【文档说明】北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，821.436 KB，由小赞的店铺上传

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数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1

.设集合21,3Mmm=−−，若3M−，则实数m=（）A.0B.1−C.0或1−D.0或1【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213−=−m和33m−=−两种情况，求解m并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合21,3Mmm=−−，若3M

−，3M−，213m−=−或33m−=−，当213−=−m时，1m=−，此时3,4M=−−；当33m−=−时，0m=，此时3,1M=−−；所以1m=−或0.故选：C2.记nS为等差数列{

}na的前n项和．已知4505Sa==，，则A.25nan=−B.310nan=−C.228nSnn=−D.2122nSnn=−【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，55a=，44(72)

1002S−+==−，排除B，对C，245540,25850105SaSS==−=−−=，排除C．对D，24554150,5250522SaSS==−=−−=，排除D，故选A．【详解】由题知，41514430245dS

aaad=+==+=，解得132ad=−=，∴25nan=−，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3.已知1.5

0.31.50.3,log0.3,1.5abc===，则（）A.abcB.bacC.acbD.bca【答案】B【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a=，1.5log0.30b=

，0.31.51，所以bac.故选：B4.设()()1i21iz−=+，则z=（）A.22B.1C.2D.2【答案】D【解析】【分析】利用复数除法法则计算出()21i2i1iz+==−，求出模长.【详解】()()22221i21i12ii2i1i1iz++===++=

−−，故2z=.故选：D5.下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+上的增函数的是（）A.yx=B.21yx=Clgyx=D.332xxy−−=【答案】C【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．【详解】选项A，yx=是非奇非偶函数，是区间

(0,)+上的增函数，错误；.选项B，21yx=是偶函数，是区间(0,)+上的减函数，错误；选项C，lgyx=是偶函数，是区间(0,)+上的增函数，正确；选项D，332xxy−−=是奇函数，是区间(0,)+上的增函数，错误；故选：C6.已知向量()3,4a=，()1

,0b=，catb=+，若,,acbc=则实数t=（）A.6−B.5−C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据,,acbc=，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t的值．【详解】由()3,4a=，

()1,0b=，则()3,4catbt=+=+，又,,acbc=，则cos,cos,acbc=，则acbcacbc=，即ababcc=，2293163134tt+++=+，解得5t=，故选：C.7.函数()()()cossinfxx

axb=+++，则（）A.若0ab+=，则()fx为奇函数B.若π2ab+=，则()fx为偶函数C.若π2ba−=，则()fx为偶函数D.若πab−=，则()fx为奇函数【答案】B【解析】【分析】根据选项中,ab的关系，代入()fx的解析式，对AD用特值说明()fx不是

奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可.【详解】()fx的定义域为R，对A：若0ab+=，()()()cossinfxxaxa=++−，若()fx为奇函数，则()00f=，而()0cossin0faa=−=不恒成立，故()fx不是奇函数；

对B：若π2ab+=，()()()()πcossincoscos2fxxaxaxaxa=+++−=++−，()()()()()coscoscoscos()fxxaxaxaxafx−=−++−−=−++=，故()fx偶函数，B正

确；对C：若π2ba−=，()()()πcossin2cos2fxxaxaxa=++++=+，()()2cos()fxxafx−=−+，故()fx不是偶函数，故C错误；对D：若πab−=，()()(

)()()cosπsincossinfxxbxbxbxb=++++=−+++，若()fx为奇函数，则()00f=，而()0cossin0fbb=−+=不恒成立，故()fx不是奇函数；故选：B8.已知函数(),0,0xxfxxx−=−，若对

任意的1x有()()20fxmfx++恒成立，则实数m的取值范围是（）A.(),1−−B.(,1−−C.(),2−−D.(,2−−【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义证明()fx为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m的取值范围.

【详解】当0x时，0x−，()fxx=−，()()fxxfx−=−−=−，当0x时，0x−，()fxx=−，()()()fxxfx−=−−=−，当0x=时，()00f=，所以对任意的Rx，()()fxfx−=−，函数()fx为奇函数，又当0x时，()fxx=−为单调递减函数，所

以函数()fx在(),−+上为单调递减函数，所以不等式()()20fxmfx++可化为()()2fxmfx+−，为所以2xmx+−，所以xm−，由已知对任意的1x有xm−恒成立，所以1m−，即1m−，故m的取值范围是(),1−−.故选：A.9.已知a、b、e是平面向量，e

是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足2430beb−+=，则ab−的最小值是A.31−B.31+C.2D.23−【答案】A【解析】【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【

详解】设()()(),,1,0,,axyebmn===rrr，则由π,3ae=rr得22π1cos,,332axeexxyya==+=rrrr，由2430beb−+=rrr得()2222430,21,mnmm

n+−+=−+=因此，ab−rr的最小值为圆心()2,0到直线3yx=的距离23=32减去半径1，为31.−选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解

方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数()1fxxk=++，若存在区间[,]ab，使得函数()fx在区间[,]ab上的值域为[1,1]ab++则实数k的取值范围为（）A.(1,)−+B.(1,0]−C.1,4−+D.1,04−

【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性可知，()()11faafbb=+=+，即得110110aakbbk+−+−=+−+−=，故可知1,1ab++是方程20xxk−−=的两个不同非负实根，由根与系

数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11faafbb=+=+，即可得到110110aakbbk+−+−=+−+−=，即可知1,1ab++是方程20xxk−−=两个不同非负实根，所以140110kabk

=+++=−，解得104k−．故选：D．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知角α的终边与单位圆交于点1,2yP

，则πsin2+=__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos2=，再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1cos2=，由诱导公式得1cos2πsin2==+.故答案为：1212.记

nS为数列na的前n项和，若21nnSa=+，则6S=_____________．【答案】63−【解析】【分析】首先根据题中所给的21nnSa=+，，类比着写出1121nnSa++=+，，两式相减，整理得到12nnaa+=，，从而确定出数列na为

等比数列，再令1n=，结合11,aS的关系，求得11a=−，之后应用等比数列的求和的公式求得6S的值.【详解】根据21nnSa=+，可得1121nnSa++=+，两式相减得1122nnnaaa++=−，即12nnaa+=，当1n

=时，11121Saa==+，解得11a=−，所以数列na是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S−−==−−，故答案是63−.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件

，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n=，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13.若命题“对任意2R,20xaxxa++

为假命题的a的取值范围是______【答案】1a【解析】【分析】写出全称量词命题的否定，2R,20xaxxa++为真命题，分0a=，0a和0a三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得2R,20xaxxa++为

真命题，当0a=时，不等式为20x，有解，满足要求，当0a时，若0a，此时220axxa++必有解，满足要求，若0a，则2440a=−，解得01a，综上，a的取值范围为1a.故答案为：1a14.若函数()()cossin0f

xAxxA=−的最大值为2，则A=________，()fx的一个对称中心为_______【答案】①.3②.π,03（答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数()fx进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由()2cossin1cos

fxAxxAx=−=++（），其中1tanA=，又函数()fx的最大值为2，则212A+=，又0A，则3A=，3tan3=，不妨取π6=，故()π2cos6fxx=+，则()fx的对称

中心满足πππ62xk+=+，kZ，解得ππ3xk=+，kZ，即()fx的对称中心为ππ,03k+，kZ，则()fx的一个对称中心可为：π,03，故答案为：3，π,03（答案不唯一）1

5.对于函数()yfx=，若在其定义域内存在0x，使得()001xfx=成立，则称函数()fx具有性质P.（1）下列函数中具有性质P的有___________.①()222fxx=−+②()()sin0,2πfxxx=③()1fxxx=+，（𝑥∈(0,+∞)）④()()ln1

fxx=+（2）若函数()lnfxax=具有性质P，则实数a的取值范围是___________.【答案】①.①②④②.0a＞或ae−．【解析】【分析】（1）令12+22xx−=，由0=，可判断；由sinx=1x有解，可判断是否具有性质P；令1+xx=1x，此方程无解，由此可判断

；由()1ln1,xxyy=+=两图象在()1，−+有交点可判断；（2）问题转化为方程1lnxxa=有根，令()lngxxx=，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a的取值范围．【详解】解：（1）在0x时，()

1fxx=有解，即函数具有性质P，令12+22xx−=，即222210xx−+−=，∵880=−=，故方程有一个非0实根，故()222fxx=−+具有性质P；()()sin]02[fxxx=，的图象与1yx=有交点，故sinx=1x有解，故()()sin]

02[fxxx=，具有性质P；令1+xx=1x，此方程无解，故()1fxxx=+，（𝑥∈(0,+∞)）不具有性质P；令()1ln1xx+=，则由()1ln1,xxyy=+=两图象在()1，−+有交点，所以()1ln1xx

+=有根，所以()()ln1fxx=+具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：①②④；（2）()lnfxax=具有性质P，显然0a，方程1lnxxa=有根，令()lngxxx=，则()'ln+1gxx=，令()'ln+10gxx==，解得1=xe，当11xe−时，()'0gx

，所以()gx在11e−，上单调递减，当1>xe时，()'>0gx，所以()gx在1e+，上单调递增，所以()1111lngxgeeee==−，所以()lngxxx=的值域[1e−，+∞），∴11ae−，解之可得：0a＞或ae

−．故答案为：①②④；0a＞或ae−．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在A

BCV中，sin2sinAB=，2b=．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABCV存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B的大小；（2）求ABCV的面积．条件①：4c=；条件②：2222bacac−=−；条件③：coss

inaBbA=．【答案】（1）选②或③，4B=；（2）ABCV的面积为1.【解析】【分析】（1）选①，利用三边关系可判断ABCV不存在；选②：利用余弦定理可求得角B的值；选③：利用正弦定理可求得tanB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；（2）利用余弦定理可求得c的

值，再利用三角形的面积公式可求得ABCV的面积．【小问1详解】解：因为sin2sinAB=，2b=，则22ab==.选①：因为4c=，则abc+，则ABCV不存在；选②：因为2222bacac−=−，则2222acbac+−=，由余弦定理可得2222cos22acbBac+−==，()0,B

，则4B=；选③：cossinaBbA=，则sincossinsinABAB=，A、()0,B，则sin0A，sincos0BB=，故tan1B=，从而4B=.【小问2详解】解：因为4B=，2a=，2b=，由余弦定理可得2222cosbacacB=+−

，即22220cc−+=，解得2c=，因此，112sin221222ABCSacB===△.17.已知nS是等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，51120Sa==，数列{𝑏𝑛}是公比大于1的等比数列，且236bb=，

4212bb−=.（1）求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；（2）设nnnScb=，求使nc取得最大值时n的值.【答案】（1）22nan=−，2nnb=（2）3或4【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n项和公式求出首项与公差，即

可求出数列{𝑎𝑛}的通项公式，再求出数列{𝑏𝑛}的首项与公比，即可得{𝑏𝑛}的通项公式；（2）先求出nc的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列{�

�𝑛}的公差为d，则511115452021020Sadaad=+==+=，解得10,2ad==，所以22nan=−，设等比数列{𝑏𝑛}的公比为()1qq，则()2251131112bqbqbq

bq=−=，解得122bq==，所以2nnb=；【小问2详解】由（1）得()()2212nnnSnn−==−，则()12nnnnnnScb−==，()()2111113222nnnnnnnnnnncc++++−−−=−=，当1,2n=

时，11230,nnccccc+−，当3n=时，1340,nncccc+−==，当4n时，1450,nnnccccc+−，所以当3n=或4时，nc取得最大值.18.已知函数π3()6sin()62cosfxxx=−+．（1）求()fx的最小正周期和单调增区间；（2）若函数

()yfxa=−在π5π[,]1212x存在零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ63kkk−++（2）0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin26fxx=−，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin2

63ax−=在π5π,1212x上有解，以π26x−为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cossin6cossincos62222fxxxxxx=−+=−

+()23331cos2331π3sincos3cossin233sin2cos23sin22222226xfxxxxxxxx+=−+=−+=−=−，所以函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，令πππ2π22π,Z2

62kxkk-+???，则ππππ,Z63kxkk-+＃+?，∴函数()fx单调递增区间为()πππ,πZ63kkk−++.【小问2详解】令()0yfxa=−=，即π3sin206xa−

−=，则πsin263ax−=，∵()yfxa=−在π5π,1212x存在零点，则方程πsin263ax−=在π5π,1212x上有解，的若π5π,1212x时，则π2π20,63x−，

可得πsin2[0,1]6x−，∴013a，得03a故实数a的取值范围是0,3．19.1.已知函数()21exaxxfx+−=，0a.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当0a时，求证：函数()fx在区间()0,1上有且仅有一

个零点.【答案】（1）当0a=时，()fx的单调递减区间为()2,+，单调递增区间为(),2−；当0a时，()fx的单调递减区间为1,a−−，()2,+，单调递增区间为1,2a−

.（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在()0,1上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】()()()(

)221212eexxaxaxaxxfx−+−+−+−==，当0a=时，()()2exxfx−−=，由()0fx得：2x，由()0fx，得：2x，故此时()fx的单调递减区间为()2,+，单调递增区间为(),2−当0a时，令()

()()120gxaxx=−+−=得：𝑥=−1𝑎<0或2x=由()0gx得：12xa−，此时()0fx由()0gx得：1xa−或2x，此时()0fx故此时()fx的单调递减区间为1,a−−，()2,+，单调递增区间为1,2a−

综上：当0a=时，()fx的单调递减区间为()2,+，单调递增区间为(),2−；当0a时，()fx的单调递减区间为1,a−−，()2,+，单调递增区间为1,2a−.【小问2详解】由（1）可知，当0a时，()fx的单调递增区间为1,2a−，而(

)1,20,1a−，所以()fx在()0,1上单调递增，又()010f=−，()10eaf=所以()()010ff，由零点存在性定理可得：：函数()fx在区间()0,1上有且仅有一个零点20.已知函数()esin2xfxx

x=−.（1）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（2）求()fx在区间[1,1]−上的最大值；（3）设实数a使得()exfxxa+对Rx恒成立，写出a的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）yx=−（2）()maxsin12efx=−（3）2−，

理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x=处的导数，即切线斜率，求出(0)f，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]−上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sinexxax−在Rx上恒成立.构造函数()sinexxxx=−，利用导数求出函数的单调性和

最小值，进而得证.【小问1详解】因为()esin2xfxxx=−，所以()()esincos2xfxxx=+−，则(0)1f=−，又(0)0f=，所以曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为yx=−.

【小问2详解】令()()()esincos2xgxfxxx+==−，则()2ecosxgxx=，当[1,1]x−时，()0gx，()gx在[1,1]−上单调递增.因为(0)10g=−，()()1esin1cos120g=+

−，所以0(0,1)x，使得0()0gx=.所以当0(1,)xx−时，()0fx，()fx单调递减；当0(,1)xx时，()0fx，()fx单调递增，又()1esin12e21f=−−，()sin1121ef−=

−，所以()()maxsin112efxf=−=−.【小问3详解】满足条件的a的最大整数值为2−.理由如下：不等式()exfxxa+恒成立等价于sinexxax−恒成立.令()sinexxxx=−，当0x时，0ex

x−，所以()1x−恒成立.当0x时，令()exxhx=−，()0hx，()1exxhx−=，()hx与()hx的情况如下：x(0,1)1(1,)+()hx−0+()hx1e−所以()()min11ehx

h==−，当x趋近正无穷大时，()0hx，且()hx无限趋近于0，所以()hx的值域为1,0e−，因为sin[1,1]x−，所以()x的最小值小于1−且大于2−.所以a的最大整数值为2−.21.已

知数列{𝑎𝑛}记集合()()*1,,,1,,iijTSijSijaaaijij+==+++N（1）对于数列{𝑎𝑛}：1,2,3，列出集合T的所有元素；（2）若2nan=是否存在*,ijN，

使得(),1024Sij=？若存在，求出一组符合条件的,ij；若不存在，说明理由；（3）若22nan=−把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.mBbbb若2020mb，求m的最大值.【答案】（

1）3,5,6T=；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题目给出的集合T的定义求解即可；（2）假设存在*,ijN，使得(),1024Sij=，则有()()()1102422121iijaaaiijjiij+=

+++=++++=−++，则ij+与ji−奇偶性相同，所以ij+与1ji−+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）由22nan=−，根据题意给出的集合T新定义可对()()()()22221212jijijiji−+−−+=+−−+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【

小问1详解】由题意可得123aa+=，1236aaa++=，235aa+=，所以3,5,6T=.【小问2详解】假设存在*,ijN，使得(),1024Sij=，则有()()()1102422121iijaaaiijjiij+=+++=++++=−++，由于ij+与ji−奇偶性相同，所以ij+与

1ji−+奇偶性不同，又因为3,12ijji+−+，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,ijN，使得(),1024Sij=成立.小问3详解】【由题意得()()()(

)22221212jijijiji−+−−+=+−−+，当2j=，1i=时，12b=，除2j=，1i=外22ji+−，12ji−+，其中2ji+−与1ji−+一奇一偶，则nb能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数

中，只有2n无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T中的元素均为偶数，故**2,2,kTnnnk=NN，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，102

4，2020910012m=−=，故m的最大值为1001．【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进

行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.