【文档说明】【精准解析】2020届高三普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）理科数学试题【高考】.doc，共(24)页，1.972 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）理科数学一、选择题1.已知全集UZ=，集合，1,0,1,2A=−，220BxZxx=−−，则()UAB=ð（）A.1,2B.1,0−C.0,1D.1,2−【答案】D【解析】【分析】先

求出集合B，再求得集合B的补集，由集合的交集运算可得选项.【详解】2201201BxZxxxZx=−−=−=，，所以0,1UBxZxx=ð，又1,0,1,2A=−，所以()UAB=ð1,2−，故选：D.【点睛】

此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．2.已知复数z满足()()9420zzi−+−=，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四三象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法计算化简得到z，z，可得到

选项.【详解】∵()()9420zzi−+−=，∴()()()()92149217341214141417iiiiziiii+−+−====−++−，∴12zi=+，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，共轭复数，以及复数对应象限，属于基础题.-2

-3.已知双曲线22221yxab−=（0a，0b）的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为（）A.3B.3C.23D.233【答案】B【解析】【分析】分别求出顶点到

渐近线的距离、焦点到渐近线的距离，列出关于,,abc的方程，再结合222cab=+，即可求得离心率的值.【详解】由题意知：取双曲线的顶点(0,)Aa、焦点坐标(0,)Fc，取渐近线方程为ayxb=，也即是0axby−=，顶点到渐近线的距离为122ababdcab−==+，

焦点到渐近线的距离为122bcdbab−==+，1213abdacdbc===，3cea==，故选：B【点睛】本题考查了双曲线的几何性质、离心率的求法、点到直线的距离公式，属于基础题.4.为了得到函数213sincoscos2yxxx=+−的图像，可以将函数cos2yx=的图像（）A.

向左平移π6个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向右平移π6个单位长度D.向左平移π3个单位长度【答案】B-3-【解析】【分析】结合二倍角公式和降幂公式化简得22c13sincoscos2os23yxxxx−=+−=，再

结合平移法则即可求解.【详解】2131cos21313sincoscossin2sin2cos2222222xyxxxxxx+=+−=−+=−=22sin2cos2cos2cos2cos2626333xxxxx−=−−=−=−=−

，由函数平移法则可知，将函数cos2yx=的图像向右平移3个长度单位即可得到cos23x−，故选：B【点睛】本题考查二倍角公式与降幂公式及诱导公式的使用，由变换前后表达式求解平移量，解题关键是将不

同名三角函数结合诱导公式转化成同名，属于中档题5.记不等式组10,10,10,xyxyy+−−++的解集为D，(),xyD，使2xya+成立，则实数a的取值范围是（）A.(,3−B.(,5−−C.5,3−D.)3,+【答案】A【解析】【分析】令2zxy=

+，求出z的最大值，maxaz即可.【详解】可行域如图所示-4-由1010xyy+−=+=得(2,1)A−，当2zxy=+过(2,1)A−时，max2213z=−=，3a.故选：A【点睛】本题考查了线性规划问题与函数有解问题，属于中档题.6.函数||2s

in()xxfxe=在[−，]的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性，对称性，单调性和最值之间的关系进行判断即可．【详解】解：||||2sin()2sin()()xxxxfxfxee−−−==

−=−，则函数()fx是奇函数，-5-则图象关于原点对称，故排除D．当(0,)x时，22cos()4()xxfxe+=，则当(0,)4x时，()0fx，函数()fx为增函数，(4x，)时，()0fx，函数()fx为减函数，则当4x=时，()fx取得极大

值同时也是最大值442222()14fee==，故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数与图象之间的关系，结合导数与单调性之间的关系以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键．7.已知圆C：221xy+=，点M为直线26

0xy−−=上一动点，过点M向圆C作切线MA，MB，A，B为切点，则直线AB经过定点（）A.11,36−B.11,36−C.11,63−D.11,63−【答案】D【解析】【分析】根据题意设M的坐标为(26,)Mmm+

，由切线的性质得点A、B在以OM为直径的圆C上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．【详解】解：因为M是直线260xy−−=的任一点，所以设(26,)

Mmm+，因为圆221xy+=的两条切线MA、MB，切点分别为A、B，所以OAMA⊥，OBMB⊥，则点A、B在以OM为直径的圆C上，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是(3m+，)2m，且半径的平方是222(26)4mmr++=，所以圆C的方程是2222(

26)(3)()24mmmxmy++−−+−=，①-6-又221xy+=，②，②−①得，(26)10mxmy++−=，即公共弦AB所在的直线方程是：(26)10mxmy++−=，即(2)(61)0mxyx++−=，由61020xxy−=+

=得16x=，13y=−，所以直线AB恒过定点1(6，1)3−，故选：D．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．8.函数()sincosfxxx=−()0在区间()0,π内有三个零点，则的值可能为（）A.2B.3C

.4D.5【答案】B【解析】【分析】由辅助角公式可得()2sin()4fxx=−.由0πx，可得444x−−−.根据()fx在区间()0,π内有三个零点，可得234−，求出的取值范围，即得答案.【详解】()sincos2sin()4fxxxx=−=

−.0,0,444xx−−−，函数()fx在区间()0,π内有三个零点，91323,444−.故选：B.【点睛】本题考查辅助角公式和函数的零点，属于基础题.9.现将3名医生和5名护土分派到两所医院参加救护工作

，其中一对护士是孪生姐妹必须分到同一所医院，每所医院至少分配一名医生和两名护士，那么符合要求的分配方案有（）A.36种B.48种C.54种D.60种【答案】B-7-【解析】【分析】分类完成：一类孪生姐妹护士单独到一所医院，另一类孪生姐妹和另

一名护士到一所医院，分别计算可得．【详解】分两种情况：孪生姐妹护士单独到一所医院，由22232212CCC=种方案；孪生姐妹和另一名护士到一所医院，由2212323236CCCC=种方案；共有48方案，故选：B.【点睛】本题考查分组分配问题，解

题关键是确定完成这件事情的方法，分类还是分步．10.已知数列na是等比数列，若2588aaa=−，则151959149aaaaaa++（）A.有最小值72B.有最大值72C.有最小值52D.有最大值52【答案】C【解析】【分析】根据等比中项的性质得325858aaaa==−，5140aaq

=，21954aaa==，代入构造基本不等式的形式，运用基本不等式求得最值.【详解】设等比数列na的公比q，∵2588aaa=−，∴325858aaaa==−，∴52a=−，∴5140aaq=，21954aaa==，∴951

9115195915949981498aaaaaaaaaaaaaa+++−++==−()111415191236882aa=+−++=−，当且仅当1149aa−=−，即1203a=−时，取等号，故选：C.【点睛】本题考查等

比数列的性质，基本不等式的应用求最值，属于中档题.在利用基本不等-8-式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等

号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.11.正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，M为1CC的中点，N为线段1DD上靠近1D的一个三等分点，则过点B，M，N的平面把正方体截得两部分，则下半部分几何体与上半部

分几何体的体积之比为（）A.12B.23C.34D.45【答案】A【解析】【分析】首先根据题意，画出相应的图形，根据相关性质，确定出截面的位置，利用割补法求出截面下方几何体的体积，减法运算求得截面上方几何的的体积，进而求得比值，得到结果.【详解】如图，设点B，M，N的平面交棱1AA于点Q，棱

1DD的中点为P，连接AP，MP，QN，QB，易知//APBM，∵四点B，M，N，Q共面，∴//BMQN，∴//APQN，∵//AQPN，∴四边形APNQ是平行四边形.∴16AQPNa==.31122263ABCDMNQADPBCMABQPM

NaaaVVVaaaa−−=+=+=六面体三棱柱三棱柱，∴1111323ABCDBMNQaV−=六面体，故选:A.-9-【点睛】该题考查的是有关几何体的问题，涉及到的知识点有截面图形的确定，割补法求几何体的体积，

属于简单题目.12.已知无穷等比数列na满下列足条件：当()21nan+时，()211nan+=+；当()21nan+时，12nnaa+=，则首项1a的最小值是（）A.92B.4C.258D.94【答案】A【解析】【分析】结合数列递推式，分类讨论，14a时，由递推式求出2344,9,16

aaa===，不成等比数列，不成立，在14a时，2128aa=，再分类，289a及29a，可得出结论．【详解】∵()()()22121,12,1nnnnnanaaan+++=+下面分情况讨论：当14a时，249a=，∴

3916a=，∴41625a=，但是1,4,9,16,a，不可能组成等比数列，矛盾；当14a时，2128aa=，当289a时，39a=，因为na是等比数列，此时194a=，这与14a矛盾；当29a时，322aa=，∴2129aa=，∴192a，192a=时，29a

=，318a=，…，292nna−=，满足题意．故选：A．【点睛】本题考查数列的递推公式、等比数列的概念，解题方法是分类讨论，根据1a的不同取值范围，由递推式确定数列各项，验证是否构成等比数列，或由等比数列得出结论，验证是否满足题设要求．二、填空题13.在某项测试中，测量结果N()

20,，若在(),1−内取值的概率为0.8，则在()1,1−内取值的概率为______.-10-【答案】0.6【解析】【分析】由题意得出()10.8P=，由正态密度曲线的对称性可求得()11P−的值.【详

解】()20,N，由已知条件得()10.8P=，所以()()1110.2PP=−=，因此，()()111210.6PP−=−=.故答案为：0.6.【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.14

.已知抛物线24yx=的焦点为F，P为抛物线上一动点，定点()1,1A，当PAF△周长最小时，PF所在直线的斜率为______.【答案】43−【解析】【分析】过点P向准线作垂线，垂足为B，由抛物线定义得PFP

B=，PAF△周长等于1PBPA++，易得,,BPA共线时，取得最小值．【详解】抛物线24yx=的焦点为()1,0F，准线为1x=−，从点P向准线作垂线，垂足为B，从点A向准线作垂线，垂足为1A，则PAF△周长1113PFPAAFPBPAA

A=++=+++=，当且仅当A，P，1A三点共线时，取到最小值，此时1,14P，43PFk=−.-11-故答案为：43−．【点睛】本题考查抛物线的点到定点与到焦点的距离之和的最小值问题，解题关键是利

用定义把抛物线上的点以焦点的距离转化为到准线的距离．15.已知等腰直角三角形ABC中，1ABAC==，()1,2,3,,8iMi=顺次为线段BC的九等分点，则9iiAMAM−的最大值为____

__．【答案】4081【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，求出点的坐标，将9iiAMAM−用坐标表示出来，再求出最大值.【详解】如图建立平面直角坐标系等腰直角三角形ABC中，1ABAC==，-12-2BC

=，19222(9)22(,0),(,0),(,0),(,)99922iiiiMMMA−−，222(,)922iiAM=−−，92(9)22(,)922iiAM−−=−−，9222(9)222()()()()929222iiiiiAMAMAM−−=

=−−+−−22222(9)81981iiii=−+=−−，4i=或5i=时9iiAMAM−最大，此时29240(494)8181iiAMAM−=−−=.故答案为：4081【点睛】本题主要考查了数量积的运算，只要想到方法便可迎刃而解，属

于中档题.16.已知函数()fx的导数为()fx，若()()()212xfxxfx+，且()25f−=，则不等式()()222331fxxxx−−+的解集为______.【答案】12xx【解析】

【分析】构造新函数()()21fxgxx=+，求出()gx，可得()0gx，确定()gx是增函数，待求解不等式可化为2(3)(2)gxxg−−，由此可解不等式．【详解】由()()()212xfxxfx+可得()()()2120xf

xxfx+−，所以()()()()2221201xfxxfxx+−+，即()201fxx+.-13-令()()21fxgxx=+，即()0gx，则()gx单调递增.不等式()()()()2222223331131fxxfxx

xxxx−−−+−+，而()()()222121fg−−==−+，所以不等式()()()()2222313231fxxgxxgxx−−−−+，∴232xx−−，解得12x.故答案为：12xx．【点睛】本题考查解函数不等式，解题关键是构造新函数

，利用导数确定新函数的单调性，不等式转化为新函数的不等式，从而易求解．三、解答题（一）必考题17.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且23sin2cos2BCaCc+=.（1）求角A的大小；（2）若7a=，ABC的面积是1534，求ABC的周长.【答案】（1）23；（2）15

【解析】【分析】（1）根据正弦定理得到23sinsin2sinsin2AACC=，化简得到tan32A=，得到答案.（2）根据面积得到15bc=，再根据余弦定理得到8+=bc，计算得到周长.【详解】（1）在A

BC中，ABC++=，所以coscossin222BCAA+−==，根据正弦定理，得23sinsin2sinsin2AACC=，因为sin0C，所以23sin2sin2AA=，-14-所以223sincos2sin222AAA=，又sin02A，所以3

cossin22AA=，所以tan32A=，易知0,022AA，所以23A=，故23A=.（2）由题意得13153sin244bcAbc==，得15bc=，由余弦定理，得22222cos49bcbcAbcbc+−=++=，即()249bcbc+−=，所以()2154

9,8bcbc+−=+=，故ABC的周长为15abc++=.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生综合应用能力和计算能力.18.如图，在四棱锥PABCD−中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD⊥，//ABCD，22ABADCD==

，E是PB的中点.（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若二面角PACE−−的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】【分析】（1）由已知PC⊥底面

ABCD，得PCAC⊥，利用勾股定理逆定理得ACBC⊥，从而有线面垂直后得证面面垂直；（2）以C为原点，CB，CA，CP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设2CB=，2CPa=()0a，写出各点

坐标，求出平面PAC和平面EAC的一个法向量，-15-由法向量夹角与二面角的关系求得a，再由直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求得线面角的正弦值．【详解】（1）因为PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PCAC⊥.因为22ABADCD==，所以

22ACBCADCD===，所以222ACBCAB+=，故ACBC⊥.又BCPCC=，所以AC⊥平面PBC.因为AC平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.（2）如图，以C为原点，CB，CA，CP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系，设2CB=，2CPa=()0a，则()0,0,0C，()0,2,0A，()2,0,0B，()0,0,2Pa，则()1,0,Ea，()0,2,0CA=，()0,0,2CPa=，()1,0,CEa=

，易知()1,0,0m=为平面PAC的一个法向量.设(),,nxyz=为平面EAC的一个法向量，由00nCAnCE==，即200yxaz=+=∴0y=，取xa=，则1z=−，(),0,1na=−.依题意，26

cos,31mnamnmna===+，解得2a=.于是，()2,0,1n=−，()0,2,22PA=−.则2sincos,3PAnPAnPAn===.所以直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.-16-【点睛】本题考查证明面面垂直，考查用空间向量法

求二面角，直线与平面所成的角，证明垂直常用相应的判定定理或性质定理，求空间角常用空间向量法．19.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的右顶点为A，左焦点为1F，离心率22e=，过点A的直线与椭圆交于

另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点1F，若13232ABFS=+．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过圆22:4Exy+=上任意一点P作圆E的切线,ll与椭圆交于M，N两点，以MN为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)221126x

y+=；（2）以MN为直径的圆恒过坐标原点.【解析】【分析】（1）先根据离心率得2ac=，bc=，再根据点B在椭圆上得B点纵坐标，最后根据三角形面积公式解得26b=，即得212a=，（2）先考虑直线l的斜率不存在情况，确定定点，再利用韦达定理以及向量数量积论

证圆过坐标原点.【详解】（1）∵22cea==，∴2ac=，bc=，设()0,Bcy−，代人椭圆方程得：022yb=，∴10112ABFSyFA=()22124b=+，-17-∴()223123242b+=+，∴26b=，∴212a=，∴椭圆C的标准方程为221126xy+=

.（2）当直线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆的圆心为()2,0或()2,0−，半径为2，以MN为直径的圆的标准方程为：()2224xy++=或()2224xy−+=，因为两圆都过坐标原点，∴以MN为直径的圆过坐标原点，当直线l的

斜率存在时，设其方程为ykxm=+，()11,Mxy，()22,Nxy，因为直线与圆相切，所以圆心到直线l的距离，221mdk==+，所以2244mk=+，由221126ykxmxy=++=，化简得：()2222142120kxkmxm+++−=，∴122421kmxxk+=−+，

212221221mxxk−=+，∴1212OMONxxyy=+()()1212xxkxmkxm=+++()()2212121kxxkmxxm=++++()()2222222121242121kmmkmkk+−=−+

++2223121221mkk−−=+-18-()2223441212021kkk+−−==+，∴以MN为直径的圆过坐标原点，综上，以MN为直径的圆恒过坐标原点.【点睛】本题考查椭圆方程以及圆过定点，考查综合分析论证求

解能力，属中档题.20.甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2nnN+局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()Pn.（1）求()2P与(

)3P的值；（2）试比较()Pn与()1Pn+的大小，并证明你的结论.【答案】（1）()5216P=，()5316P=（2）()()1PnPn+【解析】【详解】（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局所以()44344411522216PCC

=+=同理()6664566661115322216PCCC=++=（2）在2n局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n+局故()222122222111222nnnnnnnnnPnCCC++=

+++()()22122222222211112122222nnnnnnnnnnnnnnCCCCC++=+++=−=−所以()1222211122nnnCPn++++=−又因

为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!nnnnnnnnnnnCnnCnnnCCnnnnn+++++++====++++++-19-所以122222222nnnnnnCC+++，所以()()1PnPn+21.已知函数()1

2xfexkxk+=−−(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)当函数()fx有两个零点12,xx时，证明：122xx+−．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数

证明不等式的问题．（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据题意将证明122xx+−的问题转化为证明12(+1)ln421ttxxt++=−，即证(+1)ln2(1)ttt−，构造函数()(+1)l

n2(1)gtttt=−−，利用函数()gt的单调性证明即可．试题解析：（1）解：∵()12xfxekxk+=−−，∴．①当时，令()0fx=，解得1lnxk=−+，∴当(,1ln)xk−−+时，，单调递减；当(1ln,)xk−++时，，单调递增．

②当时，恒成立，∴函数在R上单调递增.综上，当时，在(,1ln)k−−+上单调递减，在(1ln,)k−++上单调递增．当时，在R上单调递增.（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点．所以．-20-设函数的两个零点为，则，设，解得，所以12(+1)ln41ttxxt++

=−，要证，只需证，设设单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，故．（二）选考题选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为13,232,2xtyt=−+=−+（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线2C的极坐标方程为2sin=，若点A的极坐标为15π,6−，点B的极坐标为23π,4．（1）写出曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；-21-（2）若点1AC，2BC，求AOB的面积．【答案】（1）3cos

sin10−+=，2220xyy+−=；（2）314+【解析】【分析】曲线1C的参数方程消去t，得到普通方程，再由cossinxy==，可以得曲线1C的极坐标方程，将2sin=两边同时乘以后，再由222sinxyy=+=，可得曲线2C的直角

坐标方程.将A、B两点的极角分别代入曲线1C和曲线2C的极坐标方程可以得到A、B两点的极径，再由三角形面积公式，即可得出AOB的面积.【详解】将13,232,2xtyt=−+=−+消去参数t，化为普通方程：3

10xy−+=，将cossinxy==代入310xy−+=得3cossin10−+=，曲线1C的极坐标方程为：3cossin10−+=，将2sin=两边同时乘以得22sin=，再由222s

inxyy=+=得2220xyy+−=，曲线2C的直角坐标方程为：2220xyy+−=，（2）将A的极坐标15π,6−代入1C的极坐标方程3cossin10−+=得11=，将点B的极坐标23π,4代

入2C的极坐标方程2sin=得22=．1217316231sin12264244AOBS++=−==.【点睛】本题主要考查了参数方程、普通方程、极坐标方程之间的相互转化以及三角形的面-22-积公式，理解极径和极角的含义很关键，属于中档题.选

修4—5：不等式选讲23.已知()12fxxxa=++−，()123gxxx=+−−．（1）若()12fxa−恒成立，求实数a的取值范围；（2）若存在实数1x，2x，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）(),2

0,3−−；（2）7,3−【解析】【分析】（1）转化为()min12fxa−，再解绝对值不等式得出a的取值范围.（2）转化为()fx值域与()gx值域交集非空，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）（i）当12a−，即2a−时，()31,2121,1231,

1axaxafxxxaxaxxax−+−=++−=−−−−+−，此时()min3111()122222afxfaaaa==−−−=−−=−−，解得1a−，2−a，（ii）当12a=−，即2a=−时，()12310fxxxa

x=++−=+，此时1322a−=，()12fxa−不恒成立.(iii)当12a−，即2a−时，-23-()31,1121,1231,2xaxafxxxaxaxaxax−+−−=++−=−++−−+，此时()min11()122

2afxfaa==+−，解得:03a，实数a的取值范围是(),20,3−−.（2）由（1）知()122aafxf=+，()fx值域为1,2a++，()4,1312332,1234,2xxgxxxxxxx−

−=+−−=−−−+，()max35()22gxg==，()gx值域为5,2−，由题意知51,,22a++−，5122a+，解得：73a−.实数a的取

值范围7,3−【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题、含两个绝对值不等式值域的求法、双参数问题，属于中档题.-24-