【文档说明】北京市北京交通大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月诊断性练习数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，927.172 KB，由小赞的店铺上传

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交大附中高三10月数学诊断性练习命题人：贾静杨华审核人：杨华贾静2024.10一、选择题（每题4分，共40分）1.已知全集{|22}Uxx=−，集合12Axx=−，则UA=ð（）A.(2,1)−−B.[2,1]−−C.(2,1){2}−−D.[2,1){2}−

−【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}Uxx=−，集合12Axx=−，所以[2,1){2}UA=−−ð.故选：D2.已知命题p：0xR，20020xxa++是假命题，则实数a的取值范围是（）A(,1−B.)1

,+C.(),1−D.()1,+【答案】B【解析】【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解.【详解】由于“0xR，20020xxa++”为假命题，故其否定为“xR，220xxa++”为真命题，则440a=−，得1a，故选

：B3.在ABCV中，()(sinsin)(sinsin)acACbAB+−=−，则C=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sinsin)(sinsin)acACbAB+−=−，

.所以由正弦定理得()()()acacbab+−=−，即222acabb−=−，则222abcab+−=，故2221cos222abcabCabab+−===，又0πC，所以π3C=.故选：B.4.设0.3

2,sin28,ln2abc===，则（）A.cbaB.bcaC.abcD.bac【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.3

2,si2nn212i81s30ab====，而e2e，则1ln212，即112c，所以bca.故选：B5.把函数sinyx=的图象向左平移π3个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，则所得

函数图象的解析式为（）A.πsin33xy=+B.πsin39xy=+C.πsin33yx=+D.πsin39yx=+【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.【详解】把函数sinyx=的图象向左平

移π3个单位后，πsin3yx=+，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得πsin33yx=+.故选：C6.函数()()()cossinfxxaxb=+++，则（）A.若0ab+=，则()fx为奇函数B.若π2ab+=，则()fx为偶

函数C.若π2ba−=，则()fx为偶函数D.若πab−=，则()fx为奇函数【答案】B【解析】【分析】根据选项中,ab的关系，代入()fx的解析式，对AD用特值说明()fx不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.【详解

】()fx的定义域为R，对A：若0ab+=，()()()cossinfxxaxa=++−，若()fx为奇函数，则()00f=，而()0cossin0faa=−=不恒成立，故()fx不是奇函数；对B：若π2ab+=，()()()()πcossincoscos2fxxaxaxaxa=+++−=++

−，()()()()()coscoscoscos()fxxaxaxaxafx−=−++−−=−++=，故()fx为偶函数，B正确；对C：若π2ba−=，()()()πcossin2cos2fxxaxaxa=++++=+

，()()2cos()fxxafx−=−+，故()fx不是偶函数，故C错误；对D：若πab−=，()()()()()cosπsincossinfxxbxbxbxb=++++=−+++，若()fx为奇函数，则

()00f=，而()0cossin0fbb=−+=不恒成立，故()fx不是奇函数；故选：B7.已知函数()2log1fxxx=−+，则不等式()0fx的解集是（）A.()0,1B.()()0,11,+C.()(),12,−+

D.()()0,12,+【答案】D【解析】【分析】利用导数判断出()fx的单调性，由此求得不等式()0fx的解集.【详解】函数()2log1fxxx=−+的定义域是()0,+，()11ln21ln2ln2xfxxx−=−=，令()0f

x=解得11ln2x=，所以()fx在区间10,ln2上()()0,fxfx单调递增，在区间1,ln2+上()()0,fxfx单调递减，而()()1110,12,20ln2lneff===，故要使

()0fx，则需01x或2x.综上所述，不等式()0fx的解集为()()0,12,+.故选：D8.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国

家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为%y，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数100.05e(

R)ty−=+描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（）（参考数据ln20.693,ln31.098）A.5B.7C.9D.10【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得，然后列不等式来求得t的取值范围，进而求得t的最

小整数值.【详解】当0t=时，0100.05e.050.25,0.20y−=++===，所以100.050.2ety−=+，由100.050.2e0.15ty−=+得10e12t−，10ln

eln2,10ln2100.6936.93101ln,2ttt−−−=，所以t的最小整数值为7.故选：B9.若()yfx=为定义在D上的函数，且D关于原点对称，则“存在0xD，使得()()2200fx

fx−”是“函数()yfx=为非奇非偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由()()2200fxfx−可得()()00fxfx−且()()00fxf

x−−，故可得()()2200fxfx−是函数𝑦=𝑓(𝑥)为非奇非偶函数的充分条件，举反例说明反之不成立.【详解】由()()2200fxfx−得()()00fxfx−且()()00fxfx−

−，由前式可得()fx不是偶函数，由后式可得()fx不是奇函数，由此可得()fx是非奇非偶函数，即()()2200fxfx−是函数𝑦=𝑓(𝑥)为非奇非偶函数的充分条件；反之不成立，举例如下：当1x

时，()fxx=，当1x=时，()1fx=−.当1x=时，有()()11fxf−=−=−，而()()11fxf−=−=，()()fxfx−−，所以()fx不是奇函数；又当1x以及0x时，都有()()fxfx−，所以()fx

不是偶函数，而对于Rx，都有()()2200fxfx−=成立，所以若函数𝑦=𝑓(𝑥)为非奇非偶函数不能得到()()2200fxfx−.故()()2200fxfx−

是函数𝑦=𝑓(𝑥)为非奇非偶函数的充分不必要条件.故选：A10.已知数列na的前n项和为nS，且21nnSSn++=，则下列四个结论中正确的个数是（）①22nnaa+−=；②若10a=，则501225S=；③若11a=，则501224S=；④若数列na是单调递增数列，则1a的

取值范围是11(,)44−.A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由21nnSSn+=−+，可得21(1)nnSSn−=−+−，两式相减得到121(2)nnaann++=−，进而可得22(2)nnaan+−=，可判断①

，根据1a的值可判断{}na是否为等差，再根据等差数列得前n项和公式即可求解②③；根据条件得21221nana=−−，21122+=+nana，再根据数列{}na单调递增，则必有22212nnnaaa++，且

21aa，求解即可得出1a的取值范围．【详解】因为21nnSSn+=−+，当2n，21(1)nnSSn−=−+−，两式相减得121(2)nnaann++=−，所以122(1)121+++=+−=+nnaann，两式相减得22(2)nnaan+−=，故①错误，当10a=时，令1n=，则211

SS=−+，1211aaa+=−+，得2121aa=−+，所以21a=，令2n=，则324SS=−+，112324aaaaa++=−−+，得312122422=−−+=+aaaa，所以32a=，则312aa−=，所以22nnaa+−=，故{}na奇数项是以10a=为首项，2为公差的等差数列，偶数项

是以21a=为首项，2为公差的等差数列，则50123495013492450()()Saaaaaaaaaaa=+++++=+++++++25242524(2502)(2512)122522=+++=，所以②正确；当11a=时，令1n=，则211SS=−+，121

1aaa+=−+，得2121aa=−+，所以21a=−，令2n=，则324SS=−+，112324aaaaa++=−−+，得3122244aaa=−−+=，故{}na偶数项是以21a=−为首项，2为公差的等差数列，奇数项从第二项开始以34a=为首项，2为公差的等差数列，则50123

495013492450()()Saaaaaaaaaaa=+++++=+++++++()242325241(2442)2512122422=+++−+=，所以③正确；由于22(2)nnaan+−=，2121aa=−+，3122=

+aa，则2222222442211()()()2(1)21221nnnnnaaaaaaaanana−−−=−+−++−+=−−+=−−，2121212123533311()()()2(1)222222nnnnnaaa

aaaaananana++−−−=−+−++−+=−+=−++=+又数列{}na单调递增，则必有22212nnnaaa++，且21aa，所以111222122221nanana+−−+−−，且1112−aa，

解得11144a−，所以1a的取值范围是11(,)44−，所以④正确．故选：C．二、填空题（每题5分，共25分）11.函数()1ln1fxxx=+−的定义域是____________.【答案】()()0,11+，.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由

题意得，100xx−故答案为：()()0,11,+.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点()1,2P−，则

tan2=________．【答案】43##113【解析】【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.【详解】由三角函数的定义可知tan2=-,所以2tan4t24tan211an43−===−−故

答案为：43.13.已知函数()()2sinfxx=+（π02）的部分图象如图所示.①函数()fx的最小正周期为______；②将函数()fx的图象向右平移t（0t）个单位长度，得到函数()gx的图象.若函数()gx为奇函数，则t的最小值是______.【答案】①.3

π2②.π8【解析】【分析】先根据函数图象得出函数的最小正周期，再根据周期得出再代入点得出，最后平移得出解析式，令函数为奇函数得出π3π,Z,84tkk=−即可得出t的最小值.【详解】因为函数()()2sinfxx=+（π02）的图象，可得()3π

01,14ff==−,所以3π42T=,所以3π2T=;3π2π4,23T===,所以函数()42sin3fxx=+，函数过点()0,1得12sin=,1πsin,0,22=,所以

π6=，所以()4π2sin36fxx=+,将函数()fx的图象向右平移t（0t）个单位长度，得到函数()()4π44π2sin2sin36336gxxtxt=−+=−+

为奇函数，所以4ππ,Z36tkk−+=,π3π,Z,84tkk=−0t,则t的最小值是π8.故答案为：3ππ28；.14.已知()2afxxx=+−,其中0a.若()()0,,0xfx+,则a的取值范围是__________;若()1,2,2xfx,则a

的取值范围是______.【答案】①.1a②.3a【解析】【分析】()()0,,0xfx+转化为()()max0,,2xaxx+−,则求出()2yxx=−的最大值即可;()()min1,2,21,2,4

xfxxaxx−,根据单调性求出()4yxx=−的最小值即可.【详解】()()()()()max0,,00,,200,,2axfxxxxaxxx+++−+−,因为()2yxx=−的对称轴为1x=,所以当1x=时,max1y=,则1

a;()()min1,2,21,2,221,2,4axfxxxxaxxx+−−,因为()4yxx=−的对称轴为2x=,所以当1,2x时,()4yxx=−为增函数,则当1x=时,min3y=,即3a.故答案为：1a;3a.15.已知函

数()πsin2fxax=++，给出下列四个结论：①任意Ra，函数()fx的最大值与最小值的差为2；②存在Ra，使得对任意Rx，()()π2+−=fxfxa；③当0a=时，存()0,πT，0Rx，使得对任意Zn，都有()()00fxfxnT=+；④当

0a时，对任意非零实数x，ππ22fxfx+−.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②【解析】【分析】①举一例说明最大值与最小值的差不为2，②令1a=，可证明()()π2+−=fx

fxa，③证明函在数的最小正周期不能小于π，④例如1a=时，举一例说明ππ22fxfx+=−，从而判断各命题的真假．【详解】π()sin()cos2fxaxax=++=+，①当0a=时，()cosfxx=，

最大值是1，最小值是0，差为1，①错；②当1a=时，()1cos1cosfxxx=+=+，()(π)1cos1cos(π)2coscos2fxfxxxxx+−=+++−=+−=，②正确；③0a=，()cosfxx=，它的最小值正周期是π，若(0,π)T，

(0)1f=，()1fT，()(0)fTf，③错；④当0a时，πx=时，ππ3π1cos(π)1cos1222fx+=++=+=，ππππ1cos(π)1cos()1cos12222fx−=+−=+−=+=，即ππ(π)(π)22ff

+=−，④错，所以正确的只有②，故答案为：②．三、解答题（共85分）16.已知函数cos()sinsincosxfxxxx=++22.（Ⅰ）求(0)f的值；（Ⅱ）求函数()fx在[0,]2上的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）

0,4.【解析】【分析】（Ⅰ）代入𝑥=0，求出()0f的值即可；（Ⅱ）化简()2sin4fxx=+，根据正弦函数的性质求出函数的单调区间即可．【详解】（Ⅰ）()cos002sin01sin0cos0f=+=+（Ⅱ）因为sincos

0xx+，所以4xk−，即函数()fx的定义域为,4xxkkZ−()cos22sinsincosxfxxxx=++22cossin2sinsincosxxxxx−=++=2sincossinxxx+−=

sincosxx+=2sin4x+令22242kxk−++解得322,44kxkkZ−+令0k=，得到344x−，因为4xk−所以()fx在区间0,2上单调递增区间为0,4【点睛】

本题主要考查函数求值，考查了三角函数式的化简以及正弦函数的性质，考查函数的单调性问题，属于中档题．17.已知nS为数列na前n项和，满足21nnSa=−，*nN.数列nb是等差数列，且1124,10babb=−+=−.（1）求数列{}na和{}nb的通

项公式；（2）求数列nnab+的前n项和nT；（3）设1321nnCaaa−=，且4096nC=，求n.【答案】（1）()11*12Nnnnaaqn−−==，()*21Nnbnn=−+（2）221=−−nnTn（3）4n=

【解析】【分析】（1）利用nS与na关系求数列{}na的通项公式，用方程的思想求等差数列{}nb的通项公式；（2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列nnab+的前n项和；的（3）求出数列nC的通项公式，然后解关于n的方程即

可得解【小问1详解】当1n=时，11121Saa=−=得11a=.由已知21nnSa=−①当*2,nnN≥时，1121nnSa−−=−②①-②得122nnnaaa−=−.所以12nnaa−=所以数列{}na为等比数列，且公比为2.q=因

为11a=，所以()11*12Nnnnaaqn−−==.设数列{𝑏𝑛}公差为d，1241111,()(3)2410,bbbbdbdbd=−+=+++=+=−由111,25bbd=−+=−得2.d=−所以()()()()*1111221Nnbbndnnn=+−=−+−

−=−+.综上，数列{}na的通项公式为；1*2()Nnnan−=；数列{}nb的通项公式为：()*21Nnbnn=−+.【小问2详解】设12(21)nnnncabn−=+=+−+，前n项和1(1242)2(123

)nnTnn−=++++−+++++212(1)221.122nnnnnn−+=−+=−−−【小问3详解】(022)02221221321222240962nnnnnCaaa+−−−=====即(022)122nn

+−=，即2120nn−−=，解得4n=18.在ABCV中，sincos02BbAa−=.（1）求B；,.（2）若3b=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABCV存在且唯一确定，求a及ABCV的面积.条件①：s

insin2sinACB+=；条件②：3c=；条件③：10ac=.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π3B=（2）选择①，3a=，934ABCS=△，选择②，23a=，332ABCS=△【解析】【分析】（1）

由正弦定理及倍角公式求得1sin22B=，从而求得B；（2）选条件①：由正弦定理及余弦定理解得9ac=，代入面积公式求解.选条件②：由余弦定理求出a值，再利用三角形面积公式即可；选条件③：由余弦定理及基本不等式得到

矛盾.【小问1详解】由正弦定理得sinsinbAaB=，代入sincos02BbAa−=得sincos02BaBa−=，所以2sincoscos0222BBBaa−=，因为π022B，所以cos0.2Ba所以1sin22B=

，所以π26B=，π3B=.【小问2详解】选条件①：sinsin2sin.ACB+=因为π3,3bB==，sinsin2sin.ACB+=由正弦定理得26acb+==，由余弦定理得2229()3acacacac=+−=+−，解得9ac=，所以193sin24ABCSacB==．由9,6,

acac=+=解得3ac==，ABCV解是唯一的.所以3a=，934ABCS=△.选择条件②：由π3,33,cbB===及余弦定理得2933aa=+−，即2360aa−−=，解得23a=或3−（负舍），此时ABCV有一解，所以11333sin23

32222ABCSacB===，所以23a=，332ABCS=△.选条件③：由π3,3bB==及余弦定理得229acac=+−，所以2292acacacacac=+−−=，故9ac.这与10ac=矛盾，故不成立.所以条件③

不满足.19.已知函数32()1fxxxax=++−.（Ⅰ）当1a=−时，求函数()fx的单调区间；（Ⅱ）求证：直线yax=−2327是曲线()yfx=的切线；（Ⅲ）写出a的一个值，使得函数()fx有三个不同零点（只需直接写出数值）【答案】（1）单调递增区

间为()1,1,,3−−+，单调递减区间为11,3−；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）当1a=−时，对函数()fx求导，通过判断导数与0的关系即可得单调区间；（Ⅱ）根据导数的几何意义可令()fxa=，解得x，而()01f=−，通过

直线2327yax=−不经过()0,1−，即可得最后结果；（Ⅲ）取a的值为2−．【详解】（Ⅰ）函数()321fxxxax=++−的定义域为(),−，当𝑎=−1时，()321fxxxx=+−−所以()2321fxxx=

+−令()0fx=，得1211,3xx=−=当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(),1−−-111,3−131,3+()fx+0-0+()fx极大值极小值所以函数()fx的单调递增区间为()1,1,,3−−+，单调递减区

间为11,3−（Ⅱ）因为()232fxxxa=++令()232fxxxaa=++=，解得1220,3xx==−因为()01f=−，直线2327yax=−不经过()0,1−而222333

27fa−=−−，所以曲线()yfx=在点22,33f−−处的切线为22323273yaax−−−=−−化简得到2327yax=−所以无论a为何值，直线2327yax=−都是曲

线()yfx=在点22,33f−−处的切线（Ⅲ）取a的值为-2.这里a的值不唯一，只要取a的值小于-1即可.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线的切线方程以及根据函数的增减性研究函数的零点问题，是中档

题．20.已知函数2()ln1()fxmxxxm=−+R．（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若()0fx在区间[1,)+上恒成立，求m的取值范围；（3）试比较ln4与2的大小，并说明理由．【答案】（1）1

0xy+−=（2）(,2−（3）ln42【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0fx在区间)1,+上恒成立，转化为1ln0mxxx−+，令()1lngxmxxx=−+，问题转化为()max0gx，利用导数求函数()maxgx即可得解；（3）由（2

）知，2m=时，()0fx在区间)1,+上恒成立，取2x=，可得解.【小问1详解】当1m=时，()2n1lfxxxx−+=，()ln12fxxx=+−，所以曲线()fx在点()()1,1f处切线的斜率()11kf==−，又

()10f=，所以曲线()fx在点()()1,1f处切线的方程为()1yx=−−即10xy+−=.【小问2详解】()0fx在区间)1,+上恒成立，即2ln10mxxx−+，对)1,x+，即1ln0mxxx−+，对)1,x+，令()1lngxmxxx=−+，只需()

max0gx，()222111mxmxgxxxx−+−=−−=，)1,x+，当0m时，有0mx，则()0gx，()gx在)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，当0m时，令()21hxxmx=−+−

，其对应方程210xmx−+−=的判别式24m=−，若0即02m时，有()0hx，即()0gx，()gx在)1,+上单调递减，()()10gxg=符合题意，若0即2m时，()21hxxmx=

−+−，对称轴12mx=，又()120hm=−，方程210xmx−+−=的大于1的根为2042mmx−−=，()01,xx，()0hx，即()0gx，()0,xx+，()0hx，即()0gx，所以函数()gx在()01,x上单调递增，(

)()10gxg=，不合题意.综上，()0fx在区间)1,+上恒成立，实数m的取值范围为(,2−.【小问3详解】由（2）知，当2m=时，()0fx，在区间)1,+上恒成立，即22ln1xxx−，对)1,x+，取

2x=代入上式得22ln21，化简得ln42.21.数列na有100项，1aa=，对任意2,100n，存在niaad=+，1,1in−，若ka与前n项中某一项相等，则称ka具有性质P.（1）若11a=，

2=d，求4a可能的值；（2）数列na中不存在具有性质P的项，求证：na是等差数列；（3）若na中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示12100aaa+++.【答案】（1）3,5,7（2）证明见解析（3）974656adc++【解析】【

分析】（1）根据11a=，2=d逐一求出234,,aaa即可；（2）根据题设条件和等差数列的定义即可得证.（3）去除具有性质P的数列{𝑎𝑛}中的前三项后，数列{𝑎𝑛}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为

a，公差为d，求12100aaa+++即可．【小问1详解】数列{𝑎𝑛}有100项，1aa=，对任意2,100n，存在niaad=+，1,1in−，所以若11a=，2=d，则当2n=时，213aad=+=，

当3n=时，1,2i，则313aad=+=，或325aad=+=，当4n=时，1,3i，则413aad=+=，或425aad=+=，或43125aadad=+=+=，或43227aadad=+=+=，所以4a可能的值：3,5,7【小问2详解】1aa=，21aadad=+=+，()3

1,2iaadi=+=，当1i=时，312aadada=+=+=，则3a满足了性质P，矛盾，当2i=时，322aadad=+=+，不矛盾，所以32aad=+，以此类推，()1,2,3,,1niaadin=+=−，当1,2,3,,1in=−时，na分别等于1a、2a、3a、……、2na−，则n

a满足了性质P，矛盾.所以只能1in=−，即1nnaad−=+，不矛盾，即数列{𝑎𝑛}是等差数列，【小问3详解】将数列{𝑎𝑛}中具有性质P的三项去掉，得到一个新的数列{𝑏𝑛}，()1

1,2,97,1,1nibaanbbdin===+−，且中没有满足性质P的项，由（2）可知，数列{𝑏𝑛}是等差数列，所以129719796979746562bbbbdad+++=+=+，又因为数列{𝑎𝑛}中去掉的三项和为c，所以12100974656ad

caaa++++=+；【点睛】方法点睛：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决

题中需要解决的问题.