【文档说明】专题三 等差数列-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）(原卷版).docx，共(11)页，61.530 KB，由管理员店铺上传

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专题三等差数列基本知识点1．等差数列的递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)2．等差中项：如果a，A，b成等差数列．那么A叫做a与b的等差中项．满足的关系式是a＋b＝2A．3．等差中项的理解：(1)等差中项的

概念变形给出了判断一个数列是否为等差数列的方式，如若an，an＋1，an＋2满足2an＋1＝an＋an＋2，则数列{an}为等差数列，这是因为2an＋1＝an＋an＋2等价于an＋1－an＝an＋2－an

＋1，显然满足等差数列的定义．(2)在等差数列中，除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．4．等差数列中项与序号的关系(1)两项关系：在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝am－anm－n为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d(m，n

∈N*).(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)则an＋am＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.5．等差数列的判定方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇒{an

}是等差数列．(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数)⇒{an}是等差数列．(3)中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇒{an}是等差数列．(4)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋a

n－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….6．等差数列的单调性：等差数列{an}的公差为d，(1)当d>0时，数列{an}为递增数列．(2)当d<0时，数列{an}为递减数列．(3)当d＝0时，数列{an}为常数列．

7．等差数列常用结论(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{c·an}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的

等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(3)若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…，(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列.8．试题中等差数列的对称项的设法三个数或四个数成等差数列时，设未知

量的技巧如下：(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，

a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．例题分析一、等差数列的通项公式例1(1)2000是等差数列4,6,8，…的()A．第998项B．第999项C．第1001项D．第1000项(2)已知等差数列1

，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项．(对应训练一)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d；(对应训练二)等差数列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．二、等差中项的应用例2(1)一个等差数列由

三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．(2)一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列，面积为12，则它的周长是________.(对应训练一)已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成

等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．(对应训练二)已知数列{an}的首项为x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值．(对应训练三)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋

a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．三、等差数列的判断与证明例3已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋ca，c＋ab，a＋bc也成等差数列．(对应训练一)判断下列数列是否为等差数

列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{an}中an＝n2＋n.(对应训练二)在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，an＋1an＝nn－1.求证：数列{an}是等差数列．(对应训练三)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1＋anan＋12(n∈N*)．(1)求

证：1an－1是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．四、等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用例4若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.(对应训练)等

差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.五、用性质am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题例5(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝______.(2)已知{an}为等差数列

，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8的值．(对应训练一)若a1－a4－a8－a12＋a15＝π2，则sin(a2＋a14)的值()A．0B．1C．－1D．不存在(对应训练二)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80.求通项an.六、

等差数列的综合应用例6(1)方程f(x)＝x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)＝xa(x＋2)有唯一不动点，且x1＝1000，xn＋1＝1f(1xn)，n＝1,2,3，…，则x2019＝()A．2019B．2009C．20192D．201

8(2)已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式log2(ax2－3x＋6)>2的解集为{x|x<1或x>b}，则数列{an}的通项公式an＝_________.(对应训练一)在等差数列{an}中，已知

a4＝8，a6＝12，则数列{3an＋4}的第2019项为___________.(对应训练二)首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件：①a3＋a5＋a7＝93；②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．七、等差数列的实际应用例7某公司经销一种数码产

品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？(对应训练一)梯子的最

高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．(对应训练二)某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等

候时间为0，需要支付车费________元．(对应训练三)如图所示，三个正方形的边AB、BC、CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.(1)求AB、BC、CD的长；(2)以AB、BC、CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面

积是多少？八、等差数列在三角形中的应用例8在△ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状．(对应训练)已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△A

BC的面积为．九、等差数列在向量问题中的应用例9已知数列{an}为等差数列，且满足BA→＝a3OB→＋a2015OC→，若AB→＝λAC→(λ∈R)，点O为直线BC外一点，则a1＋a2017＝()A．0B．1C．2D．4专题训练1．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋

a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于()A．120B．105C．90D．752．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是()A．d>875B．d<325C.875

<d<325D．875<d≤3253．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为()A．0B．1C．2D．1或24．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为()A．p＋qB．0C

．－(p＋q)D．p＋q25．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则a2－a1b2－b1等于()A.mnB．m＋1n＋1C.nmD．n＋1

m＋16．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d<0B．d>0C．a1d<0D．a1d>07．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－n|＝()A．1B.34

C.12D.388．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，则正整数k＝()A．24B．23C．22D．219．设{an}是等差数列．下列结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则

a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞010．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn＝anan＋1.若对任意n∈N*，bn

≤b6，则实数a的取值范围是()A．(－8，－6)B．(－7，－6)C．(－6，－5)D．(6,7)11．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an>0，则an＝.12．已知数列{an}

满足a1＝1，若点ann，an＋1n＋1在直线x－y＋1＝0上，则an＝.13．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列1an是否为等差数列？说明理由．(2)求an.14．已知数列{an}满足a1＝

4，an＝4－4an－1(n≥2)，令bn＝1an－2.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．15．数列{an}为等差数列，bn＝12an，又已知b1＋b2＋b3＝218，b1b2b3＝18，求数

列{an}的通项公式．16．已知数列{an}满足an＋1＝1＋an3－an(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值；(2)是否存在一个实常数λ，使得数列1an－λ为等差数列，请说明理由．17．设各项均

为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N*都有2bn＝an＋an＋1且a2n＋1＝bnbn＋1.(1)求证：{bn}是等差数列；(2)设a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．18．已知f(x)＝2xx＋2，在数列{xn}中，x1＝13，xn＝f(xn－

1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列{1xn}是等差数列，并求x95的值．19．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养

鸡场个数30个减少到第6年10个．甲乙请你根据提供的信息回答问题．(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．