【文档说明】专题三 等差数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(解析版).docx，共(22)页，103.967 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题三等差数列基本知识点1．等差数列的递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项：如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等差中项．满足的关系式是a＋b＝2A．3．等差中项的理解：(1)等差中项的概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若

an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an＋1，显然满足等差数列的定义．(2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后

两项的等差中项．4．等差数列中项与序号的关系(1)两项关系：在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝am－anm－n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d(m，n∈N*).(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝ap＋aq.

特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.5．等差数列的判定方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an}是等差数列．(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列．(3

)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列．(4)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….6．等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d，(1)当d>0时，

数列{an}为递增数列．(2)当d<0时，数列{an}为递减数列．(3)当d＝0时，数列{an}为常数列．7．等差数列常用结论(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差

数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(3)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…，

(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列.8．试题中等差数列的对称项的设法三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，

a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．例题分析一、等差数列的通项公式例

1(1)2000是等差数列4,6,8，…的()A．第998项B．第999项C．第1001项D．第1000项(2)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项．解析(1)数列4,6,8，…的通项公式为an＝2n＋2.则2n＋2＝2000.解得n＝999.(2)由题意可知a

1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4.所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.所以a20＝5－4×20＝－75.即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.答案(1)B(

2)an＝5－4n，a20＝－75.归纳总结：解决等差数列通项公式的方法：(1)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋(m－1)d＝a，a1＋(n－1)d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．(2)若已知等差数列

中的任意两项am，an，求通项公式或其他项，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．(对应训练一)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d；解析(1)解法一：因为a5＝1

0，a12＝31，故a1＋4d＝10，a1＋11d＝31，即a1＝－2，d＝3.所以，这个等差数列的首项是－2，公差是3.解法二：a12＝a5＋7d⇒31＝10＋7d⇒d＝3.由10＝a1＋(5－1)×3得a1＝－2.所以，这个等差数列的首项是

－2，公差是3.答案首项是－2，公差是3(对应训练二)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．解析①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)×d，

所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.答案①3n－11②10二、等差中项的应用例2(1)一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平

方和为35，求这三个数．(2)一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是________.解析(1)设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有a－d＋a＋a＋d＝9，(a－d)2＋a2＋(

a＋d)2＝35，解得a＝3，d＝±2.所以所求三个数分别为1,3,5或5,3,1.(2)方法一：设c为斜边，公差为d，则a＝b－d，c＝b＋d，所以12b(b－d)＝12，(b＋d)2＝b2＋(b－d)

2，解得b＝42，d＝2，从而a＝32，c＝52，a＋b＋c＝122.方法二：设c为斜边，因为是直角三角形且三边长a，b，c成等差数列，且面积为12，可得：2b＝a＋c，12ab＝12，a2＋b2＝c2，解得a＝32，b＝42，c＝52，故三角形的周长为a＋b＋c＝1

22.答案(1)1,3,5或5,3,1(2)122归纳总结：等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，

即2an＝an－1＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m<n)．(3)三个数或四个数成等差数列的设法：当三个数或四个数成等

差数列且和为定值时，方法一：可设出首项a1和公差d，列方程组求解．方法二：采用对称的设法，三个数时，设为a－d，a，a＋d；四个数时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.(对应训练一)已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同

时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．解析因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：2lg4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．从而

16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.所以d＝4或d＝－2.所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.答案1,5,9或7,5,3.(对应训练二)已知数列{an}的首项为x1＝3，通项xn

＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值．解析(1)由x1＝3，得2p＋q＝3.①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4,3＋25p＋

5q＝25p＋8q，即q＝1.②将②代入①得p＝1，故p＝1，q＝1.答案p＝1，q＝1(对应训练三)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．解析在等差数列{a

n}中，∵a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.∴a2＋a4＝12，a2·a4＝11，解得a2＝11，a4＝1或a2＝1，a4＝11.当a2＝11，a4＝1时，a1＝16

，d＝－5.an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.当a2＝1，a4＝11时，a1＝－4，d＝5.an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.答案5n－9

三、等差数列的判断与证明例3已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差数列．解析∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，则b(a＋c)＝2ac，∴ac＝b(a＋c)2.∴b＋ca＋a＋bc＝(b＋c)c

＋(a＋b)aac＝b(a＋c)＋a2＋c2ac＝2ac＋a2＋c212b(a＋c)＝2(a＋c)b，即b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差数列．答案见解析归纳总结：1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)an＋1－an

＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)an＝kn＋b(k、b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可．2．

用定义证明等差数列时的易错点：用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．(对应训练一)判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{a

n}中an＝n2＋n.解析(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，

不是常数，所以这个数列不是等差数列．(对应训练二)在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，an＋1an＝nn－1.求证：数列{an}是等差数列．解析当n≥2时，由an＋1an＝nn－1，得(n－1)an＋1＝nan，所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得：nan＋2－(n－

1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，所以an＋2＋an＝2an＋1，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an，又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，所以数列{an}是等差数列．

(对应训练三)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1＋anan＋12(n∈N*)．(1)求证：1an－1是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析(1)证明：因为对于n∈N*，an＋1＝1＋anan＋12，所以an＋1＝12－an

，所以1an＋1－1－1an－1＝112－an－1－1an－1＝2－an－1an－1＝－1.所以数列1an－1是首项为1a1－1＝－2，公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1an－1＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋

1)，所以an－1＝－1n＋1，即an＝nn＋1.四、等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用例4若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.[解析]解法一：设等差数列{an}的公差为d，∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，∴

a1＋14d＝8a1＋59d＝20，解得a1＝6415d＝415.∴a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.解法二：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，∴a60＝a1

5＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.解法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝a60－a1560－15＝415.∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×41

5＝24.归纳总结：1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75.2．因为{an}为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．3．解法

二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分．(对应训练)等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.解析解法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意，得

a1＋d＝3a1＋7d＝6，∴a1＝52d＝12.∴a10＝a1＋9d＝52＋92＝7.解法二：设等差数列{an}的公差为d，∴a8－a2＝6d＝3，∴d＝12.∴a10＝a8＋2d＝

6＋2×12＝7.五、用性质am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题例5(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝______.(2)已知

{an}为等差数列，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值．解析(1)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝

(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.(2)因为a3＋a4＋a5＋

a6＋a7＝450，由等差数列的性质知a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以5a5＝450.所以a5＝90.所以a2＋a8＝2a5＝180.归纳总结：等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．(2)利用性质巧解

，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.(对应训练一)若a1－a4－a8－a12＋a15＝π2，则sin(a2＋a14)的值()A．0B．1C．－1D．不存在解析a1＋a15＝2a8，a4＋a8＋a12

＝3a8，∴－a8＝π2，即a8＝－π2，∴sin(a2＋a14)＝sin(2a8)＝sin(－π)＝0.答案A(对应训练二)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80.求通项an.解析因为a

1＋a5＝2a3，所以a1＋a3＋a5＝－12⇒3a3＝－12⇒a3＝－4a1a3a5＝80，⇒a1a5＝－20，a1＋a5＝－8，解得a1＝－10，a5＝2或a1＝2，a5＝－10，

因为d＝a5－a15－1，所以d＝3或－3，所以an＝－10＋3(n－1)＝3n－13，或an＝2－3(n－1)＝－3n＋5.六、等差数列的综合应用例6(1)方程f(x)＝x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)＝xa(x＋2)有唯一不动点，且x1＝10

00，xn＋1＝1f(1xn)，n＝1,2,3，…，则x2019＝()A．2019B．2009C．20192D．2018(2)已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2(ax2－3x＋6)>2的解集为{x|x

<1或x>b}，则数列{an}的通项公式an＝_________.解析(1)由xa(x＋2)＝x得ax2＋(2a－1)x＝0，∵f(x)有唯一不动点，∴2a－1＝0，即a＝12，∴f(x)＝2xx＋2，∴xn＋1＝1f(1xn)＝2xn＋12＝x

n＋12，∴{xn}为公差为12，首项为1000的等差数列，∴x2019＝x1＋12×(2019－1)＝1000＋1009＝2009.(2)因为不等式log2(ax2－3x＋6)>2可转化为ax2－3x＋2>0，所给条件表明：ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b

}，根据不等式解集的性质可知：方程ax2－3x＋2＝0的两根为x1＝1，x2＝b.利用根与系数的关系不难得出a＝1，b＝2.由此知an＝1＋2(n－1)＝2n－1.归纳总结：解决数列综合问题的方法策略(1)

结合等差数列的性质或利用等差中项．(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式．(3)利用函数或不等式的有关方法解决．(对应训练一)在等差数列{an}中，已知a4＝8，a6＝12，则数列{3an＋4

}的第2019项为___________.解析设{an}的公差为d，则d＝a6－a46－4＝12－82＝2，a4＝a1＋3d，所以a1＝2，由等差数列的性质知{3an＋4}是以3a1＋4为首项，3d为公差的等差数列，所以3an＋4＝(3×2＋4)＋6(n－1)＝6n＋4.所以

第2019项为6×2019＋4＝12118.(对应训练二)首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．解析a3＋a5＋a7＝93，则a5＝31，所以an＝a5＋(n－5)d>

100，n>69d＋5，因为n的最小值是15，故14≤69d＋5<15.所以6.9<d≤699，因为d为整数，所以d＝7，所以a1＝a5－4d＝3.七、等差数列的实际应用例7某公司经销一种数码产品，第1年可获利20

0万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解析设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的

利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损.归纳总结：解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有

用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．(对应训练一)梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．解析用数列

{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由题意，得a1＝33，a12＝110，n＝12.由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即110＝33＋11d，解得d＝7.因此a2＝40，a3＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝

96，a11＝103.(对应训练二)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，

需要支付车费________元．解析根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费

，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答案23.2(对应训练三)如图所示，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.(1

)求AB、BC、CD的长；(2)以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解析(1)设公差为d(d>0)，BC＝x，则AB＝x－d，CD＝x＋d.由题意得(x－d)＋x＋(x＋d)＝21，(x－d)2＋x2＋(x＋d)2

＝179，解得x＝7，d＝4或x＝7，d＝－4(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a21

0＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面积为1521cm2.八、等差数列在三角形中的应用例8在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成

等差数列，试判断该三角形的形状．解析由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴3B＝π，∴B＝π3.∵lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，∴2lg(sinB)＝lg(

sinA)＋lg(sinC)，即sin2B＝sinAsinC，∴sinAsinC＝34.又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，∴sinAsinC＝－12[cos(A＋C)－cos(A－C)]．∴－12

cos2π3－cos(A－C)＝34.∴14＋12cos(A－C)＝34.∴cos(A－C)＝1.∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，即A＝C＝π3，∴A＝B＝C.故△ABC为等边三角形．归纳总结：等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角恒等式，然后运用三角恒等知识变

形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关问题．(对应训练)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．解析设△ABC的三边长为a－4，a，a＋4(a>4)，则a2＋(a

－4)2－(a＋4)22a(a－4)＝－12，解得a＝10，三边长分别为6,10,14.所以S△ABC＝12×6×10×32＝153.答案153九、等差数列在向量问题中的应用例9已知数列{an}为等差数

列，且满足BA→＝a3OB→＋a2015OC→，若AB→＝λAC→(λ∈R)，点O为直线BC外一点，则a1＋a2017＝()A．0B．1C．2D．4解析∵BA→＝a3OB→＋a2015OC→，∴OA→－OB→＝a3OB→＋a2015OC→，即OA→＝(a3＋1)OB→

＋a2015OC→，又∵AB→＝λAC→(λ∈R)，∴a3＋1＋a2015＝1，∴a1＋a2017＝a3＋a2015＝0.故选A.答案A专题训练1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a1

1＋a12＋a13等于()A．120B．105C．90D．75解析∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16.∵d>0，∴d＝3.则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10

d)＝105.故选B.答案B2．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是()A．d>875B．d<325C.875<d<325D．875<d≤325解析由题意a10>1，a9≤1

，∴125＋9d>1，125＋8d≤1，∴875<d≤325.故选D.答案D3．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为()A．0B．1C．2D．1或2解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴Δ＝4

b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D.答案D4．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为()A．p＋qB．

0C．－(p＋q)D．p＋q2解析∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，∴a1＋(p－1)d＝q，①a1＋(q－1)d＝p.②①－②，得(p－q)d＝q－p.∵p≠q，∴d＝－1.代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.∴ap＋q＝

a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.故选B.答案B5．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则a2－a1b2－b1等于()A.m

nB．m＋1n＋1C.nmD．n＋1m＋1解析设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝y－xm＋1；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝y－xn＋1.这样可求出a2－a1b2－b1＝d1d2＝

n＋1m＋1.故选D.答案D6．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>0解析∵数列{2a1an}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1

dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0.故选C.答案C7．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|＝()A．1B.34C.12D.38解析设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列

，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，∵a1＝14，∴d＝12，∴a2＝14＋12＝34，a3＝14＋1＝54，a4＝14＋32＝74，∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝

14×74－34×54＝12.答案C8．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝()A．24B．23C．22D．21解析由3an＋1＝3an－2得an＋1－an＝－23，所以数列{an}为首

项a1＝15，公差d＝－23的等差数列，所以an＝15－23(n－1)＝－23n＋473，则由ak·ak＋1<0得ak>0，ak＋1<0，令an＝－23n＋473＝0得n＝472，所以a23>0，a24<0，所以k＝23.故选B．答案B9．设{an}是等差数列．下列结论中正确的是

()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0解析先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1

，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若0<a1<a2，则a1>0，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a22－a1a3＝(a1＋d)

2－a1(a1＋2d)＝a21＋2a1d＋d2－a21－2a1d＝d2>0，则a22>a1a3⇒a2>a1a3，选C．答案C10．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝anan＋1.若对

任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是()A．(－8，－6)B．(－7，－6)C．(－6，－5)D．(6,7)解析∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，∴an＝n＋a－1.∴bn＝anan＋1＝1－1n＋a.又∵对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知16＋

a≤1n＋a，则必有7＋a－1<0且8＋a－1>0，∴－7<a<－6.故选B．答案B11．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an>0，则an＝.解析由已知a2n＋1－a2n＝4，∴{a2n}是等差数列，且首项a21＝1，公差d＝4，∴a2n＝1＋(n－1)×4＝4

n－3.又an>0，∴an＝4n－3.答案4n－312．已知数列{an}满足a1＝1，若点ann，an＋1n＋1在直线x－y＋1＝0上，则an＝.解析由题设可得ann－an＋1n＋1＋1＝0，即an＋1n＋1－ann＝1，所以数列an

n是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式ann＝n，所以an＝n2.答案n213．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列1an是否为等差数列？说明理由．(2)求an.解析(1)数列1an是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1

＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，∴1an＋1－1an＝12，即1an是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由(1)可知，1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，∴an＝2n.14．已知数列{an}满足a1

＝4，an＝4－4an－1(n≥2)，令bn＝1an－2.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析(1)证明：∵an＝4－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2＝2－4an＝2(an－2)an(n≥1)，∴1an＋1－2＝an2(an－2)＝12＋

1an－2(n≥1)．故1an＋1－2－1an－2＝12(n≥1)，即bn＋1－bn＝12(n≥1)，所以{bn}为等差数列．(2)由(1)知，1an－2是等差数列，则1an－2＝1a1－2＋(n－1)×12＝n2，解得an＝2＋2n，所以{an}

的通项公式为an＝2＋2n.15．数列{an}为等差数列，bn＝12an，又已知b1＋b2＋b3＝218，b1b2b3＝18，求数列{an}的通项公式．解析∵b1＋b2＋b3＝12a1＋

12a2＋12a3＝218，b1b2b3＝12a1＋a2＋a3＝18，∴a1＋a2＋a3＝3.∵a1，a2，a3成等差数列，∴a2＝1，故可设a1＝1－d，a3＝1＋d，由121－d＋12＋121＋d＝218，得2d＋2－d＝174，

解得d＝2或d＝－2.当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.16．已知数列{an}满足an＋1＝1＋an3－an(n∈N*)，且a1＝0

.(1)求a2，a3的值；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列1an－λ为等差数列，请说明理由．解析(1)因为a1＝0，an＋1＝1＋an3－an(n∈N*)，所以a2＝1＋a13－a1＝1＋03－0＝13，a3＝1＋a23－a2＝1

＋133－13＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列1an－λ为等差数列，则1a1－λ，1a2－λ，1a3－λ成等差数列，所以2a2－λ＝1a1－λ＋1a3－λ，所以213－λ＝10－λ＋112－λ，解之得λ＝1.因为1an＋1－1－1a

n－1＝11＋an3－an－1－1an－1＝3－an2(an－1)－1an－1＝1－an2(an－1)＝－12，又1a1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列1an－λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．17．设各项均为正数的无穷数列{

an}和{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且a2n＋1＝bnbn＋1.(1)求证：{bn}是等差数列；(2)设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．解析(1)证明：a2n＋1＝bnbn＋1得an＋1＝bnbn＋1，∴an＝bn－1bn代入2bn＝an＋

an＋1，得2bn＝bn－1bn＋bnbn＋1，∴2bn＝bn－1＋bn＋1，∴{bn}是等差数列．(2)由a1＝1，a2＝2得b1＝a1＋a22＝32.又由a2n＋1＝bnbn＋1得a22＝b1b2，

∴b2＝a22b1＝83，∴b1＝32＝62，b2＝83＝263.∴{bn}的公差d＝b2－b1＝66.∴bn＝62＋(n－1)·66＝66(n＋2)，∴bn＝16(n＋2)2，∴a2n＝bn－1bn＝16(n＋1)2·16(n＋2)2，∴an＝16(n＋1)(n＋2)．18．已

知f(x)＝2xx＋2，在数列{xn}中，x1＝13，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列{1xn}是等差数列，并求x95的值．解析因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，所以xn＝2x

n－1xn－1＋2(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，得2xn－1－2xnxnxn－1＝1(n≥2)，即1xn－1xn－1＝12(n≥2)．又1x1＝3，所以数列{1xn}是以3为首项，12为

公差的等差数列，所以1xn＝3＋(n－1)×12＝n＋52，所以xn＝2n＋5，所以x95＝295＋5＝150.19．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡

上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．甲乙请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是

缩小了？请说明理由．解析由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全

县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.(1)由a1＝1，a6＝2，得a1＝1，a1＋5d1＝2，∴a1＝1，d1＝0.2，得a2＝1.2；由b1＝30，b6＝10，得

b1＝30，b1＋5d2＝10，∴b1＝30，d2＝－4，得b2＝26.∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，∴到第6年这个县的养鸡业规

模比第1年缩小了．