【文档说明】北京市第一六一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.550 MB，由小赞的店铺上传

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北京市第一六一中学2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题

，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)AB−−，则直线AB的斜率为（）A.2B.1C.12D.不存在【答案】A

【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)AB−−，可得35213ABk−−==−−.故选：A.2.圆222430xyxy+−++=的圆心为（）．A.(1,2)−B.(1,2)−C.(2,4)−D.(2,4)−【答案】A【解析】【分析】

先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430xyxy+−++=，得22(1)(2)2xy−++=，所以圆心为(1,2)−，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F−，()23,

0F，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428xy+=B.221167xy+=C.221169xy+=D.22143xy+=【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于8，故28,4aa==，且()

13,0F−，故2223,7cbac==−=，所以椭圆的标准方程为221167xy+=.故选：B4.任意的kR，直线13kxyk−+=恒过定点（）A()0,0B.()0,1C.()3,1D.()2,1【答案】C【解析】【分析】将直线方

程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kxyk−+=，即()31ykx=−+，所以直线13kxyk−+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1Cxy+=与圆222:870Cxyx+−+=，则圆1C与圆2C的位置

关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D【解析】【分析】求出两圆圆心和半径，得到12124CCrr==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1Cxy+=的圆心为()10,0C，半径为11r=，圆()22222:87049Cxyxxy+−+=

−+=，故圆心()24,0C，半径为23r=，则12124CCrr==+，所以圆1C与圆2C的位置关系是外切..的故选：D6.过点13,22P−的直线l与圆2214xy+=有公共点，则直线l的倾斜角取

值范围是（）A.π5π,26B.2π,π3C.π22π,3D.5π,π6【答案】A【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为1

2，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l方程为12x=−，此时直线l与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为1322ykx=++，则圆心到其距离为21322121kdk+=+，解不等式得33k−，所以直线l的倾斜角

取值范围为π5π,26故选：A7.“1a=−”是“直线1:430laxy+−=与直线()2:320lxay+−+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件【答案】A【解析】【分析】求出当12ll//时实数𝑎的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12ll//时，()34aa−=，即2340aa−−=，解得1a=−或4.当1a=−时，直线1l的方程为430xy

−+=，直线2l的方程为420xy−+=，此时12ll//；当4a=时，直线1l的方程为304xy+−=，直线2l的方程为20xy++=，此时12ll//.因为1−1,4−，因此，“1a=−”是“直线1:430laxy+−=与直线()2:320lxay+−+=

平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，12AAADAB===，2BAD=，113BAAAAD==，则11ABAD=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B【解析】【分析】根据

空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111ABADABAAADAAABADABAAADAAAA=++=+++211110222228,22ABAD=+++=故选：B9.数学家

欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点()2,0A，()1,2B，且ACBC=，则△AB

C的欧拉线的方程为（）A.240xy−−=B.240xy+−=C.4210xy++=D.2410xy−+=【答案】D【解析】【分析】由题设条件求出AB垂直平分线的方程，且△ABC的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212ABk

−==−−，且AB中点为3(,1)2，∴AB垂直平分线的斜率112ABkk=−=，故垂直平分线方程为131()12224xyx=−+=+，∵ACBC=，则△ABC的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△

ABC的欧拉线的方程为2410xy−+=.故选：D10曲线33:1Cxy+=.给出下列结论:①曲线C关于原点对称;②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①②B.②C.②③D.③【答案】

C【解析】【分析】将(),xy−−代入，化简后可确定①的真假性.对x分成0,0,01,1,1xxxxx==等5种情况进行分类讨论，得出221xy+，由此判断曲线C上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C的两个整点()()0,

1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),xy−−代入曲线33:1Cxy+=，得331xy+=−，与原方程不相等，所以曲线C不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1Cxy+=，由于331yx=−，所以

331yx=−，所以对于任意一个x，只有唯一确定的y和它对应.函数331yx=−是单调递减函数.当0x=时，有唯一确定的1y=；当1x=时，有唯一确定的0y=.所以曲线C过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x时，1y，所以2222

1,1xyxy++.当1x时，0y，所以22221,1xyxy++.当01x时，01y，且.()()()()223322221110xyxyxyxxyy−+=+−+=−+−，所以22221,1xyxy++.综上所述，曲线C上任意一点到原点的距

离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331xy+=可得()331xy−=−，当0x且1x时，若x为整数，31x−必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【

点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a=，()4,2,bx=−，ab⊥，则b＝_____．【答案】26【解析】【分析】根据空间向

量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由ab⊥，且()2,3,1a=，()4,2,bx=−，则860abx=−++=rr，解得2x=，故164426b=++=r.故答案为：26.12.已知过点(0,2)的直线l的方向

向量为(1,6)，点(,)Aab在直线l上，则满足条件的一组,ab的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62ba=+，即可得出答案.【详解】直线l的方向向量为(

1,6)，可设直线l的方程为60xyC−+=因为点(0,2)在直线l上，所以2C=，即直线l为620xy−+=所以620ab−+=，即62ba=+可取1a=，则8b=故答案为：1；813.在正方体ABCDABCD−中，E是CD的中点，则异面直

线DE与AC所成角的余弦值为______.【答案】1010【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取AB中点F，易得//AFDE，则FAC或其补角

为所求角，不妨设正方体棱长为2，则225,3,22AFFCFCCFCCAC===+==，由余弦定理知：22258910cos2102522AFACFCFACAFAC+−+−===，则FAC为锐角，即异面直线DE与AC所成角.故答案为：1010.14.将

一张坐标纸对折，如果点()0,m与点()()2,22mm−重合，则点()4,1−与点______重合.【答案】()1,2−−【解析】【分析】先求线段AB的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,Am与点()2,2Bm−，可知线段AB的中点为1,122mmM−+

，且212ABmkm−==−−，则线段AB的中垂线的斜率1k=，则线段AB的中垂线方程为1122mmyx−+=−−，即20xy−+=，设点()4,1−关于直线20xy−+=的对称点为(),ab，的则114412022baab−

=−+−+−+=，解得12ab=−=−，所以所求点为()1,2−−.故答案为：()1,2−−.15.给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算：ab.规定：（i）ab为同时与a，b垂直的向量；（ii）a，b，ab三个向量构成右手系（如图1）；（ii

i）sin,ababab=.如图2，在长方体1111ABCDABCD−中，2ABAD==，14AA=.给出下列四个结论：①1ABADAA=；②ABADADAB=；③()111ABADAAABAAADAA+=+；④()11111ABCDABCDVABADC

C−=.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解：||||||sin902214ABADABAD===，且1AA分别与,ABAD

垂直，1ABADAA=，故①正确；由题意，1ABADAA=，1ADABAA=，故②错误；ABADAC+=，11|()|||224182ABADAAACAA+===，且1()ABADAA+与DB共线同向，1||241

8ABAA==，1ABAA与DA共线同向，1||2418ADAA==，1ADAA与DB共线同向，11||82ABAAADAA+=，且11ABAAADAA+与DB共线同向，故③正确；11(

)||||||sin90cos022416ABADCCABADCC===，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．

．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)ABC−，线段AC的中点M；（1）求过M点和直线BC平行的直线方程；（2）求BC边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170xy−+=（2）30xy+=【解析】【分析】（1）根据(3,9

),(2,2),(5,3)ABC−，求得点M的坐标，和直线直线BC的斜率，写出直线方程；（2）根据13BCk=，得到BC边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)ABC−，所以()1,6M，13BCk=，所以过M点和直

线BC平行的直线方程为()1613yx−=−，即3170xy−+=；【小问2详解】因为13BCk=，所以BC边的高线的斜率为-3，所以BC边的高线所在直线方程()933yx−=−+，即30xy+=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1BB的中点.（1）求

证：1//BC平面1AED；（2）求点1A到平面1AED的距离；（3）直线1AA与平面1AED所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABCD为平行四边形，可得出11

//BCAD，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A到平面1AED的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA

与平面1AED所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCDABCD−中，11//ABCD且11ABCD=，故四边形11ABCD为平行四边形，则11//BCAD，因为1BC平面1AED，1AD平面1AED，因此，1/

/BC平面1AED.【小问2详解】解：以点A为坐标原点，AD、AB、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()10,0,2A、()0,2,1E、()12,0,2D，所以，()10,0,2AA=，()12,0,2AD=，()0,

2,1AE=，设平面1AED的法向量为(),,nxyz=，则122020nADxznAEyz=+==+=，取2z=−，可得()2,1,2n=−，所以，点1A到平面1AED的距离为143AAn

dn==.【小问3详解】解：因为11142cos,233AAnAAnAAn===，因此，直线1AA与平面1AED所成角的正弦值为23.18.已知圆C的圆心在直线20xy−=上，且与x轴相切于点()1,0.

（1）求圆C的方程；（2）若圆C直线:0lxym−+=交于A，B两点，____，求m的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：22AB=；条件③：90ACB=.【答案】（

1）()()22124xy−+−=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),Cab，半径为r.由圆C的圆心在直线20xy−=上，知：

2ab=.又圆C与x轴相切于点()1,0，1a=，2b=，则02rb=−=.圆C圆心坐标为()1,2，则圆C的方程为()()22124xy−+−=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB=°，而2CACB==，圆心C到直线l的距离1cos60dCA==，则12111md−+==+

，解得21m+=或21−+.如果选择条件②和③：22AB=，而2CACB==，圆心C到直线l的距离22122dCAAB=−=，则12211md−+==+，解得1m=−或3.如果选择条件③：90ACB=，而2CACB==，

圆心C到直线l的距离cos452dCA==，则12211md−+==+，解得1m=−或3.19.如图，四棱锥PABCD−中，AD⊥平面ABP，,90,2,3,BCADPABPAABADBCm=====，E是PB

的中点．（1）证明：AE⊥平面PBC；（2）若二面角CAED−−的余弦值是33，求m的值；（3）若2m=，在线段𝐴𝐷上是否存在一点F，使得PFCE⊥．若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分

析】（1）推导出⊥BC平面PAB．,AEBCAEPB⊥⊥．由此能证明AE⊥平面PBC;（2）建立空间直角坐标系Axyz−，利用向量法能求出m的值;（3）设()()0,0,03Ftt，当2m=，()0,0,2C，()()2,0,,1,1,2PFtCE==−−，由PFCE⊥

知，0PFCE=,220,1tt−−==−，这与03t矛盾,从而在线段AD上不存在点F，使得PFCE⊥．【小问1详解】证明：因为AD⊥平面PAB，BCAD∥,所以⊥BC平面PAB,又因为AE平面PAB，所以AEBC⊥．在PAB中，PAAB=，E是PB的中点，

所以AEPB⊥．又因为BCPBB=,,BCPB平面PBC,所以AE⊥平面PBC．【小问2详解】因为AD⊥平面PAB，,ABPA平面PAB，所以,ADABADPA⊥⊥,又因为PAAB⊥,所以如图建立空间直角坐标系A

xyz−．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3ABCmEPD,则()0,2,ACm=，()1,1,0AE=，设平面AEC的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)．则00AC

nAEn==即200ymzxy+=+=，令1x=，则1y=−，2zm=，故21,1,nm=−．因为AD⊥平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB⊥,又AEPB⊥,,,ADAEAADAE=平面AED,所以PB⊥平面AED．又因为()2,2,0PB=−，所以取

平面AED的法向量为()2,2,0PB=−所以3cos,3nPBnPBnPB==，则222334222m−−=+，解得21m=．又因为0m，所以1m=；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0

,0,03Ftt．当2m=时，()0,0,2C，()()2,0,,1,1,2PFtCE=−=−−，由PFCE⊥知0PFCE=,220,1tt−−==−，这与03t矛盾,所以在线段AD上不存在点F，使得P

FCE⊥．20.已知圆()22:1Cxay−+=与直线1yx−−=交于M、N两点，点P为线段MN的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为13−.（1）求a的值及MON△的面积；（2）若圆C与x轴交于,AB两点，

点Q是圆C上异于,AB的任意一点，直线QA、QB分别交:4lx=−于,RS两点.当点Q变化时，以RS为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MONaS=−=（2）()43,0−+【解析】【分析】（1）

先确定直线OP的方程，联立直线方程求得P点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA方程，含参表示QB方程，求出,RS坐标，从而求出以RS为直径的圆的方程，利用待定系

数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP方程为13yx=−，则由113yxyx=−−=−，得到3212xy=−=，即31,22P−，点P为线段MN的中点，MNPC⊥，即1021132MNPCkka−

=−=−+，2a=−，即圆心𝐶(−2,0)；C到直线=1yx−−距离为1222d==，222122MN=−=，又O到直线=1yx−−的距离为22，MN边上的高为22.12122

22MONS==.【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0AB−−,不妨设直线QA的方程为()3ykx=+，其中0k，在直线QA的方程中，令4x=−，可得()4,Rk−−，因为QAQB⊥，则直线QB的方程为()11yxk=−+，在直线QB的方程中，令4x=−，可得3yk=

，即点34,Sk−，则线段RS的中点为234,2kFk−−，半径平方为2232kk+，所以，以线段MN为直径的圆的方程为()2222233422kkxykk−+++−=，即()2223430kxyyk−++−−

=，由()2430031xyx+−==−−，解得430xy=−+=，因此，当点Q变化时，以RS为直径的圆恒过圆C内的定点()43,0−+.21.已知1,2,,nS=，AS，12,TttS=，记(),1,2iiAxxataAi==+

=，用X表示有限集合X的元素个数.（1）若4n=，12AA=，分别指出1,2,3A=和1,2,4A=时，集合T的情况（直接写出结论）；（2）若6n=，12AA=，求12AA的最大值；（3）若7n=，4A=，则对于任意的A，是否都存在T，使得12AA=？说明理由.【答案】（1）1

,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12ttab−−，其中,abA，当1,2,3A=时，12tt，相差3；由此可求得T，当1,2,4A=时，同理可得；（2）若6n=，12AA=，

123456S=,,,,,，当2,3,4,5,6A=时，则12tt，相差5，所以1,6T=，A中至多有5个元素，所以12,AA也至多有5个元素，求出12,AA得出结果；（3）举反例1,2,5,7A=和1,2,3,4,1,6

AT==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12AA=，则12ttab−−，其中,abA，否则12tatb+=+，12AA，若4n=，当1,2,3A=时，211−=，312−=，所以121,2tt−，则1t，2t相差3，因为1

,2,3,4S=，12,TttS=，所以1,4T=；当1,2,4A=时，211−=，422−=，413−=，所以121,2,3tt−，因1,2,3,4S=，12,TttS=，所以T不存在；【小问2详解】若6n=，12AA

=，123456S=,,,,,，当AS=时，211−=，514−=，523−=，716−=，72=5−，752−=，所以AS，121,2,3,4,5tt−，所以T不存在；所以A中至多有5个元素；当2,3,4,5,6A

=时，321−=，422−=，523−=，624−=，所以121,2,3,4tt−，则1t，2t相差5，所以1,6T=；(),1,2iiAxxataAi==+=，所以1345,6,7A=,,，28910,11,12A=,,，

12345,6,7,8910,11,12AA=,,,,.因为A中至多有5个元素，所以1A，2A也至多有5个元素，所以12AA的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如1,2,5,7A=，则211−=514−=，523−=，716−=，72=5−，752−=

，则1t，2t相差不可能1，2，3，4，5，6，这与12,1,2,3,4,5,6,7Ttt=矛盾，故不都存在T；为例如1,2,3,4,1,6AT==，不妨令121,6tt==，则122,3,4,5,7,8,9,10AA==，满足12

AA=.【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.