【文档说明】山西大学附中2022届高三上学期11月期中考试+数学理科试题答案.docx，共(8)页，497.770 KB，由小赞的店铺上传

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山大附中2021~2022学年第一学期期中考试高三年级数学（理科）参考答案一、单选题123456789101112DDCCDACDBDDA二、填空题13：【答案】3214．【答案】3n15．【答案】①③④16．【答案】()s

in3gxx=−2三．解答题17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.（1）求x，y的值；（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？【详解】（1）由2

220242x++=，得6x=，由1819202626282930258y++++++++=，得4y=．…………5分（2）设甲、乙两组数据的方差分别为2S甲、2S乙，甲组数据的平均数为1516192226272930238+

++++++=，2222222221=[(1523)(1623)(1923)(2223)(2623)(2723)(2923)(3023)]308S−+−+−+−+−+−+−+−=甲，2222222221=[(1825)(19

25)(2425)(2625)(2625)(2825)(2925)(3025)]17.258S−+−+−+−+−+−+−+−=乙，因为2S甲2S乙，所以乙组的成绩更稳定．…………12分18．如图，在四棱锥PABCD−

中，平面PAD⊥平面ABCD，ABAD⊥，32AB=，ACD△是边长为2的等边三角形，PAD△是以AD为斜边的等腰直角三角形.（1）证明：平面PDC⊥平面PAB；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）11438.【分析】（1）利

用面面垂直的性质定理可得出AB⊥平面PAD，可得出ABPD⊥，再由已知条件结合线面垂直的判定定理可得出PD⊥平面PAB，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出PO⊥平面ABCD，OOAD⊥，然后以点O为坐标原点，OC、OA、OP所在直线分别为x、y、z

轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PA与平面PBC所成角的正弦值.【详解】（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，ABAD⊥，ABÌ平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，PDQ平面PAD，所以ABPD⊥.又因为PAPD⊥，ABPA

A=，所以PD⊥平面PAB.因为PD平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAB；…………6分（2）取AD的中点O，连接PO、CO，因为PAPD=，所以POAD⊥.又因为PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以PO

⊥平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO⊥.因为ACCD=，所以COAD⊥.以点O为坐标原点，OC、OA、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由题意得()0,1,0A、3,1,02B、()3,0,0C、()0,1,0D−、()0,0,1P，

所以()0,1,1PA=−，()3,0,1PC=−uuur，3,1,12PB=−uur.设平面PBC的法向量为(),,nxyz=，则00nPBnPC==，即30230xyzxz+−=−=，令2x=，则23z=，3y=，所以()2,3,23n=.所以，3

114cos,38192nPAnPAnPA==−=−，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为11438.…………12分19．已知等比数列na的前n项和为nS，且122nnaS+=+，数列nb满足()112,2nnbnbnb+=+=，

其中*nN.（1）分别求数列na和nb的通项公式；（2）若1431nncn−=+，求数列nnbc的前n项和nT.【详解】（1）设等比数列na的公比为q，由已知122nnaS+=+，可得12)2(2nna

Sn−=+，两式相减可得1122nnnnaaSS+−−=−，即12nnnaaa+=−，整理得13nnaa+=，可知3q=，已知122nnaS+=+，令1n=，得2122aa=+，即1122aqa=+，解得12a=，故等比数列na的通项公式

为1*23()nnanN−=；由()*112,2,()nnbnbnbnN+=+=得：12nnbnbn++=，那么3124123213451,,,,,12321nnnnbbbbbnnbbbbnbn−−−+=====−−，以上n个式子相乘，可得()113451123212nnnb

nnbnn++==−−，()1()2nbnnn=+，又12b=满足上式，所以nb的通项公式()*1()nbnnnN=+.…………6分（2）若1431nncn−=+，所以143nnnbcn−=，11223311nnnnnTbcbcbcbc

bc−−=+++++()0122141342343341343nnnn−−=++++−+()012214132333..133()nnnn−−=++++−+()1211341323+.....133nnnTnn−−=++−+，两式相减

得：()00121132433+3.....334313nnnnTnn−−−=++−=−−，所以()*()132312132()nnnnTnnnN−=+=+−.…………12分20．如图所示，已知椭圆

C的两焦点分别为()11,0F−，()21,0F，P为椭圆上一点，且1212FFPF=+2PF.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第二象限，21120FFP=，求12PFF△的面积.【详解】（1）设椭圆C的标准方程为()222210xyabab+=，焦距为2c，因

为椭圆C的两焦点分别为()11,0F−，()21,0F，可得1c=，122FF=，所以1242PFPFa=+=，可得24a=，所以2a=，则222413bac=−=−=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=．…………

6分（2）因为点P在第二象限，21120FFP=，在12PFF△中，由21124PFaPFPF=−=−．根据余弦定理得22221121122cos120PFPFFFPFFF=+−，即()22111442PFPFPF−=++，解得165PF=，所

以12121116333sin120222525PFFSFFPF===△．…………12分21．已知函数()()311ln,033fxxaxaRa=−−.（1）当3a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()y

fx=的单调区间与极值.（3）若对任意的)1,x+，都有()0fx恒成立，求a的取值范围.【详解】（1）当3a=时，()3113ln33fxxx=−−，，∴()23fxxx=−，∴()12f=−，()10f=切点为()

1,0，∴曲线()yfx=在点()1,0处的切线方程为()()021yx−=−−，即220xy+−=；…………4分（2）()()320axafxxxxx−=−=，①当0a时，()30xafxx−=恒成立，∴函数()yfx=的递增区

间为()0,+，无递减区间，无极值；②当0a时，令()0fx=，解得3xa=或3xa=−（舍）x，()fx，()fx的变化情况如下表：x()30,a3a()3,a+()fx－0＋()fx极小值∴函数()yfx=的递增区间为()3,a+，递减区间为()30

,a，()()3ln13aaafxfa−−==极小值.综上：当0a时，函数()yfx=的递增区间为()0,+，无递减区间，无极值；当0a时，函数()yfx=的递增区间为()3,a+，递减区间为(

)30,a，()()3ln13aaafxfa−−==极小值.…………8分（3）对任意的)1,x+，使()0fx恒成立，只需对任意的)1,x+，()min0fx.所以由（2）的结论可知，①当0a时，函数()yfx=在)1,+上是增函数，∴()()min11

1ln1033fxfa==−−=，∴0a满足题意；②当01a时，301a，函数()yfx=在)1,+上是增函数，∴()()min111ln1033fxfa==−−=，∴01a满足题意；③当1a时，31a，函数()yfx=在()31,

a上是减函数，在()3,a+上是增函数，∴()()()3minln1103aaafxfaf−−===，∴1a不满足题意.综上，a的取值范围为()(,00,1−.…………12分22．在平面直角

坐标系中，倾斜角为2的直线l的参数方程为1cossinxtyt=+=（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2cos4sin0−=．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点M的极坐标为1

,2，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离AB的值．．【详解】（1）由参数方程可得1cossinxtyt−=，消去参数可得直线l的普通方程为：1cossinxy−=，即tantanyx=−；2cos4sin0−=即22cos4s

in=，转化为直角坐标方程可得曲线C的直角坐标方程为24xy=；…………5分（2）∵M的极坐标为1,2，∴点M的直角坐标为()0,1．∴tan1=−，直线l的倾斜角34=．∴直线l的参数方程为21222xtyt=−=．代入24xy=

，得26220tt−+=．设A，B两点对应的参数为1t，2t，则1212622tttt+==，∴()2121212472428ABtttttt=−=+−=−=．…………10分23．已知函数()2fxxax=−++.（1）若1a=，解不

等式()3fxx+；（2）若0,0,0abc，且()fx的最小值为4bc−−，求证：112abc++.【详解】解：（1）当1a=时，函数()12fxxx=−++①当2x−时，由()3fxx+得43x−，所以无解②当21x−时，由()3fxx

+得0x，所以01x；③当1x时，由()3fxx+得2x，所以12x.综上，不等式()3fxx+的解集为|02xx.…………5分（2）因为()2fxxax=−++()()22xaxa

−−+=+，当2xa−时，()fx取到最小值2a+，所以24abc+=−−，即2abc++=.所以11abc++1122abcabc+=+++()122cababc+=+++()12222cababc+

+=+，当且仅当1abc+==时等号成立.即112abc++…成立.…………10分