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专练53条件概率、全概率公式、相互独立事件的概率授课提示：对应学生用书111页[基础强化]一、选择题1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)＝()A．12

B．14C．16D．18答案：A解析：P(A)＝12，P(AB)＝14，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝12.2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B

＝“取到的2个数均为偶数”；则P(B|A)＝()A．18B．14C．25D．12答案：B解析：P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，∴P(B|A)＝P（AB）P（A）＝11025＝14.3．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次可中靶7

次，若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是()A．35B．34C．1225D．1425答案：D解析：由题意可知甲中靶的概率P1＝810＝45，乙中靶的概率P2＝710，又两人中靶相互独立，∴他们都中

靶的概率P＝P1P2＝710×45＝1425.4．[2024·山东栖霞模拟]一道竞赛题，A，B，C三人单独解出的概率依次为12，13，14，则三人独立解答仅有1人解出的概率为()A．124B．1124C．724D．1

答案：B解析：由题意知，仅有1人解出的概率为P＝12×1－13·1－14＋1－12×13×(1－14)＋1－121－13×14＝14＋18＋112＝1124.故选B.5．[2024·山东济南模拟]已知某种生物由出生算起活到20岁

的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现为20岁的这种动物活到25岁的概率是()A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32答案：B解析：设“这种动物从出生起活到20岁”为事件A，“这种动物从出生起活到25岁”为事件B.则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4由于AB＝B，则P(AB)＝P(

B)则P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.40.8＝0.5.故选B.6．5G指的是第五代移动通信技术，是最新一代蜂窝移动通信技术．某公司研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门

攻克该技术难题的概率为0.8，乙部门攻克该技术难题的概率为0.7，则该公司攻克这项技术难题的概率为()A．0.56B．0.86C．0.94D．0.96答案：C解析：设事件A表示“甲部门攻克该技术难题”，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，P(A)＝0.8，P(B)＝0.

7，则该公司攻克这项技术难题的概率为：P＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－0.2×0.3＝0.94，故选C.7．[2023·全国甲卷(理)]某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好

滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()A．0.8B．0.6C．0.5D．0.4答案：A解析：方法一如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好

滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑

冰的概率为BB＋C＝0.40.5＝0.8，故选A.方法二令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝P（AB）

P（B）＝0.40.5＝0.8，故选A.8．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为()A．19B．16C．13D．7

18答案：D解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处因遇绿灯而通行为事件A，B，C，则P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝23，停车一次即为事件A－BC＋AB－C＋ABC－的发生，故概率P＝1－13×12×23＋13×1－12×23＋1

3×12×1－23＝718.故选D.9．(多选)[2023·新课标Ⅱ卷]在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次

传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1

，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若

发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD解析：由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概

率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A选项正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B选项正确．对于C，

相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为C23β(1－β)2＋C33(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，

1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝C23α(1－α)2＋C33(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝α(1－α)(1－2

α)>0，故D选项正确．综上，选ABD.二、填空题10．某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________

．答案：0.7解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.由全概率公式得P(A2

)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7故王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.11．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落

入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．答案：1623解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为1－12×1－13＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.12．一盒

中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．答案：1528解析：记事件“甲取到2个

黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)＝P（AB）P（A）＝C26C28＝1528.即所求事件的概率是1528.[能力提升]13．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，

乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案：B解析：P(甲)＝16，P(乙)＝16，P(丙)＝536，P(

丁)＝636＝16，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝136＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故选B.14．(多选)从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12

，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是()A.2个球都是白球的概率为16B．2个球都不是白球的概率为23C．2个球不都是白球的概率为56D．2个球恰好有一个球是白球的概率为12答案：ACD解析：∵2个球不都是白球的对立事件是2个

球都是白球，从甲口袋摸出白球和从乙口袋摸出白球两者是相互独立的，∴2个球都是白球的概率为13×12＝16，∴2个球不都是白球的概率是1－16＝56，故A，C正确；甲口袋摸出的球不是白球的概率为23，乙口袋摸出的球不是白球的概率为12，故2个球都不是白球的概率为23

×12＝13，B错误；2个球恰有一个球是白球的概率为13×12＋23×12＝12，D正确．故选ACD.15．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p

3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则()A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大答案：D解析：设第二盘与甲比赛，则p甲＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p2)p1

p3]＝2p1(p2＋p3－2p2p3).设第二盘与乙比赛，则p乙＝2[p2p1(1－p3)＋(1－p1)p2p3]＝2p2(p1＋p3－2p1p3).设第二盘与丙比赛，则p丙＝2[p3p1(1－p2)＋(1－p1)p2p3]＝2p3(p1＋p2－2p1p2).p甲－p乙＝2p3(p1－p2)<

0，p甲－p丙＝2p2(p1－p3)<0，p乙－p丙＝2p1(p2－p3)<0，故p丙>p乙>p甲．选D.16．(多选)设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A＝{第一个四面体向下的一面为偶数}，事件

B＝{第二个四面体向下的一面为奇数}，C＝{两个四面体向下的一面同时为奇数或者同时为偶数}，则下列说法正确的是()A．P(A)＝P(B)＝P(C)B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C．P(ABC)＝18D．P

(A)P(B)P(C)＝18答案：ABD解析：依题意P(A)＝12，P(B)＝12，P(C)＝12，故AD正确；P(AB)＝P(A)P(B)＝12×12＝14，P(AC)＝14，P(BC)＝14，故B正确；事件A，B，C不可能同时发生，所以P(ABC)＝0，故C错误．故选ABD.