【文档说明】北京景山学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，885.927 KB，由小赞的店铺上传

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2024北京景山学校高一（上）期中数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案打在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，

每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{|016Axx=}，2Bxx=，则AB=（）A.|02xxB.|02xxC.|216xxD.

|216xx【答案】D【解析】【分析】由交集定义可得答案；【详解】由题可得AB=|216xx.故选：D2.若实数a，b满足ab，则下列不等式成立的是（）A.abB.acbc++C.22abD.22acbc【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质即可判断.【详解】由1a=，2

b=−，0c=ab，故A错；22ab，故C错；22acbc=，故D错；由不等式的性质易知B正确.故选：B3.已知命题1:0,2pxxx+，则p为（）A.0x，12xx+B.0x，12xx+C.0x，

12xx+D.0x，12xx+【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：命题1:0,2pxxx+的否定是10,2xxx+．故选：D4.已知偶函数()fx

在区间(,1−−上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A.()()5322fff−−B.()()5322fff−−C.()()5232fff−−D.()()523

2fff−−【答案】D【解析】【分析】由条件可得函数在[1,)+上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据5322−−，可得5(3)()(2)2fff−−，进而得出结论.【详解】因

为偶函数()fx在区间(,1−−上单调递减，所以函数在[1,)+上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，又5322−−，所以5(3)()(2)2fff−−，故选：D.5.已知集合,,1y

Axx=，集合2,,0Bxxy=+，若AB=，则20232024xy+=（）A.1−B.0C.1D.2【答案】A的【解析】【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解.【详解】因为AB=，且集合A中0x，所以集合A中的元素0yx=，解得0

y=，又因为1A，所以1B，所以21x=或1x=，若21x=，解得1x=或1x=−，经检验，1x=时，与集合中元素的互异性矛盾，1x=−时，满足题意，若1x=，由上述过程可知，不满足题意；综上1x=−，所以202

32024101xy+=−+=−，故选：A.6.已知函数20()10xxfxxx=+，，，若()(2)0faf+=，则实数a=（）.A.3−B.1−C.1D.3【答案】A【解析】【分析】求出()2f，再根据()(2)0faf+

=，分0a和0a两种情况讨论即可得出答案．【详解】解：()()2222f==，则()(2)0faf+=，即()2fa=−，当0a时，22a=−，无解；当0a时，12a+=−，解得3a=−，综上所述，3a=−.故选：A．7.若0,0ab，则“4ab+”是

“4ab”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,ab的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知

识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0,0a>b>时，2abab+，则当4ab+时，有24abab+，解得4ab，充分性成立；当=1,=4ab时，满足4ab，但此时=5>4a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab+”是“4ab”的充分

不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,ab的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.8.已知定义在()0,1上的函数()()1,,1,mxmnfxnnx=是有理数是互

质的正整数是无理数，则下列结论正确的是（）A.()fx的图象关于12x=对称B.()fx的图象关于11,22对称C.()fx在()0,1单调递增D.()fx有最小值【答案】A【解析】【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函数的性质可确定A、D.【详解

】对于BC，由题意可知：1322122ff−=−+=，显然()fx的图象不关于11,22对称，而312222−+−，故B、C错误；对于D，若x为有理数，则()1fxn=，显然n→+，函数无最小值，故D错

误；对于A，若mxn=是有理数，即(),mnmn互质，则,nmn−也互质，即1mnmffnnn−==，若x无理数，则1x−也为无理数，即()()11fxfx=−=，所以()fx的图象关于12x=对称，故A正确.下证：,mn

互质，则,nmn−也互质.反证法：若,mn互质，,nmn−不互质，不妨设,nmkankb−==，为则(),mkbankb=−=，此时与假设矛盾，所以,nmn−也互质.故选：A【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提

高正确率.9.已知函数()fx的定义域为R，满足()()22fxfx−=，且当(0,2x时，()()2fxxx=−．若()154ft，则t的最大值是（）A.134−B.145−C.114−D.94−【答案】C【解析】【分析】由(0,2x时，()0,1fx，利用()

()22fxfx−=得到(4,2]x−−，()0,4fx，且150,44，在求得(4,2]x−−时的解析式，由()154ft求解.【详解】解：当(0,2x时，()()()222211fxxxxxx=−=−+=−−+，则()fx在(0,1]上

递增，在[1,2]上递减，且()0,1fx，由()()22fxfx−=知：(2,0]x−时，()0,2fx，(4,2]x−−时，()0,4fx，且()fx在(4,3]−−上递增，在(3,2]−−上递减，因为15

0,44，当(4,2]x−−时，()()()2442fxfxfx=+=+，因为(0,2]4x+，所以()()()()()244244846fxfxxxxx=+−==−++−+，令()2154684xx−++，解得

131144x−−，所以满足()154ft，的t的最大值是114−，故选：C10.已知()243,023,0xxxfxxx++=−若1234xxxx，且()()()()1234fxfxfxfx===，则12341111xxxx+++的

取值范围是（）A.5,3−B.(),2−C.13,3−D.513,33【答案】A【解析】【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到124xx+=−，()()124,3,1,0xx−−−，342233xx−=−，求出()21221144,324xxx

+=−−+−，得到答案.【详解】画出()243,023,0xxxfxxx++=−的图象，如下，设()()()()1234fxfxfxfxa====，则()0,3a，令2334xx+=+，解得4x=−或0，因为243yxx=++的对称轴为2x=−，由对称性可得124x

x+=−，且()()124,3,1,0xx−−−，其中()()12212121222211444424xxxxxxxxxxx+−−+====−−+−，因为()21,0x−，所以()()22243,0x+−−，

故()21221144,324xxx+=−−+−，又342233xx−=−，故34113xx+=，1234511311,xxxx−+++.故选：A第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25

分.11.函数()3fxx=−的定义域是_________．【答案】(,3]−【解析】【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.【详解】解：由解析式可知303xx−，故函数的定义域为：(,3]−12.已知集合2|(1)210Axa

xx=−−+=有且仅有两个子集，则实数a=________【答案】1或2【解析】【分析】若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程2(1)210axx−−+=恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围.【详解】因为A有且仅有

两个子集，所以A中只有一个元素，所以2(1)210axx−−+=有且仅有一解.(1)当1a=时,12x=，符合题意，(2)当1a时,0=,即44(1)0,2aa−−==，综上,得1a=或2a=.故答案为：1或2.【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数a的取值范围的求法，解题时

要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用.13.已知0ab,且41ab+=，则11ab+的最小值为__________【答案】9【解析】【分析】把“1”换成4ab+，整理后积为定值，然后用基本不等式求最

小值【详解】解：0ab，且41ab+=，111144()(4)14529babaababababab+=++=++++=…，当且仅当13a=，16b=时取等号，11ab+的最小值为9，故答案为：9．【点睛】本题考查了基本不等式在

求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，属于基础题．14.已知奇函数()fx定义域为R，当0x时，()22fxxx=+，则()4f−=______；若()141ffm−，则实数m的取值

范围是______．【答案】①.24−②.()1,0,3−−+【解析】【分析】第一空，由奇函数定义可得答案；第二空，由奇函数性质可判断()fx单调性，即可得答案.【详解】第一空，由奇函数定义，

()()()2444824ff−=−=−+=−；第二空，注意到()22211yxxx=+=+−在(0,+∞)上单调递增，又奇函数在对称区间上单调性相同，则()fx在R上单调递增，则𝑓(4)>𝑓(1−1𝑚)⇒4>1−1𝑚⇒3𝑚+1�

�>0⇒𝑚(3𝑚+1)>0，故()1,0,3m−−+.故答案为：24−；()1,0,3−−+.15已知函数()()23,2,axxafxxxa−+=−给出下列四个结论：

①当0a=时，()()13ff−=；②若()fx存在最小值，则a的取值范围为(,0−；③若()fx存在零点，则a的取值范围为((),30,−−+；④若()fx是减函数，则a的取值范围为220,11,22

2−+．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②④.【解析】【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零点可判断③，根据分段

函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④.【详解】①当0a=时，()()23,02,0xfxxx=−，()()21[(12)](9)3ffff−=−−==，故①正确；②当2a时，2()(2),fxxxa=−有最小值0，此时()

3,fxaxxa=−+为减函数，且()fx→−，无最小值，故()()23,2,axxafxxxa−+=−无最小值，当02a时，2()(2),fxxxa=−无最小值，()3,fxaxxa=−+无最小值，故()()23,2,axxafxxxa−+

=−无最小值，当0a时，()3,fxaxxa=−+为增函数，最小值为23a−+，2()(2),fxxxa=−单调递减，所以只需满足223(2)aa−+−，解得212a−或212a+，所以0a，故②正确；③令2()(2)0,fxxxa=−=若有解，

则2a，令()30,fxaxxa=−+=若有解，则3aa，解得3a−或03a，综上若()fx存在零点，则a的取值范围为((,30,3(2,)−−+，故③错误；④若()fx是减函数，则需满足0a−且2a

且22(2)3aa−−+，解得2012a−或2122a+，故④正确.故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合53|12{|}22AxxBxx=−=−，．（1）求A

B，()ABRð；（2）记关于x的不等式()222440xmxmm−+++的解集为M，若MARð，求实数m的取值范围．【答案】（1）AB=4xx或2x，()AB=Rð12xx．（2）5mm−或2m【解析】【分析】（1）先通过绝对值不等式的解集为集合B，

进而可求解；（2）根据不等式先求解出M，然后根据MARð，列出不等式，由此能求出实数m的取值范围．【小问1详解】由5322x−，可得：4x或1x，所以4Bxx=或1x，所以AB=4xx或2x，所以14Bxx=Rð，所以()AB=Rð12xx．【

小问2详解】因为关于x的不等式()222440xmxmm−+++的解集为M，解得：4mxm+，所以4Mxmxm=+，又2Axx=Rð或1−x，MARð所以41m+−或2m≥，解得5m−或2m

≥，所以实数m的取值范围是5mm−或2m.17.已知函数2()23fxaxax=−−．（1）若1a=，求不等式()0fx的解集；（2）已知0a，且()0fx在[3,)+上恒成立，求a的取值范围；【答案】（1）{|13}xxx−或（2）[1,)+【解析】【分析】

（1）由题意得2230xx−−，求解即可得出答案；（2）函数22()23(1)3(0)fxaxaxaxaa=−−=−−−，可得二次函数()fx图象的开口向上，且对称轴为1x=，题意转化为min()0fx≥，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案.

【小问1详解】解：当1a=时，2()23fxxx=−−，所以()0fx，即2230xx−−，解得1x−或3x，所以不等式()0fx的解集为：{|13}xxx−或；【小问2详解】因为22()23(1)3(0)fxaxaxaxaa=−−=−−−，且()0fx

在[3,)+上恒成立，则二次函数()fx图象的开口向上，且对称轴为1x=，所以()fx在[3,)+上单调递增，则min()(3)33fxfa==−，又()0fx在[3,)+上恒成立，转化为min()0fx≥，所以330a−，解得1a，故实数a的取值

范围为[1,)+.18.已知函数()4fxxx=−．（1）判断()fx在区间()0,+上的单调性，并用定义进行证明；（2）设()3gxax=−，若11,4x，21,4x，使得()()12fxgx=，求实数a的取值范围．【答案

】（1）单调递增，证明见解析；（2）[6,9].【解析】【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）由函数单调性求出函数值域，若11,4x，21,4x，使得()()12fxgx=可转化为值域的包含关系

，建立不等式求解即可.【小问1详解】()fx在区间()0,+上的单调递增，证明如下：设12,(0,)xx+且120xx，则2112212121211212()(4)4444()()()xxxxfxfxxxxxxxxxxx

−+−=−−−=−+−=，因为120xx，所以210xx−，120xx，1240xx+，所以21122112()(4)()()0xxxxfxfxxx−+−=，即21()()fxfx，所以()fx在区间()0,+上的单调递增.【小问2详解】由（1）知11,4x时，()

133fx−，即[1,4]x时，f(x)的值域3,3A=−，因为()3gxax=−当[1,4]x时为减函数，所以()[12,3]gxBaa=−−，若11,4x，21,4x，使得()()12fxgx=，则AB,即12333aa−

−−，解得69a，故实数a取值范围为[6,9]19.已知定义在R上的函数()fx满足：①对任意实数x，y，都有()()2()()fxyfxyfxfy++−=；②对任意[0,1),()0xfx．（1）求(0)f；（2）判断并证

明函数()fx的奇偶性；（3）若(1)0f=，直接写出()fx的所有零点（不需要证明）．【答案】（1）(0)1f=（2）()fx为偶函数，证明见解析（3）21,xkkZ=+【解析】【分析】（1）令0xy==，化简可求出(0)f，（2）令0x=，则()()2(0)()2()fyfyffyfy+−=

=，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，的（3）利用赋值求解即可【小问1详解】令0xy==，则2(0)(0)2(0)fff+=，2(0)(0)0ff−=，得(0)0f=或(0)1f=，因为对任意[0,1),()0xfx，所以(0)

1f=【小问2详解】()fx为偶函数证明：令0x=，则()()2(0)()2()fyfyffyfy+−==，得()()fyfy−=，所以()fx为偶函数【小问3详解】令1,,xkykkZ=+=，则(21)(1)2(1)()fkffkfk++=+，因为(1)0f=，所以

(21)2(1)()fkfkfk+=+，当1k=时，(3)2(2)(1)0fff==，当2k=时，(5)2(3)(2)0fff==，当3k=时，(7)2(4)(3)0fff==，当4k=时，(9)2(5)(4)0fff=

=，……，所以210()fk+=即当21,xkkZ=+时，()0fx=，所以函数的零点为21,xkkZ=+20.已知关于x的函数()222fxxax=−+．（1）当2a时，求()fx在1,33上的最小值()ga；（2）如果函数()Fx同时满足：①函数在整个定义域上是单调增

函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间,pq，使得函数在区间,pq上的值域为22,pq．则我们称函数()Fx是该定义域上的“闭函数”．（i）若关于x的函数()211yxtx=−+是“闭函数”，求实数t的取值范围；（ii）判断（1）中()ga是否为“闭函数”？若是，求出,p

q的值或关系式；若不是，请说明理由．【答案】（1）()21921,93312,23aagaaa−=−（2）（i）3,14；（ii），,pq满足221232pqpq+=.【解析】【分析

】（1）对于函数()()222222fxxaxxaa=−+=−+−，根据对称轴，分类讨论即可；（2）（i）据闭函数的定义，列出方程组，可得2p，2q为方程21xtx−+=的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围（ii）由新定义，假设(

)ga为“闭函数”，讨论,pq的范围，通过方程的解即可判断【小问1详解】函数()()222222fxxaxxaa=−+=−+−，其对称轴方程为xa=，当13a时，()fx在1,33上单调递增，

其最小值为()1192393agaf==−；当123a时，()fx在1,33上的最小值为()()22gafaa==−；函数()fx在1,33上的最小值为()21921,93312,23aagaaa−=−.【小问2详解

】（i）∵21yxt=−+在)1,+递增，是由闭函数的定义知，该函数在定义域)1,+内，存在区间,pq()pq，使得该函数在区间,pq上的值域为22,pq，所以1p，222211ptpqtq−+=−+=，∴22,pq为方程1xtx−+=的二实根，即

方程()222110xtxt−+++=在)1,+上存在两个不等的实根且xt恒成立，令()()22211uxxtxt=−+++，∴()Δ02112101tut+∴()23412101tttt−，解得314t∴实数t的

取值范围3,14．（ii）对于（1），易知()ga在(,2−上为减函数，①若13pq，()ga递减，若()ga为“闭函数”，则221929319293pqqp−=−=，两

式相减得23pq+=，这与13pq矛盾．②123pq时，若()ga为“闭函数”，则222222pqqp−=−=此时222pq+=满足条件的,pq存在，∴123pq时，使得()ga为“闭函数”,pq

存在，③123pq时，若()ga为“闭函数”，则222192932pqqp−=−=，消去q得2961pp−+，即()2310p−=解得13p=此时，1723q=，且222pq+=，∴123pq=时，使得()ga

为“闭函数”,pq存在，综上所述，当,pq满足221232pqpq+=时，()ga为“闭函数”.21.设n为不小于3的正整数，集合12Ω=(,,...)0,1,=1,2,...,nnixxxxin，对于集合

n中的任意元素12(,,...,)nxxx=，12(,,...,)nyyy=记11112222()()...()nnnnxyxyxyxyxyxy=+−++−+++−（Ⅰ）当=3n时，若(1,1,0)=，请写出满足3=的所有元素（Ⅱ）设n，且+n=

，求的最大值和最小值；（Ⅲ）设S是n的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，，有1n−成立，求集合S中元素个数的最大值.【答案】（1）()()()()0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1；（2）*的最大值为n，当n为偶数时，*的最小值为2n，当n

为奇数时，1*2n−=；（3）S中的元素个数最大值为222nn++.【解析】【分析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据*+*n=，得到,iixy的关系式，再求解*的最值；（Ⅲ）通过对集合S的

拆分，逐一求解.【详解】(Ⅰ)满足*3=的元素为()()()()0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1（Ⅱ）记()12,,,nxxx=，()12,,,nyyy=，注意到0,1ix，所以()10iixx−=，所以()(

)()11112222*nnnnxxxxxxxxxxxx=+−++−+++−12nxxx=+++12*nyyy=+++因为*+*n=，所以1212nnxxxyyyn+++++++=所以1212,,,,,,,nnxxxyyy中有n个量的值

为1，n个量的值为0.显然()()()111122220*nnnnxyxyxyxyxyxy=+−++−+++−1122nnxyxyxyn++++++=，当()1,1,,1=，()0,0,,0=时，，满足*+*n=，*n=.所以*的最大值为n又()()()11

112222*nnnnxyxyxyxyxyxy=+−++−+++−()1122nnnxyxyxy=−+++注意到只有1iixy==时，1iixy=，否则0iixy=而1212,,,,,,,nnxxxyyy中n个量的值为1，n个量的值为0所以满足1iixy=

这样的元素i至多有2n个，当n为偶数时，*22nnn−=.当221,1,,10,0,,0nn==个个，时，满足*+*n=，且*2n=.所以*的最小值为2n当n为奇数时，且1iixy=，这样的

元素i至多有12n−个，所以11*22nnn−+−=.当11221,1,,10,0,,0nn+−=个个，，11221,1,,10,0,,0nn−+=个个，时，满足*+*n

=，1*2n−=.所以*的最小值为12n−综上：*的最大值为n，当n为偶数时，*的最小值为2n，当n为奇数时，1*2n−=.（Ⅲ）S中的元素个数最大值为222nn++设集合S是满足条件的

集合中元素个数最多的一个记1=S()1212,,,|1,nnxxxxxxnS=+++−，()21212,,,|2,nnSxxxxxxnS==+++−显然1212SSSSS==，集合1S中元素个数不超过+1n个，下面我们证明集合2S中元素

个数不超过2nC个()212,,,,nSxxx=，则122nxxxn+++−则12nxxx，，，中至少存在两个元素0ijxx==()212,,,,nSyyy=，因为*1n−，所以,

ijyy不能同时为0所以对1ijn≤≤中的一组数,ij而言，在集合2S中至多有一个元素()12,,,nxxx=满足ijxx，同时为0所以集合2S中元素个数不超过2nC个所以集合S中的元素个数为至多为21nnC++=

222nn++.记1=T()1212,,,|1,nnnxxxxxxn=+++−，则1T中共+1n个元素，对于任意的1T，n，*1n−.对1ijn≤≤，记(),12,,,,

ijnxxx=其中0ijxx==，1tx=，,titj记2,{|1}ijTijn=，显然2,S，，均有*1n−.记12STT=，S中的元素个数为222nn++，且满足,S，，均有*1n−.综上所述，S

中的元素个数最大值为222nn++.【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破.