，由P为线段FM的中点，N为线段PN的中点，得出,PN的坐标，再根据点N在渐近线byxa=上，求出m

，是解决本题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研

究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数

据：122024,,,aaa（1232024aaaa）记其均值为m，中位数为k，方差为2s，则（）A.1012ka=B.10121013amaC.新数据：12320242,2,2,,2aaaa++++的

均值为m＋2D.新数据：123202421,21,21,,21aaaa++++的方差为24s【答案】CD【解析】【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项；利用均值和方差公式可判断CD选项.【详解】对于A选项，因

1232024aaaa，样本数据最中间的项为1012a和1013a，由中位数的定义可知，101210132aak+=，A错；对于B，不妨令nan=()820241,2,,2023,100na==，则

10131013ma=，B错误；对于C，数据12320242,2,2,,2aaaa++++的均值为：()202420241122220242024iiiiaam==+=+=+，C正确；对于D，数据123202421,

21,21,,21aaaa++++的均值为：()202420241121212120242024iiiiaam==+=+=+，其方差为()()()202420242221121214420242024iiiiamams==+−+−==，D对.故选：CD10.已知点O为

△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（）A.若O为AD中点，则()12AOOBOC=+B.若O为AD中点，则3142OBABAE=−C.若O为△ABC的重心，则0OBOE+=D.若O为△ABC的外心，且BC＝4，则8OBBC

=−【答案】ABD【解析】【分析】由O为AD中点，结合平面向量的加法法则即可判断A，B；由重心的性质即可判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D．【详解】对于A，因为O为AD中点，所以()12AOODOBOC==+，故A正确

；对于B，由O为AD中点，则()11131312224444OBOAABADABABACABABACABAE=+=−+=−++=−=−，故B正确；对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得2OBEO=，所以OBOEOE+=−，故C错误；对于D，若点O为△A

BC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得ODBC⊥，故()2182OBBCODDBBCBC=+=−=−，故D正确．故选：ABD．11.已知点P是圆()()222:34Cxyr−+−=上一点，()1,0A−

，()10B,，则以下说法正确的是（）A.若直线AB与圆C相切，则4r=B.若以A，B为直径的圆与圆C相切，则4r=C.若0PAPB=，则46rD.当1r=时，22PAPB+的最小值为34【答案】ACD【解析】【分析】根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离即为半径，进而即可判断A；根据圆

与圆的位置关系，分圆221xy+=与C外切和内切两种情况讨论即可判断B；设P点的坐标为(),xy，从而得到221xy+=，即圆C与221xy+=有交点，进而即可判断C；设P点的坐标为()3sin,4cos++(为参数)，从而得到()2220sin54PAPB+=++其

中4tan3=，进而即可判断D．【详解】对于A，由()1,0A−，()10B,，则直线AB的方程为:0ABly=，所以圆C的圆心()3,4到直线AB的距离为4d=，又直线AB与圆C相切，所以4r=，故A正确；对于B，由()1,0A−，()10B,，则以A，B为直径的圆方程为：221xy+

=，所以圆C的圆心()3,4到圆221xy+=的圆心()0,0的距离为5，当圆221xy+=与C外切时，有15r+=，得4r=，当圆221xy+=与C内切时，有15r−=，得6r=，故B不正确；对于C，设P点的坐标为(),xy，则(

)1,PAxy=−−−，()1,PBxy=−−，所以()()221,1,10PAPBxyxyxy=−−−−−=−+=，即221xy+=，所以圆C与221xy+=有交点，所以结合选项B可得46r，故C正确；对于D，设P点的坐标为()3sin,4cos+

+(为参数)，则()4sin,4cosPA=−−−−，()2sin,4cosPB=−−−−，所以()2212sin16cos5420sin54PAPB+=++=++，其中4tan3=，所以当()sin1+=−时

，22PAPB+取得最小值，且最小值为34，故D正确．故选：ACD．12.设函数()()1sin2fxx=+其中0，π．若10π09f=，28π192f=，且相邻两个极值点之间的距离大于π，()π0f，设()()()gxfxfx=+，则（）A.14=B

.π6=C.()gx在()3π,4π上单调递减D.()gx在()0,2π上存在唯一极值点【答案】BC【解析】【分析】根据题意求得2π21,4nnZT+==，由21()π2T+，求得22πππ1T=−，得到1

4=或34=，当14=时，求得5π18=−，得到()115πsin2418fxx=−，进而得到()π0f，所以14=不符合题意，，求得34=，可判定A不正确；由34=时，求得2211ππ,6kkZ=−+

，进而可判定B正确；求得()53πsin846xgx++=，结合正弦型函数的性质，可判定C正确、D错误.【详解】由函数()()1sin2fxx=+，因为10π09f=且28

π192f=，可得28π10π2π,N99(21)4Tnn−=+=，可得8π21Tn=+，所以2π21,4nnZT+==因为相邻两个极值点之间的距离大于π，可得21()π2T+，解得224π4T−，所以24π4T−，可得22πππ1T=−，可得14=或34=，当

14=时，()11sin24fxx=+，可得28π1128π1sin92492f=+=，则7πsin19+=，可得7πππ,Z92kk+=+，即5ππ,Z18kk=−+因为π，所以5π18=

−，所以()115πsin2418fxx=−，可得()115πcos8418fxx=−，则()1π5π1ππcoscos08418836f=−=−，因为(

)π0f，所以14=不符合题意，（舍去），所以34=，所以A不正确；当34=时，可得22328πππ,492kkZ+=+，解得2211ππ,6kkZ=−+，因为π，所以π6=，所以B正确；由()13πsin246fxx=+，可得(

)33πcos846fxx=+，所以()()()13π33π53πsincossin246846846gxfxfxxxx=+++=++=+，其中3πtan

,(0,)42=，因为3tan13，可得ππ64，又由()3π,4πx，可得3π29π38π5π7π,(,)46121222x++++，根据正弦函数的性质，可得sinyx=在5π7π(,)22为单调递减函数，所以()gx在()3π,4πx上

为单调递减函数，所以C正确；由()0,2πx，可得3ππ5π,4663x++++，因为ππ64，可得ππ62+且5π3π32+，所以当3ππ462x++=时，即4π493x=−时，函数()gx取得

极大值；当3π3π462x++=时，即4π3x=−时，函数()gx取得极小值，所以()gx在()0,2π上存在一个极大值点和一个极小值点，所以D不正确.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高中学校共有学生3600人，为了解某次

数学文化知识竞赛的得分情况，采用分层抽样的方法从这3600名学生中抽取一个容量为48的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数组成一个以4为公差的等差数列，则该学校高三年级的学生人数为______人．【答案】1500【解析】【分析】由等差数列与分层抽样的概念求解即可.【详解】设从高

二抽取的人数为x，则高一抽取的人数为4x−，高三抽取的人数为4x+.所以348x=，解得16x=，所以高三年级抽取了20人，由分层抽样的概念可知高三年级的学生人数为：203600150048=.故答案为：1500.14.若()()542345012345211xa

axaxaxaxaxx−=+++++++，则1234aaaa+++=______．【答案】45−【解析】【分析】分别令1x=，0x=和求出5a即可求解.【详解】令1x=得401234521aaaaaa++++++=，所以01234515aaaaaa

+++++=−，令0x=得011a+=−，所以02a=−，而55232a==，所以123445aaaa+++=−.故答案为：45−.15.已知抛物线24yx=的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N

两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sinPMN的最小值为______．【答案】12【解析】【分析】先根据题意设出直线l的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理结合抛物线定义求出AB以及P点到y轴的距离，从而表示出s

inPMN，进而求出结果.【详解】由24yx=得(1,0)F，由题意知直线l的斜率不为0，所以设直线l的方程为1xmy=+，1122(,),(,)AxyBxy，联立24,1yxxmy==+消去x得2440ymy−−=，则由韦达定理得124yym+=，所以2124

2xxm+=+，所以21244ABxxpm=++=+，所以2222ABPMm==+，又P点到y轴的距离212212xxdm+==+，所以222211sin12222dmPMNPMmm+===−++，所以当0m=时，sinPMN取得最小值12.故答案为：12.16.已知四面体ABC

D满足ABBC⊥，BCCD⊥，26ABBCCD===，且该四面体的体积为122，则异面直线AD与BC所成的角的大小为______．【答案】π4或π3【解析】【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到32CE=，建立空间直角坐

标系，得到各点坐标，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，11262612232VCE==，解得32CE=，故2224186DECDCE=−=−=，以,,FAFCFG为,,xyz轴建立空间直角坐标系，()26,0,0A，(

)26,26,0B，()0,26,0C，()0,6,32D或()0,36,32D，()26,6,32ADD=−或()26,36,32ADD=−，()26,0,0BC=−，异面直线AD与BC所成的角的大小为，π0,2

，242cos22643ADBCADBC===，π4=；或241cos22646ADBCADBC===，π3=；综上所述：异面直线AD与BC所成的角的大小为π4或π3.故答案为：π4或π3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.17.已知数列na的前n项和为nS，13a=，()1121nnSSnnn−=+−．（1）求数列na的通项公式；（2）令2nnnba=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan=+（2）()+12221nnTn=+−【解析】【分析】（1）

由题意可证得数列nSn是首项为3，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式求出22nSnn=+，再由n≥2时，211−=−nSn，两式相减即可求出数列na的通项公式，再检验1a也符合na；（2）由（1）求出nb，再由错位相减法求出数列nb的前n项和nT．【小问1详解】由于11

3Sa==，()1121nnSSnnn−−=−，131S=，所以数列nSn是首项为3，公差为1的等差数列，所以2nSnn=+，22nSnn=+，当n≥2时，()()2211211nSnnn−=−+−=−，所以()1212nnnaSSnn−=−=+，1a也符合上式，所以

21nan=+【小问2详解】由（1）可得：()221nnbn=+，1231nnnTbbbbb−=+++++，()()1231325272212212nnnTnn−=++++−++，()()23412

32527?2212212nnnTnn+=+++−++两式相减得()123132222222212nnnTn+−=+++−+，()()()31121212621262821212nnnnnTnn−+++−−=+−+=+−−+−所以()+122

21nnTn=+−．18.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2aBcb=−．（1）求A；（2）若△ABC的面积为934，点D在线段BC上，且12BDCD=，求AD的最小值．【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理的边化角及两角和的正

弦公式代入化简已知式即可得出答案；（2）由三角形的面积公式可求出9bc=，再由2133ADABAC=+，两边同时平方结合基本不等式即可得出AD的最小值.【小问1详解】因为2cos2aBcb=−，由正弦定理得2sincos2sinsinABCB=−，所以()()2sincos2sin

sin2sincoscossinsinABABBABABB=+−=+−，所以2cossinsin0ABB−=，又sin0B，所以1cos2A=，因为0πA，所以π3A=；【小问2详解】由（1）3sin2A=，所以1393sin244ABCSbcA

bc===，所以9bc=．点D在线段BC上，且12BDCD=，所以()11213333ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+，则2222222414144142cos999999999AD

ABACABACbcbcAbcbc=++=++=++221426269999bcbcbc+==，所以6AD．当且仅当2214,999,bcbc==即32b=，322c=时等号成立．所以AD的最小值为6．19.如图，线段1AA是圆柱1OO的母线，ABC是圆柱下底面

⊙O的内接正三角形，13AAAB==．（1）劣弧BC上是否存在点D，使得1//OD平面1AAB？若存在，求出劣弧BD的长度；若不存在，请说明理由．（2）求平面1CBO和平面1BAA所成角的正弦值．【答案】（1）存在，劣弧BD长度为3π6（2）13013【解析】【分析】（1）由面面平

行的性质定理即可证明1//OD平面1AAB；求出⊙O的半径，再由弧长公式即可得出答案；（2）如图取BC的中点为M，连接MA，以MB为x轴，MA为y轴，过M作OO1平行线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面1CBO和平面1BAA的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.【

小问1详解】如图过点O作AB平行线OD交劣弧BC于点D，连接1OO，1OD，因为11//OOAA，1AA平面1AAB，1OO平面1AAB，则1//OO平面1AAB，同理可证//OD平面1AAB，1OOODO=，且1OO平面1OOD，OD平面1OOD，

所以平面1//AAB平面1OOD，的的又因为1OD平面1OOD，所以1//OD平面1AAB故存在点D满足题意．因为ABC为底面⊙O的内接正三角形，所以π3BAC=，即π6ABOBOD==，又因为3A

B=，所以⊙O的半径为33π2sin3=，所以劣弧BD长度为π3π62π32π6=；【小问2详解】如图取BC的中点为M，连接MA，以MB为x轴，MA为y轴，过M作OO1平行线为z轴，建立空间直角坐标系，又因为13AAAB==，设AB

中点为N．故()0,0,0M，3,0,02B，330,,02A，3,0,02C−，30,,02O，130,,32O，333,,044N易

知ON⊥平面1AAB，所以平面1AAB的法向量33,,044ON=．设平面1CBO的法向量为(),,nxyz=，又因为130,,32MO=，3,0,02MB=，故10,0,nMOnMB=

=即330,230,2yzx+==的令23y=得()0,23,1n=−所以平面1CBO和平面1BAA夹角的余弦值为33921323134nONnON==．故平面1CBO和平面1BAA夹角的正弦值为13013．20.从某企业生产的产品中随机抽取100件

，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如下样本数据频率分布直方图．（1）估计该企业这种产品质量指标值的平均数x和方差2s；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的

质量指标值X服从正态分布()2,N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s，一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算，若()2,XN，令XY−=，则()0,1YN，且()()aPYa=．（ⅰ）利用直方图

得到的正态分布，求()120PX；（ⅱ）若质量指标值在区间85,135内的为合格品，其余为不合格品，为了保证出厂产品质量，需要对产品进行检查，但直接检查带有破坏性，现在尝试一种新的检查方法，经试验

知一件合格品经检查而获准出厂的概率是0.97，一件不合格品经检查而获准出厂的概率是0.04，求采用新的检查方法后，获准出厂的产品是合格品的概率为多少（精确到0.1%）？参考数据：16212.7，标准正态分布表()aα0.000.010.020.030.040.050.060.070.

080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.

58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.65170.40.65540.65910

.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.7389

0.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.7

9950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.8389【答案】（1）110x=，2162s=（2）（ⅰ）(120)0.7852PX=；（ⅱ）99.

8%【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数和方差的公式即可求解；（2）根据标准正态分布的对称性和条件概率即可求解.【小问1详解】平均数800.01900.101000.261100.301200.201300.101400.03110x=＋＋＋＋＋＋＝，()()

()()22222801100.01901100.101001100.261101100.30s=−+−+−+−()()()2221201100.201301100.101401100.03162+−+−+−=．【小问2详解】（ⅰ）()

120110(120)()(0.79)0.790.785212.7PXPYPY−====，（ⅱ）设A表示产品为合格品，B表示产品获准出厂，则：()0.96PA=，()0.04PA=，()|0.97PBA=，

()|0.04PBA=，故获准出厂的产品是合格品的概率为：()()()()()()()()()|0.960.97|99.8%0.960.970.040.04||PABPAPBAPABPBPAPBAPAPBA===++.2

1.已知椭圆2222:1xyCab+=()0ab长轴长为4，C的短轴的两个顶点与左焦点构成等边三角形．（1）求C的标准方程；（2）直线l与椭圆相交于A、B两点，且2AB=，点P满足PAPB⊥，O为

坐标原点，求OP的最大值．【答案】（1）2214xy+=（2）5【解析】【分析】（1）由题意先得a＝2，再由C的短轴两个顶点与左焦点构成等边三角形计算得b＝1即可；（2）确定P的轨迹为以AB为直径的圆，设圆心为M，由三角形三边

关系将问题转化为OPOMPM+，再分类讨论l斜率存在的情况，斜率不存在时显然|OP|＝1，当斜率存在时，设l的方程并与椭圆方程联立结合韦达定理求OM最值即可.【小问1详解】由题意知，2a＝4，所以a＝2，设C的短

轴两个顶点为DE，左焦点为F1，因为C的短轴两个顶点与左焦点构成等边三角形，如图所示，所以112DObFDa==，所以b＝1，所以C的标准方程为2214xy+=；【小问2详解】由题意PAPB⊥可得P的轨迹为以AB为直径的圆，设圆心为M，半径1MP=，而由三角形三边关系可得1OPOM

PMOM+=+，故M、P、O三点共线时取得OM最大，此时M在OP之间.①当l的斜率不存在时，AB恰为短轴，此时|OP|＝1；②当l的斜率存在时，如图所示，设l：y＝kx＋m．联立221,4,xyykxm+==+

得到()()222148410kxkmxm+++−=，()()()22264161410kmkm=−+−，得22410km−+，得122814kmxxk−+=+，()21224114mxxk−=

+，22224411214kmABkk−+=+=+，得()22231444kmk+=+，则224,1414kmmMkk−++，所以()()()()()222222221613116||414114kmkOMkkk++==+++，令2116kt+=，t≥1，2248

4848||6254518452451818tOMtttt===−+++++，所以51OM−，当且仅当35t=时等号成立，而15OPOMPMOM+=+，当235116k−=时，取得等号，所以|OP|的最大值为5．22.已知函数()22bfxaxa

x=++−()0a的图像在点()()1,1f处的切线与直线210xy++=垂直．（1）,ab满足的关系式；（2）若()2lnfxx在)1,+上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：()()12*111ln2N4knknkn+=−

−.【答案】（1）2ba=−（2）)1,+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）原问题等价于()2ln0fxx−在)1,+上恒成立，令()()2lng

xfxx=−，利用导函数讨论()gx单调性即可求解；（3）利用（2）中结论，当1a=时，11ln2xxx−，令1nxn+=，*Nn，则1111ln21nnnn+++，结合对数的运算性质即可求解.【小问1详解】由题意可得()2bfxax−

=，因为()fx在点()()1,1f处的切线与直线210xy++=垂直，所以()1112f−=−，即()12fab=−=，所以2ba=−.【小问2详解】因为2ba=−，所以()222afxa

xax−=++−，若()2lnfxx在)1,+上恒成立，则()2ln0fxx−在)1,+上恒成立，设()()22ln222lnagxfxxaxaxx−=−=++−−，)1,x+，则()10g=，()()222122aaxxaagxaxxx−−−

−=−−=，①当01a时，21aa−，若21axa−，则()0gx，此时()gx在21,aa−上单调递减，所以()()10gxg=，即()2lnfxx在)1,+不恒成立．②当1a，2

1aa−，当1x时，()0gx，()gx在)1,+上单调递增，又()10g=，此时()2lnfxx，综上所述，所求a的取值范围是)1,+.【小问3详解】由（2），当1a时，()2lnfxx在)1,+上恒成立，取1a=，得12

lnxxx−即11ln2xxx−，当且仅当1x=时等号成立，令*1,Nnxnn+=，则111111ln2121nnnnnnnn++−=+++，因为211122122lnlnlnlnlnln2121

121nknknnnnnnknnnnnn−=+++++=+++==+−+−，而211111111111212112212nknkknnnnnn−=+=++++++

++++−11222111111212212122124nnnnnnnnnn=+++++=+++++++−++−，所以1111ln21224nnnn++++++，又()12111111112

34212knkknn+=−=−+−++−−11111111111223212242122nnnnnn=+++++−+++=+++−++．所以()12111ln24knkkn+=−+

，即()12111ln24knkkn+=−−，证毕．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为()0gx，然后由导数求得()gx的最小值()mingx，解不等式()min0gx即可得参数范围，第（3）问注意利用之前构造好的不等式，当1a=时

，11ln2xxx−，令1nxn+=，*Nn即可求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com