【文档说明】湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（B卷） Word版含解析.docx，共(15)页，1.037 MB，由小赞的店铺上传

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株洲市二中2024年下学期高一年级开学考试试卷数学试题（B卷）命题人：李昊､欧阳东凌､陈诗如审题人：张志军时量：120分钟分值：150分第Ⅰ卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数轴上与原点距离不大于

3的点表示的数的集合是（）A.{3|xx−或3}xB.{|33}xx−C.{|3}xx−D.{|3}xx【答案】B【解析】【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．【详解】由题意，满足|x|≤3的集合，可得：{|33}xx−，故选：B2.下列运算正

确的是（）A.623aaa=B.426aaa=C.()325aa=D.336aaa+=【答案】B【解析】【分析】根据幂指运算的性质，可得答案.详解】对于A，624aaa=，故A错误；对于B，426aaa=，故B正确；对于C，236()aa=，故C错误；对于D，3332aaa+=，故D

错误.故选：B.3.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示．则组成此几何体需要正方体的个数是（）【A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主

视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】根据俯视图可知该组合体共2行､4列，结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：则组成此几何体需要正方体的个数是8，故选：B．4.下列方程中两根之

和为6的是（）A26150xx−+=B.21260xx−+=C.22630xx−−=D.2318170xx−+=【答案】D【解析】【分析】先判断每个方程的是否大于等于0，确定方程是否有解，进而利用根与系数

的关系求解即可得结论.【详解】对于A：26150xx−+=，2(6)4115240=−−=−，所以方程无实数根，故A不满足题意，对于B：21260xx−+=，2(12)4161200=−−=，.所以方程有两个不等实数

根且两根之和为12ba−=，故B不符合题意；对于C：22630xx−−=，2(6)42(3)600=−−−=，所以方程有两个不等实数根且两根之和为3ba−=，故C不符合题意；对于D：2318170xx−+=，2(18)43171200=−−

=，所以方程有两个不等实数根且两根之和为6ba−=，故D符合题意.故选：D.5.设集合22,1,2Aaaa=−−+，若4A，则a=（）A.3−或1−或2B.3−或1−C.3−或2D.1−或2【答案】C【解析】【分析】分14a−=和224aa−+=讨论，即得解.【详解】当14a−=时，3a

=−，符合题意；当224aa−+=时，2a=或1a=−.当2a=时，符合题意；当1a=−时，12a−=，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.故3a=−或2a=.故选：C【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.6.函数22ykx=−与()0kykx=在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据0,0kk，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】分两种情况讨论：①当0k时，反比例函数kyx=，在一､三象限

，而二次函数22ykx=−开口向上，与y轴交点为()0,2−，都不符；②当0k时，反比例函数kyx=，在二､四象限，而二次函数22ykx=−开口向下，与y轴交点为()0,2−，C符合．故选：C．7.关于x的不等式组0723xmx+−恰好有5个整数

解，则m的取值范围是（）A.76m−−≤B.76m−−≤≤C.76m−−≤D.76m−−【答案】A【解析】【分析】分别解一元一次不等式，进而确定不等式组的解，再利用整数解的个数求出范围.【详解】解不等式0xm+，得xm−；解不等

式723x−，得2x，而不等式组0723xmx+−有解，则2m−，其解为2xm−，由不等式组0723xmx+−恰好有5个整数解，得67m−，解得76m−−≤，所以m的取值范围是76m−−≤.故选：A8.定义：若抛物线

的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线1:3lyxb=+经过点10,4M，一组抛物线的顶点()()()1122331,,2,,3,ByByBy，(),nnBny（n为正整数），依次是直线l上

的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：()()1122,0,,0AxAx，()()3311,0,,0nnAxAx++（n为正整数）．若1(01)xdd=，当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A512或712B.512或1112C.712或1112D.712【答案】B【解析】【分

析】由抛物线的对称性可知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又01d，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即

抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可．【详解】因为直线1:3lyxb=+经过点10,4M，则11043b=+，解得14b=，直线11:34lyx=+，由抛物线的对称性知，“美丽抛物线”所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所

以该等腰三角形的高等于斜边的一半，因为01d，结合题意可知该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1），因为当1x=时，1117113412y=+=，当2x=时，21111213412y=+=，当3x=时，31153

1344y=+=，所以美丽抛物线的顶点只有12,BB，①若1B为顶点，由171,12B，则7511212d=−=；.②若2B为顶点，由2112,12B，则11111211212d

=−−−=，综上所述，d的值为512或1112时，存在美丽抛物线．故选：B【点睛】关键点睛：此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是

解答该题的关键．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知x，y，z为非零实数，代数式xyzxyzxyzxyz+++的值

所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A.0MB.2MC.4M-?D.4MÎ【答案】CD【解析】【分析】讨论,,xyz的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.【详

解】当,,xyz均为负数时，4xyzxyzxyzxyz+++=−；当,,xyz两负一正时，0xyzxyzxyzxyz+++=；当,,xyz两正一负时，0xyzxyzxyzxyz+++=；当,,xyz均为正数时，4xyzxyzxyzxyz+++=；∴

{4,0,4}M=−，A、B错误，C、D正确.故选：CD10.如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（）A.众数是2.1B.中位数是1.6C.平均数是2.08D.方差大于1【答案】AC【解析】【分析】根据平均数，众数，中位数

以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析计算即可得解．【详解】对A：因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故A正确；对B：把这些数从小到大排列为：1.6,1.8,2.1,2.1,2.8，中位数是2.1，故B错误；对C：平均数是：()12.82.12.11.81.62.0

85++++=，故C正确；对D：()()()()222222.82.0822.12.081.62.081.82.080.165615s−+−+−+−==，故D错误.故选：AC．11.已知二次函数()2223ymxmxm=−++−的图象与x轴有两个交点()()12,0,,0xx，

则下面说法正确的是（）A.该二次函数的图象一定过定点()1,5−−；B.若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：625m；C.当2m，且12x时，y的最大值为45m−；D.当2m，且该函数图象与x轴两交点的横坐标12,xx满足1232,10xx−−−时，m的取值范围为：211

14m【答案】ABD【解析】【分析】代入1x=−，解得5y=−，即可求解A，根据判别式即可求解B，利用二次函数的单调性即可求解C，利用二次函数的图象性质即可列不等式求解.【详解】由()2223ymxmxm

=−++−可得()22123ymxx=+−−，当1x=−时，5y=−，故二次函数的图象一定过定点()1,5−−，A正确，若该函数图象开口向下，且与x轴有两个不同交点，则()()220Δ44230mmmm−=−−−，

解得：625m，故B正确，当2m，函数开口向上，对称轴为02mxm=−−，故函数在12x时，单调递增，当2x=时，911ym=−，故y的最大值为911m−；C错误，当2m，则开口向上，又1232,10xx−−−

时，则3,4210xym=−=−，且2,110xym=−=−，且1,50xy=−=−，且0,30xym==−，解得21114m，m的取值范围为：21114m，D正确，故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，

每小题5分，共15分．12.若2,3abab+==−，则式子32232ababab++的值为______．【答案】12−【解析】【分析】由题意可化简()()232232222ababababaabbabab++=++=+，从而

可求解【详解】由题意得()()23223222223212ababababaabbabab++=++=+=−=−.故答案为：12−.13.如图，一段抛物线()()303yxxx=−−记为1C，它与x轴交于点O、1A；将1C绕点1A旋转180得到

2C，交x轴于点2A；将2C绕点2A旋转180得到3C，交x轴于点3A如此进行下去，直至得到13C．若()37,Pm在第13段抛物线13C上，则m=______．【答案】2【解析】【分析】结合图象根据图象的变换规律，可得出图象13C与x轴的交点坐标，从而得出

13C的表达式，代入求解即可.【详解】由题知图象1C与x轴的交点坐标分别为()0,0，()3,0，图象在x轴上方，图象2C与x轴的交点坐标分别为()3,0，()6,0，图象在x轴下方，图象3C与x轴的交点坐标分别为()6,0，()9,0，图象在x轴上方，

以此类推，图象13C与x轴的交点坐标分别为()36,0，()39,0，且图象在x轴上方，13C的表达式为()()133639yxx=−−−，当37x=时，()()373637392y=−−−=，即2m=.

故答案为：2.14.给定实数集合A，B，定义运算,,ABxxababaAbB==++.设0,2,4,,18A=，98,99,100B=，则AB中的所有元素之和为______.【答案】29970【解析】【

分析】【详解】由(1)(1)1xab=++−，则可知所有元素之和为(1319)30031029970+++−=.故答案为：29970.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15

.已知关于x的一元二次方程2640xxm−++=有两个实数根12,xx．（1）求m取值范围；（2）若12,xx满足1232xx=+，求m的值．【答案】（1）5m（2）4【解析】【分析】（1）根据判别式列不等式来求得m的取值范围.的（2

）利用根与系数关系以及对2x的符号进行分类讨论，由此求得m的值.【小问1详解】关于x一元二次方程2640xxm−++=有两个实数根12,xx，()2(6)442040mm=−−+=−，解得：5m，m的取值范围为5m．【小问2详解】关于x的一元二次方程2640x

xm−++=有两个实数根12,xx，126xx+=①，124xxm=+②．1232xx=+，当20x时，有1232xx=+③，联立①③解得：122,4xx==，84,4;mm=+=当20x时，有1232xx=−+④，联立①④解得：122,8xx=−=（不合题意，舍去）．

符合条件的m的值为4．16.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母,CD和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I．从三个口袋中各随机取出1个小球．（1）取出的3个小球上

恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，,,AEI是元音字母；,,,BCDH是辅音字母）【答案】（1）P（1个元音）512=，P（2个元音）14=

，P（3个元音）112=；（2）16.【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果；的（2）首先求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可．【小问1详解】如图所示

，所有可能出现的情况有12种，记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件,,ABC,事件A发生的情况有5种，事件B发生的情况有4种，事件C发生的情况有1种，所以5411(),(),()1212312PAPBPC====.【小问2详解】由树

状图知共有12种等可能的结果，取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况，所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为21126=.17.对m､n定义一种新运算“”，规定：5mnambn=−+（其中a､b均为非零常数），等式右边

的运算是通常的四则运算，例如：56565ab=−+．（1）已知()231,3110=−=．①求ab､的值；②若关于x的不等式组()()23936xxxt−−有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．（2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数,mn，结论“m

nnm=”都成立，试探索a､b所应满足的关系式．【答案】（1）①1,2ab==；②2023t；（2）0ab+=【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键．（1）①根据已知新运算得

出方程组，求出方程组的解即可；②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可；（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案．【小问1详解】①()231,3110=−=，∴23513510abzb−+=++=解得：1,2ab==；②∵()

()239,1,2.36xxabxt−==−∴()()2353119365317xaxbxxabxt−−+=−+−−+=+即3119317xxt−++，解得：23173xtx

−关于x的不等式组()()239,36xxxt−−有且只有一个整数解，17123t−，解得：2023t，即字母t的取值范围是2023t；【小问2详解】mnnm=，55ma

nbnamb−+=−+，0manbnamb−−+=，()()0mabnab+−+=，()()0abmn+−=，mn､为任意数，mn−不一定等于0，0ab+=，即ab､所应满足的关系式是0ab+=．18.定义：若任意,mnA（m，n可以相等），都有10m

n+，则集合,,1mnBxxmnAmn+==+称为集合A的生成集；（1）求集合{3,4}A=的生成集B；（2）若集合{,2}Aa=，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；（3）若集合(1,1)

A=−，A的生成集为B，求证AB=.【答案】（1）387,,51713B=（2）1a=或12a=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义算出x的值即可求出B；（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出a的值；（3）求出B的

范围即可证明出结论【小问1详解】由题可知，(1)当3mn==时，3331335x+==+，(2)当4mn==时，44814417x+==+，（3）当3,4mn==或4,3mn==时，34713413x+==+所以387,,51713B=【小问2详解】（1）当2mn==时，22

41225x+==+，（2）当mna==时，22211aaaxaa+==++（3）当2,mna==或,2man==时，212axa+=+B的子集个数为4个，则B中有2个元素，所以24251aa=+或222112

aaaa+=++或24125aa+=+，解得1a=或12a=（2a=舍去）,所以1a=或12a=.【小问3详解】证明：(),1,1mnA−=，()()111011mnmnmnmn++++=++，()()111011mnmnmnmn−−−+−=++，11

1mnmn++−，BA，设任意0xA，取12m=，则12A−，所以0012112xnBAx−=−，则00000000001121111321122224311111114222211212xxxxxmnxxBmnxxxx−+−+

−−+=====+−−+−+−，所以AB；所以AB=19.已知抛物线2yxbx=−+（b为常数）的顶点横坐标比抛物线22yxx=−+的顶点横坐标大1．（1）求b的

值；（2）点𝐴(𝑥1,𝑦1)在抛物线22yxx=−+上，点()11,Bxtyh++在抛物线2yxbx=−+上．（i）若3ht=，且10,0xt，求h的值；（ii）若11xt=−，求h的最大值．【答案】（1）4（2）（i）3；（ii）103【解析】【分析】（1）求出抛物线

2yxbx=−+和22yxx=−+的顶点横坐标，根据题意列方程，即可求解；（2）先求出211224htxtxt=−−++，（i）列出方程，即可求出h的值；（ii）求出h关于t的方程，结合二次函数的性质，即可求得h最大值

．【小问1详解】由抛物线2yxbx=−+的顶点的横坐标为2bx=，又由抛物线22yxx=−+的顶点的横坐标为1x=，因为抛物线2yxbx=−+的顶点的横坐标比22yxx=−+的顶点的横坐标大1，可得112

b−=，解得4b=.【小问2详解】由点𝐴(𝑥1,𝑦1)在抛物线22yxx=−+上，可得21112yxx=−+，又由点()11,Bxtyh++在抛物线24yxx=−+上，可得()()21114yhxtxt+=−+++，则()()22111124xxhxtxt−++=−+++，所以2112

24htxtxt=−−++，（i）因为3ht=，所以2113224ttxtxt=−−++，可得()1122ttxtx+=+，因为10,0xt，可得1t=，则3h=.（ii）将11xt=−代入211224htxtxt=−−+

+，可得2382htt=−+−，即2410333ht=−−+，当43t=，即113x=时，h取最大值103．